第10章 梁的弯曲变形

2
1 EIv = P ( L − x )3 + C1 x + C 2 6
1 2 1 3 ∴ C 1 = PL ; C 2 = − PL 2 6
写出挠曲线方程和转角方程， 写出挠曲线方程和转角方程，并画出挠曲线
P v( x ) = ( L − x )3 + 3 L2 x − L3 6 EI P θ ( x ) = v' = − ( L − x )2 − L2 2 EI
挠曲线的近似微分方程
dv M( x) v'' = 2 = − dx EIz
dv θ ≈ tgθ = = v ' dx
v
2
P C v x
θ
？思 考
1、梁的变形如何度量？ 梁的变形如何度量？ 2、这些曲线可用方程描述吗？ 这些曲线可用方程描述吗？ 3、曲线上一点包含了哪些信息？ 曲线上一点包含了哪些信息？
d 2v 1 dx2 =± ρ dv 2 3 [1+ ( ) ] dx
1 M( x) = ρ( x) EIz
dv 在小变形（小挠度） 在小变形（小挠度） θ = << 1 dx 1 d 2v ≈± 2 略去高阶小量， 略去高阶小量，得 dx ρ
所以
d 2v M( x) ± 2= dx EIz
d 2v M( x) ± 2= dx EIz
v = v( x )
v
C v
θ
P x
C’
四、转角与挠度的关系 挠曲线上任一点的纵坐标 v（x）即为该点的 （ ） 横截面的挠度。 横截面的挠度。
dv tgα = θ =α dx dv tgθ = = v ' dx 小变形 θ ≈ tgθ = dv = v ' dx 转角单位为弧度。 转角单位为弧度。
∆x θ
C v
x
〈
3.横截面形心沿轴线方向的线位移△ 3.横截面形心沿轴线方向的线位移△x。在小变形情况下， 横截面形心沿轴线方向的线位移 在小变形情况下， △x很小，通常被忽略不计。 很小，通常被忽略不计。
度量梁变形的两个基本位移量： 度量梁变形的两个基本位移量：挠度和转角
三、挠曲线与挠曲线方程 挠度曲线——指梁在弹性范围内的荷载作用下， 指梁在弹性范围内的荷载作用下， 挠度曲线 指梁在弹性范围内的荷载作用下 梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线， 梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线，该曲线称为 挠度曲线，简称为挠曲线。 挠度曲线，简称为挠曲线。 挠曲线 挠曲线方程——用来描述挠曲线的方程称为挠曲 用来描述挠曲线的方程称为挠曲 挠曲线方程 线方程。 线方程。
§10-1 概 述 工 程 中 的 弯 曲 变 形 问 题
吊车梁 行 车 电葫 芦
6
弯曲变形
高架桥 工 程 中 的 弯 曲 变 形 问 研究目的：①对梁作刚度校核； 研究目的： 对梁作刚度校核； 题
②解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。 解超静定梁（变形几何条件提供补充方程）。
研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究范围：等直梁在平面弯曲时位移的计算。
v A = 0, θ A = 0
v B左 = v B右
θ B 左 = θ B右
用积分法求挠曲线方程时， 例1 用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微 分方程应分几段，将分别出现几个积分常数， 分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常 数的条件是什么? 数的条件是什么?
