第10章 梁的弯曲变形
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一、梁的变形特征
一、梁的变形特征
梁轴线由直线变成曲线。 梁轴线由直线变成曲线。
梁的变形特征 ? 梁轴线由直线 梁轴线由直线 变成光滑曲线 变成光滑曲线
?思 考
1、梁的变形如何度量? 梁的变形如何度量? 2、这些曲线可用方程描述吗? 这些曲线可用方程描述吗? 3、曲线上一点包含了哪些信息? 曲线上一点包含了哪些信息?
最大挠度及最大转角
[
]
v
P L
θ max
x
[
]
vmax
PL3 = v ( L) = (↓ ) 3 EI
θ max
PL2 ( ↵) = θ ( L) = 2 EI
简支梁受集中力F作用,求梁的转角方程和挠度方程, 例3 简支梁受集中力F作用,求梁的转角方程和挠度方程,并 截面的挠度和A截面的转角。已知梁的EI, 求C截面的挠度和A截面的转角。已知梁的 ,l=a+b,a>b。 , 。 解:1)由梁整体平衡分析得: HA 由梁整体平衡分析得:
Fb Fa HA = 0, RA = , RB = l l
A
θA
F
C
B
RB
θB x
2)弯矩方程
RA x1
x2
AC 段:
Fb M ( x1 ) = RA x1 = x1 , l CB 段:
a
0 ≤ x1 ≤ a
b
Fb M( x2 ) = RA x2 − F( x2 − a) = x2 − F( x2 − a), a ≤ x2 ≤ l l
−
= θ C + 或写成 θ C 左 = θ C 右
vC左 = vC右
θC左 = θC右
vCHale Waihona Puke Baidu ≠ vC右
θC左 ≠ θC右
用积分法求挠曲线方程时, 例1 用积分法求挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线近似微 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数, 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数,确定积分常 数的条件是什么? 数的条件是什么? q F C B A (1) x
∆x θ
C v
x
〈
3.横截面形心沿轴线方向的线位移△ 3.横截面形心沿轴线方向的线位移△x。在小变形情况下, 横截面形心沿轴线方向的线位移 在小变形情况下, △x很小,通常被忽略不计。 很小,通常被忽略不计。
度量梁变形的两个基本位移量: 度量梁变形的两个基本位移量:挠度和转角
三、挠曲线与挠曲线方程 挠度曲线——指梁在弹性范围内的荷载作用下, 指梁在弹性范围内的荷载作用下, 挠度曲线 指梁在弹性范围内的荷载作用下 梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线, 梁的轴线将弯曲成一条连续光滑的曲线,该曲线称为 挠度曲线,简称为挠曲线。 挠度曲线,简称为挠曲线。 挠曲线 挠曲线方程——用来描述挠曲线的方程称为挠曲 用来描述挠曲线的方程称为挠曲 挠曲线方程 线方程。 线方程。
§10-1 概 述 工 程 中 的 弯 曲 变 形 问 题
吊车梁 行 车 电葫 芦
6
弯曲变形
高架桥 工 程 中 的 弯 曲 变 形 问 研究目的:①对梁作刚度校核; 研究目的: 对梁作刚度校核; 题
②解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)。 解超静定梁(变形几何条件提供补充方程)。
研究范围:等直梁在平面弯曲时位移的计算。 研究范围:等直梁在平面弯曲时位移的计算。
v = v( x )
v
C v
θ
P x
C’
四、转角与挠度的关系 挠曲线上任一点的纵坐标 v(x)即为该点的 ( ) 横截面的挠度。 横截面的挠度。
dv tgα = θ =α dx dv tgθ = = v ' dx 小变形 θ ≈ tgθ = dv = v ' dx 转角单位为弧度。 转角单位为弧度。
二、度量梁变形的两个基本位移量
1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。 表示。 1.挠度:横截面形心沿垂直于轴线方向的线位移。用v 表示。 挠度 v向下为正,反之为负。 向下为正,反之为负。 P 2.转角: 2.转角:横截面绕其中性轴转 转角 表示, 动的角度。 动的角度。用θ 表示,顺时 针转动为正,反之为负。 针转动为正,反之为负。 v C’
其中的正负号与弯矩的正负号规则和v 其中的正负号与弯矩的正负号规则和v坐标的取 向有关。 向有关。
v M>0
v ′′( x ) > 0
M>0 x v
