Morlet小波分析方法介绍

小波分析的要点：

1.目的

小波分析是一个强有力的统计工具，最早使用在信号处理与分析领域中，通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取，从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。现在广泛的应用于很多领域。

在地学中，各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号，因此小波分析方法同样适用于地学领域，从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。如，温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上，在近100年中，厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段，等等。

2.方法

小波变换具有多分辨率分析的特点，并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内，从而得出时间系列的显著的波动模式，即周期变化动态，以及周期变化动态的时间格局（Torrence and Compo, 1998）。小波（Wavelet），即小区域的波，是一种特殊的、长度有限，平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，二是具有正负交替的“波动性”，即直流分量为零。小波分析是时间（空间）频率的局部化分析，它通过伸缩平移运算对信号（函数）逐步进行多尺度细化，能自动适应时频信号分析的要求，可聚焦到信号的任意细节。小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加，而这些小波函数都是由一个母小波（mother wavelet）函数经过平移与尺度伸缩得来的。用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分，也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号，从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具（Stoy et al., 2005）。小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数（Grinsted et al., 2004）。一个小波被称为母小波（mother wavelet），母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。子小波可以通过尺度（s，频率的反函数）函数和时间（n）位置或平移来描述。利用一系列子小波，一个信号可以在不同的时间尺度上进行计算并显示出详细的特征尺度。拉伸更大的小波窗口，使其宽度更大便可以分析时间系列中波动较大的部分并捕捉大尺度（低频）事件的特征。相反，压缩较小的窗口将包含小尺度（高频）的事件信息。当信号被子小波相乘，被s与n唯一的表达，我们可以计算出信号在时间频率域一个具体位置的系数。如果信号在时间n上的谱成分可以与小波s比较，那么计算的小波系数具有相对较大的值。在其它n与s的组合（如其它的子小波）上都进行这样的计算，那么将会产生一系列系数（小波变化）来表达信号在时间频率域内的分解。通过这样的变化便可得到时间系列的波动模式（周期变化模式）以及这些模式随时间的变化（Furon et al., 2008; Jevrejeva et al., 2003）。

小波变化可以分为连续小波变化（the Continuous Wavelet Transform, CWT）与离散小波变换（Discrete Wavelet Transform, DWT）。离散小波变化DWT是数据的紧凑表示，长用于降噪与数据压缩。连续小波变化CWT更适合于信号特征的提取（Grinsted et al., 2004）。CWT

作为时间系列间歇式波动特征提取的工具被广泛的应用的地球物理学研究中（Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008）。

（1）连续小波变换CWT

可以将具有等时间步长δt 的离散时间系列x n (n=1,…, N)的连续小波变换定义为小波函数ψ0尺度化以及转换下的x n 的卷积：

∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10'*

'')()(N n n X

n s t n n x s t s W δψδ （1） 式中*表示共轭复数，N 是时间系列的总数据个数，(δt/s )1/2是一个用于小波函数标准化的因子从而使得小波函数在每个小波尺度s 上具有单位能量。通过转换小波尺度s 并沿着时间指数n 进行局部化，最终可得到一幅展示时间系列在某一尺度上波动特征及其随时间变化的图谱，即小波功率谱（Torrence and Compo, 1998; Torrence and Webster, 1999; Grinsted et al., 2004）。

对一个时间系列进行小波转换时，母小波的选择显得尤为重要，Farge （1992）曾经讨论过母小波选择时需要考虑的因素，例如正交与非正交、负值与实值、母小波的宽度与图形等等。正交小波函数一般用于离散小波变换，非正交小波函数即可用于离散小波变换也可用于连续小波变换（Torrence and Compo, 1998）。通常在对时间系列进行分析时，希望能够得到平滑连续的小波振幅，因此非正交小波函数较为合适。此外，要得到时间系列振幅和相位两方面的信息，就要选择复值小波，因为复值小波具有虚部，可以对相位进行很好的表达（Torrence and Compo, 1998）。Morlet 小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian 调节的指数复值小波。

2/4/1020)(t t i e e t --=ωπψ （2）

式中t 为时间，ω0是无量纲频率。当ω0=6，小波尺度s 与傅里叶周期（period ）基本相等（λ, λ = 1.03s ）（Torrence and Webster, 1999），所以尺度项与周期项可以相互替代。由此可见，Morlet 小波在时间与频率的局部化之间有着很好的平衡（Grinsted et al., 2004）。此外，Morlet 小波中还包含着更多的振动信息，小波功率可以将正、负峰值包含在一个宽峰之中（Torrence and Compo, 1998）。

（2）小波功率谱

为使计算更为快捷，公式5-1的卷积在傅里叶域内执行（Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004）。2

)(s W X n 定义为小波功率谱(wavelet power spectrum)，该功率谱表达了时间系列在给定小波尺度和时间域内的波动量级（Lafrenière and Sharp, 2003）。由于我们

采用的Morlet 母小波为复值小波，因此)(s W X x 也为复数，其复值部分可以解释为局部相位（Torrence and Compo, 1998）。将小波功率谱在某一周期上进行时间平均，我们可以得到小