(独家)(通用版)中考数学总复习专题全汇总

（通用版）中考数学总复习专题全汇总专题一五大数学思想方法类型一分类讨论思想(2018·临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°＜α＜360°)，得到矩形AEFG.(1)如图，当点E在BD上时，求证：FD＝CD；(2)当α为何值时，GC＝GB？画出图形，并说明理由．【分析】 (1)先判定四边形BDFA是平行四边形，可得FD＝AB，再根据AB＝CD，即可得出FD＝CD；(2)当GC＝GB时，点G在BC的垂直平分线上，分情况讨论，即可得到旋转角α的度数．【自主解答】在数学中，如果一个命题的条件或结论有多种可能的情况，难以统一解答，那么就需要按可能出现的各种情况分类讨论，最后综合归纳问题的正确答案．1．(2018·宿迁中考)在平面直角坐标系中，过点(1，2)作直线l，若直线l与两坐标轴围成的三角形面积为4，则满足条件的直线l的条数是( )A．5 B．4 C．3 D．22．(2018·随州中考)为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x天(1≤x≤15，且x为整数)每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数(x) 1 3 6 10每件成本p(元) 7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y(件)与x(天)满足如下关系：设李师傅第x天创造的产品利润为W元．(1)直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；(2)求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？(3)任务完成后，统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？类型二数形结合思想(2018·齐齐哈尔中考)某班级同学从学校出发去扎龙自然保护区研学旅行，一部分乘坐大客车先出发，余下的几人20 min后乘坐小轿车沿同一路线出行，大客车中途停车等候，小轿车赶上来之后，大客车以出发时速度的107继续行驶，小轿车保持原速度不变．小轿车司机因路线不熟错过了景点入口，在驶过景点入口6 km时，原路提速返回，恰好与大客车同时到达景点入口．两车距学校的路程s(km)和行驶时间t(min)之间的函数关系如图所示．请结合图象解决下面问题：(1)学校到景点的路程为________ km，大客车途中停留了________ min，a＝________；(2)在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有多远？(3)小轿车司机到达景点入口时发现本路段限速 80 km/h，请你帮助小轿车司机计算折返时是否超速？(4)若大客车一直以出发时的速度行驶，中途不再停车，那么小轿车折返后到达景点入口，需等待________分钟，大客车才能到达景点入口．【分析】 (1)根据图形可得总路程和大客车途中停留的时间，先计算小轿车的速度，再根据时间计算a 的值；(2)计算大客车的速度，可得大客车后来行驶的速度，计算小轿车赶上来之后大客车行驶的路程，从而可得结论；(3)先计算直线CD 的解析式，计算小轿车驶过景点入口6 km 时的时间，再计算大客车到达终点的时间，根据路程与时间的关系可得小轿车行驶6 km 的速度与80 km/h 作比较可得结论．(4)利用路程÷速度＝时间计算出大客车所用时间，计算与小轿车的时间差即可． 【自主解答】把问题中的数量关系与形象直观的几何图形有机地结合起来，并充分利用这种结合寻找解题的思路，使问题得以解决．3．(2018·大庆中考)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点A(－1，0)，点B(3，0)，点C(4，y 1)，若点D(x 2，y 2)是抛物线上任意一点，有下列结论： ①二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的最小值为－4a ； ②若－1≤x 2≤4，则0≤y 2≤5a； ③若y 2＞y 1，则x 2＞4；④一元二次方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两个根为－1和13.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2018·苏州中考)如图，矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴的正半轴上，反比例函数y ＝kx 在第一象限内的图象经过点D 交BC 于点E.若AB ＝4，CE ＝2BE ，tan∠AOD＝34，则k 的值为( )A ．3B ．2 3C ．6D ．125．(2018·上海中考)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y 关于x 的函数关系式；(不需要写自变量的取值范围)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？类型三 转化与化归思想(2017·江西中考)如图1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”α约为20°，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”β约为100°.图2是其侧面简化示意图，其中视线AB 水平，且与屏幕BC 垂直．