2018年天津市红桥区中考数学一模试卷和答案

2018年天津市红桥区中考数学一模试卷
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
2．（3分）cos60°的值等于（）
A．B．1 C．D．
3．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
4．（3分）根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m3．将78000000用科学记数法表示应为（）
A．780×105B．78×106C．7.8×107D．0.78×108
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）
A．B．C．D．
6．（3分）估计﹣1的值在（）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
7．（3分）方程﹣=0解是（）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
8．（3分）二元一次方程组的解为（）
A．B．C．D．
9．（3分）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．﹣a＜a＜a2B．a＜﹣a＜a2C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a
10．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k ＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）
A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2
12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc ＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣，其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算（﹣a）3•a2的结果等于．
14．（3分）计算（）（）的结果等于．
15．（3分）一个不透明的袋子中装有6个球，其中2个红球、4个黑球，这些球除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是．
16．（3分）若一条直线经过点（1，1），则这条直线的解析式可以是（写出一个即可）．
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AB=4，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接DE交AC于点F，则△AEF的面积为．
18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（I）计算△ABC的周长等于．
（Ⅱ）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、O的位置是如何找到的（不要求证明）．
三、解签题（66分）
19．（8分）解不等式组
（I）解不等式（1），得．
（Ⅱ）解不等式（2），得．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为．
20．（8分）为了了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）本次随机抽样调查的学生人数为，图①中的m的值为；（II）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（III）若该校九年级共有学生300人，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数．
21．（10分）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
22．（10分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学横顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．
（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36）
23．（10分）为鼓励市民绿色出行，某共享单车公司提供了用手机和会员卡两种支付方式进行付款．若用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，若选择会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，设骑行时间为x小时
（I）根据题意，填写下表（单位：元）：
（II）设用手机支付付款金额为y1元，用会员卡支付付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（III）若李老师经常骑行该公司的共享单车，他应选择哪种支付方式比较合算？24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′．
（I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标；
（II）设直线BO′与x轴相交于点F．
①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标；
②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可）
25．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC、AC上．
（I）求抛物线的解析式；
（II）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
（III）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF．若点M在抛物线上，求k的值．
2018年天津市红桥区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）计算（﹣5）﹣（﹣3）的结果等于（）
A．﹣8 B．8 C．﹣2 D．2
