一道课本习题的教学设计及思考
七年级数学下册《习题》教案、教学设计
（1）教师明确本节课的教学目标，让学生明确学习任务。
（2）通过问题、情境、图片等方式，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究新知识。
（3）针对学生的年龄特点和认知水平，设计合适的导入方式，使学生在轻松愉快的氛围中进入新课学习。
（二）讲授新知
1.教学内容：讲解新课的知识点，引导学生掌握基本概念、性质、定理和公式。
（二）教学设想
1.创设情境，激发兴趣：
在教学过程中，教师应结合生活实际，创设有趣、富有挑战性的问题情境，激发学生的学习兴趣，使他们积极主动地参与到课堂教学中。
2.自主探究，合作交流：
鼓励学生自主探究问题，通过独立思考、尝试错误、总结经验，形成自己的解题方法。同时，加强合作交流，让学生在小组讨论中分享思路，互相学习，共同提高。
教学过程：
（1）教师用生动的语言、形象的比喻，帮助学生理解抽象的数学概念。
（2）通过示例、图示等方法，让学生直观地感受数学知识，提高他们的空间想象力。
（3）注重启发式教学，引导学生主动思考、提出问题，培养学生的逻辑思维能力。
（4）针对学生的疑问，给予耐心解答，帮助他们克服学习难点。
（三）学生小组讨论
1.必做题：
（1）课本第chapter页练习题第1-5题，要求学生在理解的基础上，独立完成，并注意解题过程的规范性和准确性。
（2）结合课堂所学，解决以下实际问题：_______（题目内容与课堂所学知识相关），要求学生将解题过程和答案书写在作业本上。
2.选做题：
针对学有余力的学生，布置以下选做题：
（1）探究性问题：_______（题目内容具有一定挑战性，要求学生运用课堂所学知识进行探究），鼓励学生尝试不同的解题方法，培养他们的创新意识。
北师大版小学数学二年级下册第五单元《小蝌蚪的成长》教学设计建议及课本习题解析
小蝌蚪的成长（三位数笔算减法）学习目标1.借助数线和计数器，进一步探索并掌握三位数减法的计算方法，经历与他人交流计算方法的过程，理解多位数减法的计算道理，并能正确计算。
2.经历把连续退位减法转化成不退位减法的过程，体验转化的思想。
3.引导学生通过反思计算中的常见错误，养成认真、有条理的计算习惯。
编写说明本节内容是在学生基本掌握三位数减法计算方法的基础上，进一步学习需要退位的减法。
主要包括两部分内容：需要连续退位减法的口算和竖式计算。
教科书首先创设了“小蝌蚪变青蛙”这个涉及自然常识且小朋友感兴趣的情境，引出减法问题。
·东池塘有多少只蝌蚪没有变成青蛙？学习三位数减两位数需要连续退位的减法计算。
连续退位是学生遇到的新问题，也是多位数减法中的难点。
为帮助学生突破难点，除了竖式，教科书还呈现了结合口算和通过数线、计数器演示，启发学生用多种直观的方法体会连续退位的计算道理。
·西池塘有多少只蝌蚪没有变成青蛙？学习三位数减三位数需要连续退位的减法计算。
思路与上一个问题相同。
·他们做得对吗？和同伴说一说。
针对退位减法计算中的常见错误进行反思，进一步帮助学生关注计算中的关键点，保证计算的准确性。
试一试·开联欢会买了300个气球，吹好了76个，没吹好的还有多少个？主要探索整百数减几十几的减法。
类似的情况在一年级下册100以内数的减法计算时出现过，结合前一课时内容，学生此时的学习难度会有所降低。
教科书呈现了口算、拨计数器演示和竖式三种方法，其中计数器演示只给出了关键步骤。
·笑笑是这样算的，你能看懂吗？和同伴说一说。
学习把退位减法转化成不退位减法的口算方法。
这是教科书帮助学生突破难点的又一种化难为易的尝试。
在计算“300-76”时，首先用被减数300减去1，然后用299减去76，最后在得数再加上1即可。
这样做的优点是把连续退位的减法转变成不退位减法，从而降低计算的难度，提高计算的准确性。
【2019版新教材】高中数学A版必修第一册第一章全章节教案教学设计+课后练习及答案(名师推荐精编版)
【新教材】人教统编版高中数学A版必修第一册第一章教案教学设计+课后练习及答案1.1 《集合的概念》教案教材分析集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础．许多重要的数学分支，都是建立在集合理论的基础上．此外，集合理论的应用也变得更加广泛．教学目标【知识与能力目标】1．通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；2．知道常用数集及其专用记号；3．了解集合中元素的确定性、互异性、无序性；4．会用集合语言表示有关数学对象；5．培养学生抽象概括的能力．【过程与方法目标】1．让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义．2．让学生归纳整理本节所学知识．【情感态度价值观目标】使学生感受学习集合的必要性和重要性，增加学生对数学学习的兴趣．教学重难点【教学重点】集合的含义与表示方法．【教学难点】对待不同问题，表示法的恰当选择．课前准备学生通过预习，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．教学过程（一）创设情景，揭示课题请分析以下几个实例：1．正整数1，2，3，；2．中国古典四大名著；3．2018足球世界杯参赛队伍；4．《水浒》中梁山108 好汉；5．到线段两端距离相等的点．在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体．（二）研探新知1．集合的有关概念（1）一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）．思考：上述5 个实例能否构成集合？如果是集合，那么它的元素分别是什么？练习1：下列指定的对象，是否能构成一个集合？①很小的数②不超过30 的非负实数③直角坐标平面的横坐标与纵坐标相等的点④ 的近似值⑤高一年级优秀的学生⑥所有无理数⑦大于2 的整数⑧正三角形全体（2）关于集合的元素的特征（a）确定性：设A一个给定的集合，对于一个具体对象a,则a或者是集合A 的元素，或者不是集合 A 的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．