纵向数据中线性混合模型的估计与检验
lmm的卡方检验和方差检验
lmm的卡方检验和方差检验英文回答：Linear mixed models (LMMs) are a powerful tool for analyzing data with complex structures, such ashierarchical or longitudinal data. LMMs can be used to test a variety of hypotheses, including the effects of fixed and random effects, and the significance of interactions between them.There are two main types of statistical tests that can be used to assess the significance of the fixed effects in an LMM: the likelihood ratio test (LRT) and the Wald test. The LRT compares the likelihood of the model with the fixed effects to the likelihood of the model without the fixed effects. The Wald test compares the estimated coefficients of the fixed effects to zero.Both the LRT and the Wald test can be used to test the significance of individual fixed effects, as well as thejoint significance of multiple fixed effects. However, the LRT is more powerful than the Wald test when the sample size is small.In addition to the LRT and the Wald test, there are two other statistical tests that can be used to assess the significance of the random effects in an LMM: theBartlett's test and the likelihood ratio test for the variance components. The Bartlett's test compares the observed variance of the random effects to the expected variance under the null hypothesis of no random effects. The likelihood ratio test for the variance components compares the likelihood of the model with the randomeffects to the likelihood of the model without the random effects.Both the Bartlett's test and the likelihood ratio test for the variance components can be used to test the significance of individual random effects, as well as the joint significance of multiple random effects. However, the likelihood ratio test is more powerful than the Bartlett's test when the sample size is small.中文回答：线性混合模型（LMM）是分析具有复杂结构的数据（例如分层数据或纵向数据）的一种强大工具。
统计学中的线性混合效应模型解析
统计学中的线性混合效应模型解析统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科。
在统计学中，线性混合效应模型是一种常用的方法，用于分析具有多层次结构的数据。
本文将对线性混合效应模型进行详细解析，介绍其基本概念、应用场景和建模方法。
一、基本概念线性混合效应模型是一种统计模型，用于分析具有多层次结构的数据。
在许多实际问题中，数据往往存在多个层次的嵌套关系，例如学生嵌套在班级中，班级又嵌套在学校中。
线性混合效应模型能够考虑这种层次结构的影响，提供更准确的分析结果。
在线性混合效应模型中，通常包含固定效应和随机效应两部分。
固定效应表示所有样本共同的影响因素，例如性别、年龄等；而随机效应表示各个层次的特定影响因素，例如班级、学校等。
通过同时考虑固定效应和随机效应，线性混合效应模型能够更好地解释数据的变异性。
二、应用场景线性混合效应模型在各个领域都有广泛的应用，特别是在教育、医学和社会科学等研究中。
以教育领域为例，学生的学习成绩往往受到多个层次的影响，包括学生个体差异、班级教学质量和学校管理水平等。
通过建立线性混合效应模型，可以准确地评估各个层次的影响，并提供个性化的干预措施。
另外，线性混合效应模型还可以用于研究医学领域的药效评估、社会科学领域的心理测量等问题。
通过考虑不同层次的随机效应，线性混合效应模型能够更好地解释数据的变异性，提高模型的预测能力和解释能力。
三、建模方法建立线性混合效应模型通常需要考虑以下几个步骤：数据收集、模型设定、参数估计和模型诊断。
首先，需要收集具有多层次结构的数据，并进行预处理。
例如，对于学生学习成绩的研究，需要收集学生的个人信息、班级信息和学校信息等。
然后，需要设定线性混合效应模型的具体形式。
根据实际问题和数据特点，可以选择不同的模型形式，例如随机截距模型、随机斜率模型等。
同时，还需要确定固定效应和随机效应的具体参数。
接下来，通过最大似然估计、贝叶斯估计等方法，对模型参数进行估计。
这一步骤需要利用统计软件进行计算，得到参数的估计值和置信区间。
混合模型的纵向数据分析
去掉异常数据
fit.dropM09<update(fit,subset=Subject!="M09")
summary(fit.dropM09)
intervals(fit.dropM09)
去掉异常数据2
fit1.dropM09<update(fit1,subset=Subject!="M09") summary(fit1.dropM09) intervals(fit1.dropM09)
去掉Sex主效应
fit1<lme(distance~age/Sex,dd,random=~1+age |Subject,correlation=corAR1(form=~1|Subj ect)) summary(fit1) intervals(fit1)#区间估计 getVarCov(fit1)#G矩阵
混合效应模型
fit<lme(distance~age*Sex,dd,random=~1+ag e|Subject,correlation=corAR1(form=~1|Su bject)) summary(fit) intervals(fit)#区间估计 getVarCov(fit)#得到G矩阵
一些方差结论
令 独立。 假设
其中 则时间序列平稳且
时间序列有单位根即
。
AR（1）模型的数值特征
令 和 件期望和方差，则
为给定t-1时刻前的条
因此
无条件期望方差
均值方差为
分布为
自相关系数
定义 协方差
混合线性模型参数估计与检验研究讲解