【解答】解：（﹣5）﹣（﹣3）=﹣2．
故选：C．
2．（3分）cos60°的值等于（）
A．B．1 C．D．
【解答】解：∵cos60°=，
故选：A．
3．（3分）如图图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误；
B、既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）根据《天津市北大港湿地自然保护总体规划（2017﹣2025）》，2018年将建立养殖业退出补偿机制，生态补水78000000m3．将78000000用科学记数法表示应为（）
A．780×105B．78×106C．7.8×107D．0.78×108
【解答】解：78 000 000=7.8×107．
故选：C．
5．（3分）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的三视图是（）
A．B．C．D．
【解答】解：此几何体的主视图有3列，从左往右分别有2，1，1个正方形；左视图有二列，从左往右分别有2，1个正方形；
俯视图有三列，从上往下分别有3，1个正方形，
故选：D．
6．（3分）估计﹣1的值在（）
A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜＜4，
则2＜﹣1＜3，即2和3之间，
故选：B．
7．（3分）方程﹣=0解是（）
A．x= B．x= C．x= D．x=﹣1
【解答】解：去分母得：3x+3﹣7x=0，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
故选：B．
8．（3分）二元一次方程组的解为（）
A．B．C．D．
【解答】解：，
①﹣②×2，得：y=﹣2，
将y=﹣2代入②，得：2x﹣2=4，
解得：x=3，
则方程组的解为，
故选：C．
9．（3分）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，把a，﹣a，a2按照从小到大的顺序排列，正确的是（）
A．﹣a＜a＜a2B．a＜﹣a＜a2C．﹣a＜a2＜a D．a＜a2＜﹣a
【解答】解：由数轴可得：
﹣1＜a＜0，则﹣a＞0，
则a＜a2＜﹣a，
故选：D．
10．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）在反比例函数y=（k ＜0）的图象上，若x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3的大小关系是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵反比例函数为y=（k＜0），
∴函数图象在第二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大，
又∵x1＜x2＜0＜x3，
∴y1＞0，y2＞0，y3＜0，且y1＜y2，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
11．（3分）如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（）
A．1 B．2 C．2﹣2 D．4﹣2
【解答】解：如图，
连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC=∠AFC=30°，∠QFC=∠CFE=30°，
∴∠PFC=∠QFC=30°，
同理，∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ=2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC=2，AF=2，CF=2AF=4，
=AF×AC=×2×2=2，
∴S
△ACF
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM=PN=PG，
∴S
=S△PAF+S△PAC+S△PCF
△ACF
=AF×PM+AC×PN+CF×PG
=×2×PG+×2×PG+×4×PG
=（1++2）PG
=（3+）PG
=2，
∴PG==﹣1
∴PQ=2PG
=2（﹣1）
=2﹣2．
故选：C．
12．（3分）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x=2，且OA=OC．有下列结论：①abc ＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c=0有一个根为﹣，其中正确的结论个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：由图象开口向下，可知a＜0，
与y轴的交点在x轴的下方，可知c＜0，
又对称轴方程为x=2，所以﹣＞0，所以b＞0，
∴abc＞0，故①错误；
由图象可知当x=3时，y＞0，
∴9a+3b+c＞0，
∴3b+c＞﹣9a，
∵a＜0，
∴﹣9a＞0，
∴3b+4c＞0，故②错误；
由图象可知OA＜1，
∵OA=OC，
∴OC＜1，即﹣c＜1，
∴c＞﹣1，故③正确；
假设方程的一个根为x=﹣，把x=﹣代入方程可得﹣+c=0，
整理可得ac﹣b+1=0，
两边同时乘c可得ac2﹣bc+c=0，
即方程有一个根为x=﹣c，
由②可知﹣c=OA，而当x=OA是方程的根，
∴x=﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确；
综上可知正确的结论有两个，
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案答在试卷后面的答题纸的相应位置）
13．（3分）计算（﹣a）3•a2的结果等于﹣a5．
【解答】解：（﹣a）3•a2
=﹣a3•a2
=﹣a5，
故答案为：﹣a5．
14．（3分）计算（）（）的结果等于4．
【解答】解：原式=7﹣3
=4．
故答案为4．
15．（3分）一个不透明的袋子中装有6个球，其中2个红球、4个黑球，这些球
除颜色外无其他差别．现从袋子中随机摸出一个球，则它是黑球的概率是．【解答】解：∵袋子中共有6个球，有4个黑球，
∴从袋子中随机摸出一个球，它是黑球的概率为=，
故答案为：．
16．（3分）若一条直线经过点（1，1），则这条直线的解析式可以是（写出一个即可）y=x（答案不唯一）．
【解答】解：设直线的表达式为y=kx，
将点（1，1）代入，得
∴k=1，
∴直线的表达式为y=x，
故答案为：y=x．（答案不唯一）
