离散数学课件7.6等价关系与划分

划分
定义 设A是非空集合,如果存在一个A的子集 族(P(A))满足以下条件
(1) ； (2) 中任意两个元素不交； (3) 中所有元素的并集等于A, 则称为A的一个划分,且称中的元素为划分
块.
例. 考虑集合A＝{a,b,c,d}的下列子集 族
(1) {{a},{b,c},{d}},
(2) {{a,b,c,d}},ຫໍສະໝຸດ Baidu
(2)动物是按种属分类的；“具有相同种属”的关系 是动物集合上的等价关系.
(3)集合上的恒等关系和全域关系都是等价关系. (4)在同一平面上三角形之间的相似关系是等价关系,
但直线间的平行关系不是等价关系,因为它不是自 反的.
例 A＝{1,2,…,8}, R＝{<x,y>|x,y∈A∧x≡y(mod 3)}, 其中x=y(mod 3)的含义就是x-y可以被3 整除. R为A上的等价关系,它的关系图 如下所示,其中1~4~7,2~5~8,3~6.
等价关系与划分
定义 设R为非空集合A上的关系,如果R是自 反的、对称的和传递的,则称R为A上的等价 关系.对任何x,y∈A,如果(x,y)∈等价关系R, 则记作x~y.
等价关系的例子.
(1)在一群人的集合上年龄相等的关系是等价关系,而 朋友关系不一定是等价关系,因为它可能不是传递 的.一般称这种自反的对称的关系为相容关系.显然 等价关系都是相容关系,但相容关系不一定是等价 关系.
设R是非空集合A上的等价关系,则A上互相等 价的元素构成了A的若干个子集,叫做等价类.
定义 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的 x∈A,令 称 为x关于R的等价类,简称为x等价类,简记为 [x]. 在例4.11中有
[1]＝[4]＝[7]＝{1,4,7}, [2]＝[5]＝[8]＝{2,5,8}, [3]＝[6]= {3,6}.
={nz＋1｜z∈Z}＝nZ＋1 [2]＝{···,－2n＋2,－n＋2,2,n＋2,2n十2,…}
={nz＋2｜z∈Z}＝nZ＋2,
······ [n－1]＝{···,－2n＋n－1, －n＋n － 1,n－1,n＋
n－1,···｝={nz+n －1｜zZ }=nZ+n －1. 商集为{[0],[1],…,[n－1]｝
把模3的等价关系推广,对任何正 整数n可以定义整数集合Z上模n
的等价关系.
R＝｛<x,y>|x,y∈Z∧x≡y(mod n)} 例如,当n＝5时,整数之间的等价性满足:
···~－10~－5~0~5~10~…, …~－9~－4~1~6~11~… …~－8~－3~2~7~12~… ···~－7~－2~3~8~13~…, …~－6~－1~4~9~14~….
(3) {{a,b},{c},{a,d}},
(4) {,{a,b},{c,d}}, (5) {{a},{b,c}},
例 设A＝{1,2,3},求出A上所有的等价关系.
解: 先求A的各种划分:只有1个划分块的划分1,具有 两个划分块的划分2,3和4,具有3个划分块的划 分5,请看下图|
设对应于划分i的等价关系为Ri,i＝1,2,…,5. 则有
在前例中,A在R下的商集是
A/R={{1,4,7},{2,5,8},{3,6}} 例 非空集合A上的恒等关系 是A上的等价关系,对任
意x∈A有[x]＝{x},商集A/ = {{x}|x∈A}.
(2)在整数集合z上模n的等价关系,其等价类是 [0]＝{···,－2n, －n,0,n,2n,···}={nz|nz∈Z}＝nZ, [1]＝{···,－2n＋1,－n十1,1,n＋1,2n＋1,…}
R5＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>}＝ IA ；
R1＝ {<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>,<3,1>,<3,2>}
∪IA＝EA；
R2＝{<2,3>,<3,2>}∪IA ；
.
R3＝{<1,3>,<3,1>}∪IA ；
R4＝{<1,2>,<2,1>}∪IA.
等价类的性质.
定理 设R是非空集合A上的等价关系,对任意的x, y∈A,下面的结论成立. (1) [x]≠,且[x]A； (2) 若xRy,则[x]=[y]； (3) 若xRy,则[x]∩[y]＝；
(4)
=A.
商集
定义 设R为非空集合A上的等价关系,以R的不交的 等价类为元素的集合叫做A在R下的商集,记作A／ R, A／R＝{ ｜x∈A}.