高考数学考点30异面直线所成的角试题解读与变式

考点30： 异面直线所成的角

【考纲要求】

1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题.

2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 【命题规律】

异面直线的知识是高考的热点问题，选择、填空、解答题都有可能进行考查.预计2018年的高考对本知识的考查空间向量的应用，仍然是以简单几何体为载体解决线线问题． 【典型高考试题变式】

（一）空间直线与直线夹角的问题

例1.【2017全国3卷（理）】a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC

所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所称角的最小值为45； ④直线AB 与a 所称角的最小值为60；

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号） 【答案】② ③

【解析】由题意知，a ，b ，AC 三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故1AC =，2AB =

边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，

直线a 的方向单位向量(0,1,0)=a ，1=a ．B 点起始坐标为(0,1,0)，

直线b 的方向单位向量(1,0,0)=b ，1=b ．设B 点在运动过程中的坐标()cos ,sin ,0B θθ'，

其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．

那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，2AB '=．

当AB '与a 夹角为60︒时，即π3

α=， 12

sin 2cos 2cos

2

3

2π

θα====

． 因为22cos sin 1θθ+=，所以2cos θ=

．所以21

cos cos 22

βθ==． 因为π0,2β⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

．所以π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒．所以②正确，①错误．故填② ③.

【方法技巧归纳】求空间两条直线的夹角，可以先考察两条直线是否异面垂直，若垂直，则化为线面垂直问题或用平移法转化为共面垂直，结合勾股定理加以证明.一般情形，可通过平移后通过解斜三角形求两条异面直线所成的角.

【变式1】【改编例题中条件，求两直线的夹角】【2016浙江（文）】如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，AD=5，∠ADC=90°.沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD' 所成角的余弦的最大值是______.

6

【解析】试题分析：如图，连接BD′，设直线AC 与BD'所成的角为θ．

O 是AC 的中点.

由已知得AC =，以OB 为x 轴，OA 为y 轴，过O 与平面ABC 垂直的

直线为z

轴，建立空间直角坐标系，则A

，B

，(0,C .作DH AC ⊥于H ，连接D′H 翻折过程中，D'H 始终与AC 垂直，

则2CD CH CA ===

则3OH =

，6DH ==，因

此(cos ,)636D'αα--（设

∠DHD′=α），

则()6236

BD'αα=-

--，与CA 平行的单位向量为(0,1,0)=n ，

C

所以cos cos ,BD'θ=<>n BD'BD'⋅=n

n

＝cos 1α=-时，cos

θ取得最大值，为

6

． 【变式二】【改编例题中结论，求解动态问题】【2017浙江嵊州市二模】在四棱柱

1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥平面1111A B C D ，底面1111A B C D 是边长为a 的正方形，侧棱1

AA 的长为b ，E 为侧棱1BB 上的动点（包括端点），则（ ）

A ．对任意的a ，b ，存在点E ，使得11EC D

B ⊥ B ．当且仅当a b =时，存在点E ，使得11E

C

D B ⊥ C ．当且仅当b a ≤时，存在点

E ，使得11EC D B ⊥ D ．当且仅当b a ≥时，存在点E ，使得11EC D B ⊥ 【答案】C

（二）异面直线的夹角

例2.【2017全国2卷（理）】已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，

11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为（ ）.

A 315

C ．

10

5

D ．33

【答案】C

【解析】M ，N ，P

分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02⎛

⎤ ⎥⎝

⎦，），可知1152MN AB ==，11222NP BC ==，

作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．1=PQ ，1

2

MQ AC =

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠14122172

⎛⎫=+-⨯⨯⋅-= ⎪⎝⎭

，7=AC 则7MQ =

，则MQP △中，2211MP MQ PQ =+=， 则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=⋅⋅2

2

2

52111052

2⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==-⋅⋅.

又异面线所成角为π02⎛

⎤ ⎥⎝⎦

，，则余弦值为10．故选C.

【方法技巧归纳】1.利用向量法求异面直线所成角的步骤