山东理工大学毕业设计（论文）题目：混合线性模型参数估计与检验研究学院：理学院专业：统计学学生姓名：刘美倩指导教师：范红玲林鹏毕业设计（论文）时间：二ОО九年 4 月20 日～6月21日共九周摘要混合线性模型是一种既包含固定效应又包含随机效应的一类线性模型，它在生物、医学、经济、金融、环境保护、工业设计等都具有广泛应用.近年来关于这个模型的理论和应用研究都有了很大的发展，本文将综述它在参数（固定效应和方差分量）估计方面的一些重要理论结果，重点介绍该模型的方差分量的估计方法，并以具体模型为例来说明方差分量估计的思路和过程.方差分量的估计方法主要有方差分析估计（ANOV AE），极大似然估计（MLE），限制极大似然估计(RMLE)，最小范数二次无偏估计(MINQUE)及谱分解估计(SDE) .这几种估计有不同的优缺点，我们将在本文中一一讲解.此外我们将对所做的方差分量的估计进行检验.关键词:混合线性模型；固定效应；随机效应；方差分量估计AbstractThe linear mixed model is a subclass of linear models which contains both fixed effects and random effects. The model has extensive applications in biology，medical science，economy，finance，environment protection and design of industry and so on. In the recent years，there is great progress in the research on the theory of the model and its applications .The letter will describe some important theory in parameter(fixed effects and random effects)estimator，especially introduce the estimator method of variance components and explain the process of variance components estimator taking the specific models for example The estimator methods of variance component mainly contain analysis of variance estimate，maximum likelihood estimate，restricted maximum likelihood estimate，minimum norm quadratic unbiased estimate and spectral decomposition estimate .These estimators have different strong point and weak point，which will be explained in the letter. Besides，we will test variance components estimators which we have made.Keywords:Linear Mixed Model, Fixed Effects，Random Effects，Variance Components Estimator目录中文摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)第一章引言 (1)1.1课题的背景和意义 (1)1.2混合线性模型的发展 (2)第二章固定效应的估计 (3)2.1混合线性模型的形式 (3)2.2固定效应的估计 (4)第三章方差分量的估计 (6)3.1方差分析估计 (6)3.2极大似然估计 (9)3.3限制极大似然估计 (12)3.4最小范数二次无偏估计 (13)3.5谱分解估计 (16)第四章随机效应值的预测及方差分量估计的检验 (20)4.1随机效应值的预测 (20)4.2方差分量估计的检验 (21)第五章方差分量估计方法的比较 (22)结论 (24)参考文献 (25)致谢 (26)第一章引言1.1 课题的背景和意义方差分析模型Y=Xb+e,是大家所熟知的，将模型中各种效应分为二大类，固定效应和随机效应，这便得到了下面将要研究的混合线性模型.混合线性模型分为平衡数据的混合线性模型（对所有因子的水平组合，重复试验次数相同的模型）和非平衡数据的混合线性模型（对所有因子的水平组合，重复试验次数不相同的模型）.混合线性模型的统计分析包括二方面，首先是估计各项随机效应的方差分σ，其次是估计固定效应β，随机效应是不可估计的，但可以进行预测，量2n另外，可以对方差分量进行检验和区间估计.混合线性模型中，研究最多的是对于方差分量的估计方法，目前来看，主要方法有方差分析法（Henderson方法三）、极大似然估计、限制极大似然估计、最小范数二乘估计及谱分解估计，不同方法中还有不同的求解方法，此方面的研究还不尽完善.对于方差分量的估计方法还有待发展，各种方法都有其不足之处.对于固定效应的估计方法较少，比如最小二乘估计方法，极大似然估计在得到方差分量估计的同时也有固定效应的估计.最后Markov链蒙特卡罗（Markov chain Marte Carlo）分析方法，不但可以获得参数的点估计，还能提供这些参数的相应分布及其特征值.1.2 混合线性模型的发展近30年来，关于混合线性模型的参数估计一直是线性模型的最活跃的研究方向之一，在这方面已有一些专著将混合线性模型应用于处理纵向数据分析.对于固定效应的估计方法为最小二乘估计而.随机效应是不可估计的但可以预测.对于随机效应的方差分量估计方法有多种：1953年Henderson提出了三种估计非平衡数据方差分量的统计分析方法，这些方法都模仿方差分析的原理.在这三种方法中，方法三运用最为广泛.适用于析因试验设计或套试验设计等正规试验设计的方差分析，但对一些特殊的线性模型，采用此法估计的方差分量可能会产生偏差，70年代以来发展的一系列混合线性模型分析方法，包括最大似然法，限制性最大似然法，最小范数二次无偏估计法等.可以克服Henderson方法三的局限性.自70年代开始，Hartley和Rao(1967)首先提出应用最大似然法分析混合线性模型的非平衡数据.但这个方法的估计值受到固定效应的影响，可能导致较严重的有偏估计，为了服这一缺点，Patterson和Thompson(1971)提出了限制性最大似然法，使似然值不包括固定效应.Rao（1971）提出最小范数二次无偏估计，比最大似然法和限制性最大似然法更简便和优越，它不需要进行迭代运算，对线性模型也没有正态分布的限定.最近，王松桂和尹素菊提出了同时估计固定效应和方差分量的一种新方法，称为谱分解估计.第二章 固定效应的估计2.1 混合线性模型的形式混合线性模型的一般形式是：y =X β+1U 1ξ+22U ξ+…+k k U ξ，其中y 是n ⨯1观测向量，X 为n ⨯已知设计阵，β 是p ⨯1非随机的参数向量，称为固定效应. i U 为n ⨯i t 已知设计矩阵，i ξ为i t ⨯1随机向量，称为随机效应. 且E(i ξ)=0，i=1，…，k .通常假设Cov(i ξ)=2i σi t I ，Cov (i ξ，)j ξ=0，i ≠j. 于是我们有E(y )=X β， Cov （y ）=2/1ki i I i U U σ=∑2()σ∑，这里2σ=()221,,k σσ.2i σ称为方差分量，相应的模型也称为方差分量模型.混合线性模型之所以在生物、医学、经济、金融和工业设计等领域具有十分广泛的应用，是因为在实际问题中，参与试验的个体是随机抽取的，且我们研究的目标不是这些个体本身的特征，而是它们所在的总体特征，这时把个体效应看作随机的而引入模型，可以大大提高模型的精度.对于混合线性模型，我们感兴趣的参数分两类：固定效应β 和方差分量2σ=()221,,k σσ，它们分别包含在均值E(y )和协方差Cov （y ）中，处理问题的方法与固定效应模型相比较复杂一些.在本章里我们将研究固定效应估计方法，以后几章里详细讲解方差分量的估计方法及检验.2.2固定效应的估计在考虑到固定效应的估计时，将模型写为如下形式 y =X β+U ξ+e ，其中β为固定效应，ξ为随机效应，且E(ξ)=0，E(e)=0,Cov(ξ，e)=0，并且假设ξ和e 的协方差阵具有较一般的形式Cov(ξ)=D ≥0,Cov(e)=R>0,于是我们有∑=Cov(y )=UDU+R>0.暂时视D,R 已知应用最小二乘估计法得到正则方程 X '1-∑X *β=X '1-∑y ,据此可得到β的广义最小二乘解*β= ()1X X --'∑X '1-∑y .因此，任意的可估函数/c β的最佳线性无偏估计（BLU 估计）为*c β'=c '()/1X X --∑X '1-∑y .而实际上D,R 未知，若用它们的估计^D ,^R 代替，即用^∑=U ^D U '+^R 代替∑，便得到/c β的两步估计~c β'（^∑）=c '^()X X --'∑1^X y -'∑.在假设Cov(i ξ)=2i σi t I ，Cov (i ξ，)j ξ=0，i ≠j 下c β'的两步估计又可变形为~c β'（2^σ）=2^1(())X X σ--'∑2^1()X y σ-'∑.在以上模型中若假设e,ξ的联合分布关于原点对称，设2^σ=2σ（y ）是2σ的一个估计，它是y 的偶函数，且具有变换不变性.对一切可估函数c β'，若E （~c β'（2^σ））存在，则两步估计~c β'（2^σ）必为c β'无偏估计.以上定理说明了在一定条件下~c β'（2^σ）为c β'无偏估计.关于e,ξ分布的假设在许多情况下是满足的.此外，对方差分量估计的方法不同，所得到的固定效应的估计也不相同，方差分析法、极大似然法、限制极大似然法、最小范数二乘法,所产生的估计2^i σ都是y 的偶函数，且是变换不变的，因此，对于混合线性模型的固定效应以上定理给出了一大类两步估计的无偏性.我们可以看到方差分量的不同估计，往往会产生不同两步估计，而且除最小二乘估计外，模型还可能存在另外一些简单估计，如Panel数据下的Between估计和within估计，简约估计等.第三章 方差分量的估计3.1 方差分析估计1953年Henderson 提出了三种估计非平衡数据方差分量的统计分析方法，这些方法都模仿方差分析的原理.