(完整版)(公开课)概率的基本性质

②从定义上看，两个互斥事件有可能都不发生， 也可能有一个发生，也就是不可能同时发生； 而对立事件除了要求这两个事件不同时发生外， 还要求这二者之间必须要有一个发生，因此， 对立事件是互斥事件，是互斥事件的特殊情况， 但互斥事件不一定是对立事件。
③从集合角度看，几个事件彼此互斥，是指这几个 事件所包含的结果组成的集合的交集为空集；而事件 A的对立事件A所包含的结果组成的集合是全集中由 事件A所包含的结果组成的集合的补集。
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（3）并事件（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发 生，则称此事件为事件A和事件B的并事件 （或和事件），记A作UB（或A B） 。
如图：
B AUB A
例.若事件K={出现1点或5点} 发生，则事件C1 = {出现1点}与事件C5 ={出现 5 点 }中至少有一个会
发生，则 K C1 UC5
(3)不可能事件的概率为0,即 P() 0
(4)如果事件A与事件B互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B)
(5)如果事件B与事件A是互为对立事件,则 P(B)=1-P(A)
练习 某射手射击一次射中10环，9环，8环， 7环的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，计算 这名射手射击一次
他说我有问过专家，每架飞机上有一颗炸弹的 可能性是百万分之一，但每架飞机上同时有两颗炸 弹的可能性只有百万的平方分之一，也就是说只有 万亿分之一，这已经小到可以忽略不计了.他的朋友 说这数字没错，但这与你今天坐飞机有什么关系？ 他很得意的说：当然有关系啦，不是说同时有两颗 炸弹的可能性很小吗，我现在自带一颗．如果飞机 上另外再有一颗炸弹的话，这架飞机上就同时有两 颗炸弹．而我们知道这几乎是不可能的，所以我可 以放心地去坐飞机了.
据说有个人很怕坐飞机．说是飞机上有恐怖分 子放炸弹．他说他问过专家，每架飞机上有炸弹的 可能性是百万分之一．百万分之一虽然很小，但还 没小到可以忽略不计的程度.买彩票中一等奖的概 率比这个还小,不照样有人中奖吗?他不希望自己在 飞机上“中奖”，所以他从来不坐飞机．可是有一 天他的一位朋友在机场看见他，感到很奇怪．就问 他，你不是说飞机上可能有炸弹很不安全吗？
二. 概念
（一）事件的关系和运算：
（1）包含关系
一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则 事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事
件A包含于事件B）,记作 B A（或A B)
如图：
BA
例.事件C1 ={出现1点 }发生，则事件 H ={出现的
点数为奇数}也一定会发生，所以 H C1
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解的P(B)=1/4,P(C)=1/6,P(D)=1/4. 答:得到黑球、黄球、绿球的概率分别是1/4,1/6,1/4.
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1、事件的关系与运算，区分互斥事件与对立事件
事件 关系
事件 运算
1.包含关系 2.等价关系
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3.事件的并 (或和) 4.事件的交 (或积) 5.事件的互斥 (或互不相容) 6.对立事件 (逆事件)
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（5）互斥事件
若A I B为不可能事件（ A I B ），那么称事件A
与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试 验中都不会同时发生。
如图：
A
B
例.因为事件C1={出现1点}与事件C2={出现2点} 不可能同时发生，故这两个事件互斥。
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（6）互为对立事件
14..上上述述事事件件中中有，必哪然些事事件件或发不生可当能且事仅件当吗事？件有D2的且事 话件，D3哪同些时是发？生?
25..若只事掷件一C1发次生骰，子则，还则有事哪件些C1和事事件件也C一2有定可会能发同生？ 反时过发来生可么以？吗？
36..上在述掷事骰件子中实，验哪中些事事件件G发和生事会件使H是得否一K=定{出有现一1个 点会或发5生点？}也发生？
你能写出在掷骰子的试验中出现的其它事件吗？
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C1 ={出现1点}；C2={出现2点}； C3={出现3点}； C4 ={出现4点}；C5={出现5点}； C6={出现6点}； D1={出现的点数不大于1}； D2={出现的点数大于3}； D3={出现的点数小于5}； E={出现的点数小于7}; F={出现的点数大于6}; G={出现的点数为偶数}; H={出现的点数为奇数};……
B与C互斥， C与D互斥， C与D是对立事件（至少一个发生）.