(1)若屏幕上下宽BC ＝20 cm ，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离AB 的长； (2)若肩膀到水平地面的距离DG ＝100 cm ，上臂DE ＝30 cm ，下臂EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离FH ＝72 cm.请判断此时β是否符合科学要求的100°？(参考数据：sin 69°≈1415，cos 21°≈1415，tan 20°≈411，tan 43°≈1415，所有结果精确到个位)【分析】 (1)在Rt△ABC 中利用三角函数即可直接求解；(2)延长FE 交DG 于点I ，利用三角函数求得∠DEI 即可求得β的值，从而作出判断． 【自主解答】把一种数学问题合理地转化成另一种数学问题可以有效地解决问题．在解三角形中，将非直角三角形问题转化为解直角三角形问题，把实际问题转化为数学问题等．6．(2018·山西中考)如图，正方形ABCD内接于⊙O，⊙O的半径为2，以点A为圆心，以AC长为半径画弧交AB的延长线于点E，交AD的延长线于点F，则图中阴影部分的面积是( )A．4π－4 B．4π－8 C．8π－4 D．8π－87．(2018·黄冈中考)则a－1a＝6，则a2＋1a2值为______．8．(2018·白银中考)随着中国经济的快速发展以及科技水平的飞速提高，中国高铁正迅速崛起．高铁大大缩短了时空距离，改变了人们的出行方式．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要绕行C地，若打通穿山隧道，建成A，B两地的直达高铁，可以缩短从A 地到B地的路程．已知∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640公里，求隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程将缩短约多少公里？(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)类型四 方程思想(2018·娄底中考)如图，C ，D 是以AB 为直径的⊙O 上的点，AC ︵＝BC ︵，弦CD 交AB 于点E.(1)当PB 是⊙O 的切线时， 求证：∠PBD＝∠DAB； (2)求证：BC 2－CE 2＝CE·DE；(3)已知OA ＝4，E 是半径OA 的中点，求线段DE 的长．【分析】 (1)由AB 是⊙O 的直径知∠BAD＋∠ABD＝90°，由PB 是⊙O 的切线知∠PBD＋∠ABD ＝90°，据此可得证；(2)连接OC ，设圆的半径为r ，证△ADE∽△CBE，由AC ︵＝BC ︵知∠AOC＝∠BOC＝90°，再根据勾股定理即可得证；(3)先求出BC ，CE ，再根据BC 2－CE 2＝CE·DE 计算可得． 【自主解答】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化．9．(2018·白银中考)若正多边形的内角和是1 080°，则该正多边形的边数是________．10．(2018·上海中考)如图，已知正方形DEFG的顶点D，E在△ABC的边BC上，顶点G，F 分别在边AB，AC上．如果BC＝4，△ABC的面积是6，那么这个正方形的边长是________．类型五函数思想(2017·杭州中考)在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3.(1)设矩形的相邻两边长分别为x，y.①求y关于x的函数解析式；②当y≥3时，求x的取值范围；(2)圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【分析】(1)①直接利用矩形面积求法进而得出y与x之间的关系；②直接利用y≥3得出x的取值范围；(2)直接利用x＋y的值结合根的判别式得出答案．【自主解答】在解答此类问题时，建立函数模型→求出函数解析式→结合函数解析式与函数的性质作出解答．要注意从几何和代数两个角度思考问题．11．(2018·桂林中考)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋6(a≠0)与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.(1)求抛物线y的函数解析式及点C的坐标；(2)点M为坐标平面内一点，若MA＝MB＝MC，求点M的坐标；(3)在抛物线上是否存在点E，使4tan∠ABE＝11tan∠ACB？若存在，求出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案类型一【例1】 (1)如图1，连接AF.由四边形ABCD是矩形，结合旋转可得BD＝AF，∠EAF＝∠ABD.∵AB＝AE，∴∠ABD＝∠AEB，∴∠EAF＝∠AEB，∴BD∥AF，∴四边形BDFA是平行四边形，∴FD＝AB.∵AB＝CD，∴FD＝CD.(2)如图2，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的右边时，连接DG，CG，BG，易知点G也是AD的垂直平分线上的点，∴DG＝AG.又∵AG＝AD，∴△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，∴α＝60°.如图3，当点G位于BC的垂直平分线上，且在BC的左边时，连接CG，B G，DG，同理，△ADG是等边三角形，∴∠DAG＝60°，此时α＝300°.综上所述，当α为60°或300°时，GC ＝GB. 变式训练 1．C2．解：(1)设p 与x 之间的函数关系式为p ＝kx ＋b ， 代入(1，7.5)，(3，8.5)得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝7.5，3k ＋b ＝8.