采样的时频域分析
第九节1 采样系统时域与频域特性
1
ci e
j i
pi e
k
k
j i k
ci e e
j i
pi e
k
j i k k
c i pi (e
j ( k i i )
2
极点为共轭复根
pi , pi 1 pi e j i
设脉冲传函的极点为一对 ci z c i 1 z 共轭复根， G( z ) z pi z pi 1
由于传函为实系数，故ci , ci 1 也共轭，
c i , c i 1 c i e j i
对应瞬态响应为
第九节采样系统时域与频域特性分析
1 离散系统频率特性定义
连续系统的频域特性——在正弦信号作用 下，系统的稳态输出与输入的复数比随正弦信 号频率变化的特性。此定义同样适用于离散系 统，只是对应的输入输出信号均为离散值。
r(t)=sin(wt) r(k)=sin(kwt)
c(t)=A sin(wt+)
G ( eLeabharlann j Tsin( 0.5 ) ) arctan cos (0.5 ) 0.606
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第九节采样系统时域与频域特性分析
可见，离散系统的频率特性与相应 的连续系统有较大不同，连续系统随频 率的增加，幅频特性趋于0 ，相频特性 趋于－90 ；而离散系统随频率的变化， 其频率特性将以 s 为周期不断重复。
系统的输出响应为
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实验2 信号的时域采样与频域采样(讲稿)
实验2 时域采样与频域采样知识要点：（1）时域采样定理和频域采样定理（2）信号的采样方法连续时间信号的采样方法为T ()()s t n f t f t ==，理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，即ˆ()()j aTX j X e ωω=ΩΩ=，用DFT 近似计算连续信号频谱的方法为()T DFT[()]a X k x n =⋅。
连续谱的离散化方法为在一个周期内对连续频谱进行N 点等间隔采样，即2k k Nπω=，用DFT 计算离散信号频谱的方法为()DFT[()]X k x n =。
（3）用FFT 计算有限长采样序列的傅立叶变换（DFT ）（4）连续时间信号的采样点数用公式p s N T F =⨯计算（5）频域采样时，频率分辨率为p F=1，各采样点上的频率为(1)k p f T k =。
（6）FFT 函数的基本用法FFT 函数格式为Xk= fft(xnt,M)，其中M 表示FFT 的点数。
实验内容1：时域采样理论的验证（非周期连续信号）给定模拟信号0()sin()()t a x t Ae t u t α-=Ω式中444.128A =，α=，0rad s Ω=。
用DFT （FFT ）求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
选取三种采样频率，即1kHz,300Hz 200Hz s F =，。
观测时间选64p T ms =。
采样点数用公式p s N T F =⨯计算。
设计方法：（1）初始化设置（如观测时间、采样频率、采样间隔等）。
（2）计算时域采样点数。
（3）生成时域抽样信号。
（4）用fft 函数计算频谱。
（5）计算频域采样点上的频率，绘制频谱图。
程序运行结果：（1）采样频率1000Hz s F =nx a (n T )(a) F s =1000Hz,采样点数=645001000(b) DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度5001000(c) T*DFT[x a (nT)],F s =1000Hz f(Hz)幅度图2-1 采样频率1kHz s F =（2）采样频率300Hz s F =nx a (n T )(a) F s =300Hz,采样点数=19100200300(b) DFT[x a (nT)],F s =300Hz f(Hz)幅度100200300(c) T*DFT[x a (nT)],F s =300Hzf(Hz)幅度图2-2 采样频率300Hz s F =（3）采样频率200Hz s F =nx a (n T )(a) F s =200Hz,采样点数=1350100150200(b) DFT[x a (nT)],F s =200Hzf(Hz)幅度5010015020000.20.40.60.8(c) T*DFT[x a (nT)],F s =200Hz f(Hz)幅度图2-3 采样频率200Hz s F =实验结果分析：时域采样理论的验证程序运行结果如图2-1至2-3所示。
时域采样与频域采样
实验二：时域采样与频域采样一、实验目的：时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
二、实验原理与方法：1、时域采样定理的要点：1）对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X 是原模拟信号频谱()a X j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。
公式为：)](ˆ[)(ˆt x FT j X a a=Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T 2）采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为 ∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x)()()(ˆδ 对上式进行傅立叶变换，得到：dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞-∞-∞=⎰∑-=Ω])()([)(ˆδdt e nT t t x t j n a Ω-∞-∞=∞∞-∑⎰-)()( δ＝在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此∑∞-∞=Ω-=Ωn nT j aae nT xj X )()(ˆ上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：∑∞-∞=-=Ωn nj aen x j X ω)()(ˆ上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj e X ，即T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ 上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。
2、频域采样定理的要点：a) 对信号x(n)的频谱函数X(e j ω)在[0，2π]上等间隔采样N 点，得到2()() , 0,1,2,,1j N k NX k X e k N ωπω===-L则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列就是原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：()IDFT[()][()]()N N N N i x n X k x n iN R n ∞=-∞==+∑b) 由上式可知，频域采样点数N 必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N 点IDFT[()N X k ]得到的序列()N x n 就是原序列x(n),即()N x n =x(n)。
7频域采样
一、频域采样与频域采样定理
设任意序列x(n)旳Z变换为 X (z) x(n)zn n
而且X(z)旳收敛域包括单位圆。以2/N为采样间隔，
在单位圆上对X(z)进行等间隔采样得到
N 1
j2k n
XN
(k)
X
(z)
j2 k
ze N
x(n)e N
n0
实质上， X N (k)是对x(n)旳频谱函数 X (ej ) 旳等间隔采样 因为 X (ej ) 以2为周期，所以 X N (k) 是以N为周期旳频域序列。
❖ 频 率 响 应 旳 内 插 函 数 (w) 具 有 线 性 相 位.
