毕节专版201x年中考数学复习第7章圆第26课时正多边形与圆的有关计算精讲试题
中考数学基础复习第27课与圆有关的计算课件
【解析】(1)∵BC平分∠ABD,
∴∠DBC=∠ABC,
∵∠CAD=∠DBC,∴∠CAD=∠ABC;
(2)∵∠CAD=∠ABC,∴ CD=AC，
∵AD是☉O的直径,AD=6,
∴ C的D 长=
1 1 6= 3 ．
22
2
【联系课标】 【课标要求】
与圆有关的计算 (1)掌握垂径定理 (2)探索切线与过切点的半径之间的关系 (3)会计算弧长及扇形的面积
【解析】(1)连接OC, ∵ EC=,B∴C∠CAD=∠BAC, ∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO, ∴∠CAD=∠ACO,∴AD∥OC, ∵AD⊥CD,∴OC⊥CD, ∴CD是☉O的切线;
(2)连接OE,连接BE交OC于F, ∵ EC=,B∴COC⊥BE,BF=EF, ∵AB是☉O的直径, ∴∠AEB=90°, ∴∠FED=∠D=∠EFC=90°, ∴四边形DEFC是矩形, ∴EF=CD= 3 ,∴BE= 2 ,3 ∴ AE= AB2 BE2 = 42 (2 3)2 =2， ∴AE=1 AB,∴∠ABE=30°,
【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵OC∥BD,∴∠AEO=∠ADB=90°, 即OC⊥AD,∴AE=ED; (2)∵OC⊥AD,∴ AC=CD， ∴∠ABC=∠CBD=36°, ∴∠AOC=2∠ABC=2×36°=72°, ∴ AC的长= 725 =2.
180
反思:熟记面积公式、弧长公式灵活应用.
3
∴AD=3,
∴图中阴影部分的面积=S△ACD-S扇形COE=12
60 22 3
33
3 2．
360
23
变式2.(202X·辽阳)如图,在平行四边形ABCD中,AC是对角线,∠CAB=90°,以 点A为圆心,以AB的长为半径作☉A,交BC边于点E,交AC于点F,连接DE. (1)求证:DE与☉A相切; (2)若∠ABC=60°,AB=4,求阴影部分的面积.
第26课时 与圆有关的计算
第六章 圆与图形变换
第26课时 与圆有关的计算
考点梳理
1、正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有n条
对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心；一个
正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图
形，又是中心对称图形。
2、计算弧长时要知道半径r和圆心角的度数n，弧 n r
长的计算公式是 180 3、计算扇形面积时也要知道半径r和圆心角的度数
证明：（1）连接 OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°-∠A-∠D-∠2=90°．
∴CD 是⊙O 的切线．
（2）∵∠A=30°
∴∠1=2∠A=60°
∴ S扇形OBC
60 22
360
2
3
在 Rt△OCD 中，CD=OC×tan60°= 2 3
∴
SRtOCD
1 2
OC
CD
1 2
2
2
32
3
知识小结
1、求阴影部分的面积一般采用“组合看图”的方 法，也就是把阴影部分看成是某几个图形相加减 所得。
2、与圆锥有关的问题要注意通过画图来帮助分析 理解题意。
n，扇形面积的计算公式是
n r2 1
S扇形 360 2 l弧r
知识点1：弧长、扇形、圆锥的相关计算
1、已知扇形的圆心角为 120°，面积为 300π cm2 （1）求扇形的弧长； （2）若把此扇形卷成一个圆锥，求这个圆锥的高。
分析点拨：圆锥与扇形的转化中要注意两个相三 角形。
解：（1）设扇形的半径为 R，根据题意，得 120 R2 300
正多边形和圆复习课件
这两个正多边形非常特殊，特别 是它们的内切和外接圆，而且计 算产生周长和面积的公式都非常 有趣。
划分和等分多边形
使用对角线可以划分多边形，知 道对角线数量可以计算划分的数 量。而等分多边形可以使用对角 线和其他方法来实现。
圆
基本概念和性质
圆可以理解为一个没有边缘的，无限大的正多边形。弧、圆心角和其他特征非常有趣，有很 多定理和应用。
2
题目二
一个扇形的圆心角是150度，它的圆周长是24cm，求这个扇形的面积。
3
题目三
在一个正六边形中，一条对角线和一条边的夹角大小为30度，求这个正六边形 的对角线数量和对称轴数量。
本课程总结
重点和难点
本课程的重点是在让学生了解正 多边形和圆的基本概念、性质、 公式和用途。而本课程的难点在 于教授学生高阶数学概念时需要 进行更全面和详细的解释。
弧长和扇形面积计算
弧可以被计算为是圆周的一部分，常常使用度数或者弧度来计算面积。而扇形是圆内的一个 部分，可以使用它的圆心角大小计算面积。
相关定理
圆心角定理、弦长定理、切线定理以及弦切角定理是非常常见的圆形应用。每个定理都可以 解决不同的问题，所以需要加速掌握。
综合练习
1
题目一
正五边形中，一条对角线的长度等于边长的平方根，这个正五边形的内角和是多 少？
正多边形和圆复习ppt课 件
欢迎来到正多边形和圆的复习课程！将会在本课程中，通过多种有趣的布局 设计，深入浅出地介绍正多边形和圆的基本概念、性质、公式和用途。快来 跟我一起探索这个有趣而又美妙的数学世界吧！
正多边形
定义和性质
正三角形个 角的多边形，这些角的大小相等， 而且多边形的对角线和对称轴数 量都有公式。
《正多边形与圆》数学教学PPT课件(3篇)
定义讲解
什么叫正多边形？ 各边相等，各角相等的多边形. 什么是正多形的边心距、半径？ 正多边形内切圆的半径叫做边心距． 正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
1.正多边形与圆 如果将圆n等分,依次连接各分点得到一个n边形,这个n边 形一定是_正__n边__形___. 2.正多边形的有关概念 (1)中心:正多边形的___外__接_圆_的_圆_心____. (2)半径:正多边形__外_接_圆___的半径. (3)中心角:正多边形每一边所对的___圆_心_角__. (4)边心距:正多边形的__中_心__到正多边形的一边的__距_离__.
