柯西施瓦茨不等式证明

柯西不等式的证明

数学上，柯西-施瓦茨不等式，又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式，是一条很多场合都用得上的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。柯西不等式(Cauchy inequality)：对任意的实数a1,a2,⋯,a n,b1,b2,⋯,b n,都有

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2

证明一:(数学归纳法)当n=2时,(a21+a22)(b21+b22)−(a1b1+a2b2)2=(a1b2−b1a2)2≥0

所以n=2时,(a21+a22)(b21+b22)≥(a1b1+a2b2)2

假设n时命题成立,则n+1时

(a21+a22+⋯+a2n+a2n+1)(b21+b22+⋯+b2n+b2n+1)≥((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2

又由条件假设

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2

所以

((a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√+|a n+1b n+1|)2

≥(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2

很明显有

(|a1b1+a2b2+⋯+a n b n|+|a n+1b n+1|)2≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n+a n+1b n+1)2

因此n+1时命题也成立,由数学归纳法,命题得证.

证明二:(构造二次函数)如果a1,a2,⋯,a n都为0,那么此时不等式明显成立.

如果a1,a2,⋯,a n不全为0,那么a21+a22+⋯+a2n>0

构造二次函数f(x)=(a21+a22+⋯+a2n)x2+2(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)x+(b21+b22+⋯+b2n)那么此时f(x)=(a1x+b1)2+⋯+(a n x+b n)2≥0对任意的实数x都成立,所以这个二次函数的判别式应该是不大于0的,也就是

Δ=4(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2−4(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≤0

从而不等式得证.

证明三:(恒等变形)注意到恒等式

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)−(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2=∑1≤i

所以不等式成立.

证明四:(均值不等式)不妨设a i,b i不全为0,理由同证明二

a21+a22+⋯+a2n=S,b21+b22+⋯+b2n=T

那么由均值不等我们有

a2iS+b2iT≥2∣∣aibi∣∣ST√

对i从1到n求和,可以得到

∑i=1n a2i S+∑i=1n b2i T≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√

于是

2≥2∑i=1n|a i b i|ST−−−√≥2∣∣∣∑i=1n a i b i ST−−−√∣∣∣

得到

(a21+a22+⋯+a2n)(b21+b22+⋯+b2n)≥(a1b1+a2b2+⋯+a n b n)2

现在我们由证法二来得到等号成立条件,如果等号成立,那么f(x)能取到0,也就是说存在一个x使得a i x+b i=0对任意的i=1,2,⋯,n都成立,这就是等号成立条件,在a1a2⋯a n≠0时,可以将它写成

b1a1=b2a2=⋯=b n a n.

变形式(A)设a i∈R,b i>0(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a2i b i≥(∑a i)2∑b i.

变形式(B)设a i,b i同号且不为零(i=1,2⋯,n),则∑i=1n a i b i≥(∑a i)2∑a i b i.