（4）抽样后序列能否无失真恢复原时域信号
（5）注意点
❖ DFT 变 换 对 旳 一 一 对 应 关 系 也 是 由 此 而 得 到 保 证 旳.
❖实 际 上 , 在 我 们 从 连 续 傅 里 叶 变 换 引 出 DFT 时, 也 只 有 按 此 条 件 对 频 域 进 行 抽 样, 才 能 在 最 后 正 确 导 出 DFT 变 换 对 定 义式.
（2）分析
将x(n)旳频域函数 X (e j ) ，按每七天期 N点抽样，得到
一周期序列X~ (k) ,再反变换回时域,得到变换成果~xN (n) ,
是一周期延拓旳序列，且与原序列x(n) 有如下关系
~xN (n)
x(n rN )
r
即 频 域 按 每 周 期 N 点 抽 样, 时 域 便 按 N 点 周 期 延 拓.
2、那 么 用 N 个 X(k) 也 一 定 能 完 整 地 表 示 出 X(z) 以 及 频 率 响 应 [即 单 位 圆 上 旳 X(z)].
3、还原过 程 ：先 把 N 个 X(k) 作 IDFT 得 到 x(n), 再 把 x(n) 作 Z 变 换 便 得 到 X(z)。
时频分析方法
时频分析方法时频分析方法是一种有效的信号处理方法，它将时域信号转换成频域信号，从而更加清晰地定位频率分量，从而提高信号处理的效率。
时频分析方法可以被用于各种应用领域，包括信号处理，通信，音频处理等。
本文将详细介绍时频分析方法的原理和应用，并分析其优缺点。
一、时频分析方法原理时频分析方法是指将时域信号转换成频域信号，从而更加清楚地定位频率分量，从而提高信号处理的效率。
它的基本原理是将一个信号的时域特性映射到频域，以得到与时域历史信号相关的周期统计信息。
时频分析主要是通过傅里叶变换、渐进式变换和时频技术等来实现的。
傅里叶变换是把信号由时域变换到频域的一种变换，傅里叶变换的基本原理是通过将信号中的时域特性映射到频域，从而更加清楚地定位频率分量，从而提高信号处理的效率。
在傅里叶变换中，时间信号会被变换成频率信号，从而得到与时域历史信号有关的周期统计信息。
渐进变换是一种分析信号的有效方法，它可以利用信号的渐变特性来实现时频分析。
渐进变换的基本思想是先将信号折叠成多个时间小段，然后计算每个时间小段的频率，依次推导出不同时间小段的频率分布特性，从而完成时频分析。
时频技术是一种将时域信号转换成频域信号的有效方法。
这种技术可以同时兼顾时域和频域特性，综合利用信号的时域和频域特性来分析信号的复杂结构，从而提高信号处理的效率。
时频技术的关键在于如何利用时间和频率信号的特性，从而更加清楚地定位频率分量，从而提高信号处理的效率。
二、时频分析方法的应用时频分析方法可以用于各种应用领域，主要包括信号处理、音频处理、语音识别等。
1、信号处理时频分析方法可以用于信号处理，其主要作用是增强信号特性，在提取信号特征时具有较高的精度和稳定性。
时频分析方法在信号分析、压缩、滤波、采样和降噪等应用中都有着广泛的应用。
2、音频处理时频分析方法可以用于音频处理，可以改善音频质量，消除各种音色，滤除噪声并进一步提高音频质量。
3、语音识别时频分析方法在语音识别中也有重要应用，可以帮助分析语音的特征，识别音频的特征，消除噪声并得到更高的识别率。
采集信号的频谱分析
采集信号的频谱分析1. 引言频谱分析是一种重要的信号处理技术，它可以帮助我们理解信号的频域特性。
在现代通信领域和无线电频谱监测中，采集信号的频谱分析是一项关键的工作。
频谱分析可以帮助我们识别信号的不同频率成分，并从中提取有用的信息。
本文将介绍频谱分析的基本原理、常用的采集方法以及一些相关的应用领域。
2. 频谱分析的基本原理频谱分析是将信号从时域转换到频域的过程。
