高中数学 3.3排序不等式课件新人教A版选修4-5

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2014年人教A版选修4-5课件 3.排序不等式

证明: a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn 是两组实数, c1, c2, …, cn 是 b1, b2, …, bn 的任一排列.
则不同的 c1, c2, …, cn 有 n! 个. 乱序和 S=a1c1+a2c2+…+ancn ①
(1) 若 c1b1, 而 ck=b1 (k>1), 则交换 c1, ck 得 S=a1ck+a2c2+…+akc1+…+ancn (ck≤c1). ② ②-①得 ≥0, S S =a ch = =( (a ah a a2)( )(c c2 c ch)) 2 ≥0, S S = a2c ch+ +a ahc c2 a a2c c2 a ahc
n
Ai
An
A
问题2. 如图, 在∠AOB 的边 OA 上依次取 n 个点 A1, A2, …, An, OB 上也依次取 n 个点 B1, B2, …, Bn. 选取 Ai (i=1, 2, …, n) 与 Bj (j=1, 2, …, n) 连接起来, 这样连成了 n 个三角形 AiOBj. 如何连接, 这些三角形的面积之和最大或最小? Bn B 设 OA1=a1, OA2=a2, …, Bj OAn=an; OB1=b1, OB2=b2, B2 …, OBn=bn; ∠AOB=a. B1 1 S1 = sina (a1bn + a2bn1 + + anb1 ); 2 O Ai An A 1 A1 A2 S2 = sina (a1b1 + a2b2 + + anbn ). 2 由猜想得 a1bn+a2bn1+…+anb1<a1b1+a2b2+…+anbn. (问: 由问题 1 和问题 2, 你能得出什么样的猜想?)