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝0.5，b ＝7， 即p 与x 的函数关系式为p ＝0.5x ＋7(1≤x≤15，x 为整数)． 当1≤x＜10时，W ＝[20－(0.5x ＋7)](2x ＋20)＝－x 2＋16x ＋260. 当10≤x≤15时，W ＝[20－(0.5x ＋7)]×40＝－20x ＋520，即W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋16x ＋260（1≤x<10，x 为整数），－20x ＋520（10≤x≤15，x 为整数）.(2)当1≤x＜10时，W ＝－x 2＋16x ＋260＝－(x －8)2＋324， ∴当x ＝8时，W 取得最大值，此时W ＝324. 当10≤x≤15时，W ＝－20x ＋520， ∴当x ＝10时，W 取得最大值，此时W ＝320.∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元． (3)当1≤x＜10时，令－x 2＋16x ＋260＝299，得x 1＝3，x 2＝13， 当W ＞299时，3＜x ＜13.∵1≤x＜10，∴3＜x ＜10.当10≤x≤15时， 令W ＝－20x ＋520＞299，得x ＜11.05，∴10≤x≤11.由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为20×(11－3)＝160(元)．答：李师傅共可获得160元奖金． 类型二【例2】(1)由图形可得学校到景点的路程为40 km ，大客车途中停留了5min ，小轿车的速度为4060－20＝1(km/min)，a ＝(35－20)×1＝15. 故答案为40，5，15.(2)由(1)得a ＝15，∴大客车的速度为1530＝12(km/min)．小轿车赶上来之后，大客车又行驶了(60－35)×107×12＝1257(km)，40－1257－15＝507(km)．答：在小轿车司机驶过景点入口时，大客车离景点入口还有507km.(3)设直线CD 的解析式为s ＝kt ＋b ，将(20，0)和(60，40)代入得⎩⎪⎨⎪⎧20k ＋b ＝0，60k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－20， ∴直线CD 的解析式为s ＝t －20. 当s ＝46时，46＝t －20，解得t ＝66.小轿车赶上来之后，大客车又行驶的时间为40－1512×107＝35(min)，小轿车司机折返时的速度为6÷(35＋35－66)＝32(km/min)＝90 km/h ＞80km/h.答：小轿车折返时已经超速．(4)大客车的时间：4012＝80(min)，80－70＝10(min)．故答案为10. 变式训练 3．B 4.A5．解：(1)设该一次函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将(150，45)，(0，60)代入y ＝kx ＋b 中得⎩⎪⎨⎪⎧150k ＋b ＝45，b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－110，b ＝60，∴该一次函数解析式为y ＝－110x ＋60.(2)当y ＝－110x ＋60＝8时，解得x ＝520，即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10(千米)，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．答：在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．类型三【例3】(1)∵Rt△ABC中，tan A＝BCAB，∴AB＝BCtan A＝BCtan 20°≈20411＝55(cm)．(2)如图，延长FE交DG于点I，则四边形GHFI为矩形，∴IG＝FH，∴DI＝DG－FH＝100－72＝28(cm)．在Rt△DEI中，sin∠DEI＝DIDE＝2830＝1415，∴∠DEI≈69°，∴β＝180°－69°＝111°≠100°，∴此时β不符合科学要求的100°.变式训练6．A 7.88．解：如图，过点C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC和Rt△BCD中，∵∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，AC＝640，∴CD＝320，AD＝3203，∴BD＝CD＝320，BC＝3202，∴AC＋BC＝640＋3202≈1 088，∴AB＝AD＋BD＝3203＋320≈864，∴1 088－864＝224(公里)．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程将缩短约224公里． 类型四【例4】 (1)∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵PB 是⊙O 的切线，∴∠ABP＝90°，∴∠PBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAD＝∠PBD.(2)∵∠A＝∠DCB，∠AED＝∠CEB， ∴△ADE∽△CBE，∴DE BE ＝AECE ，即DE·CE＝AE·BE. 如图，连接OC.