【方法一点通】
正多边形的判定方法 1.定义判定:证明多边形的各边相等,各角相等. 2.正多边形与圆的关系判定:多边形为圆内接多边形时,判 断该多边形的顶点将圆等分即可.
【想一想】 正六边形的边长和半径有怎样的数量关系?为什么? 提示:相等,正六边形的中心角为60°,边和半径构成等边 三角形.
正多边形有关的计算
..O
R
D C
a
AG B
3.7正多边形与圆
第2课时
分别说出下列正多边形的性质.
正多边形在日常生产、生活中有广泛的应用性，会 用尺规画正多边形是必备能力之一。
阅读教材第112页，“交流与发现”内容.
想一想：怎样画一个正三角形？
你会用同样的方法画正四边形、正五边形、正 六边形吗？
A
A
D
F
E
O ·
为
．
5.圆内接正六边形的边长是8 cm用么该正六边形的半径为 ________；边心距为________．
1.正多边和圆的有关概念： 正多边形的中心，正多边形的半径， 正多边形的中心角，正多边形的边心距．
毕节专版中考数学复习第7章圆第24课时圆的有关概念及性质精练课件
第24课时圆的有关概念及性质（时间：45分钟）基础训练1•下列说法错误的是A.直径是圆中最长的弦B.长度相等的两条弧是等弧C.面积相等的两个圆是等圆D.半径相等的两个半圆是等弧2.如图，在0()中，直径CD丄弦Ab则下列结论中正确的是(B ) CDA. AC=ABB. ZC=^-ZBODC. ZC=ZBODD. ZA = ZBOD3.（2018 •巴中中考）如图,®O中，半径OC丄弦AB 于点D,点E 在0O±,ZE=22. 5°,AB =4,则半径OB等于（C ）A.Q B2 C. 2# D. 34.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外, 其截面如图所示，已知EF=CD = 4 cm,则球的半径长是（B ）A. 2 cm B 2. 5 cm C. 3 cm D. 4 cm5.如图，四边形ABCD是©O的内接四边形，AD 与BC的延长线交于点E,BA与CD的延长线交于点F，ZDCE=80°,ZF=25°,则ZE 的度数为（C ）A. 55：B. 50°C. 45°D.里0° _____6•如图，①O是等边△ABC的外接圆，连接OB,OC,则ZBOC的度数是（D ）A. 80° B. 100°C. 110°D. 120°C8.（2018 -自银中考）如图,0A it点0（0,0），C（始,0）,D（0,l）,点占是乂轴下方®A±的一点，连接BO,BD,则ZOBD的度数是（B ）A. 15°30° C. 45° D. 60°B10.（2018・扬州中考）如图，OO的半径为2, A ABC内接于135°,则4E= 2^2 .（第10题图）11.如图，已知等腰直角三角形AEC,点P是斜边EC上一点(不与BC两点重合)，PE是厶牡沪的外接圆①O的直径.(1)求证：ZVLPE是等腰直角三角形；(2)若①O的直径为2,求+ PB2的值.E（1）证明：I AB = AC, Z.BAC = 90°,AZC=ZABC=45°.B :.ZAEP = ZABP = ^°.V PE是①O的直径…•・ZPAE=90°. :.Z.APE=^AEP = ^\ :.AP = AE.:.AAPE 是等腰頁角三角形；⑵解：・・・ZCAJB = ZPAE=90°,:.ZCAP = ZBAE.又・・・AC=AB,AP = AE,A ACAP^ABAE(SAS). :.PC=EB.・・• PE是GO的直径,:.ZPBE= 90°.・・・ PB2 + FC2 = PB2 + BE2 = PF = 2? = 4.12.《九章算术》中有这样一个问题:“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸,锯道长…尺,问径几何? ”大意:有…根圆柱形木头,埋在墙壁中（如图），不知道其大小，用锯沿着面AB锯裸露在外面的木头，锯口CD深1寸，锯道长度为1尺，问这根圆柱形木料的半径是多少寸？（注：1尺=10寸）解:如图，连接AO,DO. TAB 丄CD, :,AD=BD.VAB=10,.'.AD—5.在RtAAOD 中，。
《正多边形与圆》 讲义
《正多边形与圆》讲义一、正多边形的定义在平面内，各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
例如，等边三角形、正方形、正五边形等等。
正多边形具有对称性，对称轴的条数与边数相同。
比如正六边形有6 条对称轴。
二、圆的基本性质圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，这个定点称为圆心，定长称为半径。
圆有无数条直径和半径，直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段，半径是圆心到圆上任意一点的线段。
圆的周长 C ＝2πr （其中 r 是半径，π是圆周率，通常取 314），圆的面积 S ＝πr² 。
三、正多边形与圆的关系1、正多边形的外接圆以正多边形的中心为圆心，以中心到顶点的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的外接圆。
例如，对于正三角形，我们可以找到它的外接圆。
通过三角形的三个顶点作圆，圆心到三个顶点的距离相等。
2、正多边形的内切圆以正多边形的中心为圆心，以中心到边的距离为半径作圆，这个圆就是正多边形的内切圆。
比如正六边形，我们可以作出它的内切圆。
内切圆与正六边形的各边都相切。
3、正多边形的中心角正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。
正 n 边形的中心角为 360°／n 。
以正五边形为例，其中心角为 360°÷5 ＝ 72°。
4、正多边形的半径正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径。
5、正多边形的边心距正多边形内切圆的半径叫做正多边形的边心距。
四、正多边形的计算1、边长计算对于正 n 边形，如果已知半径 R ，我们可以通过三角函数求出边长a 。
