高考数学一轮复习2.12函数模型及其应用文

第十二节函数模型及其应用
一、基础知识批注——理解深一点
1．常见的8种函数模型
(1)正比例函数模型：f (x )＝kx (k 为常数，k ≠0)； (2)反比例函数模型：f (x )＝k
x
(k 为常数，k ≠0)； (3)一次函数模型：f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)； (4)二次函数模型：f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (5)指数函数模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)； (6)对数函数模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1)； (7)幂函数模型：f (x )＝ax n
＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)； (8)“对勾”函数模型：y ＝x ＋a x
(a >0)．
(1)形如f (x )＝x ＋a x
(a >0)的函数模型称为“对勾”函数模型，“对勾”函数的性质： ①该函数在(－∞，－a ]和[a ，＋∞)上单调递增，在[－a ，0)和(0，a ]上单调递减．
②当x >0时，x ＝a 时取最小值2a ，当x <0时，x ＝－a 时取最大值－2a . (2)函数f (x )＝x a ＋b x
(a >0，b >0，x >0)在区间(0，ab ]内单调递减，在区间[ab ，＋∞)内单调递增．
2．三种函数模型的性质 函数性质 y ＝a x (a >1)
y ＝log a x (a >1)
y ＝x n (n >0)
在(0，＋∞)上的增减
性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x 的增大，逐渐表现为与y 轴平行
随x 的增大，逐渐表现为与x 轴平行
随n 值变化而各有不
同
值的比较 存在一个x 0，当x >x 0时，有log a x <x n
<a x
幂函数模型y ＝x
n
n >0可以描述增长幅度不同的变化，当n ,值较小n ≤1时，增
长较慢；当n 值较大n >1时，增长较快.
二、基础小题强化——功底牢一点
一判一判对的打“√”，错的打“×” (1)函数y ＝2x
的函数值比y ＝x 2
的函数值大．( )
(2)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x
＋c (a ≠0，b ＞0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )
(3)幂函数增长比直线增长更快．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (二)选一选
1．在某个物理实验中，测量后得变量x 和变量y 的几组数据，如表：
x 0.50 0.99 2.01 3.98 y
－0.99
0.01
0.98
2.00
则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2
－1 C ．y ＝2x －2
D ．y ＝log 2x
解析：选D 由x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；由x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B 、C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．
2．生产一定数量商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2
＋2x ＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取最大利润，该企业
一个月应生产该商品数量为( )
A ．36万件
B ．18万件
C ．22万件
D ．9万件
解析：选B 设利润为L (x )，则利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2
＋142，当x ＝18
时，L (x )有最大值．
3．某商品价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来价格比较，变化的情况是( )
A ．减少7.84%
B ．增加7.84%
C ．减少9.5%
D ．不增不减
解析：选A 设某商品原来价格为a ，依题意得：
a (1＋0.2)2(1－0.2)2＝a ×1.22×0.82＝0.921 6a ，
所以(0.921 6－1)a ＝－0.078 4a ，
所以四年后的价格与原来价格比较，减少7.84%. (三)填一填
4．某城市客运公司确定客票价格的方法是：如果行程不超过100 km ，票价是0.5元/km ，如果超过100 km ，超过100 km 的部分按0.4元/km 定价，则客运票价y (元)与行程千米数
x (km)之间的函数关系式是____________．
解析：由题意可得y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
0.5x ，0＜x ≤100，0.4x ＋10，x ＞100.
答案：y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
0.5x ，0＜x ≤100，
0.4x ＋10，x ＞100
5.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2
.(围墙厚度不计)
解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x
4 m ，
则S ＝x ·200－x 4＝14(－x 2
＋200x )．
当x ＝100时，S max ＝2 500 (m 2
)． 答案：2 500
考点一 二次函数、分段函数模型
[典例] 国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30或30以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？
[解] (1)设每团人数为x ，由题意得0<x ≤75(x ∈N *
)，飞机票价格为y 元，
则y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
900，0<x ≤30，
900－10x －30，30<x ≤75，
即y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.
(2)设旅行社获利S 元，
则S ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
900x －15 000，0<x ≤30，1 200x －10x 2
－15 000，30<x ≤75，
即S ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
900x －15 000，0<x ≤30，－10x －602
＋21 000，30<x ≤75.
