人教版二次根式单元 期末复习测试提优卷试题

一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A
=
B
=C
= D
=2．
在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．x ＞3
B ．x ＞－3
C ．x≥－3
D ．x≤－3
3．已知x 1
x 2
，则x₁²＋x₂²等于( ) A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．如果关于x 的不等式组0,2
223
x m
x x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为2x >
则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
5．化简二次根式
） A
B
C
D
6．若化简
的结果为2x ﹣5，则x 的取值范围是（ ） A ． x 为任意实数 B ．1≤x ≤4
C ．x ≥1
D ． x ≤4
7．若a
，b ＝
，则a b 的值为（ ）
A ．
1
2 B ．
14
C ．
3
21
+
D
8．若化简1682+-x x -1x -的结果为5-2x ，则x 的取值范围是（ ） A ．为任意实数
B ．1≤x≤4
C ．x≥1
D ．x≤4
9．
2的结果是（ ） A ．±3
B ．﹣3
C ．3
D ．9
10．下面计算正确的是（ ） A
．B
C
D
2-
二、填空题
11．
已知x =(
)21142221x x x x -⎛⎫+⋅= ⎪-+-⎝⎭_________ 12．已知
112a b +=，求535a ab b
a a
b b
++=-+_____．
13．
3=，且01x <<
=______．
14．已知a
a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知整数x ，y
满足y =，则y =__________．
16
．3y =
，则2xy 的值为__________．
17．已知x
＝
12，y
＝1
2
，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 18．
化简(3+-的结果为_________.
19．
mn ＝________． 20．观察分析下列数据：0
，
，-3
，
的规律得到第10个数据应是__________．
三、解答题
21．若x ，y 为实数，且y
1
2
．求x y y x ++2－x
y y x +-2的值．
【分析】
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可知：1﹣4x ≥0且4x ﹣1≥0，解得x =1
4
，此时y =
1
2
．即可代入求解． 【详解】
解：要使y 有意义，必须140410x x -≥⎧⎨-≤⎩，即1
4
14
x x ⎧≤⎪⎪
⎨
⎪≥
⎪⎩
∴ x ＝14．当x ＝14时，y ＝12． 又∵
x y y x ++2－x y
y x +-2
＝
－
| ∵x ＝
14，y ＝1
2，∴ x y ＜y x
．
∴
+
当x＝1
4
，y＝
1
2
时，原式＝
．
【点睛】
（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
22．阅读材料，回答问题：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式
a =
，
)
111
=
1
1互为有理化因式．
（1
）1的有理化因式是；
（2）这样，化简一个分母含有二次根式的式子时，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：
3
==，
2
538
4
532
++
====
-
进行分母有理化．
（3）利用所需知识判断：若a=
，2
b=a b
，的关系是．
（4
）直接写结果：)1
=
．【答案】（1）1；（2）
7-；（3）互为相反数；（4）2019
【分析】
（1
）根据互为有理化因式的定义利用平方差公式即可得出；
（2）原式分子分母同时乘以分母的有理化因式(2，化简即可；
（3
）将a
=
（4）化简第一个括号内的式子，里面的每一项进行分母有理化，然后利用平方差公式计算即可．
【详解】
解：（1）∵()()
1111
=，
∴1
的有理化因式是1；
（2
2
243
7
43
--
==-
-
（3
）∵2
a===，2
b=
-，
∴a和b互为相反数；
（4
）)1 ++
⨯
=)
1
1
⨯
=)
11
=20201
-
=2019，
故原式的值为2019.
【点睛】
本题考查了互为有理化因式的定义及分母有理化的方法，并考查了利用分母有理化进行计算及探究相关式子的规律，本题属于中档题．
23．
阅读下列材料，然后回答问题：
1
== .
以上这种化简过程叫做分母有理化.
1
==
=.
（1
）请用其中一种方法化简；
（2
+
99+
【答案】
(2) 3
1.
【分析】
(1)运用了第二种方法求解，即将4
（2）先把每一个加数进行分母有理化，再找出规律，即后面的第二项可以和前面的第一项抵消，然后即可得出答案.
【详解】
（1）原式==；
（2）原式=+
++…
=﹣1+﹣
+﹣
+…
﹣
=
﹣1
=3
﹣1
【点睛】
本题主要考查了分母有理化，找准有理化的因式是解题的关键.
24．先化简，再求值：(()3
369x x x x --+，其中21x =
.
【答案】化简得6x+6，代入得2 【分析】
根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】
(()3369x x x x +--+
=22369x x x --++ =6x+6 把21x =
代入原式=621）2
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.