2020版高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式练习(含解析)新人教A版选修4_5

三排序不等式基础巩固1有一有序数组,其顺序和为A,反序和为B,乱序和为C,则它们的大小关系为() A.A≥B≥C B.A≥C≥BC.A≤B≤CD.A≤C≤B,顺序和≥乱序和≥反序和,故A≥C≥B.2已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将b i(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值分别是()A.132,6B.304,212C.22,6D.21,363设a,b>0,P=a3+b3,Q=a2b+ab2,则P与Q的大小关系是()A.P>QB.P≥QC.P<QD.P≤Q4已知a,b,c>0,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于或等于零C.小于零D.小于或等于零a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,根据排序不等式,得a3·a+b3·b+c3·c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.所以a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab,即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.5设a1,a2,a3为正数,E=a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2,a=a1+a2+a3,则a,a的大小关系是()A.E<FB.E≥FC.E=FD.E≤Fa1≥a2≥a3>0,于是1a1≤1a2≤1a3,a2a3≤a3a1≤a1a2.由排序不等式,得a1a2a3+a3a1a2+a2a3a1≥1a2·a2a3+1a3·a3a1+1a1·a1a2=a3+a1+a2,即a1a2a3+a2a3a1+a3a1a2≥a1+a2+a3.故E≥F.6某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件.现在选择商店中单价分别为3元,2元和1元的礼品,则至少要花元,最多要花元.257已知a,b,x,y∈R+,且1a >1a,a>a,则aa+a与aa+a的大小关系是.1a>1a,a>a,由排序不等式,得aa>aa>0.∴aa<aa,∴a+aa<a+aa.∴aa+a>aa+a.>aa+a8若a>0,b>0且a+b=1,则a2a+a2a的最小值是.a≥b>0,则有a2≥b2,且1a≥1a,由排序不等式,得a2a+a2a≥1a·a2+1a·b2=a+b=1,当且仅当a=b=12时,等号成立.所以a2a+a2a的最小值为1.9n个正数与这n个正数的倒数的乘积的和的最小值为.0<a1≤a2≤a3≤…≤a n,则0<a a-1≤a a-1-1≤…≤a1-1,由排序不等式得反序和≤乱序和≤顺序和.故最小值为反序和a1·a1-1+a2·a2-1+⋯+a n·a a-1=a.10设a,b都是正数,求证:(aa)2+(aa)2≥aa+aa.,并比较大小,用排序不等式证明.a≥b>0,则a2≥b2,1a≥1a.所以a2a≥a2a.根据排序不等式,知a2a ·1a+a2a·1a≥a2a·1a+a2a·1a,即(aa)2+(aa)2≥aa+aa.能力提升1设x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则P=a2a +a2a+a2a与1的大小关系为()A.P=1B.P<1C.P≥1D.P≤1x,y,z∈R+,且x+y+z=1,不妨设x≥y≥z,则x2≥y2≥z2,1a ≤1a≤1a.由排序不等式,得a2a +a2a+a2a≥a2a+a2a+a2a=a+a+a=1,当且仅当x=y=z=13时,等号成立.所以P≥1.2若A=a12+a22+⋯+a a2,a=a1a2+a2a3+⋯+aa−1aa+aaa1,其中a1,a2,…,aa都是正数,则a与a的大小关系为()A.A>BB.A<BC.A≥BD.A≤B{x n}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤x n,则x2,x3,…,x n,x1为序列{x n}的一个排列.依排序不等式,得x1x1+x2x2+…+x n x n≥x1x2+x2x3+…+x n x1,即a12+a22+⋯+a a2≥x1x2+x2x3+…+x n x1.3在锐角三角形ABC中,设P=a+a+a2,a=a cos a+a cos a+a cos a,则a,a的大小关系为()A.P≥QB.P=QC.P≤QD.不能确定A≥B≥C,则a≥b≥c,cos A≤cos B≤cos C,则由排序不等式有Q=a cos C+b cos B+c cos A≥a cos B+b cos C+c cos A=R(2sin A cos B+2sin B cos C+2sin C cos A),Q=a cos C+b cos B+c cos A≥b cos A+c cos B+a cos C=R(2sin B cos A+2sin C cos B+2sin A cos C),上面两式相加,得Q=a cos C+b cos B+c cos A≥12a(2sin A cos B+2sin B cos A+2sin B cos C+2sin C cos B+2sin C cos A+2sin A cos C)=R[sin(A+B)+sin(B+C)+sin(A+C)]=R(sin C+sin A+sin B)=a+a+a2=a.4设a,b,c都是正数,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab与0的大小关系是()A.M≥0B.M≤0C.M与0的大小关系与a,b,c的大小有关D.不能确定a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4, 则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4≥a·c4+b·a4+c·b4.∵a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc,∴a4b+b4c+c4a=a3·ab+b3·bc+c3·ca≥a3bc+b3ac+c3ab.∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab.∴M≥0.5已知a,b,c都是正数,则aa+a +aa+a+aa+a的最小值为.a≥b≥c>0,则1a+a ≥1a+a≥1a+a.由排序不等式,知aa+a +aa+a+aa+a≥aa+a+aa+a+aa+a,①aa+a +aa+a+aa+a≥aa+a+aa+a+aa+a.②①+②,得aa+a +aa+a+aa+a≥32,当且仅当a=b=c时,等号成立.★6在Rt△ABC中,C为直角,A,B所对的边分别为a,b,则aA+bB与π4(a+a)的大小关系为.a≥b>0,则A≥B>0.由排序不等式aa+aa≥aa+aa aa+aa=aa+aa}⇒2(aA+bB)≥a(A+B)+b(A+B)=π2(a+a).故aA+bB≥π4(a+a).≥π4(a+a)7设a ,b ,c 都是正实数,求证:a a b b c c≥(ab a )a +a +a3.a ≥b ≥c>0,则lg a ≥lg b ≥lgc , 由排序不等式,得a lg a+b lg b+c lg c ≥b lg a+c lg b+a lg c , a lg a+b lg b+c lg c ≥c lg a+a lg b+b lg c ,且a lg a+b lg b+c lg c=a lg a+b lg b+c lg c , 以上三式相加整理,得3(a lg a+b lg b+c lg c ) ≥(a+b+c )(lg a+lg b+lg c ), 即lg(a a b b c c)≥a +a +a3·lg(abc ). 故a a b b c c≥(ab a )a +a +a3.★8设a ,b ,c 都是正实数,求证:1a+1a+1a≤a 8+a 8+a 8a 3a 3a 3.a ≥b ≥c>0,则1a ≥1a ≥1a ,而1a 3a 3≥1a 3a 3≥1a 3a 3.由不等式的性质,知a 5≥b 5≥c 5. 由排序不等式,知a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3≥a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3=a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3.又由不等式的性质,知a 2≥b 2≥c 2,1a 3≥1a 3≥1a 3.由排序不等式,得a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3≥a 2a 3+a 2a 3+a 2a 3=1a +1a +1a. 由不等式的传递性,知1a +1a +1a ≤a 5a 3a 3+a 5a 3a 3+a 5a 3a 3=a 8+a 8+a 8a 3a 3a 3. 故原不等式成立.。