（b）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素．一元素.（c）无序性：集合中的元素是没有顺序关系的，即只要构成两个集合的元素一样，我们称这两个集合是相等的，跟顺序无关．（3）思考1：列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题．答案：（a）把3-11内的每一个偶数作为元数，这些偶数全体就构成一个集合．(b)不能组成集合，因为组成它的元素是不确定的.( 4)元素与集合的关系；(a)如果a是集合A的元素，就说a属于(belongto) A,记作a € A(b)如果a不是集合A的元素，就说a不属于(not belong to) A,记作a A例如：A表示方程x2=1的解. 2 A, 1CA( 5)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合．(a)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号”。
一年级上册语文课后练习教案
本文将着重介绍一年级上册语文课后练习优秀教案，从教学目标、教学内容、教学方法三个方面进行详细阐述。
通过对这些优秀教案的分析，既可以提高学生的语文水平，又可以为相关的教育者提供一些有益的借鉴。
一、教学目标针对一年级上册语文的特点，教学目标通常包括以下几个方面：1. 培养学生的汉字识别能力和阅读能力；2. 培养学生的口语表达能力和写作能力；3. 培养学生的语文思维能力和语言运用能力。
教学目标的明确性和可行性是教案编写中最基本的要求，只有确立了合适的教学目标，才能制定恰当的教学内容和教学方法。
二、教学内容一年级上册语文教材内容主要包括拼音、识字、课文、作文、语文综合等方面，针对这些内容的具体处理方式，也是教案编写的核心要素。
针对学生的特点，教师在编写教案时应该更注重基础的建设。
例如，在识字方面，教师应该介绍基本的汉字笔画和发音；在作文方面，则应该先让学生练习简单的写作技巧，如如何选择话题，并组织好段落的结构。
在选择教学材料时，教师也需要考虑学生的学习兴趣和年龄特点，避免过于单调和枯燥。
教师还应该在教学内容的设计中注重知识的渗透和相互关联，提高学生的学习效率。
三、教学方法针对一年级上册语文教学，教学方法的选取至关重要，不同的方法可以促进学生的专注度和学习效果。
一个教学方法的好与坏取决于其专业的性质和能够解决学生面临的问题。
在教学过程中，教师应该选择合适的教学方法，例如操练法、教具法等，帮助学生建立完整的语文知识体系。
同时，在教学过程中，教师还应该注重学生打好基础，建立起学生的学习兴趣，以及帮助学生自主思考和体验语文。
通过综合运用这些教学方法，可以让学生更好地掌握语文知识，提高语文素养。
一年级上册语文课后练习优秀教案的主要内容，教师在教学的过程中应该根据自己的教学经验和学生的实际需要，进行灵活的选择和改进。
通过引导学生掌握基本的语文知识，建立兴趣，培养好的语文思维习惯，教师可以激发学生内在的学习动力，实现教育和知识的有效传递。
小学数学_《比例的意义和基本性质》练习课教学设计学情分析教材分析课后反思
《比例的意义与基本性质》练习课教学设计教学目标：1、在具体情境中，理解比例的意义和基本性质。
能够灵活应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例。
2、能应用比例的基本性质由等式乘积写出不同的比例，培养学生的合情推理能力，发展学生思维的灵活性。
3、引导学生掌握解比例的方法，会解比例。
强调解比例的书写规范和计算的准确性，以提高学生的审美能力和计算能力。
4、通过解决数学问题，进一步体验数学解题方法的多样性与灵活性，感受学习数学的魅力。
教学重点：综合应用比例意义与基本性质灵活解题，掌握解比例的方法，学会解比例。
教学难点：利用比例基本性质由等式乘积写比例。
教学准备：PPT课件教学过程：一、知识再现，整体感知。
1、谈话引入：上节课我们学习了比例的有关知识，那么你知道什么是比例吗？学生口述出比例的定义。
教师指出“表示两个比相等的式子叫做比例”既是比例的定义也是比例的意义。
（板书比例的意义）2、师生活动。
教师出示一组比2∶3，请学生快速的给出其它比，使学生说出能与之组成比例的其它比。
选择一组比验证两个比是否组成比例，让不同的学生说明验证的方法。
（设计意图：开放性的问题激发了学生学习积极性，有的学生根据比例的意义计算比值判断两个比能组成比例，有的学生根据比例的基本性质判断两个比能否组成比例，还有的学生根据比的基本性质判断两个比能否组成比能否组成比例。
对于学生的合理解释教师予以肯定。
通过验证两个比能否组成比例，学生回忆起上节课重点内容“比例的意义与基本性质”这为本节练习课做好了知识储备）二、分类练习，各个击破。
1、比例的意义应用。
判断两个比能否组成比例下面各比中，哪两个能组成比例？把能组成比例的写出来. 14: 20 101:41 2: 2.5 0.4 : 0.5 2.8: 4 41:85 （设计意图：在上一题的练习中，学生给出体会到并不是任意的两个比都能组成比例。
如果给出的比较多时，如何从中选取出能组成比例的两个比？引起学生认知冲突，学生思考解题的最优方案，计算每个比的比值，根据比值相等选取不同的比组成比例，这是对比例意义的应用。
北师大版小学数学二年级下册数学好玩《上学时间》教学设计建议及课本习题解析
上学时间（综合与实践）学习目标1.通过记录、讨论一周上学时间的实践活动，感受时间在日常生活中的作用，体验运用时间的知识和记录的方法解决简单问题的过程，获得初步的记录时间的数学活动经验。
2.在记录、讨论一周上学时间的实践活动中，了解一些初步记录数据的活动方法，初步体验数据的随机性，并进一步理解与时间相关的内容。
3.结合上学时间的现实情境，发展发现、提出问题和分析、解决问题的能力，并在解决问题的过程中，积累从头到尾思考问题的经验，并初步发展合作交流能力和反思意识。
建议学习课时数1课时。
编写说明教科书安排本节内容的学习，主要基于以下几点考虑。
第一，在综合实践的活动中，以问题为载体，开展以学生自主参与为主的学习活动，发展学生发现、提出问题和分析、解决问题的能力，积累从头到尾思考问题的经验。