在这三种方法中，方法三运用最为广泛.Searle （1968）将Henderson 的分析方法改成矩阵形式表示.方差分析方法渊源于固定效应模型的方差分析.我们用下面的例子来说明它的原理和方法 对于平衡单向分类模型i =i ij e μα++， i =1，…，a ， j =1，…，b, 其中μ为总均值，是固定效应，1,,a αα为随机效应.假定所有i α,ij e 都不相关，且其均值为0，方差为Var(i α)=2ασ,Var(ij e )=2e σ.记y '=（11,,ab y y ）.暂时先把i α看作因子A 的i 水平i A 的固定效应，有RSS(μ)=2..y -/(ab )SS μ, (3.1.1)其自由度为1，对应于1,,a αα的平方和，即因子A 的平方和A SS =RSS(,μα)-RSS(μ)=2...()i ijyy ---∑∑， (3.1.2)其自由度为n-1，而残差平方和为 e SS =/y y -RSS(,μα)=2.()iji IJyy --∑∑, (3.1.3)其自由度为a （b-1）.由以上三式可以推导出总平方和的分解式 /y y =SS μ+A SS +e SS 将平方和除以自由度，得到均方： 0Q =SS μ, 1Q =A SS /(a -1), 2Q =e SS /[a (b -1)],再按照i α为随机效应的假设，求出各均方的均值：0()E Q =()u E SS =2ab μ+2b ασ+2e σ, 1()E Q =(/(1))A E SS a -=2b ασ+2e σ,2()E Q =(/[(1)])e E SS a b -=2e σ.可以看到，后两式的右端为方差分量的线性函数，令1()E Q =1Q ， 2()E Q =2Q ，便得到关于2ασ，2e σ的线性方程组 22122,.a e eb Q Q σσσ⎧+=⎪⎨=⎪⎩解此方程组得2^e σ=2Q ， 2^ασ=(1Q -2Q )/b.它们就是方差分量2ασ，2e σ的方差分析估计（ANOVA 估计）.从以上求解过程我们可清楚的看到方差分析法的具体思路，我们可以把方差分析法归纳如下：1.对一个方差分量模型，现将其随机效应看作固定效应，按通常方差分析方法算出各效应对应的平方和（或均方）.2.求这些平方和（或均方）的均值（此时的随机效应不再看作固定效应），他们是方差分量的线性函数.3.令这些平方和（或均方）等于它们各自的均值，得到关于方差分量的一个线性方程组，解此方程组便得到方差分量的估计.至此我们了解到方差分析的一般思想，将此方法用于一般的混合线性模型.先考虑一个简单模型（方差分类模型）y =X β+11U ξ+22U ξ+e,其中Cov(i ξ)=2i σi t I ，i=1，2，Cov(y)=21σ11U U '+22σ22U U '+ 2e Iσ2()σ∑.得到方差分量21σ，22σ，2e σ的线性方程组1222211232222222123(),,().e e e e a a a r SS a SS n r r r SS ξξσσσσσσ⎧+-+=⎪⎪+=⎨⎪---=⎪⎩解此方程组，得到21σ，22σ，2e σ的估计.它们就是这些方差分量的ANOV A估计.估计如下2^1σ={1SS ξ-2r （e SS 123/()n r r r ---）-23()a a -[（2SS ξ-e SS 123/()n r r r ---）2/a ]}1/a ,2^2σ=（2SS ξ-e SS 123/()n r r r ---）2/a ， 2^e σ=e SS 123/()n r r r ---.对于一般的混合线性模型，文献中也称为拟合常数法，之所以称其为拟合常数法就是因为在构造估计方程时，我们把随机效应看成固定效应，即常数.对于平衡数据模型，该方法的平方和分解是惟一的，且可根据方差分析得到.下面将方差分析方法应用于带有交互效应的两向分类混合模型.ijk y =i j ij ijk e μαβγ++++，i=1,…，a ，j=1，…，b ，k=1，…，e ，这里μ，i α为固定效应，,j ij βγ为随机效应，并满足通常的假设，即所有的j β，ij γ，ijk e 都不相关，且具有均值为0，方差为Var(j β)=2βσ，Var(ij γ)=2γσ，Var(ijk e )=2e σ.首先，暂时视,j ij βγ为固定效应，得到总平方和有如下分解： y y '=SS μ+e SS SS SS SS αβγ+++，再用随机效应的平方和除以各自的自由度，得到均方1Q =/(1)SS b β-，2Q =)/(1(1)SS a b γ--，3Q =/[(1)]e SS ab c -，求出它们的均值，并令这些均值等于对应的均方，得到关于2βσ，2γσ，2e σ的线性方程组22212222 3.,,e e e ac c Q c Q Q βγγσσσσσσ⎧++=⎪⎪+=⎨⎪=⎪⎩ 解此方程组，得到方差分量的估计：2^βσ=（1Q -2Q ）/()ac ，2^γσ=（2Q -3Q ）/c ，2^e σ=3Q .由于方差分析法给出的估计2^σ 作为一个线性方程组的解，他们未必是正的.这是方差分析法的一个缺陷.至于如何对待方差分量的负估计，目前尚无一致的看法.（1）观点认为，若某个2^i σ<0,则说明2i σ=0或者至少这是2σ=0的一种证据，此时可用0作为2i σ的估计,可以将此分量对应的随机效应从模型中删除.（2）观点认为，发生这种情况的原因是数据不够充分.可能是数据不多或者不够“好”，应该再收集一些数据.(3)观点认为，这是方法本身所致，应改用其它方法，如极大似然法，限制极大似然法等等，（4）观点认为，负估计看成是采用错误模型的一个标志，需要重新考虑数据并寻求新模型.研究表明，除非非负性可自然满足，不然无偏性和非负性几乎不可兼得，在近期的研究中，人们往往放弃无偏性，而要求具有另外的优良性，如均方误差最小 .3.2 极大似然估计方差分析方法有一定的缺陷，采用此法估计的方差分量可能会产生偏差，所以，人们开始寻找新的方法.自70年代开始，Hartley 和Rao(1967)首先提出应用极大似然法分析混合线性模型的非平衡数据.极大似然方法最早应用在统计中，后来被应用在混合线性模型中.此方法能同时获得固定效应和方差分量的估计.考虑一般的混合线性模型y =X β+1U 1ξ+22U ξ+…+k k U ξ， （3.2.1） 这里假设i ξ~N(0，2i σi t I )，i=1，…k ，所有i ξ都相互独立，记i V =i i U U '，2σ=221(,,)k σσ'，于是Cov （y ）=21kii I i U U σ='∑=21ki ii V σ=∑2()σ∑.我们假设2()σ∑>0，因此y ~n N （0，2()σ∑），所以未知参数β，21σ，…，2k σ的似然函数为L(β,2σ|y )=2(2)nπ-122|()|σ-∑exp{-/1()2y X β-21()σ-∑y X β-}，取对数，略去常数项及常数倍，得l(β,2σ|y )=2ln |()|σ-∑21()()()y X y X βσβ-'--∑-=2ln |()|σ-∑21()()()tr y X y X σββ-'-∑--. （3.2.2） 根据如下公式Ax x∂∂=A ,1()ln |()|[()]A t A t tr A t t t -∂∂=∂∂. 对2σ，β求导可得2ilσ∂∂=21(())i tr V σ--∑+2121[(()())()()]i tr V y X y X σσββ--'∑∑--，i=1，…，k, lβ∂∂=21212()2()X X X y σβσ--''-∑+∑. 令这些导数等于零，得到似然方程2121212121()(),(())()(()())().i i X X X y tr V y X V y X σβσσβσσβ-----''⎧∑=∑⎪⎨'∑=-∑∑-⎪⎩（3.2.3） i=I,…，k . 进行简化变形后似然方程变为212121221211(())(),[()]()(()())(),ki j i j X X X X X y tr V y I P V I P y σσβσσσσσσ------=''⎧=∑∑⎪⎨''∑=-∑∑-⎪⎩∑1,i =…，k .（3.2.4） 这就是我们要求的似然方程.由（2.2.4）得第一方程，任意可估函数c β'的ML 估计为222^^^^11()(())()c X X X X y βσσσ---'''=∑∑，其中2^σ为2σ的ML 估计.在一般情况下似然方程（2.2.4）没有显式解，即便在有显式解的情形，2σ的解未必是非负的，若为负值，它就没有落在参数空间内，所以并不是ML 估计.这时一般采取截断法，即取max{2^i σ,0}作为ML 估计，在没有显式解的情形只能用迭代法求解.下面详细介绍两种迭代方法，并简单提出其他方法. Anderson 等提出一种迭代法是 2(1)2()2()^^^1()(,)m m m i iH h y σσσ+-=，这里2()^m σ为2σ的第m 次迭代值2()^m σ.当2^σ得两次相邻迭代值相差不大时，迭代停止，这就得到了方差分量的估计.带入（3.2.4）的第一方程，便可得到固定效应的估计.另外一种迭代法是由Hartley 和Rao 提出的，其推广形式是 2()^2(1)2()^^2()^1(,),1,,.(())m m m i iim i h y i k tr V σσσσ+-==∑这个迭代的一个好处是，当初始值为非负时，后面的迭代值永远不会取负值.