在时域中，信号被表示为随时间变化的波形；而在频域中，信号被表示为不同频率成分的强度和相位。
常用的频谱分析方法包括傅里叶变换（Fourier Transform）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）。
傅里叶变换是一种数学变换，它能将信号从时域转换到频域。
快速傅里叶变换是傅里叶变换的一种高效算法，能够快速计算信号的频谱。
在频谱分析中，我们使用频谱图来表示信号的频谱。
频谱图通常以频率为横轴，信号强度为纵轴，用于直观地展示不同频率成分的能量分布。
3. 采集信号的方法采集信号的频谱分析需要使用合适的设备和方法。
以下是常用的采集信号的方法：3.1 信号接收器信号接收器是一种用于接收信号并将其转化为电信号的设备。
根据需要采集的信号类型不同，可以选择不同类型的信号接收器，如无线电接收器、音频接收器等。
3.2 采样率采样率是指在单位时间内采集信号的样本数。
在频谱分析中，较高的采样率能够提供更精确的频谱信息，但也会增加数据处理的复杂性和成本。
根据信号的带宽和分辨率要求，选择合适的采样率非常重要。
3.3 采样深度采样深度是指每个样本的比特数，决定了每个样本的精度。
较大的采样深度能够提供更高的分辨率，但也会增加数据存储和传输的需求。
根据信号的动态范围和精度要求，选择适当的采样深度是必要的。
3.4 采集时间采集时间是指采集信号所需的时间长度。
较长的采集时间可以提供更准确的频谱信息，但也会增加采集的时间和资源。
根据应用需求和实际情况，选择合适的采集时间是必要的。
实验二-时域采样与频域采样及MATLAB程序
实验二时域采样与频域采样一实验目的1掌握时域连续信号经理想采样前后的频谱变化，加深对时域采样定理的理解2理解频率域采样定理，掌握频率域采样点数的选取原则二实验原理1时域采样定理对模拟信号“）以T进行时域等间隔采样，形成的釆样信号的频谱XJJQ）会以采样角频率2 （Q,=芋）为周期进行周期延拓，公式为：利用计算机计算上式并不容易，下面导出另外一个公式。
理想采样信号念⑴和模拟信号暫⑴之间的关系为：£（『）= %（0工郭-切n—x对上式进行傅里叶变换，得到：+30 -f-QQX a（jn）=匚［%（『）£ 刃-£ 匚心⑴d（t-nT）e-iai dtZI--«川―00在上式的积分号内只有当时，才有非零值，因此：X a（j^=^x a{nT）e-^T上式中，在数值上£（〃）= □）,再将co=QT代入，得到：匕（山）=f兀何厂筲必丁= X（严）|亠勿上式说明采样信号的傅里叶变换可用相应序列的傅里叶变换得到，只要将自变量Q用代替即可。
2频域采样定理对信号x(n)的频谱函数X(e®在［0, 2刃上等间隔采样N点，得到X 伙)= X(严)“k = 0,l,2,..・,N — l则有：x N(n) = IDFT［X伙)h =［乞如iN)］恥)00即N点1DFT［X伙)］得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值序列, 因此，频率域采样要使时域不发生混叠，则频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M (即N >M ),在满足频率域采样定理的条件下，心(")就是原序列.丫⑺)。
如果N>M,则g(”)比原序列x(〃)尾部多N —M个零点，反之，时域发生混叠，x N(n)与x(n)不等。
对比时域采样定理与频域采样定理，可以得到这样的结论：两个定理具有对偶性，即“时域采样，频谱周期延拓；频域釆样，时域信号周期延拓”。
在数字信号处理中，都必须服从这二个定理。
机械测试信号时域和频域特征分析
DFT与FFT
3.1.1
3.1.