第二，为统计内容的学习，如数据分析的意识和体会数据的随机性积累活动经验。
第三，进一步巩固、提升“时、分、秒”的学习内容。
此外，《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的相关论述说明了此素材的价值：“有利于培养学生的数据分析意识：知道在现实生活中，有许多问题可以先调查数据，通过对数据的分析得到结论：如果把记录时间精确到分，可能学生每天上学途中需要的时间是不一样的，可以让学生感悟数据的随机性：更进一步，让学生感悟虽然数据是随机的，但数据较多时具有某种稳定性，可以从中得到很多信息。
”还需要说明的是作为综合实践课，本节内容建议以课内外活动相结合的形式完成，教科书安排的四个活动，希望通过两个阶段完成。
第一阶段完成提出问题、“议一议”“做一做”“想一想”等活动，初步经历从头到尾思考问题的过程。
第二阶段，安排学生利用一个星期收集数据，经历记录、整理自己上学时间数据的过程。
情境图给出了记录淘气早晨从家出发的时间和到校时间的例子，并就此提出三个问题。
这些问题的提出，一方面能帮助学生读取图中有价值的数学信息，另一方面也可以启发学生发现并提出有价值的数学问题。
一道课本习题的解题教学反思
一道课本习题的解题教学反思设计一：本题从题目上读字面意义要求画出函数的图象，并求出函数的解析式，训练的是奇函数的图象关于原点成中心对称图形，由已知x≥0时，f（x）=x（1+x）是二次函数，做出此时函数的图象，再利用高一学生在初中就已经很熟知的中心对称的方法，画出x0时的图象，利用待定系数法，求出此时的解析式。
设计二：运用转化的数学思想。
题目中给出条件是奇函数，满足f（__）=-f（x），利用奇函数的定义及转化的数学思想方法，将所要求x0时的解析式转化到已知解析式（x≥0）上，求出函数的解析式。
反思一：教学设计。
本节课达到了教学目标，使学生感受了数学思想方法的应用，对上述三种解题设计方案我比较倾向于第一种和第二种，第一种方案遵循教材原有意图，符合高一学生的原有的认知规律，是学生很容易接受的，但是第一种方案的局限性很强，当遇到不好作图的题目或者是学生不熟悉的函数图象时，学生是无从下手了，第二种解法更具有一般性，利用了转化的数学思想，适用于这一类的题目，因此设计上比第一种方案好，第三种方案从理论上讲是应用了转化的数学思想，但这种方法在学习了解析几何之后能够更好的理解，对高一学生有认知困难。
反思二：学生接受的情况。
课堂上学生对第一种方案接受较好，完全是自主完成解题过程，相应的练习及课后的作业接受的都很到位。
对第二种方案就如预期的一样，有部分学生不知道应该设x的什么范围，也不知道为什么要将__代入x≥0时的解析式中，这是对分段函数的不理解造成的问题。
对于第三种方案，在课后的习题及测试中，我发现有部分同学喜欢这种方法，他们的解释是只需要将（__，-y）代入就行了，很简单。
应该说从函数的意义上，他们不是完全理解。
反思三：对今后教学的指导意义。
我对这节解题教学设计的预期基本达到，但不足之处也很多，由于第二种方法还有部分同学不是很能掌握，要继续对他们的个别指，针对此方法对分段函数做更多的课前复习，达到双嬴。
第三种方法不是很适合在高一这么早的时候讲解，会给学生养成不好的学习习惯，只是死记解题过程，而不求思维过程，学生在此方法中对符号的使用也易混乱。
一道课本习题教学的实践与思考——关于例、习题教学有效性的探讨
（ １ ） 求 一个小 弓形 的面积． 分析： 每个 花瓣 由２ 个 小 弓形
课本 一 习题 的教学 设计为 例 ，谈 点
组成 ， 把 阴影部 分看成 ８ 个小 弓形 的和． 可以计算 一个 小 弓形 的面积 ， 然后乘 以８ ， 而一个小 弓形 的面积等于一个
扇形减一个三角形的面积 解 法１ ： 如 图３ ， 曰 的中点Ｅ Ａ … … …… … 一
面积减 去一个花瓣 的面积 ｓ ７ ， 从 而 得到一个空 白的面积＆ 解 法６ ： 如 图８ ， 由前 面 知 可
通过直接 求小 弓形 、 间接求 空 白 、 割补 、 覆盖、 设 元 等手段 ， 归 纳出求 阴影部 分面积 的基 本方法 ， 即将组 合
计算两个小弓形的面积ｓ 。 ＋ ｓ ２ ， 然后乘以４ ． 解法２ ： 如图４ ， Ｓ ｌ ＋ ｓ 半 圆 一 ． ｓ △ ＾ 棚
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求 空 白 的面 积
到 的不少题 目都有一定 的难度 ， 要 求学生有 较强 的观察 能力 ， 所 以不少 学生 难免有 畏难 情绪 ， 不愿 意作 深人 思
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习题 分 析
本 题是人 教版九 年级上册 第 １ １ ４ 页习题２ ４ ． ４ 第３ 题，
是在学生 已学 习了三角形 、 矩形 、 正方形 、 圆、 扇形 、 弓形
引号 ） ２ ．
ｓ ＝ ８ Ｓ １ ）
（ ２ ） 求两个小 弓形 的面积 的和．
扇形 ） ？ ｉ求 ， 然后 乘 以８ ， 得 到所
部编版五年级语文下册第一单元习题教学设计
部编版五年级语文下册第一单元习题教学设计
前言
在五年级语文教学中，习题是检验学生掌握知识和技能的有效方式之一。
本文将围绕部编版五年级语文下册第一单元内容，设计一系列习题，通过不同形式的题目，帮助学生巩固知识，培养语文运用能力。
教学目标
1.熟练掌握第一单元课文内容，包括课文中的生字词和重点句子。
2.能够正确理解文中的主要情节、意义和思想。
3.提高学生的阅读理解能力，培养他们对文本的分析和推理能力。
4.培养学生的语言表达能力，提高写作水平。
习题设计
课文理解
1.阅读课文《《标题》，回答问题：
–描述一下故事中的主人公。
–主人公面临的问题是什么？他是如何解决的？
–你从这个故事中学到了什么？
生字词运用
2.请你选择正确的词语填空：
–一番风采展现几个形式，（英俊/忙碌）的匆匆走过。
–他的表现（丑陋/优美）令人难以忍受。
3.小组活动：仿照文中的句子，写一个自己构思的句子，尽量运用本单
元生字词。
写作训练
4.请你描述一个你见过的让你觉得“英姿飒爽”的人，并阐述你的看法。
阅读理解
5.阅读课外一篇小故事，回答问题：