以正六边形为例，连接圆心与一个顶点，形成一个等腰三角形，其顶角为 60°，底角为 60°，则边长等于半径，即 a ＝ R 。
对于正 n 边形，边长 a ＝ 2Rsin(180°／n) 。
2、面积计算正 n 边形的面积可以通过分割成多个三角形来计算。
设正 n 边形的边长为 a ，边心距为 r ，则面积 S ＝ 1/2 × n × a × r 。
中考数学全程复习方略第二十七讲圆的有关计算课件
考点二 弧长有关的计算 【主干必备】 弧长公式 半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长l的计算公式
为l=__n__R____.
180
【微点警示】 (1)注意决定弧的长度的两要素:一是圆心角度数,二是 圆的半径. (2)注意弧长相等与等弧的区别:等弧是指两个弧的圆 心角度数和半径分别相等,弧长相等是指两个弧的圆心 角度数和半径的乘积相等.
各分点
【微点警示】 (1)成正多边形的两个要素:一是各边相等,二是各角相 等,两者缺一不可. (2)圆内接正多边形的条件:各边相等的圆内接多边形 是正多边形,但各角相等的圆内接多边形不一定是正多 边形.
【核心突破】
例1(1) (2018·广元中考)如图,☉O是正五边形ABCDE
的外接圆,点P是 上的一点,则∠CPD的度数是( )
第二十七讲 圆的有关计算
考点一 正多边形和圆的有关计算
【主干必备】
正多边形和圆
1.定义:各边___________,各角也都___________的多
边形是正多边形.相等
相等
2.正多边形和圆的关系:把一个圆____n_等__分_____,依次 连接_____________可作出圆的内接正n边形.
交OB于点D,若OA=3,则阴影部分的面积为__3___.
4
【变形题】如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠C=30°,以 B为圆心,AB为半径画弧,交AC于点E,交BC于点D,若AB=2,
则图中阴影部分的面积是___3______.
3
【明·技法】 求不规则图形面积的方法
求解一些几何图形的面积,特别是不规则几何图形的面 积时,常通过平移、旋转、分割等方法,把不规则图形 面积转化为规则图形面积的和或差,使复杂问题简单化,
中考数学一轮复习几何篇26.正多边形和圆.doc
26.正多边形和圆知识考点：1、掌握正多边形的边长、半径、中心角、边心距、周长、面积等的计算；2、掌握圆周长、弧长的计算公式，能灵活运用它们来计算组合图形的周长；3、掌握圆、扇形、弓形的面积计算方法，会通过割补、等积变换求组合图形的面积；4、掌握圆柱、圆锥的侧面展开图的有关计算。
精典例题：【例1】如图，两相交圆的公共弦AB 为32，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比。
分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只须求出两圆的半径3R 与6R 的平方比即可。
解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为3R ，正六边形外接圆⊙O 2的半径为6R ，由题意得：AB R 333=，AB R =6，∴3R ∶6R ＝3∶3；∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3。
【例2】已知扇形的圆心角为1500，弧长为π20，求扇形的面积。
分析：此题欲求扇形的面积，想到利用扇形的面积公式，lR R n S 213602=π＝扇形，由条件n ＝1500，π20=l 看到，不管是用前者还是用后者都必须求出扇形的半径，怎么求？由条件想到利用弧长公式不难求出扇形半径。
解：设扇形的半径为R ，则180R n l π＝，n ＝1500，π20=l ∴18015020Rππ＝，24=R ∴ππ24024202121=⨯⨯=lR S ＝扇形。
【例3】如图，已知PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，PO ＝4cm ，∠APB ＝600，求阴影部分的周长。
分析：此题欲求阴影部分的周长，须求PA 、PB 和⋂AB 的长，连结OA 、OB ，根据切线长定理得PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠，∠APO ＝∠BPO ＝300，在Rt △PAO 中可求出PA 的长，根据四边形内角和定理可得∠AOB ＝1200，因此可求出⋂AB 的长，从而能求出阴影部分的周长。
解：连结OA 、OB∵PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点 ∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠∠APO ＝21∠APB ＝3002O 1O ••例1图B A例3图在Rt △PAO 中，AP ＝3223430cos 0=⨯=⋅PO OA ＝21PO ＝2，∴PB ＝32 ∵∠APO ＝300，∠PAO ＝∠PBO ＝Rt ∠ ∴∠AOB ＝300，∴ππ341802120=⨯=⋂ABl∴阴影部分的周长＝PA ＋PB ＋⋂AB ＝π343232++＝)3434(π+cm 答：阴影部分的周长为)3434(π+cm 。
中考数学复习第7章圆第26课时正多边形的有关计算(精讲
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
毕节中考考情及预测
毕节中考真题试做
毕节中考考点梳理
中考典题精讲精练
中考数学命题研究第一编教材知识梳理篇第七章圆第三节正多边形与圆的有关计算(精讲)课件
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
2017年中考数学命题研究（专版）
2017年中考数学命题研究（贵阳专版）
中考总复习：42正多边形与圆的有关的证明和计算--知识讲解(提高)