25．(1)已知a 2+b 2=6，ab =1，求a ﹣b 的值； (2)已知3131
b =-+，求a 2+b 2的值． 【答案】（1）±2；（2）2． 【分析】
（1）先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可；
（2）先分母有理化，再根据完全平方公式和平方差公式即可求解． 【详解】
（1）由a 2+b 2=6，ab=1，得a 2+b 2-2ab=4， （a-b ）2=4， a-b=±2． （2）331
231(31)(31)
a =
==--+，
331
231(31)(31)
b =
==++-，
2
222
()22312a b a b ab +=+-=-=-=⎝⎭
【点睛】
本题考查了分母有理化、完全平方公式的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
26．计算：
（1；
（2+2）2+2）．
【答案】（1-2）【分析】
（1）直接化简二次根式进而合并得出答案； （2）直接利用乘法公式计算得出答案． 【详解】
解：（1）原式＝-
（2）原式＝3434++-＝6+． 【点睛】
本题考查了二次根式的运算，在进行二次根式运算时，可以运用乘法公式，运算率简化运算．
27．计算（1
（2）21)-
【答案】（1）4；（2）3+ 【分析】
（1）先把各根式化为最简二次根式，再去括号，合并同类项即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算即可． 【详解】
解：（1）解：原式=
4=+
4=-
（2）解：原式()
22161=---
63=-+
3=+
本题考查了二次根式的混合运算，注意先化简，再进一步利用计算公式和计算方法计算．
28．先化简，再求值：221()a b
a b a b b a
-÷-+-，其中a =2b =- 【答案】1a b -+，12
-． 【分析】
先把分式进行化简，得到最简分式，然后把a 、b 的值代入计算，即可得到答案． 【详解】 解：原式1()()a b a b a
a b a b b a b b
--=⨯-⨯+-+
()()
a b a b a b b a b -=-
-++
()
b b
b a =-
+
1
a b
=-
+，
当a =2b =
原式1
2==-．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，分式的化简求值，分式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
根据二次根式加法法则，二次根式的乘法法则计算后判断即可得到答案. 【详解】
=3= ， ∴A 、C 、D 均错误，B 正确， 故选：B.
此题考查二次根式的加法法则，二次根式的乘法法则，熟记计算法则是正确解题的关键.
2．C
解析：C 【解析】
分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解. 详解：根据题意得,x+3≥0, 解得x≥-3. 故选C.
点睛：本题考查的知识点为:二次根式的被开方数是非负数，这也是解答本题的关键.
3．C
解析：C 【详解】
12x x +==
12321x x =
=-=，
所以()2
221
2
12122x x x x x x +=+-
=(2
2112210-⨯=-=，
故选：C ． 【点睛】
对于形如22
12x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有
这个特点的代数式称为轮换对称式，如1211
+x x ，1221
x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．
4．C
解析：C 【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2
的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02
x m
->得x ＞m ， 解不等式
2
23
x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2，
由m ≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
5．B
解析：B 【分析】
首先根据二次根式有意义的条件求得a 、b 的取值范围，然后再利用二次根式的性质进行化简即可 【详解】
2
202
a a
a a a +-∴
+<∴<
-
a a ∴==•=-故选B
【点睛】
本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是根据二次根式有意义的条件判断字母的取值范围．本题需要重点注意字母和式子的符号．
6．B
解析：B 【分析】
根据完全平方公式先把多项式化简为|1-x|-|x-4|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可． 【详解】
原式可化简为|1-x|-|x-4|，
当1-x ≥0，x-4≥0时，可得x 无解，不符合题意； 当1-x ≥0，x-4≤0时，可得x ≤1时，原式=1-x-4+x=-3； 当1-x ≤0，x-4≥0时，可得x ≥4时，原式=x-1-x+4=3； 当1-x ≤0，x-4≤0时，可得1≤x ≤4时，原式=x-1-4+x=2x-5， 据以上分析可得当1≤x ≤4时，多项式等于2x-5， 故选B ． 【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 将a
可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出
a b 的值． 【详解】 a
=
b 4
4
=．
∴
14
a b =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
8．B
解析：B 【解析】
【分析】
先把多项式化简为|x-4|-|1-x|，然后根据x 的取值范围分别讨论，求出符合题意的x 的值即可．
【详解】
解：原式1x -=|x-4|-|1-x|， 当x≤1时， 此时1-x≥0，x-4＜0，
∴（4-x ）-（1-x ）=3，不符合题意， 当1≤x≤4时， 此时1-x≤0，x-4≤0，
∴（4-x ）-（x-1）=5-2x ，符合题意， 当x≥4时， 此时x-4≥0，1-x ＜0，
∴（x-4）-（x-1）=-3，不符合题意， ∴x 的取值范围为：1≤x≤4 故选B ． 【点睛】
本题主要考查绝对值及二次根式的化简，要注意正负号的变化，分类讨论．
9．C
解析：C
根据二次根式的性质即可求出答案．
【详解】
原式＝3，
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．10．B
解析：B
【分析】
根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
【详解】
解：A A选项错误；
B==＝3，故B选项正确；
C==C选项错误；
D．2
-==，故D选项错误；
(2)2
故选B．
【点睛】
考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
二、填空题
11．【分析】
利用完全平方公式化简，得到；化简分式，最后将代入化简后的分式，计算即可.