–这个故事讲的是什么？你给它起一个适合的标题。
–故事中有哪些值得我们学习的地方？
创意活动
6.设计一个小剧场节目，表演本单元中的一个故事片段。
总结
通过以上习题设计，希望能够调动学生的学习积极性，提高他们的语文运用能力。
在教学过程中，教师应引导学生充分发挥想象力和创造力，提升他们的语文素养，使语文学习变得更加生动有趣。
关于一道课本习题的教学思考
第二 ， 改变原来复 习时常用 的“ 用条 件分析方 法” 为
“ 用关键词选择方法” ． 根据 已知推 结论也 是解决 问题 的
过程， 但 是 每个条 件都 可 以涵盖 多个方 向的结论 ， 哪个
２ ９
Ｅ — ｍ ｉ ｌ ： ｚ ｘ ｊ ｘ ｃ ｋ ｌ ｋ ＠１ ６ ３ ・ ｃ 。 ｍ
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习题 研 究
关 于 一 道 课 本 习题 的 教 学 思 考
广 西 南宁 市第 十四 中学（ ５ ３ Ｏ Ｏ Ｏ Ｏ ） 邓 云锋
课本 习题 蕴藏着 丰 富 的内涵 ， 挖掘、 提高课 本 习题 的教 学价值 ， 是 教师应 承 担 的责任 ， 也 是完 成教 学任 务 的必 要环 节 ， 教 师应 高度 重视课 本 习题 的教学． 下 面就
式， 将 实际 问题转 化 为数学 问题． 对利 润 问题 的探 究有 利于学生巩 固二次 函数 图像与性 质 的相 关知识 ， 培养学
生 良好 的 思 维 习 惯 以 及 用 二 次 函 数 模 型 解 决 实 际 问题
入 住 的 房 间数
５ ０
收 入
利 润
１ ８ ０× ５ ０
熟悉 的 内容开 始 ， 逐 渐补 充完 整． 知 识 结 构 的梳 理 不 一
生亲身经历 的思考过程 ， 才能使 其掌握 相应方法． 例如 ， 《 切线 的判定 复 习课 》 其 关键 词是 “ 证 切线 ” ， 即“ 证垂直” ， 复 习就从 这个 关键 词 出发 ， 由此 列 出证垂 直的各种方法—— 知识结 构框架构建 ， 然后再考 查每种
中学 教 学 参 考
人教版数学六年级下册第一单元负数 第3课时 练习课教学设计 教案 教学反思
第1单元负数第3课时练习课【教学内容】教材第6～7页练习一相关习题。
【教学目标】1.巩固对负数的意义的理解，会读、写正、负数；能够熟练地在直线上表示正、负数和0。
2.通过多层次、多种形式的练习感受负数在生活中的应用。
3.在练习中渗透有关科学的知识，培养全面学习的兴趣。
【重点难点】重点：巩固理解负数的意义，会用负数表示一些日常生活中的量。
难点：能用负数相关知识解决生活中的实际问题。
【教学过程】一、复习回顾1.正、负数的意义。
学生讨论交流，指名汇报。
师生共同小结：为了表示相反意义的量，如零上温度与零下温度、收入与支出等，需要用两种数。
一种是我们以前学过的数，如 6、500、3，这些数是正数；另一种是在这些数的前面添上“﹣”（负号）4.7、83等，这些数是负数。
的数，如-6、-500、-4.7、-82.正、负数的读法和写法。
3.在直线上表示正数、0和负数。
学生讨论交流后小结：二、巩固运用1.完成教材练习一第2题。
（1）学生独立完成。
（2）指名汇报，教师点评。
2.完成教材练习一第3题。
（1）学生独立完成。
（2）学生汇报，其他同学点评。
3.完成教材练习一第4题。
（1）学生独立完成。
（2）学生汇报，其他同学点评。
4.完成教材练习一第5题。
（1）组织学生认真观察直线。
（2）写出直线上指定点所对应的数。
（3）指名汇报，教师点评。
5.完成教材练习一第6题。
（1）指名学生读题，指导学生审清题意。
（2）学生独立完成，集体订正。
三、拓展延伸完成教材第7页练习一第8题。
教师用提问的方法一步步引导学生。
问题可如下：（1）2月份营业额比1月份增长了多少？增长了百分之多少？（2）3月份营业额比2月份减少了多少？减少了百分之多少？（3）4月份营业额比3月份减少了多少？增长了百分之多少？（4）5月份营业额与4月份持平，既无增长也无减少，所以增长率为多少？学生独立思考，小组交流，指名汇报，集体订正。
教师总结：在表示营业额的增长率问题上，可以用正数表示营业额增加，用负数表示营业额减少。
北师大版小学数学二年级下册第三单元《比一比》教学设计建议及课本习题解析
比一比（万以内数的大小比较）学习目标1.结合“比一比”的现实情境，体会两个数的大小关系，掌握万以内数的大小比较方法，进一步感受大数的实际意义。
2.借助“猜数游戏”活动，感受估计在生活中的作用，发展数感，提高学习数学的兴趣，初步养成乐于思考的良好习惯。
编写说明在一年级下册学习了100以内数大小比较的基础上，本节引导学生讨论万以内数大小比较的方法。
在100以内数的大小比较中，一般都是在两个数之间进行大小比较（极少有在三个数之间找最大最小的情况），所以，较多地借助如小方块等直观模型和数数的方式解决问题。
而在万以内数的大小比较中，由于数字大、数位多，被比较的数的个数也增加了，所以小方块和数数的方法缺少可操作性。
因此，在进行万以内数的大小比较时，教科书呈现了多种学生可能会提出的比较数的大小的方法。
当然，学生中不一定有人能很理性地通过数位顺序表来进行数的大小比较，教师可以向学生介绍。
此外，教科书还安排了“试一试”，借助数线比较数的大小，进一步发展学生的数感。
·谁最矮？由给出的四座山的高度中找出最矮的。
当面对多个数进行比较的时候，首先通过明显特征找出最小或最大的数往往是推动解决问题的一种有效手段。
本节课的情境图中给出的四个数，有三个是四位数，有一个是三位数，所以学生会很明显看出香山最矮；有的学生会借助数位顺序表，把四座山的高度写在数位顺序表的下方，很容易看出结果；当然，也会有学生从其他角度作出合理的解释，比如，“在四座山中，三座都比1000米高，只有香山低于1000米，所以，香山最矮”。
·谁最高？由三座山中找出最高的。
这三座山的高度都是四位数。
位数相同时怎样进行数的大小比较?学生结合原有的经验和数位顺序表上的特征，会提出“位数相同时，要先看最高位，最高位上哪个数大，哪个数就大”；也可以用很生活化的语言，结合情境进行比较，如黄山和泰山都是一千多米，华山二千多米，所以华山最高。
·黄山和泰山谁高？谁矮？在位数相同、最高位数字相同的情况下，比较两座山的高度。