中考总复习：正多边形与圆的有关的证明和计算—知识讲解（提高）【考纲要求】1．了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积；2．结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养合情推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的学习，进一步培养综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识网络】【考点梳理】考点一、正多边形和圆1、正多边形的有关概念：(1) 正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.(2)正多边形的中心——正多边形的外接圆的圆心.(3)正多边形的半径——正多边形的外接圆的半径.(4)正多边形的边心距——正多边形中心到正多边形各边的距离.（正多边形内切圆的半径.）(5)正多边形的中心角——正多边形每一边所对的外接圆的圆心角.2、正多边形与圆的关系：(1)将一个圆n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形.(2)这个圆是这个正多边形的外接圆.（3）把圆分成n(n≥3)等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.这个圆叫做正n边形的内切圆.（4）任何正n边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.3、正多边形性质：(1)任何正多边形都有一个外接圆.(2) 正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．当边数是偶数时，它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.(3)边数相同的正多边形相似.它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．（4）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.要点诠释：（1）正n边形的有n个相等的外角，而正n边形的外角和为360度，所以正n 边形每个外角的度数是360n；所以正n 边形的中心角等于它的外角.（2）边数相同的正多边形相似.周长的比等于它们边长（或半径、边心距）的比.面积比等于它们边长（或半径、边心距）平方的比.考点二、圆中有关计算1．圆中有关计算圆的面积公式：，周长.圆心角为、半径为R 的弧长.圆心角为，半径为R ，弧长为的扇形的面积.弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为.圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有.弓形的面积（1）由弦及其所对的劣弧组成的图形，S弓形=S扇形-S△OAB；（2）由弦及其所对的优弧组成的弓形，S弓形=S扇形+S△OAB.·OA B·A BOm·A BOm要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.【典型例题】类型一、正多边形有关计算1．如图，矩形ABCD中，AB=4，以点B为圆心，BA为半径画弧交BC于点E，以点O为圆心的⊙O 与弧AE，边AD，DC都相切．把扇形BAE作一个圆锥的侧面，该圆锥的底面圆恰好是⊙O，则AD的长为（）A.4B.92C.112D.5【思路点拨】首先求得弧AE的长，然后利用弧AE的长正好等于圆的底面周长，求得⊙O的半径，则BE 的长加上半径即为AD的长．【答案】D；【解析】解：∵AB=4，∠B=90°，∴9042180AEππ⨯==，∵圆锥的底面圆恰好是⊙O，∴⊙O的周长为2π，∴⊙O的半径为1，∴AD=BC=BE+EC=4+1=5.故选D．【总结升华】本题考查了圆锥的计算及相切两圆的性质，解题的关键是熟记弧长的计算公式. 举一反三：【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习7】【变式1】如图，两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.【答案】解：连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，∵∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，∠COH=120°-∠KOC，∴∠AOK=∠COH，又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，∴△AOK≌△COH，由△AOK≌△COH，得S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，∴S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH′=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.S五边形OKBCH：S阴影= 21=42.即重叠部分面积与阴影部分面积之比为：12 .【高清课堂：正多边形与圆的有关证明与计算自主学习8】【变式2】已知：正十边形的半径是R，求证：它的边长为101(51) 2a R=-.【答案】证明：作∠OAB 的平分线AM 交OB 于M ，则∠O=∠OAM=36°，∠AMB=∠B=72°， ∴OM=MA=AB ，则△ABM ∽△OAB 得：OA AB=AB BM用R ，a 10分别表示OA ，AB ，BM ，代入以上比例式整理得a 102+ Ra 10-R 2=0, 解关于a 10的一元二次方程得101(51)2a R =-（负值已舍去）.类型二、正多边形与圆综合运用2．如图所示，AB 是半圆的直径，AB ＝2r ，C 、D 为半圆的三等分点，求阴影部分的面积．【思路点拨】图中阴影部分是一个不规则图形，可利用C 、D 是半圆的三等分点，得到AC BD =，从而 有∠CDA ＝∠DAB ，进而CD ∥AB ，故有△ACD 与△OCD 的面积相等，将阴影部分的面积转化为 扇形OCD 的面积． 