设圆的半径为r ， 则OA ＝OB ＝OC ＝r ，则DE·CE＝AE·BE＝(OA －OE)(OB ＋OE)＝r 2－OE 2. ∵AC ︵＝BC ︵，∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∴CE 2＝OE 2＋OC 2＝OE 2＋r 2， BC 2＝BO 2＋CO 2＝2r 2，则BC 2－CE 2＝2r 2－(OE 2＋r 2)＝r 2－OE 2， ∴BC 2－CE 2＝DE·CE.(3)∵OA ＝4，∴OB＝OC ＝OA ＝4， ∴BC＝OB 2＋OC 2＝4 2. 又∵E 是半径OA 的中点， ∴AE＝OE ＝2，则CE ＝OC 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∵BC 2－CE 2＝DE·CE，∴(42)2－(25)2＝DE·25， 解得DE ＝655.变式训练 9．8 10.127类型五【例5】 (1)①由题意可得xy ＝3，则y ＝3x .②当y≥3时，3x ≥3，解得x≤1，∴x 的取值范围是0＜x≤1.(2)∵一个矩形的周长为6，∴x＋y ＝3， ∴x＋3x ＝3，整理得x 2－3x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝9－12＝－3＜0，∴矩形的周长不可能是6，∴圆圆的说法不对． ∵一个矩形的周长为10，∴x＋y ＝5， ∴x＋3x＝5，整理得x 2－5x ＋3＝0.∵b 2－4ac ＝25－12＝13＞0，∴矩形的周长可能是10， ∴方方的说法对． 变式训练11．解：(1)将点A ，B 的坐标代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧9a －3b ＋6＝0，a ＋b ＋6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－4， ∴抛物线的函数解析式为y ＝－2x 2－4x ＋6， 当x ＝0时，y ＝6，∴点C 的坐标为(0，6)．(2)由MA ＝MB ＝MC 得M 点在AB 的垂直平分线上，M 点在AC 的垂直平分线上． 设M(－1，y)，由MA ＝MC 得(－1＋3)2＋y 2＝(y －6)2＋(－1－0)2， 解得y ＝114，∴点M 的坐标为(－1，114)．(3)①如图，过点A 作DA⊥AC 交y轴于点F ，交CB 的延长线于点D. ∵∠ACO＋∠CAO＝90°，∠DAO＋∠CAO＝90°，∠ACO＋∠AFO＝90°， ∴∠DAO＝∠ACO，∠CAO＝∠AFO， ∴△AOF∽△COA， ∴AO OF ＝CO AO ， ∴AO 2＝OC·OF.∵OA＝3，OC ＝6，∴OF＝326＝32，∴F(0，－32)．∵A(－3，0)，F(0，－32)，∴直线AF 的解析式为y ＝－12x －32.∵B(1，0)，C(0，6)，∴直线BC 的解析式为y ＝－6x ＋6， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x －32，y ＝－6x ＋6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1511，y ＝－2411，∴D(1511，－2411)，∴AD＝24115，AC ＝35，∴tan∠ACB＝2451135＝811.∵4tan∠ABE＝11tan∠ACB， ∴tan∠ABE＝2.如图，过点A 作AM⊥x 轴，连接BM 交抛物线于点E.∵AB＝4，tan∠ABE＝2， ∴AM＝8， ∴M(－3，8)．∵B(1，0)，M(－3，8)，∴直线BM 的解析式为y ＝－2x ＋2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋2，y ＝－2x 2－4x ＋6， 解得⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，(舍去)∴E(－2，6)．②当点E 在x 轴下方时，如图，过点E 作EG⊥AB，连接BE. 设点E(m ，－2m 2－4m ＋6)， ∴tan∠ABE＝GE BG ＝2m 2＋4m －6－m ＋1＝2，∴m＝－4或m ＝1(舍去)， 可得E(－4，－10)．综上所述，E 点坐标为(－2，6)或(－4，－10)．专题类型突破专题二 探索规律问题类型一 数式规律命题角度❶ 数字规律探索(2018·泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．【自主解答】解数式规律型问题的一般方法(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．1．(2017·百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是( )A．－121 B．－100 C．100 D．1212．(2017·十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为( )A ．32B ．36C ．38D ．403．(2018·枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：…则2 018在第________行． 命题角度❷ 数字循环类规律探索(2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1S 4，…(即当n 为大于1的奇数时，S n ＝1S n －1；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝__________．【分析】 根据S n 数的变化找出S n 的值每6个一循环，结合2 018＝336×6＋2，此题得解． 