因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为增函数，故当x ＝30时，S 取最大值12 000. 又S ＝－10(x －60)2
＋21 000，x ∈(30,75]，所以当x ＝60时，S 取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润． [解题技法]
二次函数、分段函数模型解决实际问题的策略
(1)在建立二次函数模型解决实际问题中的最值问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．
(2)对于分段函数模型的最值问题，应该先求出每一段上的最值，然后比较大小． (3)在利用基本不等式求解最值时，一定要检验等号成立的条件，也可以利用函数单调性求解最值．
[题组训练]
1．某市家庭煤气的使用量x (m 3
)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝
⎩⎪⎨⎪⎧
C ，0<x ≤A ，C ＋B x －A ，x >A .
已知某家庭2018年前三个月的煤气费如表：
月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 3
4元 二月份 25 m 3 14元 三月份
35 m 3
19元
若四月份该家庭使用了20 m 3
的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元
D ．10元
解析：选A 根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35
－A )＝19，解得A ＝5，B ＝1
2，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
4，0<x ≤5，4＋1
2x －5，x >5，所以f (20)＝4
＋1
2
×(20－5)＝11.5. 2．A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．
(1)求x 的取值范围；
(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；
(3)核电站建在距A 城多远，才能使月供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2
(10≤x ≤90)．
(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2
＝152x 2
－500x ＋25 000 ＝152⎝ ⎛⎭⎪⎫x －10032＋50 0003，
所以当x ＝1003时，y min ＝50 000
3
.
故核电站建在距A 城100
3 km 处，能使月供电总费用y 最少．
考点二 指数函数、对数函数模型
[典例] 某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．
(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；
(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次
后治疗疾病有效的时间．
[解] (1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
kt ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －a
，t >1，
当t ＝1时，由y ＝4，得k ＝4，
由⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a
＝4，得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3
，t >1.
(2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨
⎪⎧
0≤t ≤1，4t ≥0.25
或⎩⎪⎨⎪
⎧
t >1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫12t －3
≥0.25，
解得1
16
≤t ≤5.
故服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝79
16(小时)．
[解题技法]
1．掌握2种函数模型的应用技巧
(1)与指数函数、对数函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在三类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．
(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．
2．建立函数模型解应用问题的4步骤
(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型． (2)建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型． (3)求模：求解数学模型，得出数学结论．
(4)还原：将利用数学知识和方法得出的结论，还原到实际问题中． 以上过程用框图表示如下：
[题组训练]
1．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每
次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )
A ．略有盈利
B ．略有亏损
C ．没有盈利也没有亏损
D ．无法判断盈亏情况
解析：选B 设该股民购进这支股票的价格为a 元，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n
＝a ×1.1n
元，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n
×(1－10%)n
＝a ×1.1n
×0.9n
＝
a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．
2．声强级Y (单位：分贝)由公式Y ＝10lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫I 10－12给出，其中I 为声强(单位：W/m 2
)． (1)平常人交谈时的声强约为10－6
W/m 2
，求其声强级．
(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝，求能听到的最低声强为多少？ 解：(1)当声强为10－6
W/m 2
时， 由公式Y ＝10lg ⎝
⎛⎭
⎪⎫I 10－12， 得Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫10－6
10－12＝10lg 106
＝60(分贝)．
(2)当Y ＝0时，由公式Y ＝10lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫I 10－12， 得10lg ⎝ ⎛⎭
⎪⎫I 10－12＝0. ∴
I
10
－12
＝1，即I ＝10
－12
W/m 2
，
则最低声强为10－12
W/m 2
.
[课时跟踪检测]
1．(2018·福州期末)某商场销售A 型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( )
A ．4
B ．5.5
C ．8.5
D ．10
解析：选C 由数据分析可知，当单价为4元时销售量为400件，单价每增加1元，销售量就减少40件．设定价为x 元/件时，日均销售利润为y 元，则y ＝(x －3)·[400－(x －
4)·40]＝－40⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1722
＋1 210，故当x ＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选
C.
2．(2019·绵阳诊断)某单位为鼓励职工节约用水，作出如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米3元收费；用水超过10立方米的，超过的部分按每立方米5
元收费．某职工某月的水费为55元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．15立方米
D ．16立方米
解析：选 C 设该职工某月的实际用水为x 立方米时，水费为y 元，由题意得y ＝
⎩⎪⎨⎪⎧
3x ，0≤x ≤10，
30＋5x －10，x >10，
即y ＝⎩⎪⎨
⎪⎧
3x ，0≤x ≤10，
5x －20，x >10.