【答案与解析】解：连接OC 、OD 、CD ．∵ AC BD =，∴ ∠CDA ＝∠DAB ． ∴ CD ∥AB ，∴ ACD OCD S S =△△． ∴ OCD S S =阴影扇形．又∵ ∠COD ＝13∠AOB ＝60°， ∴ 2226013603606OCDn r r S S r πππ====阴影扇形．【总结升华】本题容易误认为阴影部分是扇形，对扇形的定义、图形理解不准确，此阴影部分为不规则图形，应利用等积转化法转化为规则图形——扇形．举一反三：【变式】如图所示，在△ABC 中，BC ＝4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF ＝40°，则图中阴影部分的面积是( )A ．449π-B ．849π-C ．489π-D ．889π- 【答案】连接AD ，则AD ⊥BC ，阴影部分面积ABC EAF S S =-△扇．故21802842423609S ππ⨯=⨯⨯-=-阴影． 答案：B3．有一个两直角边分别为15cm 和20cm 的直角三角形，若绕一边旋转一周，可得到几种几何体？你能分别求出其全面积吗？【思路点拨】可将直角三角形绕边长为15cm 的直角边旋转一周，所得几何体是底面半径为20cm ，锥高为15cm 的圆锥体；绕边长为20cm 的直角边旋转一周，可得底面半径为15cm ，锥高为20cm 的圆锥体；绕斜边旋转一周，可得两个圆锥的组合体，按这三种情况分别计算全面积即可．【答案与解析】解：三种．由图①可知，以AC ＝15cm 为轴旋转一周，则其全面积22220201520S S S ππ=+=⨯⨯++⨯侧底 2900(cm )π=． 由图②可知，以BC ＝20为轴旋转一周，则其全面积22215201515S S S ππ=+=⨯⨯++⨯圆侧 2375225600(cm )πππ=+=．如图③所示，以AB 为轴旋转一周，得一个圆锥组合体，其全面积S 是上下两个锥体的侧面积之和． 作CD ⊥AB 于D ，则1122ABC S AC BC AB CD ∆==， ∴ 201512cm 25CD ⨯==，即底面半径为12cm ． ∴ S ＝π×12×20+π×12×15＝240π+180π＝420π(cm 2)．【总结升华】利用面积公式计算时，要仔细分析题意，找准已知量和未知量，特别注意全面考虑问题，分情况逐一计算，防止漏解．4．如图所示，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6cm 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？【思路点拨】小猫所经过的路程要最短，应该求圆锥侧面展开后两点B 、P 之间的线段长度. 【答案与解析】解：设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，展开后圆心角度数为n °，则底面圆的周长为2πr ，侧面展开图的弧长为180n l π，∴ 2180n ll ππ=． ∵ 轴截面△ABC 为等边三角形，∴ AB ＝BC ，即26l r ==． ∴ r ＝3． ∴ 623180n ππ⨯⨯=． ∴ n ＝180，即其侧面展开图为半圆，如图所示，则△ABP 为直角三角形，BP 为最短路线．在Rt △ABP 中，22226335(m)BP AB AP =+=+=．答：小猫所经过的最短路程为35m ． 【总结升华】将所求问题转化为平面上两点之间线段最短的问题，充分利用圆锥底面周长等于侧面展开图的弧长沟通空间元素与平面元素之间的关系．5．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝4，O 为对角线BD 的中点，分别以OB ，OD 为直径作⊙O 1，⊙O 2．(1)求⊙O 1的半径；(2)求图中阴影部分的面积．【思路点拨】连接O 1E ，求出一个小弓形的面积再乘以4即可. 【答案与解析】解：(1)在正方形ABCD 中，AB ＝AD ＝4，∠A ＝90°，∴ 224442BD =+=．∴ ⊙O 1的半径为1142244BD =⨯= 即⊙O 12(2)连接O 1E ，∵ BD 为正方形ABCD 的对角线，∴ ∠ABO ＝45°． ∵ O 1E ＝O 1B ，∴ ∠BEO 1＝∠EBO 2＝45°． ∴ ∠BO 1E ＝90°．∴ 111O BE O BES S S =-=△扇形2290(2)11(2)136022ππ⨯⨯-⨯=-．根据图形的对称性得 S 1＝S 2＝S 3＝S 4， ∴ 1424S S π==-阴影．【总结升华】求阴影部分面积时，一般要将阴影部分面积转化为几个规则图形的面积求差或和. 举一反三：【变式】已知：如图所示，水平地面上有一面积为30πcm 2的扇形AOB ，半径OA ＝6cm ，且OA 与地面垂直．在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB 与地面垂直为止，求O 点移动的距离．【答案】解：观察图形可知O 点移动距离即为扇形滚动距离，而扇形滚动距离为优弧AOB 的弧长．∵ 12S l R =⨯弧扇， ∴ 223010(cm)6S l R ππ⨯===弧．答：O 点移动的距离为10π cm ．6．如图，已知在⊙O 中，43AB =，AC 是⊙O 的直径，AC ⊥BD 于F ，∠A ＝30°．(1)求图中阴影部分的面积；(2)若用阴影扇形OBD 围成一个圆锥侧面，请你出这个圆锥的底面圆的半径．【思路点拨】（1）阴影部分是一个扇形，扇形圆心角∠BOD＝2∠BOC＝2×2×30°＝120°，只需通过解直角三角形求出OB的长，即可利用扇形面积2360n rπ=求出阴影部分面积．（2）扇形弧长是圆锥的底面周长，由条件求出BCD的长l，利用2l rπ=可求出半径r的长．【答案与解析】解：(1)过O作OE⊥AB于E，则1232AE AB==．在Rt△AEO中，∠BAC＝30°，cos30AEOA=°．∴234cos303AOA===°．又∵ OA＝OB，∴∠ABO＝30°．∴∠BOC＝60°．∵ AC⊥BD，∴BC CD=．∴∠COD＝∠BOC＝60°．∴∠BOD＝120°．∴221201643603603n OASπππ==⨯=阴影．(2)设圆锥的底面圆的半径为r，则周长为2πr，∴12024180rππ=⨯．∴43r=．【总结升华】用扇形围成圆锥，扇形的半径是圆锥的母线，扇形的弧长是圆锥的底面周长.。
