采样的时频域分析
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2 H ，此时有 M
L 0
0
L H
H
0
P ( j )
T 2 m
T
0
T
G p ( j )
H L 0
0
0
L H
从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号 (拓展知识): 4、变采样率的数字信号处理 A、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。 降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第 M 个样本，而除去中间的 M-1 个样 本： y[n] x[nM ] 用框图表示为
由上图知道当搬移5个单位后，可以看到一些频谱混叠再来一起。 （3） 过采样，输入f=30,N=20，得到以下波形
从以上图形知道在-2的点搬到了28处，搬移后无混叠现象，能够很好地 恢复出波形。 2.降采样的程序：
九、实验结论： 经过 matlab 仿真的程序波形与理论的比较的吻合，临界采样可以刚 好的恢复出原始的波形， 欠采样产生了混叠不能有效地恢复波形， 过 采样也可以很好地恢复原始波形。 十、总结及心得体会： 通过本实验，对于采样有了一个比较全面的认识。 报告评分： 指导教师签字：
plot(N*[-511:512]/1024,abs(h1));grid axis([0 50 1 max(abs(h1))]) subplot(2,2,3) title('Frequency domain waveform original singal') plot(f*[-511:512]/1024,abs(h));grid
n 0 n
X
a
( j ( n 0))
式中 T 代表采样间隔， 0
1 T
由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以 0 为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
xa (t ) X a ( j )
ˆa (t ) x
ˆ ( j ) X a
六、实验器材（设备、元器件） ：Pc 机,DSP 试验箱 七、实验步骤：
1、在 MATLAB 中设计完成可变采样率采样（抽取）程序。 2、对比观察、分析各种采样（临界采样、过采样、欠采样）时域频域的情况。
八、实验数据及结果分析：
1.可变采样率采样（抽取）程序: clear
clc f=input('the samping frequency f= '); N=input('采样长度 N='); n=0:0.1:N-1; t=0:0.01:10; x=sin(20*pi*t); subplot(2,2,1) plot(t,x,'r');axis([0 0.2 -1.5 1.5]);grid xlabel('t'),ylabel('margin') title('origial singal') y=sin(20*pi*n/f); hold on
xa (t )
xa (t )
pT (t )
根据傅里叶变换性质
FT xa (t ) X a ( j ) FT T (T ) 0 ( j )
0
ˆa (t ) xa (t ) T (T ) x
n n
x (nT )
a
T
FT (t nT ) Xˆa ( j )
x[n / L], n 0, L, 2 L xu [n] ，框图表示为 otherwise 0, L
x[n]
xu[n]
可以得到： X u ( z ) X ( z L ) ， X u (e j ) X (e j L ) ，对于 L=2 时，可得下图：
X (e j )
y[n]
C、分数倍变采样率的实现原理，时域和频域的变化情况。 采样率的分数转换可以用 M 倍抽取器和 L 倍内插器级联而成， 其中 M 和 L 都是 正整数。这样级联有两种可能的形式
H d (z)
M
L
Hu (z)
L
Hu (z)
H d (z)
M
L
H (z)
M
四、实验目的：
深刻理解低通采样中的临界采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的欠采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的过采样的时域及频域变化情况 深刻理解带通采样过程及带通采样定理。
2
0
2
X (e j / 2 ) 2
X (e j / 2 ) 2
0
混叠
可以知道，在降采样率时， X (e j ) 的原形状会丢失，即发生混叠现象。M 倍下 抽样器的输出和输入之间傅氏变换的关系为： Y (e j )
1 M
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
2
0
X (e j )
2
2
0
2
如图，2 倍的抽样率扩展导致频谱的 2 倍重复，表明傅里叶变换以 2 倍压缩。因 此可得输入频谱的一个额外镜像，这个过程也叫做映射。上采样后不必要的镜像 必须用一个称为内插滤波器的低通滤波器 H(z)来消除，即：
L H (z)
x[n]
xu[n]
n
x (nT ) (t nT ) 信号无失真地恢复 x (t ) 。称 2 f
a s s a
M
为奈奎斯特频率，
1 f M 为奈奎斯特间隔。 2
注意： 实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在 ADC 前加一个滤波器（防混迭 滤波器） 。 2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 设一带限信号的频谱如下：
五、实验内容：