v ′′( x ) < 0
x
v
M< 0
x x
v'' ( x ) > 0
v ′′( x ) < 0
M<0
v
由弯矩的正负号规定可得, 由弯矩的正负号规定可得,弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号相反,所以取负号, 线的二阶导数符号相反,所以取负号,挠曲线的近 似微分方程为 似微分方程为:
a a a
解(1)分AB、BC 2段,4个积分常数 2段 AB、 支座条件: 支座条件:x = a ,
x = 3a ,
vB = 0
vC = 0
x 连续条件: 连续条件: = a ,
光滑条件: 光滑条件: x = a ,
v B左 = v B 右
θ B 左 = θ B右
用积分法求挠曲线方程时, 例1 用积分法求挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线近似微 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数, 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数,确定积分常 数的条件是什么? 数的条件是什么? P A EI 1 B EI2 C x (2) a a 解(2)分AB、BC 2段,4个积分常数 2段 AB、 支座条件: 支座条件:x = 0, 连续条件: 连续条件:x = a , 光滑条件: 光滑条件: x = a ,
要求: 要求: 1.理解挠度曲线、挠度、转角的概念以及它们之间的关 理解挠度曲线、挠度、 系; 2、了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件,掌握梁挠 了解梁的挠曲线近似微分方程的应用条件, 曲线的近似微分方程; 曲线的近似微分方程; 3、掌握用积分法求梁的变形; 掌握用积分法求梁的变形; 4、熟练运用叠加法求梁的变形。 熟练运用叠加法求梁的变形。 5、熟练运用刚度条件,解决刚度校核、截面设计和确定 熟练运用刚度条件,解决刚度校核、 容许荷载问题。 容许荷载问题。
M>0 x
d 2v M( x) v'' = 2 = − dx EIz
由上式进行积分, 由上式进行积分, 就可以求出梁横截面的 转角和挠度。 转角和挠度。
v ′′( x ) < 0
v x
v'' ( x ) > 0
M<0
v
挠曲线近似微分方程适用条件:线弹性范围内小 挠曲线近似微分方程适用条件: 变形平面弯曲。 变形平面弯曲。
挠曲线方程
讨论: 讨论: (1)梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时,积分 梁的弯矩M(x)可用一个函数描述时, M(x)可用一个函数描述时 常数仅2 常数仅2个,由支承约束条件确定; 由支承约束条件确定; (2)梁上有突变荷载将梁分成几段,则各段梁的 梁上有突变荷载将梁分成几段, 弯矩方程M(x)不同,因而各段的转角和挠度具有不同 弯矩方程M(x)不同, M(x)不同 的函数形式,应分段积分,每一段的积分常数有2 的函数形式,应分段积分,每一段的积分常数有2个, 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。 这些常数由支承约束条件和分段点连续光滑条件确定。 支承约束条件和分段点连续光滑条件确定
v A = 0, θ A = 0
v B左 = v B右
θ B 左 = θ B右
用积分法求挠曲线方程时, 例1 用积分法求挠曲线方程时,试问下列梁的挠曲线近似微 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数, 分方程应分几段,将分别出现几个积分常数,确定积分常 数的条件是什么? 数的条件是什么?
A
B
C
(3) 2段 解(3)分AB、BC 2段,4个积分常数 AB、 支座条件: 支座条件:
2. 求积分常数
P D A
M1 ( x)
C
M2 ( x) P B
(1)支点位移条件: 支点位移条件: vD = 0 θD = 0 (2)连续条件: v C = v C 2)连续条件: 连续条件
− +
vA = 0
或写成
vB = 0
vC 左 = vC 右
(3)光滑条件: (3)光滑条件: θ C 光滑条件
挠曲线的近似微分方程
dv M( x) v'' = 2 = − dx EIz
dv θ ≈ tgθ = = v ' dx
v
2
P C v x
θ
?思 考
1、梁的变形如何度量? 梁的变形如何度量? 2、这些曲线可用方程描述吗? 这些曲线可用方程描述吗? 3、曲线上一点包含了哪些信息? 曲线上一点包含了哪些信息?