正多边形和圆复习课件
圆周率与圆的性质
总结词
圆周率的概念和与圆的性质的关系
详细描述
圆周率是指圆的周长与其直径的比值，常用希腊字母π表示。它是一个无理数，即无限不循环小数，其值约等于 3.14159。圆周率在圆的性质中有着重要的应用，如计算圆的面积、周长等。
03
正多边形与圆的关系
正多边形的内切圆
01
02
03
定义
正多边形的内切圆是指与 正多边形各边都相切的圆 。
总结词
圆的基本定义和特点
详细描述
圆是一个平面图形，由所有到定点距离等于定长的点组成。圆的特点包括圆上 各点到定点距离相等，以及圆内任一点到圆上任一点的距离最长。
半径与直径
总结词
圆的半径和直径的定义和性质
详细描述
圆的半径是指从圆心到圆上任一点的线段，直径则是穿过圆心且两端点在圆上的 线段。半径和直径都等于圆的任意点到圆心的距离。半径是直径的一半，直径是 半径的两倍。
性质
内切圆的圆心是正多边形 的中心，半径等于正多边 形边心距的一半。
应用
在几何作图和计算中，内 切圆是常用的工具，可以 帮助我们快速找到正多边 形的中心和计算边心距。
正多边形的外接圆
定义
正多边形的外接圆是指经过正多 边形各顶点的圆。
性质
外接圆的圆心是正多边形的中心， 半径等于正多边形边长的一半。
应用
THANKS。
04
几何证明与计算
正多边形的证明
正多边形的定义
正多边形是指各边相等，各内角相等 的多边形。
证明方法
利用等腰三角形和等边三角形的性质 ，通过作辅助线，将多边形分解为多 个等腰三角形或等边三角形，从而证 明正多边形的各边和内角相等。
初中数学复习总动员第26讲圆与正多边形
2017年暑期初中数学复习总动员第26讲圆与正多边形【知识巩固】1、正多边形（1）、正多边形的定义各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。
（2）、正多边形和圆的关系只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。
（3）、正多边形的中心正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
（4）、正多边形的半径正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。
（5）、正多边形的边心距正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。
（6）、中心角正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。
2、正多边形的对称性（1）、正多边形的轴对称性正多边形都是轴对称图形。
一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。
（2）、正多边形的中心对称性边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。
（3）、正多边形的画法先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。
【典例解析】典例一、正多边形的定义（2017广东）一个n边形的内角和是720°，则n=6．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．【解答】解：设所求正n边形边数为n，则（n﹣2）•180°=720°，解得n=6．【变式训练】（2017日照）下列说法正确的是（）A．圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等B．在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示同一点C．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）一定有实数根D．将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE不全等【考点】MM：正多边形和圆；AA：根的判别式；D1：点的坐标；R2：旋转的性质．【分析】根据正多边形和圆的关系、一元二次方程根的判别式、点的坐标以及旋转变换的性质进行判断即可．【解答】解：如图∠AOB==60°，OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA，∴圆内接正六边形的边长与该圆的半径相等，A正确；在平面直角坐标系中，不同的坐标可以表示不同一点，B错误；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）不一定有实数根，C错误；根据旋转变换的性质可知，将△ABC绕A点按顺时针方向旋转60°得△ADE，则△ABC与△ADE全等，D错误；故选：A．典例二、正多边形和圆的关系及相关概念（2017毕节）正六边形的边长为8cm，则它的面积为96cm2．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】先根据题意画出图形，作出辅助线，根据∠COD的度数判断出其形状，求出小三角形的面积即可解答．【解答】解：如图所示，正六边形ABCD中，连接OC、OD，过O作OE⊥CD；∵此多边形是正六边形，∴∠COD==60°；∵OC=OD，∴△COD是等边三角形，∴OE=CE•tan60°=×=4cm，∴S△OCD=CD•OE=×8×4=16cm2．∴S正六边形=6S△OCD=6×16=96cm2．【变式训练】（2017绥化）一个多边形的内角和等于900°，则这个多边形是七边形．【考点】L3：多边形内角与外角．【分析】根据多边形的内角和，可得答案．【解答】解：设多边形为n边形，由题意，得（n﹣2）•180°=900，解得n=7，故答案为：七．