3.1.3
Sx(f)与Sxy(f)是随机信号的频域描述函数。Sx(f)表示信号的功率密度沿频率轴的分布，故又称Sx(f)为功率谱密度函数。
3.2
功率谱的定义式为
若X（Ω）=DFT[x(m)]，x(n)为N点序列。则
X （Ω）=DFT[x (-m)]
从而有DFT[R(M)]= DFT[x(m)] DFT[x (-m)]
机械测试信号时域和频域特征分析
1.1
机械信号是指机械系统在运行过程中各类随时间变化的动态信息，经各类测试仪器拾取并记录与存储下来的数据或者图像。机械设备是工业生产的基础，而机械信号处理与分析技术则是工业进展的一个重要基础技术。
随着各行各业的快速进展与各类各样的应用需求，信号分析与处理技术在信号处理速度、分辨能力、功能范围与特殊处理等方面将会不断进步，新的处理激素将会不断涌现。当前信号处理的进展要紧表现在：1.新技术、新方法的出现；2.实时能力的进一步提高；3.高分辨率频谱分析方法的研究三方面。
2.3
2.3.1
图2.8噪声Leabharlann -自有关.jpg如图所示：自有关函数消除了大量的噪声，周期成分变得非常明显。
原始信号的时域处理结果：
平均值：0.0184
极小值：-2.8138
极大值：2.8557
标准差：1.0103
方差：1.0207
峰峰值：5.6695
第
信号处理中，傅立叶变换把一个随机信号解析成不一致频率的正弦波，使信号的频域分析称之可能。由于计算机技术的进展，在微机上直接使用离散傅立叶变换变得非常方便，这使得频域分析称之常用的处理方法。常用的频域分析方法包含自谱、功率谱、倒谱等。
数字信号处理实验报告
四川大学电气信息学院数字信号处理实验报告实验二 时域采样与频域采样1. 实验结果和分析 （1）时域采样204060(a)Fs=1000Hznx 1(n )51015(b)Fs=300Hznx 2(n)510(c)Fs=200Hznx 3(n)500100005001000(a) FT[xa(nT)],Fs=1000Hzf(Hz)幅度1002003000200400(b) FT[xa(nT)],Fs=300Hzf(Hz)幅度501001502000100200(c) FT[xa(nT)],Fs=200Hzf(Hz)幅度分析：时域采样定理：1、对模拟信号以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱是原模拟信号频谱以采样角频率为周期进行周期延拓。
2、采样频率必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的 频谱不产生频谱混叠。
由图可见，左边在时域上的采样频率逐渐降低，右边所对应的频域图样的混叠情况由微弱变得越来越大。
（2）频域采样102030(b) 三角波序列x(n)nx (n )0.510100200(a)FT[x(n)]ω/π|X (e j ω)|(c) 16点频域采样k|X 16(k )|102030(d) 16点IDFT[X 16(k)]nx 16(n )(e) 32点频域采样k|X 32(k )|(f) 32点IDFT[X 32(k)]nx 32(n )分析：频域采样定理：如果序列x(n)的长度为M ，则只有当频域采样的点数N>=M 时，才可由频域采样X （k ）回复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。
由图可见N=16点和N=32点采样所得图样不一样，N=16点时混叠严重，而N=32点时没有发生混叠。
2. 思考题如果序列x(n)的长度为M ，希望得到其频谱X(e j ω)在]2,0[π上的N 点等间隔采样， 当N<M 时，如何用一次最少点数的DFT 得到该频谱采样？先对原序列x(n)以N 为周期进行周期延拓后取主值区序列，x N (n)=[∑x(n+iN)]R N (n)再计算N 点DFT 则得到N 点频域采样实验三用FFT对信号作频谱分析1.实验结果和分析（1）（2）（3）2.思考题（1）对于周期序列。
数字信号处理实验三时域及频域采样定理
Xk1=fft(x1,length(n1)); %采样序列x1(n)的FFT变换
Xk2=fft(x2,length(n2)); %采样序列x2(n)的FFT变换
Xk3=fft(x3,length(n3)); %采样序列x3(n)的FFT变换
k1=0:length(Xk1)-1;
fk1=k1/Tp; %x1(n)的频谱的横坐标的取值
这里给定采样频率如下： ，300Hz，200Hz。分别用这些采样频率形成时域离散信号，按顺序分别用 、 、 表示。选择观测时间 。
3.计算 的傅立叶变换 ：
（3.6）
式中， ，分别对应三种采样频率的情况 。采样点数用下式计算：
（3.7）
（3.6）式中， 是连续变量。为用计算机进行数值计算，改用下式计算：
下面分析频域采样定理。对信号x(n)的频谱函数 ，在[0，2π]上等间隔采样N点，得到
（3.4）
则N点IDFT[ ]得到的序列就是原序列x(n)以N为周期进行周期延拓后的主值区序列，公式为：
(3.5)
由上式可知，频域采样点数N必须大于等于时域离散信号的长度M(即N≥M)，才能使时域不产生混叠，则N点IDFT[ ]得到的序列 就是原序列x(n),即 =x(n)。如果N>M， 比原序列尾部多N-M个零点；如果N<M，z则 =IDFT[ ]发生了时域混叠失真，而且 的长度N也比x(n)的长度M短，因此。 与x(n)不相同。
实验3-采样的时频域分析
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。