一道课本习题的教学设计
一道课本习题的教学设计陈林真甘肃省陇西二中 748100 全日制普通高级中学教科书(必修)人教版数学第一册(上)第47页第6题:(选择题)a x2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是( ).(A)0<a≤1 (B)a<1(C)a≤1 (D)0<a≤1或a<0许多学生会用充要条件的定义进行判断,显然有点困难.给出解答方法:令a=0,方程变为2x+1=0,得x=-12,有负实根,从而排除A项和D项,比较B项和C项,区别在于是否含有1.再令a=1,方程变为x2+2x+1=0,有负实根x=-1,故选C.排除法是解选择题非常有效的方法之一,问:该问题能否直接求解呢?变式1 求a x2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充要条件.学生刚学习完充要条件的判定,接触到的题型多的是判断题目和选择题目,所用的方法大多是定义法.求一个结论的充要条件对学生来说是全新的,有一定的困难,所以不妨先看下面的题目.变式2 若a x2+2x+1=0至少有一个负的实数根,求a的取值范围.该题型对学生来说是熟悉的,该题目也不难解决.解 (1)当a=0时,方程为2x+1=0有负根x=-12符合题意,(2)当a≠0且方程a x2+2x+1=0有两个负的实根时,有Δ=4-4a≥0,x+x=2<,x x=>,得<≤,(3)当a≠0且方程a x2+2x+1=0有一正一负的实数根时,有Δ=4-4a>0,x1x2=1a<0,得a<0.综上所述,所求的a的范围是a≤1.再来看:变式3 当a为何值时,a x2+2x+1=0至少有一个负的实数根?由此,学生不难发现,变式2其实质与变式1还有变式3是相同的,体会到这几个不同的问题可以归结为同一问题,从而明白:类似于求范围的问题,其实质就是求使结论成立的充要条件,由会解决一个问题到会解决一类问题,大大提高了解题能力.变式4 原题中,试问A,B,D选项分别是a x2+2x+1=0至少有一个负的实数根的什么条件?解 设A={a│0<a≤1},B={a│a<1},C={a│a≤1},D={a│0<a≤1或a<0}.显然,A,B,D都是C的真子集.因为a≤1Ζa x2+2x+1=0至少有一个负的实数根.所以A,B,D选项都是ax2+2x+1=0至少有一个负的实数根的充分不必要条件.这里利用集合法、等价法来判断条件与结论的关系,打破了学生习惯用定义法作推断的思维定势,有助于提高分析问题和解决问题的能力.小检验:变式5 方程a x2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ).(A)a<0 (B)a>0 (C)a<-1 (D)a>1分析 先求充要条件,由Δ=4-4a>0,x1x2=1<0,得a<0.利用集合法,可知选14第27卷第1期专辑 2008年6月 数学教学研究12-a0121a0a1aC.。
高中数学函数关系建立教学设计
必修1教材一道函数关系建立习题的复习课教学设计及反思函数是中学数学的核心内容,函数关系的建立是函数的”灵魂”,具有实际背景的函数关系的建立是一个难点.如何破解这个难点是笔者历年高三复习中面临的一个无法回避的问题.在今年的高三复习中,笔者试从必修1教材一道习题出发, 通过该题的横向变式和纵向类比来突破,是否妥当,请各位专家和同行评品.1. 具体的教学设计过程. 原问题 普通高中课程标准实验教科书数学必修1第126页复习参考题B 组2 如图1,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>=t t x 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式,并画出函数)(t f y =的图象.本题是一道以求函数解析式为知识目标的习题,在解题过程中,可以训练学生观察、思考、分析图中的信息,由”形”的变化得出”数”的结论,由”形”的分类得出”数”的分类,很自然地寓数形结合、分类讨论于解题之中,使学生在不经意间经历了一次用联系的、变化的辩证观点审视事物的过程.同时,通过对本题的横向变式和纵向类比探究,能进一步培养学生的数形结合、分类讨论和类比思维能力,从而充分发挥习题的教学功能.教学中笔者采用”由易入难,进一步深化”的策略,首先给出本题的一种较简单情形,即问题1 如图2,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>=t t y 上方的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式,并画出函数)(t f y =的图象.本题的解决是容易的,绝大多数学生都会用三角形相似来解决,但也会有一部分学生因为弄错直线t y =上方的小三角形的高而出错;还有一部分学生会错求成直线下方的四边形面积.对于这些错误教师可简单点评一下.给出本题的目的是通过本题为引入原问题作准备.接下去即可抛出问题2,也就是原问题. 问题2的解决一般不会有太大的挫折,我们可将重点放在探究下面两个问题.问题3 如图3,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(33>+-=t t x y 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.该问题与原问题在本质上没有太大的变化,因为直线t x y +-=33与直线OB 仍是垂直的;同理,如果将直线方程换成t x y +=33也没有改变本质. 问题4 如图4,OAB ∆是边长为2的正三角形,设OAB ∆位于直线)0(>+-=t t x y 左侧的图形的面积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.本题的解决较前面的问题要难,因为所得三角形不是直角三角形了.如果有必要还可以考虑更一般的情况展开探究.前面的问题是在原问题的基础上进行横向变式而来的.纵方向上进行升维类比会怎样呢?三角形是边数最少的平面封闭图形,边数最少的空间封闭图形是四面体,类比后能得到如下一些问题.