17．（3分）如图，在等边△ABC中，AB=4，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋
转后得到△ACE，连接DE交AC于点F，则△AEF的面积为．
【解答】解：∵在等边△ABC中，AB=4，D是BC的中点，
∴BD=DC=BC=2，∠BAD=∠DAC=30°，AD⊥BC，
∴AD==2．
∵将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，连接DE交AC于点F，
∴AD=AE，∠DAE=∠BAC=60°，∠CAE=∠BAD=∠DAC=30°，
∴△ADE是等边三角形，AF⊥DE，
∴DE=AD=2，EF=DE=，AF=DF=3，
∴△AEF的面积=EF•AF=××3=．
故答案为．
18．（3分）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，点B，点C均落在格点上．
（I）计算△ABC的周长等于12．
（Ⅱ）点P、点Q（不与△ABC的顶点重合）分别为边AB、BC上的动点，4PB=5QC，连接AQ、PC．当AQ⊥PC时，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AQ、PC，并简要说明点P、O的位置是如何找到的（不要求证明）．
连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P
【解答】解：（Ⅰ）∵AB=，
∴△ABC的周长等于3+4+5=12；
（Ⅱ）取格点D，E，F，G，H，连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH与格线交于点N，连接MN与AB交于P，连接CP、AQ即为所求．故答案为：12；连接DE与BC与交于点Q，连接DF与BC交于点M，连接GH 与格线交于点N，连接MN与AB交于P．
三、解签题（66分）
19．（8分）解不等式组
（I）解不等式（1），得x≥﹣1．
（Ⅱ）解不等式（2），得x≤3．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3．
【解答】解：（I）解不等式（1），得x≥﹣1．
（Ⅱ）解不等式（2），得x≤3．
（Ⅲ）把不等式（1）和（2）的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为﹣1≤x≤3，
故答案为：（I）x≥﹣1；（Ⅱ）x≤3；（IV）﹣1≤x≤3．
20．（8分）为了了解某校九年级学生体育测试成绩情况，现从中随机抽取部分学生的体育成绩，并用得到的数据绘制了统计图①和图②，请根据图中提供的信息，回答下列问题：
（I）本次随机抽样调查的学生人数为50，图①中的m的值为24；（II）求本次抽样调查获取的样本数据的众数、中位数和平均数；
（III）若该校九年级共有学生300人，如果体育成绩达28分以上（含28分）为优秀，请估计该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数．
【解答】解：（1）本次随机抽样调查的学生人数为5÷10%=50；
m=100﹣18﹣10﹣20﹣28=24，
故答案为：50，24；
（2）∵数据中28出现的次数最多，
∴本次抽样调查获取的样本数据的众数为28，
∵排序后，处于最中间的两个数为28和28，
∴中位数为（28+28）=28，
∵=（9×26+12×27+14×28+10×29+5×30）=27.8，
∴平均数为27.8；
（3）该校九年级学生体育成绩达到优秀的人数约为300×=174（人）．
21．（10分）已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连接AO并延长，交PB 的延长线于点C，连接PO，交⊙O于点D．
（I）如图①，若∠AOP=65°，求∠C的大小；
（II）如图②，连接BD，若BD∥AC，求∠C的大小．
【解答】
解：（Ⅰ）连接BO，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO=∠BPO，PA⊥AO，PB⊥OB，
∵∠AOP=65°，
∴∠APO=90°﹣65°=25°，
∴∠BPO=∠APO=25°，
＜∠AOP=∠BPO+∠C，
∴∠C=∠AOP﹣∠BPO=65°﹣25°=40°，
（Ⅱ）连接OB，设∠AOP=x，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO=∠BPO=x，PA⊥AO，PB⊥OB，
∴∠APO=90°﹣∠AOP=90°﹣x，
∠BOP=90°﹣∠BPO=90°﹣x，
∴∠BOC=180°﹣∠AOP﹣∠BOP=2x，
∴∠OCB=90°﹣∠BOC=90°﹣2x，
∵OC∥BD，
∴∠DBP=∠C=90°﹣2x，
∴∠OBD=2x，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠OBD=2x，
∵∠OBD+∠ODB+∠DOB=180°，
∴x=30°，
∴∠C=90°﹣2x=30°．
22．（10分）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C处测得教学横顶部D处的仰角为18°，教学楼底部B处的俯角为20°，教学楼的高BD=21m，求实验楼与教学楼之间的距离AB（结果保留整数）．
（参考数据：tan18°≈0.32，tan20°≈0.36）
【解答】解：过点C作CM⊥BD于点M，
在Rt△CDM中，∵tan∠DCM=，
∴DM=CMtan∠DCM=CMtan18°；
在R△BCM中，∵tan∠BCM=，
∴BM=CMtan∠BCM=CMtan20°，
∵DM+BM=BD，
∴CMtan18°+CMtan20°=21，
解得：CM=≈31（m），
则AB=31m，
答：AB的长约为31m．
23．（10分）为鼓励市民绿色出行，某共享单车公司提供了用手机和会员卡两种支付方式进行付款．若用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，若选择会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，设骑行时间为x小时
（I）根据题意，填写下表（单位：元）：
（II）设用手机支付付款金额为y1元，用会员卡支付付款金额为y2元，分别写出y1，y2关于x的函数关系式；
（III）若李老师经常骑行该公司的共享单车，他应选择哪种支付方式比较合算？【解答】解：（Ⅰ）用手机支付方式，骑行时间在半小时以内（含半小时）不收费，超出半小时后每半小时收费1元，