典例三、圆内接正多边形的有关计算（2017湖南邵阳）如图所示的正六边形ABCDEF，连结FD，则∠FDC的大小为90°．【分析】首先求得正六边形的内角的度数，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵在正六边形ABCDEF中，∠E=∠EDC=120°，∵EF=DE，∴∠EDF=∠EFD=30°，∴∠FDC=90°，故答案为：90°【点评】此题考查了正多边形和圆．等腰三角形的性质，此题难度不大，注意数形结合思想的应用．【变式训练】（2017绥化）半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为1：：．【考点】MM：正多边形和圆．【分析】根据题意可以求得半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距，从而可以求得它们的比值．【解答】解：由题意可得，正三角形的边心距是：2×sin30°=2×=1，正四边形的边心距是：2×sin45°=2×，正六边形的边心距是：2×sin60°=2×，∴半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为：1：：，故答案为：1：：．【能力检测】1. （2017广东）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【考点】M6：圆内接四边形的性质．【分析】先根据补角的性质求出∠ABC的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠ADC的度数，由等腰三角形的性质求得∠DAC的度数．【解答】解：∵∠CBE=50°，∴∠ABC=180°﹣∠CBE=180°﹣50°=130°，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠ABC=180°﹣130°=50°，∵DA=DC，∴∠DAC==65°，故选C．2.（2016·山东省德州市·4分）正六边形的每个外角是60度．【考点】多边形内角与外角．【分析】正多边形的外角和是360度，且每个外角都相等，据此即可求解．【解答】解：正六边形的一个外角度数是：360÷6=60°．故答案为：60．【点评】本题考查了正多边形的外角的计算，理解外角和是360度，且每个外角都相等是关键．3.（2016·四川泸州）以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A．B．C．D．【考点】正多边形和圆．【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．【解答】解：如图1，∵OC=1，∴OD=1×sin30°=；如图2，∵OB=1，∴OE=1×sin45°=；如图3，∵OA=1，∴OD=1×cos30°=，则该三角形的三边分别为：、、，∵（）2+（）2=（）2，∴该三角形是以、为直角边，为斜边的直角三角形，∴该三角形的面积是××=，故选：D．4. （2016·四川南充）如图是由两个长方形组成的工件平面图（单位：mm），直线l是它的对称轴，能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．【分析】根据已知条件得到CM=30，AN=40，根据勾股定理列方程得到OM=40，由勾股定理得到结论．【解答】解：如图，设圆心为O，连接AO，CO，∵直线l是它的对称轴，∴CM=30，AN=40，∵CM2+OM2=AN2+ON2，∴302+OM2=402+（70﹣OM）2，解得：OM=40，∴OC==50，∴能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是50mm．故答案为：50．5（2016·贵州安顺·4分）如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则阴影部分面积是2π（结果保留π）．【分析】根据题意有S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，然后根据扇形的面积公式：S=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，∵S扇形BAD==4π，S半圆BA=•π•22=2π，∴S阴影部分=4π﹣2π=2π．故答案为2π．【点评】此题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第26课时正多边形与圆的有关计算
毕节中考考情及预测
近五年中考考情2019年中考预测
年份考查点题型题号分值
预计2019年将会考查扇形面积的计
算,有可能考查计算弧长、圆锥的侧面
积或全面积.
xx未单独考查
xx正多边形与圆填空题175
xx扇形的面积填空题205
xx未单独考查
xx未单独考查
,
毕节中考真题试做
扇形的面积
1.(xx·毕节中考)如图,分别以边长等于1的正方形的四边为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为__
1
2
π－1__.
正多边形与圆
2.(xx·毕节中考)正六边形的边长为8 cm,则它的面积为__963__cm2.
毕节中考考点梳理
正多边形
正多边形的边数为n,外接
圆半径为R
正n边形的边长a n＝__2R sin__
180°
n
__
正n边形的周长C＝__2nR sin__
180°
n
__
正n边形的边心距r n＝__R cos__
180°
n
__
正n边形的中心角为__
360°
n
__
扇形的弧长及面积
扇形的半径是R,弧所对的
圆心角度数是n°.
弧长l＝
__
n
πR
180
__
S扇形＝
nπR2
360
＝__
1
2
lR__
方法点拨
牢记圆的有关计算公式,并灵活处理好公式之间的转换,当出现求不规则图形的面积时,注意利用割补法与等积变换转化为规则图形,再利用规则图形的公式求解.
1.(xx·黄石中考)如图,AB是⊙O的直径,点D为⊙O上一点,且∠ABD＝30°,BO＝4,则BD
︵
的长为( D) A.