问题5 如图5,四面体ABCD 是边长为2的正四面体,设点B 到垂直于底面BCD 的截面OPQ ∆的距离为t ,截面左侧的图形的体积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式.问题6 如图6,四面体ABCD 是边长为2的正四面体,设点B 到平行于侧面ACD 的截面OPQ ∆的距离为t ,截面左侧的图形的体积为)(t f .试求函数)(t f 的解析式. 问题5和问题6可引导学生自己提出,这样不仅可以培养学生提出问题的能力,还能提高学生类比能力.上述两问题不只是平面到空间的简单类比,而且在问题解决过程中会遇到不少新问题,如面积计算到体积计算的转化.这些问题的解决又有利于学生解决问题的能力.根据学生的实际情况,还可以继续设计一些问题探究,如改变截面OPQ ∆的位置.2. 设计反思高三数学复习课是高三教学的重点,也是教学的难点,尤其是高三数学第一轮复习课如何上一直是众多中学数学教师研究的课题.由于高三数学复习时间的紧促,不允许我们像讲解新课一样开展第一轮复习教学,这就对复习课提出了更高的要求:既要让学生在课堂上获得基本解题方法的熟练掌握,又要保证复习进度.通过本节课的教学设计,笔者认识到1. 教材中习题是教材编著者精心挑选或设计出来的,具有典型性、示范性和明确的针对性, 而且是学生十分熟悉的,对习题的变式能在学生”最近发展区”产生认知冲突,从而构建新的知识体系,能使学生认识到教材才是”最好的参考书”,从而脱离”题海”与”书海”之苦,并且也是符合新课程理念和高考要求的.因为第一,标准倡导教师立足教材,强调教师不仅是教材的使用者,更应是教材的开发者和再设计者,要创造性的合理使用好教材.前苏联数学教育家奥加涅相指出:”必须重视,很多习题潜在着进一步扩展其数学功能、发展功能和教育功能的可能性……”.第二,新世纪后高考命题的一个基本理念之一是:以课本为本,试题源于课本而高于课本.我们已看到,在近几年高考中每年都有大量的试题是课本习题的变式题,因此,探究习题变式对提高数学成绩是大有益处的,当然,更重要的是通过对习题的变式研究能揭示知识与方法的内在联系,即不仅”广积粮”而且还能”深挖洞”.2. “复习课如何上好？”确实是一个值得全体教师认真探讨的课题,尤其是新教师.从笔者自己亲身的体会来看,新教师（特别是还没上过高三的新教师）想上好复习课远比新授课要难的多,一是书店有大量的经典的众多特级教师的教案可供参考,另一方面,复习书虽多,但基本AB C D 图5 O P Q AB C D图6 O P Q上是知识的重复和例题的简单罗例,如果想自己设计一个课题,能力不够更怕把握不好高考的方向,从而影响学生的前途.因此,笔者提议有丰富高三教学经验的老师能多写一些高三复习方面的案例或教学对策,也希望众多的关心中学数学教育的专家、教授能给我们一些方向上的指导,使中学的高考复习能走上“轻负担高质量”的道路.。
移步换景，让思维可视——一道课后习题的改编与思考
移步换景，让思维可视——一道课后习题的改编与思考【摘要】教师都有改编课本习题的良好习惯，大多数教师只注重知识点层面的改编，缺乏思维层面的思考，不利于学生对知识内在结构的理解和深化，好的习题改编既是拓展学生数学知识的主要工具,提高学生思维探究的重要途径,也是训练学生逻辑思维能力和数理素养的主要载体。
【关键词】习题改编思维【正文】教师都有改编书课习题的良好习惯，大多数教师注重知识点层面的改编，缺乏思维层面的思考，不利于学生对知识内在结构的理解和深化，好的习题改编既是拓展学生数学知识的主要工具,提高学生思维探究的重要途径,也是训练学生逻辑思维能力和数理素养的主要载体。
数学源于对现实世界的抽象，通过对数量和数量关系、图形和图形关系的抽象，得到数学的研究对象及其关系，对于抽象思维能力较弱的小学生而言，很难真正理解数学公式背后蕴含的内在含义。
通过改编课后习题，让思维可视化，将那些隐藏的思维过程，用可见的图示或者实物等形式展示出来，让学生在思考中，明晰数学公式中各部分的本质联系，促进学生掌握知识系统化和结构化。
那么，如何编制有思维梯度的课后习题呢？下面以人教版《数学》五年级上册第九十二页的"做一做"第2题为例进行探讨。
人教版《数学》五年级上册第九十二页的“做一做”第2题：平行四边形的面积为12平方厘米，求已涂色的三角形的面积。
这道习题可以从两个方面进行思考解答：一方面，平行四边形与三角形等底等高，三角形的面积是平行四边形面积的一半，即三角形的面积等于6平方厘米；另一方面，平行四边形的对角线把平行四边的面积平均分成了两份，每份是6平方厘米，即三角形的面积等于6平方厘米，这种通过平行四边形的面积求三角形的面积，强化等底等高三角形和平行四边形面积之间的关系，属于常规题。
遇到此类课后习题，教师常规改编形式有2种：1.文字描述类型，已知平行四边形的面积，求等底等高三角形的面积；已知三角形的面积，求等底等高平行四边形的面积；2.图文结合类型。
北师大版小学数学二年级下册第三单元《拨一拨》教学设计建议及课本习题解析
拨一拨（认识数位顺序、万以内数的读写）学习目标1.借助直观模型认识数位顺序表，感受数的构成和计数单位之间的关系。
2.通过在计数器上拨数等操作活动，学习读、写万以内的数。
3.通过用多种形式表示数的活动，了解大数的构成。
4.了解算盘是我国重要的文化遗产，感受我国悠久的数学文化。
编写说明教科书结合填写数位顺序表、在计数器上拨数等活动，把数数、读数、写数结合起来学习。
之所以这样安排是考虑到学习大数读写时，不宜仅靠一些机械的规则死记硬背读写的方法，结合数位从位值的角度引导学生在理解的基础上读写出数是更有价值的，这将促进学生对数的意义的理解。
基于这样的思考，教科书安排了四个问题。
第一个问题认识数位顺序表。
第二个问题借助拨计数器的活动，引导学生结合计数器上的数位标识学习读数，并感受数的构成。
第三个问题借助数位顺序表学习写数。
第四个问题借助在算盘上的拨数活动，再次强化对大数的读写及位值的认识。
此外，教科书还安排了“试一试”，通过多种形式体会数的构成，加深学生对大数的理解。
·填一填，认一认。
这是第一次出现数位顺序表，目的是帮助学生从位值的角度理解数的意义、读写数。
需要说明的是，数位顺序表虽然是第一次正式出现，但是在前面几节课（其实从20以内数的认识开始）就有了数位的铺垫，表现在数的认识大多伴有拨计数器的活动，而计数器上已经出现了个、十、百、千、万位，只是没有正式向学生介绍数位的概念。