另外还有一些迭代方法，如Newton-Raphson 方法，得分方法，以及EM 算法，这里不做详细研究.下面以两向分类混合模型为例来具体介绍参数估计的过程 对两向分类混合模型,ij i j ij y e μαβ=+++ 1,,,1,,,i a j b ==这里,i μα为固定效应，j β为随机效应，22~(0,),~(0,)j ij e N e N ββσσ，且所有j βij e 都相互独立，该模型的矩阵形式为12,y X X U e μαβ=+++用Kronecker 乘积表示设计阵12,X X 和U ： 1111,ab a b X ==⊗ 2,11ab a b X I ==⊗.1a b U I =⊗固定效应的设计阵为12()X X X =，2,b X X a P P I J -==⊗这里/11/b b b J b -=.得到似然方程^^12,X X X P y μα+=22^^2 (1)1()b e j j a y y b βσσ--=+=-∑，2...22222^^^^^12(1)1()()kj i eee b a byy a a ββσσσσσ--=-+=-++∑2 (4)^(1)()iji j ijea byy y y σ----+--+∑∑.求得方程组的显式解2^2 (1)()(1)e ij i j i j y y y y a b σ---=--+-∑∑， 22^^2...111()b e j j y y ab aβσσ--==--∑，在此处，2^βσ可能取负值.3.3 限制极大似然估计方差分量的极大似然估计的一个缺陷是在导出方差分量的估计的过程中没有考虑到固定效应β的估计所引起的自由度的减少.为此，Patterson 和Thompon 提出的一种修正方法，称为限制极大似然法.该方法的思想是基于极大似然估计残差，利用极大似然法导出方差分量的估计.限制极大似然估计的特点是此方法所求方程的解与方差分析法所得的估计相同.下面我们用两向分类随机模型来说明限制极大似然法的参数估计过程,ijk i j ij ijk y e μαβγ=++++1,,,1,,,1,,,i a j b k e ===这里为μ为总平均，是固定效应，,,i j ij αβγ都为随机效应，假设2~(0,)i a N ασ，2~(0,)j N ββσ，22~(0,),~(0,)ij ijk N e N γαγσσ且都相互独立.该模型的矩阵形式为123,y X U U U e μαβγ=++++这里111a b c X =⊗⊗，111a b c U I =⊗⊗，2,11a b c U I =⊗⊗31a b c U I I =⊗⊗，方差阵22222()1111111111b b c c a a b c c a b c c e abc I I I I I ααβγσσσσσ'''''∑=⊗⊗+⊗⊗+⊗⊗+.得到方程组如下2221,2222,223,24,e e ee bc c Q ac c Q c Q Q αγβγγσσσσσσσσσ++=++=+==这里我们记21.....122..123.. (11)()/(1),(...)/(1),()/(1)(1),ai i b j j abij i j i j Q y y a Q y y ac b Q y y y y a b --=--=----===--=--=--+--∑∑∑∑24.111()/(1).a b cijk ij i j k Q y y ab c -====--∑∑∑这与方差分析法所得到的线性方程组相同，因此限制极大似然方程的解与方差分析估计相同.对平衡数据的混合效应模型，这种现象通常成立.3.4 最小范数二次无偏估计方差分量的最小范数二次无偏估计始于Townsend 和Harville ，但C.R.Rao 的工作奠定了重要的基础，此方法与前面介绍的三种方差截然不同.前三种方法都是先按已有的一定方程式去求估计，至于所得估计有何性质，事先并不知道.而最小范数二次无偏估计的基本思想是对模型的误差和随机效应的分布没有要求，而是先提出估计应具有的性质，然后把为满足这些性质所加的条件提成一个极值问题，即所谓最小迹问题.解所得的最小迹问题，便得到所要的估计. Rao 这个方法的缺点是，对N 个不同的人，由于各自选用的方差分量的先验值不同，就会得到N 个不同的估计，具有一定程度的主观随意性.考虑最一般形式的方差分量模型11k k y X U U βξξ=+++， （3.4.1）这里n p X ⨯，,i n t U ⨯为已知设计矩阵，β为1p ⨯固定效应向量，i ξ为1i t ⨯随机效应向量，满足E （i ξ）=0，Cov(i ξ)=2i i t I σ,i ξ都不相关，若记 12()K U U U U =，12(,,,)k ξξξξ''''=，则模型（3.4.1）可改为y X U βξ=+, ()E y X β=, 21(),ki ii Cov y V σ==∑∑我们的基本目的是估计方差分量221,,k σσ及其线性函数2c ϕσ'=，这里2221(,,)k σσσ'=，1(,)k c c c '=.首先，看所求的估计量应有的一些性质，因为要估计的参数是方差，所以考虑二次型估计/y Ay ，A 为对称阵，要求这个估计具有下述性质.(1)不变性 即估计/y Ay 关于参数β具有不变性. (2)无偏性(3)最小范数准则 欲使y Ay '为一个好的估计，那么对一切ξ，矩阵U AU '与∆在某种意义下相差很小.用矩阵范数||||U AU '-∆来度量/U AU 与∆相差大小，则应该选择A 极小化范数||||U AU '-∆. 若线性函数2c ϕσ'=的估计y Ay '满足 0AX =,()i i tr AV c =， 1,,,i k =且使范数||||U AU '-∆达到极小，则称为最小范数二次无偏估计.这里采用加权欧氏范数，令权矩阵 1220,10,{,,}k t k t W diag I I σσ=其中20,iσ为2i σ的一个预先指定值（先验值），因此W 也就是()Cov ξ的一个预先指定阵（先验阵）.定义1122()F W U AU W '=-∆,则加权欧氏范数||||U AU '-∆=1122()[()()]tr F F tr W U AU W U AU W '''=-∆-∆=1122()tr W AUWU AUW ''-21122()tr W AUW W '∆+2()tr W ∆. 利用无偏性，上式第二项1122()tr W AUW W '∆=()tr U AUWU A W ''∆ =40,1()ki ii i ic tr AV t σ=∑=240,1ki ii ic t σ=∑=2()tr W ∆.再记20,1kw i i i V V σ==∑，于是||||U AU '-∆=2()w tr AV -2()tr W ∆.这样，对加权欧氏范数求/2c ϕσ=的最小范数二次无偏估计的问题，归结为求下述极值的解min 2()w tr AV(),1,,.i i AX tr AV c i k =⎧⎨==⎩ （3.4.2）它的目标函数是矩阵的迹，称（3.4.2）为最小迹问题.下面考虑极值问题的解是否存在，有如下定理1 极值问题（3.4.2）的解为*1()kw i i w i A B V B λ==∑,其中111()w w w w B V V X X V X ----'=-1wX V -' ， 且,1,,i i k λ=为方程组1()kw i w j i j i tr B V B V c λ==∑，1,,j k =的解，这里i i i V U U =，20,1kw i i i V V σ==∑.证明定理1等价于证明如下定理2 极值问题（3.4.2）的解为*1(),ki i i A N V N λ==∑其中()N I X X X X -'=-，,1,,i i k λ=为方程组1()ki j i j i tr NV NV c λ==∑，1,,j k =的解.尽管方差分量的估计值取决于人为选择的先验值，只要这些先验值不依赖于试验数据，MINQUE 估计量仍是无偏的，如果用估计值替代先验值重新估计，便可获得新的估计，重复这一过程，直到新的估计非常接近旧的估计为止，这种迭代的估计方法就是上一节介绍的限制极大似然（REML ）方法，其估计结果就是限制极大似然估计，所以在多数情况下，REML 估计和MINQUE 估计是比较接近的.最后说一下先验值选取的问题，先验值的选择可以凭经验，或根据以往的分析结果.最简单的方法是取残差效应的先验值为1，其它所有的先验值为0，这种方法称为MINQUE （0）法，所获得的方法分量的估计量是MINQUE （0）估计量.这种取值的方法的优点是可以省去大矩阵的求逆计算，算法简单，但是由MINQUE （0）方法估计的方差分量的抽样方差往往较大.另一种简便易算的方法是设所有的先验值为1，这种方法称为MINQUE （1）法，所获得的方差分量是MINQUE （1）估计量.3.5 谱分解估计下面我们介绍一种估计方差分量的新方法，即谱分解估计，首先我们引入谱分解的有关知识.协方差阵的谱分解有多方面的应用，一方面，方差分量的谱分解估计就是以协方差阵2()σ∑的谱分解式为基础构造的；另一方面，从2()σ∑的谱分解式，可以直接获得2()σ∑的逆矩阵和行列式，而这些恰是利用极大似然方法求解方差分量的极大似然估计所必需的.