【自主解答】数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n 个数用含n 的式子表示，用n 除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．4．(2017·岳阳中考)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22 017的末位数字是( )A ．0B ．2C ．4D ．65．(2016·枣庄中考改编)一列数a 1，a 2，a 3，…满足条件：a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n≥2，且n为整数)，则a 2 019＝________． 命题角度❸ 等式规律探索(2018·滨州中考)观察下列各式： 1＋112＋122＝1＋11×2， 1＋122＋132＝1＋12×3， 1＋132＋142＝1＋13×4， …请利用你所发现的规律， 计算1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142＋…＋1＋192＋1102，其结果为________．【分析】 直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案． 【自主解答】探索等式规律的一般步骤(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验．6．(2018·黔南州中考)根据下列各式的规律，在横线处填空：11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156…，12 017＋12 018－________＝12 017×2 018.7．(2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×02＝1，第2个等式：12＋13＋12×13＝1，第3个等式：13＋24＋13×24＝1，第4个等式：14＋35＋14×35＝1，第5个等式：15＋46＋15×46＝1，…按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n 个等式：________(用含n 的等式表示)，并证明．类型二 点的坐标规律(2018·东营中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2，A 3，…和点B 1，B 2，B 3，…分别在直线y ＝15x ＋b 和x 轴上．△OA 1B 1，△B 1A 2B 2，△B 2A 3B 3，…都是等腰直角三角形，如果点A 1(1，1)，那么点A 2 018的纵坐标是 ________.【分析】 因为每个A 点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交x 轴、y 轴于点N ，M ，构造直角三角形MNO ，作出各点A 垂直于x 轴，利用三角函数值求出各点A 的纵坐标，找出规律可求解． 【自主解答】根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M 个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M 个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n ，用M÷n＝ω……q(0≤q＜n)，则第M 次变换与每个循环中第q 次变换相同，再根据(2)中得到的第M 个点的坐标与变换次数的关系，得到第M 个点的坐标．8．(2018·广州中考)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O 出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动 1 m ．其行走路线如图所示，第1次移动到A 1，第2次移动到A 2，…，第n 次移动到A n .则△OA 2A 2 018的面积是( A )A ．504 m 2B.1 0092 m 2C.1 0112m 2D ．1 009 m 29．(2018·威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为(1，2)，以点O 为圆心，以OA 1长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 1.过B 1点作B 1A 2∥y 轴，交直线y ＝2x 于点A 2，以点O 为圆心，以OA 2长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 2；过点B 2作B 2A 3∥y 轴，交直线y＝2x 于点A 3，以点O 为圆心，以OA 3长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 3；过B 3点作B 3A 4∥y轴，交直线y ＝2x 于点A 4，以点O 为圆心，以OA 4长为半径画弧，交直线y ＝12x 于点B 4，…，按照如此规律进行下去，点B 2 018的坐标为______________类型三图形累加型变化规律(2017·潍坊中考)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．【自主解答】找图形累加型变化规律的一般步骤(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．10．(2018·重庆中考)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为( )A．11 B．13 C．15 D．1711．