·拨一拨，说一说，读一读。
借助在计数器上拨数的操作活动学习读数，体会数的构成。
教科书呈现了三个数，给出了它们的读数示范，并解释了其构成。
在数的选择上，教科书关注学生学习的难点，即在遇到中间和末尾带“0”的数，学生往往会对其中“0”的读法产生困惑，所以在三个数中教科书安排了两个带“0”的数（9040，1001）的学习。
·看一看，写一写。
借助数位顺序表学习写数。
教科书同样呈现了三个数，并给出了书写示范。
在其他两个数的选择上，教科书也关注了带“0”的学习难点。
《比的意义》教学设计及反思
《比的意义》教学设计及反思《比的意义》教学设计及反思「篇一」今天带领学生学习了《比的意义》一节课，这节课要使学生理解比的意义，会读、写比；认识比的各部分名称；掌握求比值的方法，能准确地求出比值。
经历从具体情境中抽象出比意义、比与除法分数关系的探索过程，能利用比的知识解释一些简单的生活问题，培养学生自主探究、实践操作、合作交流的学习能力，引导学生感受“比”产生的背景。
这是一节概念课，知识点多，又抽象。
在教学设计中我精心设计了引导语，预设应该很容易让学生理解比的意义，但是在实际的学习过程中，出现了一些之中意料之外的小状况。
在不同类量和同类量的比学习过程中，出示例题：同学们在升旗仪式行进中，3分钟走了330米，同学们的速度是多少？让学生列算式表示行走速度，列式计算之后，老师问速度还可以说成是哪个量和哪个量比？之后，在进一步理解比的意义同类量与不同类量的比时，教师就忘了对两种量进行对比引导。
学生虽然知道了路程比时间，但是却没有引出进行两个不同类量的比较，缺失了让学生理解了这两种“比”的实际意义，这样成为了这节课的缺憾。
如果设计的时候进行对比题目形式呈现就能很好的解决这个问题了。
如，五（2）班3分钟走了330米，五（3）班5分钟走了450米，你能说出哪些比？在第一个例题的基础上，学生会说：3：5，5：3，3：5，5：3，450：330，330：3，450：5，3:330,450:5等。
老师可以及时引导学生思考各个比表示谁和谁的比，有什么发现？学生会发现3：5是五（2）班和五（3）班时间的比，330：450是五（2）班和五（3）班路程的比，330：3是五（2）班路程和它时间的比。
再引导学生思考这些比中有什么不同点？学生会发现3：5是时间与时间的比，330：450是路程与路程的比，而330：3，450：5是路程与时间的比。
经过教师引导学生交流讨论，明确3：5，330：450是相同类量的比，330：3，450：5是不同类量的比。
北师大版小学数学二年级下册第四单元《1千米有多长》教学设计建议及课本习题解析
1千米有多长（千米的认识）学习目标1.通过实践和想象活动，认识1千米有多长，知道千米、米、分米、厘米、毫米之间的关系，能进行简单的单位换算，感受所学长度单位的实际意义，积累测量经验，初步发展空间观念。
2.能根据具体情境恰当选择长度单位，能估测一些物体的长度，进一步体会所学长度单位的实际意义，初步发展估测意识，并激发学生对测量活动的好奇心和参与测量活动的主动性。
3.借助对“跑道”等熟悉事物长度的想象、推理等活动，加强对千米实际意义的体会，并感受数学与现实生活的联系。
编写说明本节内容是在学过毫米、厘米、分米、米的基础上，认识更大的长度单位“千米”。
由于千米比较长，学生难以直接观察或亲身感受它的实际长短，所以千米的空间概念一般需要借助学生对10米、100米等长度的认识通过推想来建立。
围绕千米的学习，教科书安排了三个问题，其中第一、第二两个问题通过操作活动体会10米、100米的实际长度，为推想1千米有多长做好铺垫；第三个问题在认识100米的基础上，借助实际情境想象、认识1千米。
·10米有多长？照样子做一做。
教科书提供了三种不同的感受10米有多长的场景，启发学生用多种可能的方式去感受10米的实际长度，但并不要求每个学生把所有方式都做一遍，也不要求学生只能用书上呈现的方式去做，教师可以因地制宜地组织体会10米的活动，主要强调观察与体验。
·100米有多长？想一想，做一做。
体验100米有多长。
教科书通过“全班同学手拉手站成一排有100米吗？大约需要多少名同学才够呢”和“100米大约要走多少步”两个活动，帮助学生体会100米有多长，主要强调先想象再体验。
教科书提供了两种不同的感受100米有多长的场景，启发学生用多种可能的方式去感受100米的实际长度，同样并不要求每个学生把所有方式都做一遍，也不要求学生只能用书上呈现的方式去做，教师可以因地制宜地组织体会100米有多长的活动。
·1000米有多长？先想一想，再和同伴说一说。
北师大版小学数学二年级下册第一单元《分苹果》教学设计建议及课本习题解析
分苹果（除法竖式）学习目标1.借助分物活动，回顾并进一步理解除法的意义，感受除法与生活的密切联系。
2.结合分物活动，认识除法竖式，掌握其书写形式，了解除法竖式各部分的意思。
3.能在教师的指导下，结合分苹果的具体情况，初步发展提出除法问题的能力。
编写说明本节内容主要学习除法的竖式计算。
在二年级上册，学生在经历丰富的分物活动后，已经初步理解除法的意义，掌握了用乘法口诀求商的口算方法。
但考虑到间隔一个寒假，学生对上学期的内容会有所淡忘，所以教科书首先安排两个问题复习已学过的除法知识。
在此基础上，引出第三个问题来认识除法竖式，并通过第四个问题进行巩固。
教科书给出分苹果的情境，18个苹果、2个小朋友和一些盘子。
希望学生能够借助熟悉的分物情境，展开对除法内容的回顾与学习。
·根据图上的信息，提出与除法有关的问题。
有余数的除法是以表内除法为基础来进行学习的，作为巩固复习的内容，教科书利用主题图给出的信息，希望实现两个目标。
其一，结合分苹果的过程让学生进一步丰富并巩固对除法意义的理解，掌握用乘法口诀求商的方法。
其二，结合具体的分物情境，引导学生从不同角度提出除法问题。
例如，“每盘放6个苹果，18个苹果可以放几盘？”“18个苹果平均分给2个人，每人可以分几个？”·每盘放6个苹果，18个苹果可以放几盘？教科书通过列表、数线（体现了除法和减法的联系）、乘法口诀三种方式，帮助学生复习、巩固对除法意义的理解，积累解决除法问题的经验。
·上面的过程可以用除法竖式表示。
认一认，说一说。