2
3
πB.
4
3
πC.2πD.
8
3
π
(第1题图) (第2题图)
2.(xx·资阳中考)如图,多边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形,AB＝a,则图中阴影部分的面积是( B)
A.
π
6
a2B.
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
6
－
3
4
a2
C.
3
4
a2D.
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
π
3
－
3
4
a2
3.(xx·贵阳模拟)如图,半圆O的直径AB＝6,弦CD的长为3,点C,D在半圆AB
︵
上运动,点D在AC
︵
上且不与点A 重合,但点C可与点B重合.
(1)若AD
︵
的长＝
3
4
π时,求BC
︵
的长；
(2)取CD的中点M,在CD运动的过程中,求点M到AB的距离的最小值.
解：(1)连接OD,OC.
∵CD＝OC＝OD＝3,∴△CDO是等边三角形,
∴∠COD＝60°,∴CD
︵
＝
60π×3
180
＝π.
又∵半圆弧的长度为
180π×3
180
＝3π,
∴BC ︵
＝3π－π－34π＝54
π；
(2)过点M 作ME⊥AB 于点E,连接OM. 在C D 运动的过程中,CD ＝3. 由垂径定理可知DM ＝3
2,
∴OM ＝OD 2
－DM 2
＝33
2
,
∴ME 2＝OM 2－OE 2＝27
4－OE 2.
若ME 取最小值,则OE 取最大值. 当点C 与点B 重合时,OE 取最大值, 此时ME ＝MC sin 60°＝32·32＝33
4
.
中考典题精讲精练
扇形的弧长
例1 (xx ·沈阳中考)如图,正方形ABCD 内接于⊙O ,AB ＝22,则AB ︵
的长是( A )
A .π
B .32π
C .2π
D .12
π
【解析】连接OA,OB.由正方形的性质可知AB ＝BC ＝DC ＝AD,利用正方形ABCD 内接于⊙O ,可得∠AOB＝90°.在Rt △AOB 中,利用勾股定理可得AO 的长.再根据弧长公式可得到AB ︵
的长.
扇形的面积
例2 (xx ·绵阳中考)如图,蒙古包可近似地看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25π m 2,圆柱高为3 m ,圆锥高为2 m 的蒙古包,则需要毛毡的面积是(注：圆柱的侧面展开图是矩形,圆锥的侧面展开图是扇形)( A )
A .(30＋529)π m 2
B .40π m 2
C .(30＋521)π m 2
D .55π m 2
【解析】利用圆的面积得到底面圆的半径,再利用勾股定理和底面圆的周长计算出扇形的半径和圆心角,接着计算扇形和矩形的面积,最后即可求出毛毡的面积.
正多边形与圆
例3 如图,正六边形ABCDEF 内接于⊙O ,AB ＝2,则图中阴影部分的面积为( B )
A .π
B .2π
C .π
2
D .4π
【解析】如图,连接BO ,FO,OA,OA 交BF 于点G.由正六边形ABCDEF 内接于⊙O 可知∠AOF＝∠AOB＝60°,由BO,FO,OA 是⊙O 的半径可知OA ＝OB ＝OF,则△OAF ,△AOB 都是等边三角形,则∠AOF＝∠OAB ,∠FAO ＝∠AOB＝60°,由平行线的判定条件得AB ∥OF,AF ∥OB.利用底边相等,平行线间的距离相等可知S △FAB ＝S △FAO ,则AF ︵
与AB,FB 组成的阴影部分面积＝S 扇形FAO ,所以图中阴影部分的面积为3S 扇形FAO .
1.(xx ·淄博中考)如图,⊙O 的直径AB ＝6,若∠BAC＝50°,则劣弧AC 的长为( D ) A .2π B .8π3
C .3π4
D .4π
3
(第1题图) (第2题图)
2.(xx ·宁波中考)如图,在△ABC 中,∠ACB ＝90°,∠A ＝30°,AB ＝4,以点B 为圆心,BC 长为半径画弧,交边AB 于点D,则CD ︵
的长为( C )
A .16π
B .13π
C .23π
D .233
π
3.(xx ·德州中考)如图,从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形,则此扇形的面积为(
A )
A .π2
m 2 B .3
2
π m 2 C .π m 2 D .2π m 2
4.(xx ·遵义中考改编)若要用一个底面直径为10,高为12的实心圆柱体,制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥,则该圆锥的侧面展开图的面积为( B )
A .60π
B .65π
C .78π
D .120π
5.如图,正六边形螺帽的边长是2 cm ,这个扳手的开口a 的值应是( A )
A .2 3 cm
B . 3 cm
C .23
3
cm D .1 cm
6.(xx ·烟台中考)如图,点O 为正六边形ABCDEF 的中心,点M 为AF 的中点,以点O 为圆心,以OM 的长为半径画弧得到扇形MON,点N 在BC 上；
以点E 为圆心,以DE 的长为半径画弧得到扇形DEF,把扇形MON 的两条半径OM,ON 重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r 1；将扇形DEF 以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r 2,则r 1∶r 2＝__3∶2__.
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。