M x
a
l
x = 0,
v A = 0, θ A = 0
x = a + l,
连续条件: 连续条件: x = a ,
vC = 0
v B左 = v B 右
θ B铰处光滑条件不满足,左右两截面可相对转动, B左 ≠ θ B右 铰处光滑条件不满足,左右两截面可相对转动,
求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 AB的挠曲线方程 例2 求等截面直梁AB的挠曲线方程、最大挠度及最大转角。 解: 建立坐标系并写出弯矩方程
d 2v 1 dx2 =± ρ dv 2 3 [1+ ( ) ] dx
1 M( x) = ρ( x) EIz
dv 在小变形(小挠度) 在小变形(小挠度) θ = << 1 dx 1 d 2v ≈± 2 略去高阶小量, 略去高阶小量,得 dx ρ
所以
d 2v M( x) ± 2= dx EIz
d 2v M( x) ± 2= dx EIz
应点的切线的斜率。 应点的切线的斜率。
C v v
θ
P x
C’
〈
可见:梁的任一横截面的转角, 可见:梁的任一横截面的转角,等于挠曲线在对
§10-2 10-
挠曲线的近似微分方程
推导纯弯梁横截面正应力时, 推导纯弯梁横截面正应力时,得到挠曲线的曲 率公式: 率公式:
1 M = ρ EIz
ρ
忽略剪力对变形的影响,也可 忽略剪力对变形的影响, 用上式计算横力弯曲梁的变形: 用上式计算横力弯曲梁的变形:
§10-3 10-
用积分法求梁的变形
一、转角方程和挠曲线方程 对于等截面直梁,EI是常数,挠曲线近似微分方程: 对于等截面直梁,EI是常数,挠曲线近似微分方程: 是常数
−M( x) v′′( x) = EI 1.微分方程的积分 1.微分方程的积分
转角方 程
1 θ = v ′( x ) = 积分一次 ∫ ( − M ( x ))dx + C 1 EI 1 积分二次 v ( x ) = ∫ ( ∫ ( − M ( x )) d x )d x + C 1 x + C 2 EI
主讲
韩志型
西南科技大学土建学院力学教研室
第10章 章
§10–1 10 1 §10–2 10 2 §10–3 10 3 §10–4 10 4 §10–5 10 5 概述
梁的变形
梁的挠曲线近似微分方程 用积分法求梁的变形 用叠加法求梁的变形 梁的刚度条件及提高梁刚度的措施
学
时:3
关键术语: 关键术语: 挠度,转角,挠曲线,挠度方程,转角方程,边界条件, 连续条件,光滑条件 教学重点 : 1、挠度、转角的概念 挠度、 2、积分法求梁的挠度和转角 3、叠加法求梁指定截面的挠度和转角 叠加法求梁指定截面的挠度和转角 4、刚度条件的应用 教学难点 1、挠曲线微分方程的建立 2、挠度、转角函数的确定 挠度、
M ( x) = − P( L − x)
A
P L
B
x
x
v
写出微分方程并积分 写出微分方程并积分
应用位移边界条件求积分常数 应用位移边界条件求积分常数
EIv " = − M ( x ) = P ( L − x )
1 EIv ' = EIθ = − P( L − x)2 + C1 2
x = 0, v = 0, θ = 0 1 3 (1) EIv (0) = PL + C 2 = 0 6 1 2 EIθ (0) = EIv '(0) = − PL + C1 = 0 (2)
P D
1 M( x) = ρ( x) EIz
以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然, 以挠曲线的曲率来度量梁弯曲变形的程度。显然,在 纯弯曲时,曲率为常数,其挠曲线为一圆弧。 纯弯曲时,曲率为常数,其挠曲线为一圆弧。在横力 弯曲时,曲率与弯矩成正比。 弯曲时,曲率与弯矩成正比。
由数学知识可知: 由数学知识可知:平面曲线的曲率公式为
2
1 EIv = P ( L − x )3 + C1 x + C 2 6
1 2 1 3 ∴ C 1 = PL ; C 2 = − PL 2 6
写出挠曲线方程和转角方程, 写出挠曲线方程和转角方程,并画出挠曲线
P v( x ) = ( L − x )3 + 3 L2 x − L3 6 EI P θ ( x ) = v' = − ( L − x )2 − L2 2 EI