4随机变量数字特征

P{ X 70} P( AB) P( A)P(B) 1 2 55
其中A为事件“第一班车7 : 10到站”, B为事件“第二班 车8 : 30到站”候车时间X的数学期望为
E( X ) 10 3 30 2 50 1 70 2 90 2 30.8分
6
5
25
25
25
第四章 随机变量的数字特征
k 1
k 1
为随机变量 X 的数学期望, 记为 E( X ) .即
E( X ) xk pk k 1
简称期望或均值.
X
x1 x2 xn
pk
p1 p2 pn
第四章 随机变量的数字特征
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数, 而非变量, 它是一种加 权平均, 与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称 均值。
解 设X表示所取球上的号码，则X的分布律为
P(X=i)=2i/n(n+1), i=1,2, ‥,n
于是
n
E(X) i
2i
2
n
i2
i1 n(n 1) n(n 1) i1
2 n(n 1)(2n 1) 2n 1
n(n 1)
6
3
第四章 随机变量的数字特征
例4.3 按规定, 某车站每天7:00~8:00, 8:00~9:00 都 恰有一辆客车到站, 但到站时刻是随机的,且两者到 站的时间相互独立。其规律为：
第四章 随机变量的数字特征
例如：
1. 评定某工厂生产的一批灯泡的质量，一般 是评定灯泡的寿命，寿命是随机变量，通常 只需知这批灯泡的平均寿命以及相对于这个 平均寿命的偏离程度就够了。
第四章 随机变量的数字特征
2. 钢厂生产的一批钢锭，它的含碳量和 其硬度有密切的关系，因此，除了掌握 含碳量和平均硬度，还有必要了解含碳 量与硬度之间的联系，特别希望知道彼 此有无线性关系。
4.1.1 一维随机变量数学期望的定义 数学期望是最基本的数字特征，
数学期望是能够体现随机变量取值的 平均数。
让我们先看一个简单的例子：
第四章 随机变量的数字特征
例: 在一次测验中，10名学生有2人得70 分，5人得80分，3人得90分，那么他们 的平均成绩为81分，具体计算方法为：
(70 2 80 5 90 3) 10 70 0.2 80 0.5 90 0.3
第四章 随机变量的数字特征
第四章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望 4.2 随机变量的方差 4.3 协方差与相关系数 4.4 矩与协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征
在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其 分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X 的全部概率特征也就知道了.
然而，在实际问题中，概率分布一般是较难 确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知 道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些 数字特征就够了.
第四章 随机变量的数字特征
例4.4 由5个相互独立工作的电子装置，它们 的寿命Xk (k=1,2,3,4,5) 服从同一指数分布，其 概率密度为
ex x0 0
小区间[xi, xi+1)
第四章 随机变量的数字特征
由此启发我们引进如下定义.
定义4.2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),
如果积分
xf (x)dx
绝对收敛, 则称此积分值为 X 的数学期望, 即
E(X) xf(x)dx
请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛 的积分.
到站时刻 7:10 7:30 7:50 8:10 8:30 8:50
概率
1/5 2/5
2/5
一旅客7:20到车站,求他候车时间的数学期望.
第四章 随机变量的数字特征
解：设旅客的候车时间为X (以分计),其分布率为
X 10 30 50 70 90
pk
2 5
2
11
12 12
5
55 55 55
上表中例如
第四章 随机变量的数字特征
由于xi与xi+1很接近, 所以区间[xi, xi+1)中的值 可以用xi来近似代替.
因此X与Leabharlann Baidu概率 f ( xi )xi 取值xi的离散型r.v
近似, 该离散型r.v 的数学
期望是
阴影面积近似为
xi f ( xi )xi
f (xi )xi
i
这正是
x f (x)dx
的渐近和式.
考虑到 X 随机变量会有无穷多个可能值xk， 同时这些 xk 可正可负，而平均值应当与 求和的次序无关，反映在数学上便是要求
级数 xk pk 绝对收敛。 k
第四章 随机变量的数字特征
定义4.1 设离散型随机变量 X 的分布律为
P{ X xk } pk , k 1, 2, .
若级数 xk pk 绝对收敛, 则称级数 xk pk
第四章 随机变量的数字特征
由此可见在随机变量的研究中，常 常需要去研究某些与随机变量有关的， 能反映随机变量重要特征的“数”，我 们把这种“数”称作随机变量的数字特 征。
第四章 随机变量的数字特征
最常用的数字特征
• 数学期望 • 方差 • 协方差、相关系数 •矩
第四章 随机变量的数字特征
4.1 随机变量的数学期望
4.1.2 连续型随机变量的数学期望
设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在
数轴上取很密的分点x0 <x1<x2< …,则X落在小区 间[xi, xi+1)的概率是
xi1 f ( x)dx xi
阴影面积近似为
f (xi )xi
f ( xi )( xi1 xi )
f ( xi )xi
小区间[xi, xi+1)
换个角度，若将10个学生中任一个人的 测验成绩看成随机变量X，则X的概率分 布为
第四章 随机变量的数字特征
X
70 80 90
P 0.2 0.5 0.3
上面平均分算式的右端正好是 X 的各
个可能取值与相应概率乘积之和，所以由
xk P{X xk} 所确定的数字特征恰好是随 k
机变量的平均值。
第四章 随机变量的数字特征
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随 级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要求 是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值的 平均值,它不应随可能值的排列次序而改变。
第四章 随机变量的数字特征
例4.2 设某口袋中装有标号i的球i只(i=1,2, ‥,n), 现在 从中随机取出一只, 求所得球上号码的数学期望.