1. A 、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘B 、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可近似为周期脉冲串。
根据傅里叶变换性质000()()()()ˆˆ()()()()()()(())FTFTa a T n n FTa a T a T a an n x t X j T j xt x t T x nT t nT X j Xj n ωδωδδδω=+∞=+∞=-∞=-∞←−→Ω←−→Ω==-←−→Ω=Ω-Ω∑∑式中T 代表采样间隔，01TΩ=由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以0Ω为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
)(t T δ^T ^)tC 、低通采样和Nyquist 采样定理设()()a a x t X j ⇔Ω且()0,2a M M X j f πΩ=Ω>Ω=当，即为带限信号。
则当采样频率满足2/22s M M f f π≥Ω=时,可以从采样后的^()()()a assn x t x nT t nT δ∞=-∞=-∑信号无失真地恢复()ax t 。
称2Mf为奈奎斯特频率，12N M T f =为奈奎斯特间隔。
注意：实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在ADC 前加一个滤波器（防混迭滤波器）。
2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。
低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率2s M f f = 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≤ 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率2s M f f ≥ 设一带限信号的频谱如下：ˆ()a xt )(ˆΩj X a()a G j Ω0 m-ΩΩm Ω0T TT-ΩTΩ（1）临界采样（2）过采样（3）欠采样由上图可知，当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号，但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。
实验二(时域采样与频域采样)
10.2 实验二 时域采样与频域采样 10.2.1 实验指导1. 实验目的时域采样理论与频域采样理论是数字信号处理中的重要理论。
要求掌握模拟信号采样前后频谱的变化，以及如何选择采样频率才能使采样后的信号不丢失信息；要求掌握频率域采样会引起时域周期化的概念，以及频率域采样定理及其对频域采样点数选择的指导作用。
2. 实验原理与方法时域采样定理的要点是：a) 对模拟信号)(t x a 以间隔T 进行时域等间隔理想采样，形成的采样信号的频谱)(ˆΩj X 是原模拟信号频谱()aX j Ω以采样角频率s Ω（T s /2π=Ω）为周期进行周期延拓。
公式为：)](ˆ[)(ˆt xFT j X a a =Ω )(1∑∞-∞=Ω-Ω=n s a jn j X T b) 采样频率s Ω必须大于等于模拟信号最高频率的两倍以上，才能使采样信号的频谱不产生频谱混叠。
利用计算机计算上式并不方便，下面我们导出另外一个公式，以便用计算机上进行实验。
理想采样信号)(ˆt xa 和模拟信号)(t x a 之间的关系为： ∑∞-∞=-=n a a nT t t x t x)()()(ˆδ对上式进行傅立叶变换，得到：dt e nT t t x j X t j n a a Ω-∞∞-∞-∞=⎰∑-=Ω])()([)(ˆδ dt e nT t t x t j n a Ω-∞-∞=∞∞-∑⎰-)()( δ＝在上式的积分号内只有当nT t =时，才有非零值，因此：∑∞-∞=Ω-=Ωn nT j aae nT xj X )()(ˆ上式中，在数值上)(nT x a ＝)(n x ，再将T Ω=ω代入，得到：∑∞-∞=-=Ωn nj aen x j X ω)()(ˆ上式的右边就是序列的傅立叶变换)(ωj eX ，即T j a e X j X Ω==Ωωω)()(ˆ上式说明理想采样信号的傅立叶变换可用相应的采样序列的傅立叶变换得到，只要将自变量ω用T Ω代替即可。
第四章3-时域采样与频域采样
抽样间隔(周期) 抽样角频率 抽样频率
T
(s)
wsam=2/T (rad/s)
fsam=1/T (Hz)
例 已知实信号x(t)的最高频率为fm (Hz)，试计 算对各信号x(2t)， x(t)*x(2t)， x(t)x(2t),
x(t)x(2t)抽样不混叠的最小抽样频率。
解：根据信号时域与频域的对应关系得：
F ( jw)
1
f (t) F( jw)
最高频率： fm
wm
w
0 wm
最小抽样频率： 2fm
17
根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
f (2t) 1 F( jw )
22
最高频率： 2fm 最小抽样频率： 4fm
根据信号时域卷积与频域的对应关系及抽样定理得：
X (jw)
1 X (j ) T
X (e j )
W sam
ω
0 wm s
W sam
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
X ( jw)
wsam 2wm
1
w
wm 0 wm
X (e jwT )
X [ j(w wsam )]
1 X ( jw)
X [ j(w wsam )]
...