易知该职工这个月的实际用水量超
过10立方米，所以5x －20＝55，解得x ＝15.
3．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的关系可近似地表示为y ＝x 2
10－30x ＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量为
( )
A ．240吨
B ．200吨
C ．180吨
D ．160吨
解析：选B 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则y
x
≥2
x
10
·4 000
x
－30
＝10，
当且仅当x 10＝4 000
x
，即x ＝200时取等号，
因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨．
4．某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：毫克/升)与过滤时间t (单位：时)之间的函数关系为P ＝P 0e
－kt
(k ，P 0均为正常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么排
放前至少还需要过滤的时间是( )
A.1
2小时 B.5
9小时
C ．5小时
D ．10小时
解析：选C 由题意，前5个小时消除了90%的污染物． ∵P ＝P 0e
－kt
，
∴(1－90%)P 0＝P 0e －5k
，
∴0.1＝e
－5k
，即－5k ＝ln 0.1，
∴k ＝－1
5ln 0.1.
由1%P 0＝P 0e
－kt
，即0.01＝e
－kt
，得－kt ＝ln 0.01，
∴⎝ ⎛⎭
⎪⎫15ln 0.1t ＝ln 0.01，∴t ＝10. ∴排放前至少还需要过滤的时间为t －5＝5(时)．
5．(2019·蚌埠模拟)某种动物的繁殖数量y (单位：只)与时间x (单位：年)的关系式为
y ＝a log 2(x ＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
解析：由题意，得100＝a log 2(1＋1)，解得a ＝100，所以y ＝100log 2(x ＋1)，当x ＝7时，y ＝100log 2(7＋1)＝300，故到第7年它们发展到300只．
答案：300
6.某人根据经验绘制了从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．
解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数
解析式得⎩
⎪⎨
⎪⎧
10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝190
9
.
答案：190
9
7．候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q
10(其中a ，b 是实数)．据
统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.
(1)求出a ，b 的值；
(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，求其耗氧量至少要多少个单位？ 解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位， 故有a ＋b log 330
10＝0，即a ＋b ＝0.
当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ， 故a ＋b log 390
10
＝1，整理得a ＋2b ＝1.
解方程组⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＋
b ＝0，
a ＋2
b ＝1，得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝－1，
b ＝1.
(2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q
10.
所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2， 所以－1＋log 3Q
10
≥2，
即log 3Q 10≥3，解得Q
10
≥27，即Q ≥270.
所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位． 8.据气象中心观察和预测：发生于沿海M 地的台风一直向正南方向移动，其移动速度
v (单位：km/h)与时间t (单位：h)的函数图象如图所示，过线段OC 上一点T (t,0)作横轴的
垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积为时间t 内台风所经过的路程s (单位：km)．
(1)当t ＝4时，求s 的值；
(2)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来；
(3)若N 城位于M 地正南方向，且距M 地650 km ，试判断这场台风是否会侵袭到N 城，如果会，在台风发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会，请说明理由．
解：(1)由图象可知，直线OA 的方程是v ＝3t (0≤t ≤10)，直线BC 的方程是v ＝－2t ＋70(20<t ≤35)．
当t ＝4时，v ＝12，所以s ＝1
2×4×12＝24.
(2)当0≤t ≤10时，s ＝12×t ×3t ＝32
t 2
；
当10<t ≤20时，s ＝1
2
×10×30＋(t －10)×30＝30t －150；
当20<t ≤35时，s ＝150＋300＋12×(t －20)×(－2t ＋70＋30)＝－t 2
＋70t －550.
综上可知，s 随t 变化的规律是s ＝⎩⎪⎨⎪⎧
32t 2，t ∈[0，10]，
30t －150，t ∈10，20]，
－t 2
＋70t －550，t ∈20，35].
(3)当t ∈[0,10]时，s max ＝32×102
＝150<650，
当t ∈(10,20]时，s max ＝30×20－150＝450<650， 当t ∈(20,35]时，令－t 2
＋70t －550＝650， 解得t ＝30或t ＝40(舍去)，
即在台风发生30小时后将侵袭到N 城．
11。