目前有两种谱分解算法，一种是由Smith 和Hocking 提出的，他们基于完全设计的随机效应模型，给出了谱分解的公式，并将它推广到一般的混合模型的情形，即将公式中未出现的随机项的方差分量用零取代.另一种算法是由Searle 和Henderson 提出的，该算法没有利用模型随机效应设计阵1,,k U U 之间的某些约束关系，而是基于对2()σ∑扩充很多项的方法，将2()σ∑改写成111,()pp p jj j j n n J J θ∑⊗⊗，这里（1,p j j ）取遍从（0，0，…0）到（1，1，…1）的所有2p 个二进制向量，即添加（2p -k-1）个1,p j j θ=0的项到2()σ∑中，给出了一般形式的谱分解公式.最近吴密霞，王松桂就一类模型研究了协方差矩阵的谱分解，互异特征值个数的确定及求解问题，将谱分解的结果应用到构造模型参数估计，提出了谱分解估计.史建红在他的博士论文中把结果推广到一般平衡混合线性模型.下面我们详细介绍王松桂和尹素菊提出的同时估计固定效应和方差分量的一种新方法，即谱分解估计.谱分解估计的基本思想是：首先对协方差阵进行谱分解，然后利用谱分解得到的主幂等阵对原模型进行适当的线性变换，获得若干个新的奇异线性模型，这些新模型的特点是它的固定效应与原模型相同，但新模型的协方差阵除了一个因子（这个因子是原模型协方差阵的一个特征值）外，不含未知的方差分量，利用最小二乘统一理论，对每个新模型可以得到固定效应和特征值的一个估计，由于在常见情形下协方差阵的特征值是方差分量的线性函数，因此通过解线性方程组可以获得方差分量的估计.新方法的突出特点是能同时给出固定效应和方差分量的估计，前者是线性的，后者是二次的，且相互独立.对于固定效应可以获得若干个谱分解估计，它们都是具有一些好的统计性质的线性估计.因此，利用这些估计可以对模型做进一步假设检验，区间估计，以及模型诊断等一系列统计推断.对于任一混合线性模型y =X β+1ki i i U e ξ=+∑, （3.5.1）如果y 的协方差阵2()σ∑有如下谱分解2()σ∑=1qi i i M λ=∑, (3.5.2)这里i λ，i=1,…，q 是2()σ∑的所有互异非零特征根，它们是2σ线性函数，i M 是特征根i λ对应的主幂等阵（即2,10.,qii i j i i M M M M i j M I ===≠=∑），且独立于未知参数.我们分别用幂等阵i M (i=1, …，q)左乘模型(2.5.1).于是得到变换后的q 个新模型i M y =i M X β+i ε， i ε~（0，i λi M ），i=1,…，q. （3.5.3） 这些模型的特点是，模型协方差阵除i λ之外，独立于未知参数.因为i M 是奇异阵，我们可以应用最小二乘统一理论获得原模型参数（固定效应和方差分量）的估计，称为谱分解估计.下面我们简略介绍一下最小二乘统一理论， 最小二乘统一理论应用于线性模型的参数估计，由著名统计学家Rao 应用推广.对于线性模型 2,()0.()y X e E e Cov e βσ=+==∑，如果||0∑=，则称该模型为奇异线性模型.对于奇异线性模型，因为1-∑不存在，于是一般的最小二乘法中用到的()Q β无定义，Rao 成功解决了这个问题.关键是寻找一个新矩阵T ，能够充当1-∑所负担的作用.T=XUX '∑+, 其中U ≥0,rk(T)=rk(X ∑), 然后定义()Q β=()()y X T y X ββ''--,用最小化()Q β求出最小值点*()X T X X T y β---''=,还能证明对任一可估函数*,c c ββ''为其BLU 估计.这个结论既适用于设计阵X 列满秩或列降秩的情形，又适用于∑奇异阵或非奇异阵的情形。
如何在报告中适当解释和比较线性混合模型分析
如何在报告中适当解释和比较线性混合模型分析引言：线性混合模型是一种广泛应用于多领域的统计分析方法，它能够同时考虑固定效应和随机效应，适用于多层次数据分析。
在报告中适当解释和比较线性混合模型分析是非常重要的，本文将从多个方面展开详细论述。
一、线性混合模型的基本概念及应用范围线性混合模型是统计学中的一种强有力的工具，其基本概念和应用范围是理解和解释线性混合模型分析的基础。
本部分将就线性混合模型的定义、随机效应和固定效应的特点以及典型应用场景进行阐述。
二、报告中的实验设计和数据收集过程实验设计和数据收集是进行线性混合模型分析的基础，因此在报告中适当解释实验设计和数据收集过程是很有必要的。
本部分将介绍实验设计的原则、数据收集的方法和数据预处理的步骤，以及如何在报告中清晰地陈述这些内容。
三、报告中的模型建立和参数估计过程模型建立和参数估计是线性混合模型分析的核心步骤，也是报告中需要着重解释的内容。
本部分将详细介绍线性混合模型的建模原理和参数估计方法，以及如何在报告中准确地描述这些过程。
四、报告中的结果解释和显著性检验结果解释和显著性检验是报告中最重要的部分之一，它能够帮助读者更好地理解和判断线性混合模型的分析结果。
本部分将重点讨论如何准确地解释结果和进行显著性检验，并提供一些注意事项和技巧。
五、报告中的模型比较和模型选择在实际应用中，常常需要根据数据的特点和分析目的选择合适的线性混合模型。
因此，在报告中适当地比较和选择模型是至关重要的。
本部分将介绍常用的模型比较方法和模型选择准则，并给出一些建议和建议。
六、报告中的结果可视化和报告撰写技巧结果可视化是报告中不可或缺的部分，它能够更好地呈现和传达线性混合模型分析的结果。
本部分将探讨一些常用的结果可视化方法和报告撰写技巧，帮助读者更好地理解和利用报告中的内容。
结论：在报告中适当解释和比较线性混合模型分析是非常重要的，本文从线性混合模型的基本概念、实验设计和数据收集过程、模型建立和参数估计过程、结果解释和显著性检验、模型比较和模型选择，以及结果可视化和报告撰写技巧等多个方面进行了详细的论述。
统计学中的混合模型分析
统计学中的混合模型分析混合模型（Mixed Models）是统计学中一种重要的数据分析方法，适用于研究中存在多层次结构、重复测量或者来自不同总体的数据。
混合模型分析可以帮助我们更好地理解数据背后的规律，并做出科学合理的推断与预测。
一、混合模型的定义和基本概念混合模型是一类由固定效应和随机效应构成的统计模型。
其中，固定效应表示总体的一般性规律，随机效应则是用来考虑不同个体之间的差异。
混合模型将这两种效应相结合，能够同时捕捉总体和个体的特征，从而提供更准确的数据分析结果。
在混合模型中，我们通常使用线性混合模型（Linear Mixed Models）进行分析。
线性混合模型的基本形式为：Y = Xβ + Zu + ε其中，Y表示观测变量的取值，X和Z是设计矩阵，β和u分别是固定效应和随机效应的参数，ε是残差项。
通过最大似然估计或贝叶斯方法，可以求解混合模型的参数，并进行统计推断。
二、混合模型的应用领域混合模型具有广泛的应用领域，特别是在以下几个方面表现出色：1. 长期研究中的重复测量数据分析：混合模型可以有效地处理长期研究中的重复测量数据，考虑到个体之间和测量之间的相关性，提高数据的分析效果。
2. 多层次结构数据分析：当数据存在多个层次结构时，传统的统计方法可能无法充分考虑到层次结构的影响。
而混合模型可以同时考虑到个体和群体层次的变异，更好地把握数据特征。
3. 不完全数据的分析：混合模型能够处理部分缺失的数据，通过考虑随机效应来填补缺失值，提高数据分析的准确性。
4. 随机实验和实验设计的分析：混合模型在随机实验和实验设计中也有重要应用。
通过考虑不同实验单位之间的差异，混合模型可以更好地评估实验因素对结果的影响。
三、混合模型分析的步骤混合模型分析的步骤主要包括以下几个方面：1. 数据准备：收集数据并进行预处理，包括数据清洗、变量选择和缺失值处理等。
2. 模型建立：确定混合模型的结构、选择随机效应以及建立固定效应的模型。
混合线性模型（linearmixedmodels）
混合线性模型（linearmixedmodels）⼀般线性模型、混合线性模型、⼴义线性模型⼴义线性模型GLM很简单，举个例⼦，药物的疗效和服⽤药物的剂量有关。
这个相关性可能是多种多样的，可能是简单线性关系（发烧时吃⼀⽚药退烧0.1度，两⽚药退烧0.2度，以此类推；这种情况就是⼀般线性模型），也可能是⽐较复杂的其他关系，如指数关系（⼀⽚药退烧0.1度，两⽚药退烧0.4度），对数关系等等。
这些复杂的关系⼀般都可以通过⼀系列数学变换变成线性关系，以此统称为⼴义线性模型。
⼴义线性混合模型GLMM⽐较复杂，GLM要求观测值误差是随机的，⽽GLMM则要求误差值并⾮随机，⽽是呈⼀定分布的。
举个例⼦，我们认为疗效可能与服药时间相关，但是这个相关并不是简简单单的疗效随着服药时间的变化⽽改变。
更可能的是疗效的随机波动的程度与服药时间有关。
⽐如说，在早上10：00的时候，所有⼈基本上都处于半饱状态，此时吃药，相同剂量药物效果都差不多。
但在中午的时候，有的⼈还没吃饭，有的⼈吃过饭了，有的⼈喝了酒，结果酒精和药物起了反应，有的⼈喝了醋，醋⼜和药物起了另⼀种反应。
显然，中午吃药会导致药物疗效的随机误差⾮常⼤。
这种疗效的随机误差（⽽⾮疗效本⾝）随着时间的变化⽽变化，并呈⼀定分布的情况，必须⽤⼴义线性混合模型了。
这⾥就要指出两个概念，就是⾃变量的固定效应和随机效应。
固定效应和随机效应的区别就在于如何看待参数。
对于固定效应来说，参数的含义是，⾃变量每变化⼀个单位，应变量平均变化多少。