f (t)* f (2t) F( jw) 1 F( jw )
22
最高频率： fm
最小抽样频率： 2fm
根据信号时域与频域的对应关系及抽样定理得：
f (t) f (2t) 1 F( jw)* 1 F( j w )
2
22
1
1 F ( jw)* 1 F( jw )
2
第二讲-时域频域表示-采样
1-2 时域离散信号—序列
1-3 DT 系统 和 LTI系统
1-4 时域离散系统的因果性和稳定性 1-5 DT 系统 和信号的频域表示
--时域表示—差分方程 （补充）
-- 频域表示—系统的频率响应 1-6 离散时间序列的Fourier变换（DTFT ） 1-7 信号的采样与恢复 1-8 Z变换 1-9 系统函数 1-10 系统的信号流图
h(3-k) 0
h(4-k) 0
0
0
0
0
34
2
0
4
2
5
4
1.3.6 离散卷积的运算规律 运算规律：
1.交换律 2.结合律 3.分配律
v(n) * w(n) w(n) * v(n) v(n) * w(n) * x(n) v(n) * w(n)* x(n) x(n) * v(n) w(n) x(n) * v(n) x(n) * w(n) x ( n) * ( n) x ( n) x ( n) * ( n k ) x ( n k )
对应关系
1.3.5 离散卷积的计算
系统输入与输出间的关 系为如下线性卷积： y[n]
k
x(k )h[n k ]
1
x[k]
1
k
5
其计算步骤为：
反转 h (a ) 折叠：[k ] h[ k ]
移位 h (b) 延时：[ k ] n 样本, i.e., h[(k n)] h[n k ] n 0, 右移 (c) 相乘：
频率响应 实部 虚部 幅频响应 相频响应
幅频响应：
H (e ) H (e ) H ( e )
2 R 2 I
时域采样与频域采样比较.dos
时域采样：A=444.128;alph=50*2^(0.5)*pi;w=50*2^(0.5)*pi;tp=0.064;T=1/1000; fs=1/T;m=tp*fs;n=0:m-1;xn1=A*exp(-alph*n*T).*sin(w*n*T);subplot(3,2,1);stem(n,xn1,'.');title('xn1')xlabel('n');ylabel('xn1');xk1=fft(xn1,m).*fs;k=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1);subplot(3,2,2);plot(k,abs(xk1)); title('xk1')xlabel('w');ylabel('xk1');T=1/300; fs=1/T;m=tp*fs;n=0:m-1;xn2=A*exp(-alph*n*T).*sin(w*n*T);subplot(3,2,3);stem(n,xn2,'.');title('xn2')xlabel('n');ylabel('xn2');xk2=fft(xn2,m).*fs;k=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1); subplot(3,2,4);plot(k,abs(xk2)); title('xk2');xlabel('w');ylabel('xk2');T=1/200;fs=1/T;m=tp*fs;n=0:m-1;xn3=A*exp(-alph*n*T).*sin(w*n*T);subplot(3,2,5);stem(n,xn3,'.');title('xn3')xlabel('n');ylabel('xn3');xk3=fft(xn3,m).*fsk=0:2*pi/m:2*pi/m*(m-1);subplot(3,2,6);plot(k,abs(xk3)); title('xk3')xlabel('w');ylabel('xk3');频域采样：M=27;N=32;n=0:M;%产生M长三角波序列x(n)xa=0:floor(M/2); xb= ceil(M/2)-1:-1:0; xn=[xa,xb];Xk=fft(xn,1024); %1024点FFT[x(n)], 用于近似序列x(n)的TFX32k=fft(xn,32) ;%32点FFT[x(n)]x32n=ifft(X32k); %32点IFFT[X32(k)]得到x32(n)X16k=X32k(1:2:N); %隔点抽取X32k得到X16(K)x16n=ifft(X16k,N/2); %16点IFFT[X16(k)]得到x16(n)subplot(3,2,2);stem(n,xn,'.');box ontitle('(b) 三角波序列x(n)');xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:1023;wk=2*k/1024; %subplot(3,2,1);plot(wk,abs(Xk));title('(a)FT[x(n)]');xlabel('\omega/\pi');ylabel('|X(e^j^\omega)|');axis([0,1,0,200])k=0:N/2-1;subplot(3,2,3);stem(k,abs(X16k),'.');box ontitle('(c) 16点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_1_6(k)|');axis([0,8,0,200])n1=0:N/2-1;subplot(3,2,4);stem(n1,x16n,'.');box ontitle('(d) 16点IDFT[X_1_6(k)]');xlabel('n');ylabel('x_1_6(n)');axis([0,32,0,20]) k=0:N-1;subplot(3,2,5);stem(k,abs(X32k),'.');box ontitle('(e) 32点频域采样');xlabel('k');ylabel('|X_3_2(k)|');axis([0,16,0,200])n1=0:N-1;subplot(3,2,6);stem(n1,x32n,'.');box ontitle('(f) 32点IDFT[X_3_2(k)]');xlabel('n');ylabel('x_3_2(n)');axis([0,32,0,20])。