本实验要求学生运用 MATLAB 编程完成可变采样率采样（抽取）程序，并对提供 的离散时间信号分别进行临界采样、过采样、欠采样时信号时域和频域的信号变 化情况， 以加深对相关教学内容的深刻理解。进而拓展到可变采样率信号处理的 基本方法的 MATLAB 实现，得到信号的时频域变化情况，使学有余力的同学进一 步加深对变采样率信号处理相关知识的理解。
在理论分析中使用的带限信号在实际应用是并不存在的，因为要求该信号在 时域上是无限长的， 因此无论采样频率有多大，实际采样的信号都是会发生混叠 的，如下图所示：
Ga ( j )
m
0
m
P ( j )
T 2 m
T
0
T GP ( j )
1/ T T
T
在实际应用中，我们只需使采样频率满足能够恢复出我们需要的信号即可。
Ga ( j )
m
0
m
P ( j )
T 2 m
T
0
T
1/ T T
GP ( j )
（1）临界采样
T
P ( j )
T 2 m
T
0
T GP ( j )
1/ T T
（2）过采样
P ( j )
T
T 2 m
T
0
T GP ( j ) T
stem(n/f,y);axis([0 0.5 -1.5 1.5]);grid title('the samped singal') hold off
title('time singal of before sampe and samped ') h1=fft(x,1024); h=fft(y,1024); subplot(2,2,2)
C、低通采样和 Nyquist 采样定理 设 xa (t ) X a ( j ) 且 X a ( j ) 0, 当 M 2 f M ， 即为带限信号。则当采样频率满足 f s 2 M / 2 2 f M 时 , 可以从采样后的
xa (t ) TN
^
)
在下抽样以前，为了避免引起混叠，信号需要通过一个低通滤波器来带限到
| | / M 即： H (z) M
x[n]
y[n]
B、升采样率（整数倍内插）的实现原理，时域和频域的变化情况。 升采样率是指通过在对原离散信号的两个连续样本间插入 L-1 个等距的样本值 （不一定为零） ，亦即抽样因子为 L 的上抽样。上抽样后的序列长度为原来的 L 倍：
3、带通采样过程及带通采样定理。 带通采样是对于带通信号进行采样的过程。
0< L | | H , H L 称为带通信号的带宽。此时采样频率为 1 2( H L ) 1 时最大的正整数。此 其中 m 是当采样频率满足 f s 2 2 2m 1 2 时信号可以被无失真的恢复，这就是带通采样定理。 原理： 采样后的带通信号同样是原信号的周期搬移叠加，但由于带通信号在某个 频带不存在信号分量， 采样后得到信号频谱存在间隔，当采样频率满足一定条件 （不满足底通采样定理）时，同样可以无失真的恢复。示意图如下： fs
title('Frequency domain waveform smaped singal') （1 ）
由以上程序可以知道函数信号x的频率为10Hz，以下是对该信号的三种采样方式： 形
临界采样，有奈切斯特定理有临界频率为20Hz，输入f=20，采样长度20，得到以下波
由上图可以看出每隔0.1采样一个点，原函数的频谱图在右上，主要是集 中在3、27的附近，当采样后是对频谱的搬移，搬移20个单位得到左下的 图，从-3搬到了17，而3的搬到了-17处，27的搬到了47，为了保证分 析的有效性该图未显示后两种。 （2） 欠采样，输入f=5.N=20；得到以下图形
（ 1 ）当最高频率 H 是带宽的整数倍，即 H M ( ) ，而选择的抽样频率
T 2( ) 2 H ，此时有 M
Ga ( j )
H
L
0
L P ( j )
H
T Hale Waihona Puke Baidu2 m
T
0
T
G p ( j )
H
L
0
L
H
从图中可以看出， 当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信 号。 （2）当最高频率 H 不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带 通信号的 H M ( ) ，而选择的抽样频率 T 2( )
x[n]
M
y[n]
可以得到 Y ( z )
1 M
M 1 k 0
X (z
1/ M
k WM ) ，以 2 倍下抽样器为例，即 L=2，可得
1 1 Y (e j ) { X (e j / 2 ) X ( e j / 2 )} { X (e j / 2 ) X (e j ( 2 ) / 2 )} ，如下图所示 2 2 X (e j )
1/ T T
（3）欠采样
由上图可知， 当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号， 但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠 采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。因此过采样时使用最为广泛的采样方 式， 当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复 出信号的全部频谱特征时， 则往往使用这两种采样方式。随着信号处理技术的发 展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。
电 子 科 技 大 学
实
验
报
告
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：
1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘
xa (t )
xa (t )
^
T (t )
B、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可 近似为周期脉冲串。 ^
L 0
0
L H
H
0