所以骑行2小时，收费（2﹣0.5）÷0.5×1=3元，
骑行3小时，收费（3﹣0.5）÷0.5×1=5元；
用会员卡支付，骑行时间每半小时收费0.8元，
所以所以骑行0.5小时，收费0.5÷0.5×0.8=0.8元，
骑行3小时，收费3÷0.5×0.8=4.8元；
故答案为：3，5；0.8，4.8．
（Ⅱ）骑行时间为x小时用手机支付方式，
当0≤x≤0.5时，y1=0；
x＞0.5时，设y1=kx+b，由于当x=2，y=3；x=3，5=5．
y1=2x﹣1；
骑行时间为x小时用会员卡支付方式
y2=0.8×2x=1.6x（x≥0）．
（Ⅲ）当y1=y2时，即2x﹣1=1.6x
解得，x=2.5
当骑行时间为2.5小时时，两种支付方式价格相同；
当0≤x≤2.5时，y1＜y2，所以手机支付合算，
当x＞2.5时，y1＞y2，所以会员卡支付合算．
李老师应该根据自己的骑行时间，选择合适的付费方式．
24．（10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（2，0），点B（0，2），点O（0，0）．点M为边OA上的一个动点（点M不与点O、A重合），沿着BM折叠该纸片，得顶点O的对应点O′．
（I）如图①，当点O′在边AB上时，求点O′的坐标；
（II）设直线BO′与x轴相交于点F．
①如图②，当BA平分∠MBF时，求点F的坐标；
②当OM=时，求点F的坐标（直接写出结果即可）
【解答】解：（Ⅰ）如图①，过点O'作O'H⊥y轴于H，
由折叠知，△BMO≌△BMO'，
∴BO'=BO=2，
∵O'H∥OA，
∴∠BO'H=∠BAO=45°，
在Rt△BO'H中，O'H=BO'•cos∠BO'H=，
∴BH=O'H=，
∴OH=OB﹣BH=2﹣，
∴O'（，2﹣）；
（Ⅱ）①∵BA平分∠MBF，
∴∠ABO=3∠MBA=45°，
∴∠ABF=∠MBA=15°，
∴∠OBF=∠ABO+∠ABF=60°，
在Rt△BOF中，OF=OB•tan60°=2，
∴F（2，0）；
②由折叠知，O'M=OM=，O'B=OB=2，∠MO'F=90°=∠FOB，∵∠FO'M=∠FOB，
∴△FO'M∽△FOB，
∴，
设F（a，0）（a＞0），
∴OF=a，
在Rt△BOF中，BF=，
∴O'F=﹣2，
∴，
∴a=0（舍）或a=
F（，0）
25．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F，G分别在线段BC、AC上．
（I）求抛物线的解析式；
（II）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系式，并指出m的取值范围；
（III）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k•DF．若点M在抛物线上，求k的值．
【解答】解：（I）∵抛物线ax2+bx﹣4（a≠0）与x轴交于A（2，0）、B（﹣4，0）两点，
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y=x2+x﹣4；
（II）由题意，=，而AO=2，OC=4，AD=2﹣m，
故DG=4﹣2m，
又=，EF=DG，得BE=4﹣2m，
∴DE=3m，
=DG•DE=（4﹣2m）3m=12m﹣6m2（0＜m＜2）．
∴S
矩形DEFG
=12m﹣6m2（0＜m＜2），
（III）∵S
矩形DEFG
∴m=1时，矩形的面积最大，且最大面积是6．
当矩形面积最大时，其顶点为D（1，0），G（1，﹣2），F（﹣2，﹣2），E（﹣2，0），
设直线DF的解析式为y=kx+b，
则，
解得；，
∴y=x﹣，
又抛物线P的解析式为：y=x2+x﹣4，
令x﹣=x2+x﹣4，可求出x=．
设射线DF与抛物线P相交于点M，则M的横坐标为，
过M作x轴的垂线交x轴于H，
有k====，
点M在抛物线上，此时k的值是：k=．
赠送初中数学几何模型
【模型一】
“一线三等角”模型：图形特征：
运用举例：
1.如图，若点B在x轴正半轴上，点A(4，4)、C(1，－1)，且AB＝BC，AB⊥BC，求点B的坐标；
x
y
B
C
A
O
2.如图，在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分
别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是
1
S、
2
S、
3
S、
4
S，则14
S S
+=．
l
s4
s3
s2
s1
3
2
1
3. 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不与点B，C重合），过D
作∠ADE=45°，DE交AC于E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
B
4.如图，已知直线
1
1
2
y x
=+与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线2
1
2
y x bx c
=++与
直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为(1，0)。

（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点P在x轴上移动，当△PAE是直角三角形时，求点P的坐标P；
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使|AM－MC|的值最大，求出点M的坐标。

5.如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M为线段BF的中点时，通过观察、测量、推理等，猜想：∠NFC= °，
BM
NF
= ； （2）一般地，当M 为线段BF 上任一点（不与点B 重合）时，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
（3）进一步探究：延长FN 交CD 于点G ，求
FM
NG
的值 G
E D
A
6..如图，矩形AOBC 中，C 点的坐标为(4，3)，，F 是BC 边上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数k
y x
(k >0)的图像与AC 边交于点E 。

(1)若BF ＝1，求△OEF 的面积；
(2)请探索：是否在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求出点k 的值；若不存在，请说明理由。