(2018·自贡中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2 018个图形共有______________个○.类型四图形成倍递变型变化规律(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为________．【分析】记原来三角形的面积为S，第一个小三角形的面积为S1，第二个小三角形的面积为S2，…，求出S1，S2，S3，探究规律后即可解决问题．【自主解答】对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．12．(2017·内江中考)如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2 016A2 017的长为( )A．(32)2 015 B．(32)2 016 C．(32)2 017 D．(32)2 01813．(2018·潍坊中考)如图，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝3 x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；….按此作法进行下去，则的长是________．参考答案类型一【例1】 观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为2的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与1的差．故此，可知a ＝28＝256，b ＝15＋256＝271，c ＝271－1＝270.故答案为270. 变式训练 1．B 2.D 3.45【例2】 ∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝aa ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝1S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1a ，…，∴S n 的值每6个一循环． ∵2 018＝336×6＋2， ∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1a .故答案为－a ＋1a .变式训练 4．B 5.－1 【例3】 1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋142 ＋…＋1＋192＋1102 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋19×10＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110＝9＋1－110＝9910. 故答案为9910.变式训练 6.11 0097．解：(1)16＋57＋16×57＝1(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝1.证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2＋n n （n ＋1）＝1，∴等式成立．类型二【例4】 ∵A 1(1，1)在直线y ＝15x ＋b 上，∴b＝45，∴直线解析式为y ＝15x ＋45.设直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为点N ，M. 当x ＝0时，y ＝45；当y ＝0时，15x ＋45＝0，解得x ＝－4，∴点M ，N 的坐标分别为M(0，45)，N(－4，0)，∴tan∠MNO＝MO NO ＝454＝15.如图，作A 1C 1⊥x 轴于点C 1，A 2C 2⊥x 轴于点C 2，A 3C 3⊥x 轴于点C 3. ∵A 1(1，1)，OB 1＝2A 1C 1＝2，∴tan∠MNO＝A 2C 2NC 2＝A 2C 2NO ＋OB 1＋A 2C 2＝A 2C 24＋2＋A 2C 2＝15，∴A 2C 2＝32.同理，A 3C 3＝94＝(32)2，A 4C 4＝278＝(32)3，…依此类推，点A 2 018的纵坐标是(32)2 017.故答案为(32)2 017.变式训练 8．A 9.(22 018，22 017)类型三【例5】 ∵第1个图由6个正方形和6个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的个数之和为6＋6＝12＝9＋3； ∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成， ∴正方形和等边三角形的个数之和为11＋10＝21＝9×2＋3； ∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的个数之和为16＋14＝30＝9×3＋3；… ∴第n 个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n ＋3. 故答案为9n ＋3. 变式训练 10．B 11.6 055 类型四【例6】 记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，….∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝124·S，S 3＝126·S，∴S n ＝122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为122n －1. 变式训练 12．