3、袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取
3个，是对立事件的为( ② )
①恰有1个白球和全是白球； ②至少有1个白球和全是黑球； ③至少有1个白球和至少有2个白球； ④至少有1个白球和至少有1个黑球．
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2.概率的几个基本性质: (1)任何事件的概率在0~1之间,即 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1,即 P(Ω)=1
一. 引入 今天我们来研究概率的基本性质。在研究性
质之前，我们先来研究一下事件之间有什么关系。
比如在掷骰子这个试验中：“出现的点数小于 或等于3”这个事件中包含了哪些结果呢？
必须分析每个试验所包含的基本结果，从而 分析每个事件包含的结果
①“出现的点数为1” ②“出现的点数为2”
③“出现的点数为3”这三个结果
若A I B 为不可能事件，A U B为必然事件，那么称事
件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在
任何一次试验中有且仅有一个发生。记作 A B, B A
如图：
A
B
例. 事件G ={出现的点数为偶数}与事件 H ={出现的点数为奇数} 即为互为对立事件。
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①互斥事件可以是两个或两个以上事件的关系， 而对立事件只针对两个事件而言。
注：不可能事件记作 ，任何事件都包括不可能事件。
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（2）相等关系
一般地，对事件A与事件B，若B A且A B ，
那么称事件A与事件Βιβλιοθήκη Baidu相等，记作A=B 。
如图：
BA
例.事件C1={出现1点}发生，则事件D1={出现的 点数不大于1}就一定会发生，反过来也一样，
所以C1=D1。
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（1）射中10环或9环的概率；
（2）至少射中7环的概率。 少于7环的概率呢？
（1） P（A∪B）=P（A）+P（B） =0.24+0.28=0.52。
（2） 因为它们是互斥事件，所以至少射 中7环的概率是 0.24+0.28+0.19+0.16=0.87
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例3 甲，乙两人下棋，和棋的概率为1/2， 乙获胜的概率为1/3，求：
（2）“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；
既是互斥事件，又是对立事件
（3）“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的 牌点数大于9”。
不是互斥事件，也不是对立事件
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2、 一个射手进行一次射击,试判断下列事件哪些 是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A：命中环数大于7环 事件B：命中环数为10环； 事件C：命中环数小于6环； 事件D：命中环数为6、7、 8 、9、10环. 解：A与C互斥（不可能同时发生），
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2.概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率
为0，因此0≤P(A)≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：
P(A∪B)= P(A)+ P(B)； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为
必然事件，所以P(A∪B)= P(A)+ P(B)=1， 于是有P(A)=1-P(B)；
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（1）甲获胜的概率；（2）甲不输的概率。
分析：甲乙两人下棋，其结果有甲胜，和棋，乙胜 三种，它们是互斥事件。 解（1）“甲获胜”是“和棋或乙胜”的对立事 件，所以甲获胜的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。
（2）解法1，“甲不输”看作是“甲胜”，“和棋” 这两个事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。
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判断互斥、对立事件： 1、交集是否为空集 （互斥事件） 2、是否互为补集 （对立事件）
例1：判断下列给出的每对事件，是否为互 斥事件，是否为对立事件，并说明理由。
从40张扑克牌（红桃，黑桃，方块，梅花点数 从1-10各10张）中，任取一张。
（1）“抽出红桃”与“抽出黑桃”；
是互斥事件，不是对立事件
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（4）交事件（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生， 则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事
件）记作 AI B（或AB）
如图：
B A B A
例.若事件 C4={出现4点}发生，则事件C2
={出现点数大于3}与事件C3 ={出现点数
小于5}同时发生，则C4 D2 D3
解法2，“甲不输”看作是“乙胜”的对立事件， P=1-1/3=2/3。
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练习：抛掷一均匀的色子，事件A表示“朝上的 一面是奇数”，事件B表示“朝上的一面是不超
过3的数”，求P(A B)
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练习： 袋中有12个小球，分别为红球、黑 球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概 率为1/3，得到黑球或黄球的概率是5/12，得到 黄球或绿球的概率也是5/12，试求得到黑球、得 到黄球、得到绿球的概率各是多少？
分析：利用方程的思想及互斥事件、对立事 件的概率公式求解．
解：从袋中任取一球，记事件“摸到红球”、 “摸到黑球”、“摸到黄球”、“摸到绿球”为A、B、 C则、有D，P(B∪C)=P(B)+P(C) =5/12;
P(C∪D)=P(C)+P(D) =5/12; P(B∪C∪D)=P(B)+P(C)+P(D)=1-P(A) =1-1/3=2/3;