P ( j )
T 2 m
T
0
T
G p ( j )
H L 0
0
0
L H
从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号 (拓展知识): 4、变采样率的数字信号处理 A、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。 降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第 M 个样本，而除去中间的 M-1 个样 本： y[n] x[nM ] 用框图表示为
由上图知道当搬移5个单位后，可以看到一些频谱混叠再来一起。 （3） 过采样，输入f=30,N=20，得到以下波形
从以上图形知道在-2的点搬到了28处，搬移后无混叠现象，能够很好地 恢复出波形。 2.降采样的程序：
九、实验结论： 经过 matlab 仿真的程序波形与理论的比较的吻合，临界采样可以刚 好的恢复出原始的波形， 欠采样产生了混叠不能有效地恢复波形， 过 采样也可以很好地恢复原始波形。 十、总结及心得体会： 通过本实验，对于采样有了一个比较全面的认识。 报告评分： 指导教师签字：
plot(N*[-511:512]/1024,abs(h1));grid axis([0 50 1 max(abs(h1))]) subplot(2,2,3) title('Frequency domain waveform original singal') plot(f*[-511:512]/1024,abs(h));grid
n 0 n
X
a
( j ( n 0))
式中 T 代表采样间隔， 0
1 T
由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以 0 为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
xa (t ) X a ( j )
ˆa (t ) x
ˆ ( j ) X a
六、实验器材（设备、元器件） ：Pc 机,DSP 试验箱 七、实验步骤：
1、在 MATLAB 中设计完成可变采样率采样（抽取）程序。 2、对比观察、分析各种采样（临界采样、过采样、欠采样）时域频域的情况。
八、实验数据及结果分析：
1.可变采样率采样（抽取）程序: clear
clc f=input('the samping frequency f= '); N=input('采样长度 N='); n=0:0.1:N-1; t=0:0.01:10; x=sin(20*pi*t); subplot(2,2,1) plot(t,x,'r');axis([0 0.2 -1.5 1.5]);grid xlabel('t'),ylabel('margin') title('origial singal') y=sin(20*pi*n/f); hold on
xa (t )
xa (t )
pT (t )
根据傅里叶变换性质
FT xa (t ) X a ( j ) FT T (T ) 0 ( j )
0
ˆa (t ) xa (t ) T (T ) x
n n
x (nT )
a
T
FT (t nT ) Xˆa ( j )
x[n / L], n 0, L, 2 L xu [n] ，框图表示为 otherwise 0, L
x[n]
xu[n]
可以得到： X u ( z ) X ( z L ) ， X u (e j ) X (e j L ) ，对于 L=2 时，可得下图：
X (e j )
y[n]
C、分数倍变采样率的实现原理，时域和频域的变化情况。 采样率的分数转换可以用 M 倍抽取器和 L 倍内插器级联而成， 其中 M 和 L 都是 正整数。这样级联有两种可能的形式
H d (z)
M
L
Hu (z)
L
Hu (z)
H d (z)
M
L
H (z)
M
四、实验目的：
深刻理解低通采样中的临界采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的欠采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的过采样的时域及频域变化情况 深刻理解带通采样过程及带通采样定理。
2
0
2
X (e j / 2 ) 2
X (e j / 2 ) 2
0
混叠
可以知道，在降采样率时， X (e j ) 的原形状会丢失，即发生混叠现象。M 倍下 抽样器的输出和输入之间傅氏变换的关系为： Y (e j )
1 M
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
2
0
X (e j )
2
2
0
2
如图，2 倍的抽样率扩展导致频谱的 2 倍重复，表明傅里叶变换以 2 倍压缩。因 此可得输入频谱的一个额外镜像，这个过程也叫做映射。上采样后不必要的镜像 必须用一个称为内插滤波器的低通滤波器 H(z)来消除，即：
L H (z)
x[n]
xu[n]
n
x (nT ) (t nT ) 信号无失真地恢复 x (t ) 。称 2 f
a s s a
M
为奈奎斯特频率，
1 f M 为奈奎斯特间隔。 2
注意： 实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在 ADC 前加一个滤波器（防混迭 滤波器） 。 2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 设一带限信号的频谱如下：
五、实验内容：
本实验要求学生运用 MATLAB 编程完成可变采样率采样（抽取）程序，并对提供 的离散时间信号分别进行临界采样、过采样、欠采样时信号时域和频域的信号变 化情况， 以加深对相关教学内容的深刻理解。进而拓展到可变采样率信号处理的 基本方法的 MATLAB 实现，得到信号的时频域变化情况，使学有余力的同学进一 步加深对变采样率信号处理相关知识的理解。