目的是打通竖式和其他方法的联系，促进对竖式各部分意思的了解。
除法竖式的认识是本节课的重点内容。
教科书通过图示，引导学生结合具体的分物过程，在了解除法竖式各部分意思的基础上学习竖式，从而既避免学生对竖式的死记硬背和机械模仿，又进一步加强学生对除法意义的理解。
值得注意的是，这里主要是让学生掌握除法竖式的书写格式，在三年级下册将进一步帮助学生学会运用竖式计算。
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．
（ ２ ） 若设 Ｐ （ ，ｙ ） 为切 线上任 一点 ，连接 Ｏ Ｍ．Ｄ 由Ｏ Ｍ＿ ｔ ． ＭＰ ・ ＝０ ，再 利 用数 量 积 的 坐 标 可 求得 切 线 方程 ．
【 点评 】 求 圆方程 的基本 方 法就是 确定 三个 参 数 ｎ ，ｂ ，ｒ ， 可知 ，
参量增至三个．据 已知条件列 出关 于 ０ ，ｂ ，ｒ 的方程组求解 即可．
解析 ：设 圆心 坐标 为 ａ ，ｂ ） ，圆 的半 径 为 ｒ ，
４ ａ＋３ ｂ一 １ ３＝０．
线 方 程３ 一 ４ ｙ 一 ７ ＝ ０ ， 求 出 切 点 的 坐 标 为 （ ７ ３ ， ＿ ２ １ ５ １ ） ．
解题 研 究
３ ６
Ａ ｊ
ｔ
０ Ａ ◇
１
＝ ＝ ＝塾
解得 ｎ ＝１ ，ｂ ＝ ３ ， ｒ ＝粤 ．
）
塑
用点斜 式求切 线的方程 ，而 由圆的切 线性质 可求其斜 率 ，所 以
可 求得 切 线 方 程 为 ｘ ｅ ｘ＋ ｙ ｏ Ｙ＝ｒ ２ ．
因此 ，所求圆的方程为（ 一１ ） ｚ ＋（ 一３ ） ：
探 究交流 ，最终 达到学 习数 学、初步研 究数 学的 目的 ，有效地 避 免题 海战术 ，增强探 究意识 ，激发 学习兴趣 ，培 养 了学生的
科 学探 究精神． 关键词 ：切线方程 ；课本 习题 ；教 学设计
设 计 变 式 问 题 ，引导 学生 探 究
肘 （ ７ ３ ， ） 的 圆 的 方 程 ．
分析 ：设 圆心 坐标为 （ ｏ ，ｂ ） ，圆方程 中的参 量增 至两个 ，
据 已知 条件 ，切点在 圆上 ，圆心到切线 的距 离等 于圆的半径 ｒ ，
用待 定 系数 法 求 解 即 可．
一
【 点评 】此题变式的作用在 于增加 参量，锤 炼学生灵活思考
的 能力 ．
、
问题 １ ：求 以 ｃ （ １ ，３ ） 为圆心 ，并 且与直线 ３ 一４ ＇ ， 一７＝０ 相切 的圆的方程．（ 详见 《 普通 高中课程标 准实验教科书 ・ 数学 ２
（ 方法 ２ ）将直线 Ｃ Ｍ 的方程 乱 ＋３ ｙ一１ ３ ＝０和切线方程 ３ ｘ一
４ ｙ 一７＝０联 立 求解 即可 ．
收 稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ４ — １ ９
二 ＝ ２ ｌ ： ，
则据 已知 条 件 ，得 ２
５ ， ’
＝
５ ２ ３ ｌ
，
（ 必修） 》（ 人 教 Ａ版 ） 第 １ ３ ２页第 ３ 题． ）
思考 ２ ：已知圆的方程和切线 方程 ，能否求 出过切点垂直 于 切线 的半径所在直线 ？
分 析 ： 由切 线 方 程 得 知 其 斜 率 ，并 由此 求 出半 径 所 在 直 线 的斜 率为 一 ４ ，再 用 点斜 式 方 程 可 求 ．
１ Ｏ Ｍ ｌ ２ ＋Ｉ Ｊ ： ＝ｌ Ｏ Ｐ ｌ ，再利用两点间距离公式亦可求得切线
方程 ．
否求 出直 线 Ｐ Ｃ的方程 ？
分 析 ：令 ＝０ ，则 ｙ＝一 ７
，
（ ４ ） 若 设 所 求切 线 的 方 程 为 Ｙ—Ｙ ｏ ＝ｋ （ — 。 ） ， 由 圆心 到 切 线 的距 离等 于 圆的 半 径 亦可 求 得 切 线 方程 ．
ｊ
分析 ： 已知 圆心 坐标 ，只 需再求 出 圆方 程 中的一个 参量 ｒ
即 可 ，根 据 已知 ，半 径 ｒ 等 于 圆心 Ｃ到 这 条 直 线 的距 离．
解 ：如 图 １ ，
因 为 圆 Ｃ和 直 线 ３ 一４ ｖ一７：０
相切 ，
思考 ３ ：圆被 ｙ轴所截的弦长怎样求？
求此 圆 的方 程 ． 分 析 ：设 圆心 坐标 为 （ ０ ，ｂ ） ， 圆的半 径 为 ｒ ，这样 圆方程 中的
思考 １ ： 已知 圆 的方 程 和 切 线 方 程 ，能 否 求 出 切 点 的 坐 标 ， 怎样求？ 解 ：（ 方法 １ ）联 立 圆 的方 程 （ 一１ ） ＋（ 一３ ） ＝ 和 切
所 以半径 ｒ 等 于圆心 Ｃ到这 条直
线的距离． 根 据 点 到直 线 的距 离 公 式 ，得 ｒ ＝
（ ＝ ＿
Ｏ
／
分 析 ：在 圆方 程 中令 ：０ ，得 （ ｙ一３ ） 。 ＝
Ｖ＇ ２ ３１ ＋ ３
—
ｊｙ ． ． ＝
±—
，
于是弦长 ＝ｌ ｙ ｌ — Ｙ ２ Ｉ ＝— ２ ￣ — ／ ｒ ２ ３ １
基金项 目：甘肃省定西市教育科学 “ 十二五”规 划课题—— 回归课本探 源 ，提 高数 学复 习实效 （ 课题批 准号：Ｄ ｘ［ ２ ０ １ ２ ］ ＧＨ Ｂ ４ ６ ） ．
作 者简介 ：何伟 军 （ １ ９ ６ ２ 一） ，男，甘肃渭源人 ，中学高级教 师，甘肃省定西 市优秀教师和骨干教师 ，主要从事 中学数 学教 育教 学和高考试题及
即 “ 选形 式 、定 参数 、列方程 组” ．解决 与弦长有 关的 问题 ，注 意运用半径 、弦心距 、弦长之半构成 的直角 三角形． 思考 ４ ：切线 Ｚ ：３ 一 一７＝０与 Ｙ轴的交点 Ｐ是 什么？能
（ ３ ）若 设 Ｐ （ 。Ｙ ） 为切 线 上任 一 点 ，根据 勾股 定理 可得 ：
中国
２ ０ １ ３年 第 １ １ 期
Ｚ ＨＯＮＧＧＵＯ Ｓ ＨＵＸＵＥ Ｊ Ｉ Ａ０ＹＵ
摘 要 ： 以一 道 课 本 习题 提 出 问题 ，通 过 问 题 诱 思 ， 变 式 设
变式 １ ：求 半 径为
，并 与直 线 ３ 一４ ｙ一７：０切 于点
计 ，从 多种角度挖掘课 本 习题 的潜在 功能 ，并通过 分析 、思考、
．
；
变式 ２ ：圆心在直线 ＋３ ｙ 一１ ３ ＝ ０上且到直线 ３ 一 ４ ＇ ， 一７ ＝ ０ 的距离恰 等 于圆 的半 径 ，在 Ｙ轴上所 截得 的 弦长为 ，
Ｌ ×ｌ 二 ４ × ７ １ ｌ ：ｌ ６
、 ／ ＋（ ５
／ Ｐ
图 １
．
因此 ，所求 的圆的方程是 （ —１ ） ＋（ ｙ一３ ） 一 ２ ５ ６