实验三 时域采样与频域采样
实验三程序代码及实验结果图：（1）时域采样理论的验证。
给定模拟信号，x a t=Ae−αt sinΩ0t u(t),现用DFT(FFT)求该模拟信号的幅频特性，以验证时域采样理论。
按照x a t的幅频特性曲线，选取三种采样频率，即F s=1kHz，300Hz，200Hz。
观测时间选T p=50ms。
要求：编写实验程序，计算x1n、x2n和x3n的幅度特性，并绘图显示，观察分析频谱混叠失真。
实验程序代码及结果如下：Tp=64/1000; %观察时间Tp=64msFs=1000; %采样率1khzT=1/Fs; %采样间隔M=Tp*Fs; %fft给定点数n=0:M-1; %序列从0开始，至少要达到fft的点数%产生模拟信号对应的离散序列x1(n)A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);%无需乘u(t)，因为序列从0开始Xk=T*fft(xnt,M); %频谱函数n1 =0: (length(xnt)-1); %求出序列长度n2 =0: (length(Xk)-1);subplot(3,2,1); %位置为左上stem(n1,xnt); %时域波形title('时域1000hz采样波形'); %标题fk=n2/Tp; %求出频率subplot(3,2,2); %位置为右上stem(fk,abs(Xk)); %幅频特性曲线title('频域1000hz采样'); %标题%-----------300hz-------------Tp=64/300; %观察时间Tp=64msFs=300; %采样率300hzT=1/Fs; %采样间隔M=Tp*Fs; %fft给定点数n=0:M-1; %序列从0开始，至少要达到fft的点数%产生模拟信号对应的离散序列x1(n)A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);%无需乘u(t)，因为序列从0开始Xk=T*fft(xnt,M); %频谱函数n1 =0: (length(xnt)-1); %求出序列长度n2 =0: (length(Xk)-1);subplot(3,2,3); %位置为左中stem(n1,xnt); %时域波形title('时域300hz采样'); 标题fk=n2/Tp; %求出频率subplot(3,2,4); %位置为右中stem(fk,abs(Xk)); %幅频特性曲线title('频域300hz采样'); 标题%-----------200hz-------------Tp=64/200; %观察时间Tp=64msFs=200; %采样率200hzT=1/Fs; %采样间隔M=Tp*Fs; %fft给定点数n=0:M-1; %序列从0开始，至少要达到fft的点数%产生模拟信号对应的离散序列x1(n)A=444.128;alph=pi*50*2^0.5;omega=pi*50*2^0.5;xnt=A*exp(-alph*n*T).*sin(omega*n*T);%无需乘u(t)，因为序列从0开始Xk=T*fft(xnt,M); %频谱函数n1 =0: (length(xnt)-1); %求出序列长度n2 =0: (length(Xk)-1);subplot(3,2,5);stem(n1,xnt); %时域波形title('时域200hz采样');fk=n2/Tp;subplot(3,2,6); %位置在右下stem(fk,abs(Xk)); %幅频特性曲线title('频域200hz采样'); %标题（2）频域采样理论的验证。
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n
x (nT ) (t nT ) 信号无失真地恢复 x (t ) 。称 2 f
a s s a
M
为奈奎斯特频率，
1 f M 为奈奎斯特间隔。 2
注意： 实际应用中，被采信号的频谱是未知的，可以在 ADC 前加一个滤波器（防混迭 滤波器） 。 2、低通采样中的临界采样、欠采样、过采样的时域及频域变化情况。 低通采样中的临界采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 低通采样中的欠采样是指在低通采样时采样频率 f s 2 f M 设一带限信号的频谱如下：
x[n / L], n 0, L, 2 L xu [n] ，框图表示为 otherwise 0, L
x[n]
xu[n]
可以得到： X u ( z ) X ( z L ) ， X u (e j ) X (e j L ) ，对于 L=2 时，可得下图：
X (e j )
n 0 n
X
a
( j ( n 0))
式中 T 代表采样间隔， 0
1 T
由上式可知：采样后信号的频谱是原信号频谱以 0 为周期的搬移叠加 结论：时域离散化，频域周期化；频谱周期化可能造成频谱混迭。
xa (t ) X a ( j )
ˆa (t ) x
ˆ ( j ) X a
2 H ，此时有 M
L 0
0
L H
H
0
P ( j )
T 2 m
T
0
T
G p ( j )
H L 0
0
0
L H
从上图可以看出同样能无失真的恢复出原带通信号 (拓展知识): 4、变采样率的数字信号处理 A、降采样率（整数倍抽取）的实现原理，时域和频域的变化情况。 降采样率是指每次抽样保留输入序列中的第 M 个样本，而除去中间的 M-1 个样 本： y[n] x[nM ] 用框图表示为
（ 1 ）当最高频率 H 是带宽的整数倍，即 H M ( ) ，而选择的抽样频率
T 2( ) 2 H ，此时有 M
Ga ( j )
H
L
0
L P ( j )
H
T 2 m
T
0
T
G p ( j )
H
L
0
L
H
从图中可以看出， 当把该采样信号通过一个理想带通滤波器时，可以恢复出原信 号。 （2）当最高频率 H 不是带宽的整数倍，我们可以认为的扩展带宽，使得该带 通信号的 H M ( ) ，而选择的抽样频率 T 2( )
2
0
2