在理论分析中使用的带限信号在实际应用是并不存在的，因为要求该信号在 时域上是无限长的， 因此无论采样频率有多大，实际采样的信号都是会发生混叠 的，如下图所示：
Ga ( j )
m
0
m
P ( j )
T 2 m
T
0
T GP ( j )
1/ T T
T
在实际应用中，我们只需使采样频率满足能够恢复出我们需要的信号即可。
Ga ( j )
m
0
m
P ( j )
T 2 m
T
0
T
1/ T T
GP ( j )
（1）临界采样
T
P ( j )
T 2 m
T
0
T GP ( j )
1/ T T
（2）过采样
P ( j )
T
T 2 m
T
0
T GP ( j ) T
stem(n/f,y);axis([0 0.5 -1.5 1.5]);grid title('the samped singal') hold off
title('time singal of before sampe and samped ') h1=fft(x,1024); h=fft(y,1024); subplot(2,2,2)
C、低通采样和 Nyquist 采样定理 设 xa (t ) X a ( j ) 且 X a ( j ) 0, 当 M 2 f M ， 即为带限信号。则当采样频率满足 f s 2 M / 2 2 f M 时 , 可以从采样后的
xa (t ) TN
^
)
在下抽样以前，为了避免引起混叠，信号需要通过一个低通滤波器来带限到
| | / M 即： H (z) M
x[n]
y[n]
B、升采样率（整数倍内插）的实现原理，时域和频域的变化情况。 升采样率是指通过在对原离散信号的两个连续样本间插入 L-1 个等距的样本值 （不一定为零） ，亦即抽样因子为 L 的上抽样。上抽样后的序列长度为原来的 L 倍：
3、带通采样过程及带通采样定理。 带通采样是对于带通信号进行采样的过程。
0< L | | H , H L 称为带通信号的带宽。此时采样频率为 1 2( H L ) 1 时最大的正整数。此 其中 m 是当采样频率满足 f s 2 2 2m 1 2 时信号可以被无失真的恢复，这就是带通采样定理。 原理： 采样后的带通信号同样是原信号的周期搬移叠加，但由于带通信号在某个 频带不存在信号分量， 采样后得到信号频谱存在间隔，当采样频率满足一定条件 （不满足底通采样定理）时，同样可以无失真的恢复。示意图如下： fs
title('Frequency domain waveform smaped singal') （1 ）
由以上程序可以知道函数信号x的频率为10Hz，以下是对该信号的三种采样方式： 形
临界采样，有奈切斯特定理有临界频率为20Hz，输入f=20，采样长度20，得到以下波
由上图可以看出每隔0.1采样一个点，原函数的频谱图在右上，主要是集 中在3、27的附近，当采样后是对频谱的搬移，搬移20个单位得到左下的 图，从-3搬到了17，而3的搬到了-17处，27的搬到了47，为了保证分 析的有效性该图未显示后两种。 （2） 欠采样，输入f=5.N=20；得到以下图形
（ 1 ）当最高频率 H 是带宽的整数倍，即 H M ( ) ，而选择的抽样频率
T 2( ) 2 H ，此时有 M
Ga ( j )
H
L
0
L P ( j )
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T Hale Waihona Puke Baidu2 m
T
0
T
G p ( j )
H
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0
L
H
从图中可以看出， 当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信 号。 （2）当最高频率 H 不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带 通信号的 H M ( ) ，而选择的抽样频率 T 2( )
x[n]
M
y[n]
可以得到 Y ( z )
1 M
M 1 k 0
X (z
1/ M
k WM ) ，以 2 倍下抽样器为例，即 L=2，可得
1 1 Y (e j ) { X (e j / 2 ) X ( e j / 2 )} { X (e j / 2 ) X (e j ( 2 ) / 2 )} ，如下图所示 2 2 X (e j )
1/ T T
（3）欠采样
由上图可知， 当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号， 但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠 采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。因此过采样时使用最为广泛的采样方 式， 当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复 出信号的全部频谱特征时， 则往往使用这两种采样方式。随着信号处理技术的发 展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。
电 子 科 技 大 学
实
验
报
告
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：
1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘
xa (t )
xa (t )
^
T (t )
B、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可 近似为周期脉冲串。 ^