⽽对于随机效应⽽⾔，参数是服从正态分布的⼀个随机变量，也就是说对于两个不同的⾃变量的值，对应变量的影响不⼀定是相同的。
所以说混合线性模型，是指模型中既包括固定效应，⼜包括随机效应的模型。
参考：。
基于M估计的纵向数据线性混合模型CDM和MSOM的等价性证明
当迭 代序列 收敛 时 ，得到 的极 限 即是 的稳 健极 大似然估 计（ ＭＬ ） Ｒ Ｅ ．注意 到当 ｃ 一 ， ＝。 时 。
（ ４ ）
的稳 健估计
就是 传统 的极大 似然估计 （ Ｅ ． 类似 的方法 ， 以得 到方差 分量 的稳健 极大似 然估计 迭代公 式 ．由于 ＭＬ ） 用 可 参 数的极 大似然 估计具 有渐近 正态性 ，同样 ，参 数 的 Ｒ Ｅ也具 有相合 性 和渐近正 态性 ．由文献 ［］ ＭＬ ４可知 ， 在 一定 的正则条 件下 ，渐近性 质是成 立 的．
收稿 日期：２ １－７３ ０ １０ ．０
修回 日期：２ １－８ １ ０ １０．６
作者简介：孙慧￣（９ ５ ，女 ，安徽宿 州人．助教 ，硕 士，研 究方 向：统计诊 断、纵 向数据 、统计预 测． ． ｉ ｓｎ ｕ １ ８ 一） Ｅｍａ ：ｕｈ ｉ ｌ
ｈ ｉ２ ｒａ ． ｒ． ｕ ＠ｇｎ ｉｃｎ ｌ ｌｏ
ｋｌ ＝ ｋ ｌ ＝ ＝ｊ ｌ
（ ３ ）
其 中 ＝Ｅ （）＝尸 １ ＜ ） ） （ Ｃ 为相合 修正 因子 ．由（） ，用 Ｆｓｅ ￡ｌ ３式 ｉ ｒ得分迭 代法对 参数进 行稳 健估计 ，关 于 ｈ
Ｔ 坨 五一
）， ］
＿ ０ ２ 五 ． －Ｎ
坨
，
＝
Ｅ （
）
） 假 设 与 相互 独立 ， 有 ． 则 ． 用 表示 五 中的未知 参数 向量 ，则模型 的对数 似然 函数为
一 ） 是 ｎ ｘ 维 不可 观测 的随机误 差 向量 ，假设 ～Ｎ（， ， ｌ ０
ｔ ， ＝ － ｎ 一 ｎ Ｉ （ Ｉ Ｃ ２ ＭＩ ｐ Ｊ ， ） ２ ∑ＩＩ 一 １ ∑２
线性混合效应模型的估计与检验的开题报告
线性混合效应模型的估计与检验的开题报告一、选题背景线性混合效应模型（linear mixed effects model）是一种广泛应用于数据分析的统计模型。
它可以用来处理纵向数据（longitudinal data）或重复测量数据（repeated measures data），在多个观测时间下对相同个体进行测量，同时考虑个体间和个体内的变异性。
该模型还可以用于处理随机效应（random effects），如个体的不同特征或测量设备的变异性，等等。
通常线性混合效应模型的估计与检验需要使用专业软件或编程语言进行实现。
本文计划使用R编程语言进行模型的估计与检验，以说明如何使用R中的lme4和lmerTest包进行线性混合效应模型的估计与检验。
二、研究目的本文旨在介绍线性混合效应模型的基本概念、模型公式和模型参数的估计方法。
同时，本文也将介绍如何使用lme4和lmerTest包进行模型的估计与检验，并给出相应的R代码和解释。
三、研究内容本文将涉及以下内容：1. 线性混合效应模型的基本概念和模型公式2. 模型参数的估计方法3. 模型诊断和检验4. 使用lme4和lmerTest包进行模型的估计与检验5. 给出R代码和解释，以说明如何实现线性混合效应模型的估计与检验四、研究方法本文将采用文献研究的方法，收集和整理相关文献的理论知识和实践经验，重点介绍多个实例的应用过程，并使用R编程语言对其进行实现。
五、预期结果本文实现了线性混合效应模型在R编程语言中的估计与检验，通过多个实例的应用说明了模型的基本概念和估计方法，同时也强调了模型诊断和检验的重要性。
本文力求通过讲解编程细节和代码实现，使读者能够深入理解模型的思想和背后的统计学原理，并能够灵活地使用R进行模型的估计、模型选择和模型验证等操作。
线性混合效应模型
线性混合效应模型线性混合效应模型（Linear Mixed Effects Model，LME）是一种非常有用的统计模型，它允许将个体差异和时间序列效应集成在一起，以便更好地了解数据中发生的不断变化。
LME模型是一个结构复杂的模型，首先要求对建模进行概括，然后就可以使用概括的参数进行建模。
LME模型由两部分组成：随机效应和固定效应。
随机效应允许将个体差异考虑在内，从而可以更好地量化个体之间的差异。
固定效应是将可测量的变量作为解释变量考虑进来的。
例如，在研究学生成绩时，可以将课程、年级、学习时间等变量作为固定效应加以考虑。
LME模型可以用来分析和预测复杂的数据，例如研究人员从多个独立样本中观察到的实验数据。
它可以帮助弄清实验变量之间的相互作用，并发现不同样本之间的差异。
同时，它还可以用来考察分组效应，以了解样本之间的差异可能是由独立的因素导致的，也可能是由某些群体作用导致的，又或者是由两者共同作用导致的。
另外，LME模型还可以用来研究变量之间的关系，特别是用于分析长期追踪和时间序列数据，这些数据可能会随时间而发生变化。
此外，它还可以用于分析多变量之间的关系，以了解哪些因素会影响另一变量，以及这些变量之间的相互作用。
由于LME模型的复杂性，使用它需要专业统计学知识，以便将模型中的参数准确估计出来，从而能够得到有意义的结果。
同时，模型的参数也有可能会出现过拟合以及其他问题，因此，使用者需要仔细检查模型的参数，以避免出现这些问题。
总的来说，LME模型是一种非常有用的统计模型，能够将个体差异和时间序列效应考虑在内，从而有助于更好地解释和预测复杂的数据。
它可以用来分析和预测变量之间的关系，以及考查多变量之间的相互作用。
然而，由于它的复杂性，使用LME模型可能会出现过拟合或其他问题，因此，使用者需要仔细检查模型的参数，以避免出现这些问题。
前白蛋白对重症患者营养支持的动态评估
前白蛋白对重症患者营养支持的动态评估一、背景营养摄入不充分，无论是不足还是过多，都是ICU不良结局的一个众所周知的危险因素，包括功能损害和病死率的增加。
因此，对营养支持进行严密监测是必不可少的。
不幸的是，到目前为止，还没有床旁的生物标志物可用于评估ICU 环境下喂养反应性、消化能力和适宜性。
转甲状腺素蛋白，又称前白蛋白，是一种主要由肝脏合成的内脏蛋白。
它被推荐作为循环血浆蛋白的敏感生物标志物，使其成为蛋白质-能量营养不良的潜在替代指标。
在ICU 环境中，初始的前白蛋白水平与疾病的严重程度、感染并发症、ICU住院时间(LOS)、医院LOS和死亡率相关。
除了其初始浓度，前白蛋白变化可能为动态评估营养不良患者营养支持的充分性和有效性提供了有希望的途径，因为它的半衰期很短，只有2.5天。
这一概念于20世纪80年代提出，并在几项涉及癌症、慢性肾功能衰竭或接受手术患者的队列研究中得到了验证。
然而，根据不同的患者特征、炎症程度和危重疾病的阶段，前白蛋白水平表现出显著的变化。
因此，在危重疾病的早期阶段，前白蛋白水平的增加对区分炎症的消退、营养支持的充分性和代谢向合成代谢的转变提出了诊断挑战。
尽管存在挑战，有限数量的ICU临床研究报告了接受持续营养支持的患者中前白蛋白的显著增加。
本研究主要旨在评估前白蛋白初始值及其动态评估在预测ICU死亡率和评估危重患者营养支持有效性方面的表现。
我们提出了三个假设:1）前白蛋白水平与ICU死亡率相关；2）前白蛋白水平变化与能量和蛋白质摄入有关；3）前白蛋白水平变化与氮平衡有关，可能指示危重患者的合成代谢能力。
二、材料与方法研究设计：单中心、观察性研究，前瞻性自动数据采集，评估前白蛋白水平的表现以预测ICU重症患者的死亡率和营养支持的有效性。
研究人群：18岁以上成人重症患者，入院时至少有一个前白蛋白数值。
数据收集：入院时常规测量前白蛋白水平(以g/L表示)，ICU住院期间每周至少测量一次。
纵向数据分析方法与SAS实现
层次结构数据的特殊性
层次结构数据为一种非独立数据。？ 非独立数据不满足经典方法的独立性条件，采用经典方
法OLS可能失去参数估计的有效性并导致不合理的推断结 论，非独立数据的组内相关结构各异，理论上，不同的结 构应采用相应的统计方法。 多水平分析的概念为人们提供了这样一个框架，即可将 个体的结局联系到个体特征以及个体所在环境或背景特征 进行分析，从而实现研究的事物与其所在背景的统一。
Box(1954)指出，若球形性质得不到满足，则方差 分析的F值是有偏的，这会造成过多的拒绝本来是真的无 效假设（即增加了I型错误）
重复测量资料的一元方差分析，总变异分解思路 : 处理组间的变异
总 变 异
处理对象间 的变异
观察对象个体间的差 异（受试者误差） 测量时间之间的变异
重复测量间 的变异
处理因素与测量时间的 交互作用 重复测量误差
对照组
2 3 4 5 6 7 8
5.32 5.94 5.49 5.71 6.27 5.88 5.32
5.26 5.88 5.43 5.49 6.27 5.77 5.15
4.93 5.43 5.32 5.43 5.66 5.43 5.04
4.70 5.04 5.04 4.93 5.26 4.93 4.48
包含了高水平单位自身对应变量的效应成份。
构建与数据层次结构相适应的复杂误差结构，这是多水平模型
区别于经典模型的根本特征。
Yij 0 j 1 j xij ij
H. Goldstein
模型称为：hierarchical linear model； 软件为：HLM
模型称为：multilevel models； 软件为：MLwiN（早期版本称ML3，MLn）