【详解】
将代入得：
故答案为：
【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在
解析：1
-
利用完全平方公式化简x =
1x =；化简分式，最后将1x =代
入化简后的分式，计算即可.
【详解】
1x =====
()211422(2)(2)2221(2)(2)
2(1)x x x x x x x x x x x -++-+-⎛⎫+⋅= ⎪-+--+-⎝⎭ 1
x x =-
将1x =1=-
故答案为：1-【点睛】
本题考查二次根式的化简以及分式的化简求值，难度较大，难点在于化简x =
熟练掌握相关知识点是解题关键. 12．13
【解析】
【分析】
由得a+b=2ab ，然后再变形，最后代入求解即可.
【详解】
解：∵
∴a+b=2ab
∴
故答案为13.
【点睛】 本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找
解析：13
【解析】
【分析】
由
112a b +=得a+b=2ab ，然后再变形535a ab b a ab b
++-+，最后代入求解即可. 【详解】 解：∵
112a b
+= ∴a+b=2ab
∴
()
53
53510ab3
===13
2ab
a b ab
a a
b b ab
a a
b b a b ab ab
++
+++
-++--
故答案为13.
【点睛】
本题考查了已知等式求代数式的值，解答的关键是通过变形找到等式和代数式的联系. 13．．
【分析】
利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．
【详解】
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴原式
．
故答案是：．
【点睛】
本题考查二次根式的运
解析：
1
2
．
【分析】
，再把它们相乘得到
1
x
x
-，再对原式进行变形凑出
1
x
x
-的形式进行计算．
【详解】
3
=，
∴
2
2
1
239
x
x
=++==，
∴17x x
+=，
∴212725x x =-+=-=， ∵01x <<，
=，
∴1x x =-=-
∴原式=
==
=．
． 【点睛】 本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．
14．-4
【分析】
先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
解：当a ＝－＝－＝－3时，
原式＝a3+6a2+9a －(a2+6a+9)－7a+3
＝a(a+3)2－(
解析：-4
【分析】
先将a 进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.
【详解】
解：当a
－3时， 原式＝a 3+6a 2+9a －(a 2+6a +9)－7a +3
＝a (a +3)2－(a +3)2－7a +3
＝7a －7－7a +3
＝－4．
故答案为：－4．
【点睛】
本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.
15．2018
【解析】
试题解析：
，
令，，
显然，
∴，
∴，
∵与奇偶数相同，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2018.
解析：2018
【解析】 试题解析：
y ==
=
令a =
b = 显然0a b >≥，
∴224036a b -=，
∴()()4036a b a b +-=，
∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴20182
a b a b +=⎧⎨-=⎩， ∴10101008a b =⎧⎨
=⎩， ∴2018y a b =+=．
故答案为：2018.
16．【解析】
试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=，y=-3，
代入可得=-2×
×3=-15. 解析：15-
【解析】
试题分析：根据二次根式的意义和等式的特点，可知2x-5=0，解得x=
52，y=-3，代入可得2xy =-2×52
×3=-15. 17．4
【详解】
根据完全平方公式可得：
原式=－xy==5－1=4．
解析：4
【详解】
根据完全平方公式可得：
原式=2()x y +－xy=21515151)2222
=5－1=4． 18．1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=.
故答案为：1. 【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键.
解析：1
【分析】
根据平方差公式进行计算即可.
【详解】
原式=(223981-=-=.
故答案为：1.
【点睛】
本题考查二次根式的计算，熟练应用平方差公式是解题关键. 19．21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，
解得，，
∴
故答案为21.
解析：21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∴1221343n m m -=⎧⎨-=-⎩
， 解得，73m n =⎧⎨=⎩
， ∴7321.mn =⨯=
故答案为21.
20．6
【分析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，
∴第13个答案为：．
故答案为6．
解析：6
【分析】 通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．
【详解】 解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，21(1)31，
31(1)32…1(1)3(1)n n ，
∴第13个答案为：131(1)3(131)
6．
故答案为6．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般
是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
28．无。