A
B
C
(3) 2段 解（3）分AB、BC 2段，4个积分常数 AB、 支座条件： 支座条件：
挠曲线方程
讨论： 讨论： （1）梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时，积分 梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时， M(x)可用一个函数描述时 常数仅2 常数仅2个，由支承约束条件确定； 由支承约束条件确定； （2）梁上有突变荷载将梁分成几段，则各段梁的 梁上有突变荷载将梁分成几段， 弯矩方程M(x)不同，因而各段的转角和挠度具有不同 弯矩方程M(x)不同， M(x)不同 的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2 的函数形式，应分段积分，每一段的积分常数有2个， 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。 支承约束条件和分段点连续光滑条件确定
§10-3 10-
用积分法求梁的变形
一、转角方程和挠曲线方程 对于等截面直梁，程： 是常数
−M( x) v′′( x) = EI 1.微分方程的积分 1.微分方程的积分
转角方 程
1 θ = v ′( x ) = 积分一次 ∫ ( − M ( x ))dx + C 1 EI 1 积分二次 v ( x ) = ∫ ( ∫ ( − M ( x )) d x )d x + C 1 x + C 2 EI
要求： 要求： 1．理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关 理解挠度曲线、挠度、 系； 2、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件，掌握梁挠 了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件， 曲线的近似微分方程； 曲线的近似微分方程； 3、掌握用积分法求梁的变形； 掌握用积分法求梁的变形； 4、熟练运用叠加法求梁的变形。 熟练运用叠加法求梁的变形。 5、熟练运用刚度条件，解决刚度校核、截面设计和确定 熟练运用刚度条件，解决刚度校核、 容许荷载问题。 容许荷载问题。
Fb Fa HA = 0, RA = , RB = l l
A
θA
F
C
B
RB
θB x
2）弯矩方程
RA x1
x2
AC 段：
Fb M ( x1 ) = RA x1 = x1 , l CB 段：
a
0 ≤ x1 ≤ a
b
Fb M( x2 ) = RA x2 − F( x2 − a) = x2 − F( x2 − a), a ≤ x2 ≤ l l
M>0 x
d 2v M( x) v'' = 2 = − dx EIz
由上式进行积分， 由上式进行积分， 就可以求出梁横截面的 转角和挠度。 转角和挠度。
v ′′( x ) < 0
v x
v'' ( x ) > 0
M<0
v
挠曲线近似微分方程适用条件：线弹性范围内小 挠曲线近似微分方程适用条件： 变形平面弯曲。 变形平面弯曲。
最大挠度及最大转角
[
]
v
P L
θ max
x
[
]
vmax
PL3 = v ( L) = (↓ ) 3 EI
θ max
PL2 ( ↵) = θ ( L) = 2 EI
简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程， 例3 简支梁受集中力F作用，求梁的转角方程和挠度方程，并 截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI， 求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的 ，l=a+b，a>b。 ， 。 解：1）由梁整体平衡分析得： HA 由梁整体平衡分析得：
M x
a
l
x = 0,
v A = 0, θ A = 0
x = a + l,
连续条件： 连续条件： x = a ,
vC = 0
v B左 = v B 右
θ B铰处光滑条件不满足，左右两截面可相对转动， B左 ≠ θ B右 铰处光滑条件不满足，左右两截面可相对转动，
求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 AB的挠曲线方程 例2 求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 解： 建立坐标系并写出弯矩方程
2. 求积分常数
P D A
M1 ( x)
C
M2 ( x) P B
（1）支点位移条件： 支点位移条件： vD = 0 θD = 0 （2)连续条件： v C = v C 2)连续条件： 连续条件
− +
vA = 0
或写成
vB = 0
vC 左 = vC 右
(3)光滑条件： (3)光滑条件： θ C 光滑条件
其中的正负号与弯矩的正负号规则和v 其中的正负号与弯矩的正负号规则和v坐标的取 向有关。 向有关。
v M>0
v ′′( x ) > 0
M>0 x v
v ′′( x ) < 0
x
v
M＜ 0
x x
v'' ( x ) > 0
v ′′( x ) < 0
M<0
v
由弯矩的正负号规定可得， 由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号相反，所以取负号， 线的二阶导数符号相反，所以取负号，挠曲线的近 似微分方程为 似微分方程为：
a a a
解（1）分AB、BC 2段，4个积分常数 2段 AB、 支座条件： 支座条件：x = a ,
x = 3a ,
vB = 0
vC = 0
x 连续条件： 连续条件： = a ,
光滑条件： 光滑条件： x = a ,
v B左 = v B 右
θ B 左 = θ B右
用积分法求挠曲线方程时， 例1 用积分法求挠曲线方程时，试问下列梁的挠曲线近似微 分方程应分几段，将分别出现几个积分常数， 分方程应分几段，将分别出现几个积分常数，确定积分常 数的条件是什么? 数的条件是什么? P A EI 1 B EI2 C x (2) a a 解（2）分AB、BC 2段，4个积分常数 2段 AB、 支座条件： 支座条件：x = 0, 连续条件： 连续条件：x = a , 光滑条件： 光滑条件： x = a ,
M ( x) = − P( L − x)
A
P L
B
x
x
v
写出微分方程并积分 写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数 应用位移边界条件求积分常数