B 13.22 019π3专题类型突破专题三 阅读理解问题类型一 定义新的运算(2018·德州中考)对于实数a ，b ，定义运算“◆”：a◆b＝例如4◆3，因为4>3，所以4◆3＝42＋32＝5.若x ，y 满足方程组则x◆y＝________.【分析】 根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．【自主解答】定义新运算问题的实质是一种规定，规定某种运算方式，然后要求按照规定去计算、求值，解决此类问题的方法技巧是：(1)明白这是一种特殊运算符号，常用※，●，▲，★，&，◎，◆，♂等来表示一种运算；(2)正确理解新定义运算的含义，严格按照计算顺序把它转化为一般的四则运算，然后进行计算；(3)新定义的算式中，有括号的要先算括号里面的．1．(2018·金华中考)对于两个非零实数x ，y ，定义一种新的运算：x*y ＝a x ＋by .若1*(－1)＝2，则(－2)*2的值是________．2．(2016·雅安中考)我们规定：若m ＝(a ，b)，n ＝(c ，d)，则m ·n ＝ac ＋bd.如m ＝(1，2)，n ＝(3，5)，则m ·n ＝1×3＋2×5＝13. (1)已知m ＝(2，4)，n ＝(2，－3)，求m·n ；(2)已知m ＝(x －a ，1)，n ＝(x －a ，x ＋1)，求y ＝m ·n ，问y ＝m ·n 的函数图象与一次函数y ＝x －1的图象是否相交，请说明理由．类型二方法模拟型(2018·内江中考)对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{－2，－1，0}＝－1，max{－2，－1，0}＝0，max{－2，－1，a}＝解决问题：(1)填空：M{sin 45°，cos 60°，tan 60°}＝________，如果max{3，5－3x，2x－6}＝3，则x的取值范围为________；(2)如果2·M{2，x＋2，x＋4}＝max{2，x＋2，x＋4}，求x的值；(3)如果M{9，x2，3x－2}＝max{9，x2，3x－2}，求x的值．【分析】 (1)根据定义写出sin 45°，cos 60°，tan 60°的值，确定其中位数；根据max{a，b，c}表示这三个数中最大数，对于max{3，5－3x，2x－6}＝3，可得不等式组，即可得结论；(2)根据已知条件分情况讨论，分别解出即可；(3)不妨设y1＝9，y2＝x2，y3＝3x－2，画出图象，两个函数相交时对应的x的值符合条件，结合图象可得结论．【自主解答】该类题目是指通过阅读所给材料，将得到的信息通过观察、分析、归纳、类比，作出合理的推断，大胆的猜测，从中获取新的思想、方法或解题途径，进而运用归纳与类比的方法来解答题目中所提出的问题．3．(2018·怀化中考)根据下列材料，解答问题． 等比数列求和：概念：对于一列数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…(n 为正整数)，若从第二个数开始，每一个数与前一个数的比为一定值，即a ka k －1＝q(常数)，那么这一列数a 1，a 2，a 3…，a n ，…成等比数列，这一常数q 叫做该数列的公比．例：求等比数列1，3，32，33，…，3100的和． 解：令S ＝1＋3＋32＋33＋…＋3100， 则3S ＝3＋32＋33＋…＋3100＋3101， 因此，3S －S ＝3101－1，所以S ＝3101－12，即1＋3＋32＋33＋…＋3100＝3101－12.仿照例题，等比数列1，5，52，53，…，52 018的和为________．4．(2018·随州中考)我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数，事实上，所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数)，那么无限循环小数如何表示为分数形式呢？请看以下示例：例：将0.7·化为分数形式，由于0.7·＝0.777…，设x ＝0.777…，① 则10x ＝7.777…，②②－①得9x ＝7，解得x ＝79，于是得0.7·＝79.同理可得0.3·＝39＝13，1.4·＝1＋0.4·＝1＋49＝139.根据以上阅读，回答下列问题：(以下计算结果均用最简分数表示) 【基础训练】(1)0.5·＝________，5.8·＝________；(2)将0.2·3·化为分数形式，写出推导过程； 【能力提升】(3)0.3·15·＝________，2.01·8·＝________；(注：0.3·15·＝0.315 315…，2.01·8·＝2.018 18…) 【探索发现】(4)①试比较0.9·与1的大小：0.9·________1；(填“＞”“＜”或“＝”)②若已知0.2·85 714·＝27，则3.7·14 285·＝________．(注：0.2·85 714·＝0.285 714 285 714…)类型三 学习新知型(2018·自贡中考)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550－1617年)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Eu l er ，1707－1783年)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N(a ＞0，a≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25. 我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a≠1，M ＞0，N ＞0)；理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m，N ＝a n，。