线性混合模型与统计学中的多层次数据分析
线性混合模型与统计学中的多层次数据分析统计学中的多层次数据分析是一种重要的研究方法，它能够帮助我们更好地理解和解释数据中的变异性。
而线性混合模型则是多层次数据分析中常用的一种模型。
本文将介绍线性混合模型的基本原理和应用，并探讨其在统计学中的意义。
一、线性混合模型的基本原理线性混合模型是一种统计模型，用于分析多层次数据中的变异性。
它结合了固定效应和随机效应，能够同时考虑个体间和个体内的变异。
线性混合模型的基本形式为：Y = Xβ + Zγ + ε其中，Y是观测变量的向量，X和Z是设计矩阵，β和γ是固定效应和随机效应的系数向量，ε是误差项。
线性混合模型的关键在于随机效应的引入，它能够捕捉到多层次数据中个体间的相关性，从而更准确地估计参数。
二、线性混合模型的应用线性混合模型在统计学中有广泛的应用，下面我们将介绍几个常见的应用场景。
1. 教育研究在教育研究中，学生的学习成绩往往受到多个因素的影响，如学校的教学质量、家庭背景等。
线性混合模型可以帮助研究者同时考虑这些因素的影响，并估计每个因素的效应大小。
通过这种方式，我们可以更好地理解学生的学习成绩变异性，并提出相应的改进措施。
2. 医学研究在医学研究中，往往需要考虑患者的个体差异和医院的影响。
线性混合模型可以帮助研究者同时考虑这些因素，并估计它们的效应。
例如，在研究新药的疗效时，线性混合模型可以帮助我们区分药物的效应和个体差异的影响，从而更准确地评估药物的疗效。
3. 经济学研究在经济学研究中，往往需要考虑个体的特征和地区的影响。
线性混合模型可以帮助研究者同时考虑这些因素，并估计它们的效应。
例如，在研究收入水平时，线性混合模型可以帮助我们区分个体的特征和地区的影响，从而更准确地评估收入的差异。
三、线性混合模型的意义线性混合模型在统计学中的应用具有重要的意义。
首先，它能够更准确地估计参数，提高统计推断的准确性。
其次，它能够考虑个体间和个体内的变异，从而更好地理解和解释数据中的变异性。
线性混合模型概述
线性混合模型概述线性混合模型（Linear Mixed Model，简称LMM）是一种统计模型，常用于分析具有层次结构或重复测量设计的数据。
在实际应用中，线性混合模型被广泛运用于各个领域，如生态学、医学、社会科学等，用来研究不同因素对观测数据的影响。
本文将对线性混合模型进行概述，介绍其基本概念、应用场景以及建模方法。
### 基本概念线性混合模型是一种结合了固定效应和随机效应的统计模型。
在模型中，固定效应通常用来描述不同处理或条件对观测变量的影响，而随机效应则用来考虑数据的层次结构或相关性。
通过将固定效应和随机效应结合起来，线性混合模型能够更准确地描述数据的变化规律，同时考虑到数据的相关性和异质性。
在线性混合模型中，通常包括以下几个要素：1. 因变量（Dependent Variable）：需要被预测或解释的变量，通常是连续型变量。
2. 自变量（Independent Variable）：用来解释因变量变化的变量，可以是分类变量或连续变量。
3. 固定效应（Fixed Effects）：描述自变量对因变量的影响，通常是我们感兴趣的研究对象。
4. 随机效应（Random Effects）：考虑数据的层次结构或相关性，通常是数据中的随机因素。
5. 随机误差（Random Error）：未被模型解释的随机变异部分。
### 应用场景线性混合模型适用于许多实际场景，特别是那些具有层次结构或重复测量设计的数据。
以下是一些常见的应用场景：1. **长期研究**：当研究对象在不同时间点或不同条件下被多次观测时，线性混合模型可以考虑到数据的相关性，更准确地分析数据。
2. **随机化实验**：在实验设计中引入了随机效应时，线性混合模型可以很好地处理实验单元之间的相关性，提高数据分析的效果。
3. **空间数据**：对于空间数据或地理数据，线性混合模型可以考虑到空间相关性，更好地描述数据的空间分布规律。
4. **家族研究**：在家族研究或遗传研究中，线性混合模型可以考虑到家系结构或遗传相关性，更好地解释数据的变异。
线性模型(4)——线性混合模型
混合线性模型也称为多水平线性模型或层次结构线性模型，前面介绍的线性模型，无论是方差分析模型还是线性回归模型，都有三个前提条件：1.正态性、2.独立性、3.方差齐性，但是实际生活中，有时并不能完全满足三个条件，特别是独立性和方差齐性，如果此时仍勉强使用这些一般线性模型，会得出错误结论。
混合线性模型对一般线性模型进行了扩展，除了自变量外。
还在模型中加入了一个随机效应变量，使得混合线性模型对内部相关性数据和方差不齐的数据也有很好的效果。
一般线性模型中，假定自变量X是没有随机误差或者随机误差非常小可以忽略不计，这样一来自变量对因变量的作用效应就是固定的，也就是方差、协方差分析模型，具体结构为：
X为自变量矩阵，
β为与X对应的固定效应参数，
ε为残差
Xβ为在X条件下的Y的均值
ε需要满足三个条件：1.均值为0的正态分布、2.独立性、3.方差齐性
通常使用最小二乘法估计β的值
混合线性模型具体结构为
参数含义和传统线性模型一致
只是Z为随机效应变量矩阵，其构造与X相同
Γ为与Z对应的随机效应参数，服从均值为0，方差协方差矩阵为G的正态分布这里ε只要求满足均值为0的正态分布即可
可以看到，当Z=0时，混合线性模型就成为了一般线性模型和一般线性模型相比，混合线性模型主要是对原随机误差进行了更加精细的分解，从而得到更多的分析信息。
线性混合效应模型的运用和解读
线性混合效应模型的运用和解读线性混合效应模型（Linear Mixed Effects Model，简称LME）是一种统计模型，用于分析具有重复测量或者多层次结构的数据。
它在社会科学、医学研究、生态学等领域得到广泛应用，能够更准确地估计固定效应和随机效应之间的关系，从而提高数据分析的准确性和可靠性。
LME模型的核心思想是将数据分解为固定效应和随机效应两部分。
固定效应是指影响整个样本的因素，例如性别、年龄等，而随机效应则是指影响个体差异的因素，例如个体间的随机误差或者组别间的随机变异。
通过同时考虑固定效应和随机效应，LME模型能够更好地描述数据的变异情况，提高参数估计的准确性。
LME模型的数学表达形式如下：Y = Xβ + Zγ + ε其中，Y是因变量，X和Z是设计矩阵，β和γ分别是固定效应和随机效应的系数，ε是随机误差项。
通过最大似然估计或者贝叶斯方法，可以估计出模型的参数，进而进行数据的分析和解读。
LME模型的应用范围非常广泛。
在社会科学领域，比如教育研究中，研究者常常需要考虑学校和学生之间的差异，LME模型可以很好地处理这种多层次结构的数据。
在医学研究中，LME模型可以用于分析多个医院或者诊所的数据，考虑到不同医院或者诊所之间的差异。
在生态学研究中，LME模型可以用于分析观测数据和实验数据，考虑到不同观测点或者实验处理之间的差异。
LME模型的解读需要注意几个方面。
首先，需要关注固定效应和随机效应的估计结果。
固定效应的估计结果可以告诉我们在整个样本中哪些因素对因变量有显著影响，而随机效应的估计结果可以告诉我们个体差异或者组别间的差异对因变量的解释程度。
其次，需要关注模型的拟合优度，例如R方值或者AIC/BIC等指标。
拟合优度可以反映模型对数据的解释能力，值越高表示模型拟合得越好。
最后，需要进行参数估计的显著性检验，判断模型中的固定效应和随机效应是否显著。
除了上述基本的应用和解读，LME模型还可以进行进一步的扩展和改进。
stata中f检验混合回归和固定效应的步骤和方法
stata中f检验混合回归和固定效应的步骤和方法1. 引言1.1 概述本篇长文将重点探讨在Stata中进行f检验的方法和步骤，特别是针对混合回归和固定效应模型。
随着经济和社会科学研究的不断发展，对于数据分析方法的需求也日益增加。
混合回归和固定效应模型作为常见的数据分析方法，在处理面板数据、纵向数据或空间数据等复杂情况下具有较高的适用性。
在本篇文章中，我们将详细介绍在Stata软件中如何使用f检验来评估混合回归模型和固定效应模型的拟合优度，并进一步比较两种模型之间的优缺点。
通过本文所提供的步骤和方法，读者将能够更好地理解并运用这些技术进行自己感兴趣的数据分析工作。
1.2 文章结构本文共包含五个主要部分。
首先，在引言部分，我们将介绍文章整体框架以及各个部分的内容安排。
其次，在第二部分中，我们将详细说明在Stata中进行混合回归模型f检验的步骤和方法。
然后，在第三部分中，我们将专注讨论固定效应模型，并介绍在Stata中进行此类模型的f检验的具体步骤。
接着，在第四部分，我们将比较混合回归和固定效应模型的优缺点，以及它们在不同情境下的适用性。
最后，在结论部分，我们将总结讨论过程，并提出实践意义和未来展望。
1.3 目的本文的主要目的是为读者提供一个清晰且全面的Stata中f检验混合回归和固定效应模型的指南。
通过了解这些方法和步骤，读者可以更好地理解面板数据分析中f检验的原理，掌握其实际操作技巧，并能够有效比较不同模型之间的优劣。
同时，本文旨在向读者展示混合回归和固定效应模型在经济学、社会学等多个领域中的实践应用价值，帮助读者更好地运用这些方法来解决自己研究或工作中面临的问题。
2. Stata中f检验混合回归的步骤和方法:2.1 混合回归简介:混合回归是一种常用的统计分析方法，用于探究自变量对因变量的影响。