X (e j / 2 ) 2
X (e j / 2 ) 2
0
混叠
可以知道，在降采样率时， X (e j ) 的原形状会丢失，即发生混叠现象。M 倍下 抽样器的输出和输入之间傅氏变换的关系为： Y (e j )
1 M
M 1 k 0
X (e
j ( 2 k ) / M
六、实验器材（设备、元器件） ：Pc 机,DSP 试验箱 七、实验步骤：
1、在 MATLAB 中设计完成可变采样率采样（抽取）程序。 2、对比观察、分析各种采样（临界采样、过采样、欠采样）时域频域的情况。
八、实验数据及结果分析：
1.可变采样率采样（抽取）程序: clear
clc f=input('the samping frequency f= '); N=input('采样长度 N='); n=0:0.1:N-1; t=0:0.01:10; x=sin(20*pi*t); subplot(2,2,1) plot(t,x,'r');axis([0 0.2 -1.5 1.5]);grid xlabel('t'),ylabel('margin') title('origial singal') y=sin(20*pi*n/f); hold on
y[n]
C、分数倍变采样率的实现原理，时域和频域的变化情况。 采样率的分数转换可以用 M 倍抽取器和 L 倍内插器级联而成， 其中 M 和 L 都是 正整数。这样级联有两种可能的形式
H d (z)
M
L
Hu (z)
L
Hu (z)
H d (z)
M
L
H (z)
M
四、实验目的：
深刻理解低通采样中的临界采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的欠采样的时域及频域变化情况。 深刻理解低通采样中的过采样的时域及频域变化情况 深刻理解带通采样过程及带通采样定理。
)
在下抽样以前，为了避免引起混叠，信号需要通过一个低通滤波器来带限到
| | / M 即： H (z) M
x[n]
y[n]
B、升采样率（整数倍内插）的实现原理，时域和频域的变化情况。 升采样率是指通过在对原离散信号的两个连续样本间插入 L-1 个等距的样本值 （不一定为零） ，亦即抽样因子为 L 的上抽样。上抽样后的序列长度为原来的 L 倍：
x[n]
M
y[n]
可以得到 Y ( z )
1 M
M 1 k 0
X (z
1/ M
k WM ) ，以 2 倍下抽样器为例，即 L=2，可得
1 1 Y (e j ) { X (e j / 2 ) X ( e j / 2 )} { X (e j / 2 ) X (e j ( 2 ) / 2 )} ，如下图所示 2 2 X (e j )
Ga ( j )
m
0
m
P ( j )
T 2 m
T
0
T
1/ T T
GP ( j )
（1）临界采样
T
P ( j )
T 2 m
T
0
T GP ( j )
1/ T T
（2）过采样
P ( j )
T
T 2 m
T
0
T GP ( j ) T
电 子 科 技 大 学
实
验
报
告
一、实验室名称：数字信号处理实验室 二、实验项目名称：采样的时域及频域分析 三、实验原理：
1、采样的概念：采样是将连续信号变化为离散信号的过程。 1. A、理想采样：即将被采样信号与周期脉冲信号相乘
xa (t )
xa (t )
^
T (t )
B、实际采样：将被采样信号与周期门信号相乘，当周期门信号的宽度很小，可 近似为周期脉冲串。 ^
2
0
X (e j )
2
2
0
2
如图，2 倍的抽样率扩展导致频谱的 2 倍重复，表明傅里叶变换以 2 倍压缩。因 此可得输入频谱的一个额外镜像，这个过程也叫做映射。上采样后不必要的镜像 必须用一个称为内插滤波器的低通滤波器 H(z)来消除，即：
L H (z)
x[n]
xu[n]
xa (t )
xa (t )
pT (t )
根据傅里叶变换性质
FT xa (t ) X a ( j ) FT T (T ) 0 ( j )
0
ˆa (t ) xa (t ) T (T ) x
n n
x (nT )
a
T
FT (t nT ) Xˆa ( j )
stem(n/f,y);axis([0 0.5 -1.5 1.5]);grid title('the samped singal') hold off
title('time singal of before sampe and samped ') h1=fft(x,1024); h=fft(y,1024); subplot(2,2,2)
五、实验内容：
本实验要求学生运用 MATLAB 编程完成可变采样率采样（抽取）程序，并对提供 的离散时间信号分别进行临界采样、过采样、欠采样时信号时域和频域的信号变 化情况， 以加深对相关教学内容的深刻理解。进而拓展到可变采样率信号处理的 基本方法的 MATLAB 实现，得到信号的时频域变化情况，使学有余力的同学进一 步加深对变采样率信号处理相关知识的理解。
plot(N*[-511:512]/1024,abs(h1));grid axis([0 50 1 max(abs(h1))]) subplot(2,2,3) title('Frequency domain waveform original singal') plot(f*[-511:512]/1024,abs(h));grid
C、低通采样和 Nyquist 采样定理 设 xa (t ) X a ( j ) 且 X a ( j ) 0, 当 M 2 f M ， 即为带限信号。则当采样频率满足 f s 2 M / 2 2 f M 时 , 可以从采样后的
xa (t ) TN
^
1/ T T
（3）欠采样
由上图可知， 当为临界采样和过采样时，理论上可以无失真的恢复采样信号， 但是实际在临界采样时，由于实际滤波器的性能限制，无法无失真的恢复，在欠 采样时只能部分恢复原信号的频谱特性。因此过采样时使用最为广泛的采样方 式， 当需要注意的是对临界采样和欠采样由于采样频率可以降低，在不需要恢复 出信号的全部频谱特征时， 则往往使用这两种采样方式。随着信号处理技术的发 展，信号的频率越来越高，这两种方式也有着广泛的应用前景。
3、带通采样过程及带通采样定理。 带通采样是对于带通信号进行采样的过程。