在混合回归模型中，既包含了固定效应（Fixed Effects）也包含了随机效应（Random Effects）。
线性混合模型概述
线性混合模型概述线性混合模型（Linear Mixed Model，LMM）是一种广泛应用于统计分析的方法，它结合了固定效应和随机效应，能够处理多层次数据结构和相关性。
本文将对线性混合模型的基本概念、应用领域以及建模方法进行概述。
一、线性混合模型的基本概念线性混合模型是一种广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）的扩展，它引入了随机效应来考虑数据的层次结构和相关性。
在线性混合模型中，我们将因变量Y表示为固定效应X和随机效应Z的线性组合，加上误差项ε，即Y = Xβ + Zγ + ε。
其中，X是固定效应的设计矩阵，β是固定效应的系数向量；Z是随机效应的设计矩阵，γ是随机效应的系数向量；ε是误差项，通常假设为服从正态分布。
线性混合模型的随机效应可以用来描述数据的层次结构和相关性。
例如，在教育研究中，学生的成绩可能受到学校和班级的影响，这时可以将学校和班级作为随机效应来建模。
另外，线性混合模型还可以处理重复测量数据、纵向数据和横断面数据等多种数据类型。
二、线性混合模型的应用领域线性混合模型在各个学科领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 生物医学研究：线性混合模型可以用于分析遗传数据、药物试验数据和临床研究数据等。
例如，在遗传研究中，线性混合模型可以用来估计基因的遗传效应和环境的影响。
2. 农业科学：线性混合模型可以用于分析农田试验数据、动物育种数据和农作物生长数据等。
例如，在农田试验中，线性混合模型可以用来估计不同处理对作物产量的影响。
3. 教育研究：线性混合模型可以用于分析学生的学业成绩、教育政策的效果和教育干预的效果等。
例如，在教育评估中，线性混合模型可以用来估计学校和班级对学生成绩的影响。
4. 社会科学：线性混合模型可以用于分析调查数据、面试数据和问卷数据等。
例如，在心理学研究中，线性混合模型可以用来估计个体差异和组内相关性对心理测量的影响。
三、线性混合模型的建模方法线性混合模型的建模方法主要包括参数估计和模型选择两个步骤。
线性混合效应模型
线性混合效应模型
线性混合效应模型（Linear Mixed Effects Model, LME）是一类统计模型，用于描述一个随机变量如何受多个不同因素影响的情况。
它是一种统计分析方法，用于处理复杂的数据结构，如多个组的数据或多维数据。
线性混合效应模型分为两类：固定效应模型和随机效应模型。
固定效应模型是一种线性回归模型，旨在描述一个变量（正因变量）如何受多个解释变量（自变量）影响的情况。
它假设每一组观测数据都服从相同的线性关系，并且假设解释变量和正因变量之间存在一个固定的关系。
随机效应模型是一种更加灵活多变的模型，旨在描述一个变量（正因变量）如何受多个解释变量（自变量）影响的情况，同时也考虑了不同组之间的差异。
它假设每一组观测数据的线性关系存在一定的变化，并且假设解释变量和正因变量之间存在一个可变的关系。
线性混合效应模型可以用来比较不同组的数据，从而获得更准确的结果。
例如，可以用它来研究不同年龄段的人群对某个产品的反应，或者可以用它来研究不同地区的人们对某个事件的反应。
LME模型可以帮助研究人员比较不同组之间的数据，发现数据之间的差异，从而更加准确地了解数据的意义。
线性混合效应模型可以用来分析多维数据，用于研究复杂的结构。
它可以帮助研究人员更好地理解数据，从而更准确地推断结果。
使用LME模型，可以更加精确地了解不同组之间的数据，从而发现数据之间的差异，从而更准确地分析数据。
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纵向数据中线性混合模型的估计与检验
【摘要】：在对社会学,生物学,经济学以及农业等学科的连续性纵向数据研究时,线性混合效应模型是很受欢迎的研究工具。
这是因为模型中随机效应和误差的分布往往假设为正态分布,这样我们就可以很方便的使用极大似然估计方法(MLE)或者限制极大似然估计方法(RMLE)来研究模型中的参数性质。
特别地,人们可以使用SAS,R等统计软件直接分析数据。
然而,随着对线性混合模型研究的深入,人们发现实际数据中正态性假设并不完全成立,特别是随机效应的正态性假设更值得怀疑。
如何检验模型中的分布的正态性,以及拒绝正态性假设后,如何估计模型参数,研究随机效应和误差的局部性质是本文要研究的问题。
在论文的第一部分,我们将研究线性混合效应模型中随机效应的正态性假设。
在文献中,基于经验特征函数,Epps＆Pulley(1983)提出了对一维随机变量的正态性假设的拟和检验,Baringhaus＆Henze(1988)解决了多维随机向量的正态性检验问题,与此类似的检验被统计学家统称为BHEP检验。
这里,我们推广HenzeWanger(1997)提出的BHEP检验方法来构造我们的检验统计量。
因为模型中随机效应是不可观测的,我们只有使用相应的最优线性无偏预测(BLUP)。
研究发现,文中的检验统计量在原假设下渐近收敛于一个零均值的高斯过程,并且对以参数速度收敛到原假设的被择分布特别敏锐。
因为极限高斯过程不易用来模拟检验统计量的临界值,我们提出了条件蒙特卡洛模拟方法(CMCT)。
为了直观的研究我们的检验统计量的功效,我
们给出了不同分布假设下,检验的p-值,并与文献中已有的两种检验方法作了比较。
此外,我们还进行的了一些实际数据分析。
经过上述检验方法分析实际数据,我们发现正态性假设确实不完全成立。
在论文的余下部分,我们来研究非正态假设下如何估计模型的未知参数,以及研究随机效应和误差的局部性质,也就是估计它们的一些高阶矩,文中我们主要研究了前四阶矩的非参数估计。
首先,当模型中的随机效应是一维的并且其协变量都是1时,我们利用模型的特征构造了前四阶矩的估计方程,而后给出相应的非参数估计。
通过对所有估计的渐近性质的研究,我们发现,如果每组实验的次数也能足够多时,我们的估计拥有最小的渐近方差。
在这种意义上说,我们的方法优于第一个研究此问题的文献Cox＆Hall(2002)提出的估计方法。
此外,在他们的模型下,我们也可以从另一个角度更简单的构造他们的估计方程。
通过一些简单的模拟,也证实了我们的估计方法的优越性,特别是对误差的高阶矩的估计。
但是,无论我们的估计方法或者他们的都很难推广到更高阶矩的估计或者随机效应为多维时更一般的情形。
正如Jiang(2006)所说的那样,对于这种一般的模型,我们很难建立估计方程。
为了解决这个问题,我们提出了一个简单的矩估计方法。
主要推导工具是矩阵中Kronecker乘积,矩阵拉直运算以及数学期望。
我们研究了随机效应和误差的前四阶矩估计的渐近性质,并给出了简单的模拟结果。
比较上述两种估计法,我们发现:当随机效应是一维的时侯,误差的各阶矩的估计不依赖不可观测的随机效应,随机效应的估计也不依赖误差,因此,估计的渐近方差结构特别简单也是最优的;而当随机
效应是多维的,因为随机效应的协变量的影响,我们没有办法针对随机效应和误差的各阶矩分别建立估计方程,这导致所得的估计的渐近方差或者协方差矩阵特别复杂,从而估计的效果不是很好。
因此,我们提出了正交的矩估计方法。
我们知道,对任意一个矩阵A,只要它不是行满秩的就会存在正交矩阵B使得BA=0。
例如,人们经常使用的QR分解方法找到正交矩阵B,更直接地,B可以取为矩阵A的正交投影矩阵。
利用矩阵的这个性质,我们首先把模型中随机效应部分去掉,根据得到的只含有误差的模型来估计误差的各阶矩;而对于随机效应的各阶矩的估计,我们没有办法也同样地去除误差,只好利用前面提出的估计方程,插入误差的各阶矩的正交估计而得到相应的估计。
【关键词】：线性混合模型极大似然估计限制极大似然估计BHEP检验渐近正态性矩估计Kronecker乘积矩阵拉直算法正交矩阵
【学位授予单位】：华东师范大学
【学位级别】：博士
【学位授予年份】：2009
【分类号】：O212.1
【目录】：摘要10-12ABSTRACT(英文摘要)12-14主要符号对照表14-15第一章引言15-20§1.1问题的提出15-18§1.2本文的主要工作18-20第二章线性混合模型中正态性拟和检验20-41§2.1引言
20-21§2.2检验统计量及其渐近性质21-24§2.3条件蒙特卡洛模拟方法(CMCT)24-26§2.4模拟研究与实际数据分析26-29§2.5附录29-41第三章一维随机线性混合效应模型中的矩估计41-66§3.1引言41-42§3.2矩估计42-48§3.3最小方差估计48-54§3.4模拟研究54§3.5附录54-66第四章线性混合模型中矩估计方法66-80§4.1引言66-67§4.2矩估计方法67-70§4.3估计的渐近正态性70-71§4.4模拟研究71-72§4.5附录72-80第五章线性混合模型中正交的矩估计方法80-96§5.1引言80§5.2正交的矩估计方法80-87§5.3估计的渐近正态性87-89§5.4模拟研究89-91§5.5附录91-96第六章结论以及未来的工作96-97参考文献97-102致谢102-103博士期间的研究成果及发表的论文103 本论文购买请联系页眉网站。