高二数学人教A版选修4-5课件：3.3排序不等式

【例 1】某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品 4 件，5 件及 2 件，现在选择商品中单价为 3 元，2 元和 1 元的礼品，问至少要花多少钱？最多要花多少钱？
【解】由题意可知，(a1，a2，a3)＝(2,4,5)，(b1，b2，b3) ＝(1,2,3)，则花钱最少为：1×5＋2×4＋3×2＝19(元)；
花钱最多为：1×2＋2×4＋3×5＝25(元)．
规律技巧利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的两个数组，并且要排列出大小顺序，这是解决问题的关键．
【变式训练 1】设 a1，a2，a3 为正数，且 a1＋a2＋a3＝1，求a1a2＋a2a3＋a3a1的最小值．
a3 a1 a2
解不妨设 a3>a1>a2>0，则a13<a11<a12，所以 a1a2<a2a3<a3a1. 设乱序和 S＝aa1a33＋aa1a12＋aa3a22＝a1＋a2＋a3＝1，顺序和 S′＝a1a2＋a2a3＋a3a1.
思考探究使用排序不等式的关键是什么？提示使用排序不等式，关键是出现有大小顺序的两列数 (或者代数式)来探求对应项的乘积的和的大小关系.
1．排序原理的本质含义两组实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小．等号成立的条件是其中至少有一组序列为常数序列．
3.3 排序不等式
必修4-5
本节目标
1.了解排序不等式并理解乱序和、反序和、顺序和的概念． 2．掌握排序不等式的推导和证明过程． 3．会利用排序不等式解决简单的不等式问题.
预习反馈
1．已知 x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则 M 与 N 的大小关系是( )

高中数学第三讲三排序不等式学案含解析新人教A版选修4_5

三排序不等式考纲定位重难突破1.了解排序不等式的数学思想和背景．2.了解排序不等式的结构与基本原理．3.理解排序不等式的简单应用.重点：排序不等式的结构与基本原理.难点：排序不等式的简单应用.授课提示：对应学生用书第32页[自主梳理]一、顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…a n b n为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．二、排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．[双基自测]1．已知a，b，c∈R＋，则a5＋b5＋c5与a3b2＋b3c2＋c3a2的大小关系是()A．a5＋b5＋c5>a3b2＋b3c2＋c3a2B．a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2C．a5＋b5＋c5<a3b2＋b3c2＋c3a2D．a5＋b5＋c5≤a3b2＋b3c2＋c3a2解析：取两组数a3，b3，c3和a2，b2，c2，由排序不等式，得a5＋b5＋c5≥a3b2＋b3c2＋c3a2.答案：B2．设两组数1,2,3,4和4,5,6,7的顺序和为A，反序和为B，则A＝________，B＝________.解析：A＝1×4＋2×5＋3×6＋4×7＝4＋10＋18＋28＝60.B＝1×7＋2×6＋3×5＋4×4＝7＋12＋15＋16＝50.答案：60503．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s ，每个人接完水后就离开，则他们等候的总时间最短为________ s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41. 答案：41授课提示：对应学生用书第32页探究一利用排序不等式证明不等式[例1] 设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c .[证明] 由题意不妨设a ≥b ≥c >0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知 ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c，即所证不等式bc a ＋ca b ＋abc ≥a ＋b ＋c 成立．1．利用排序不等式证明不等式时，若已知条件中已给出两组量的大小关系，则需要分析清楚顺序和、乱序和及反序和．利用排序不等式证明即可．2．若在解答数学问题时，涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序．那么在解答问题时，我们可以利用排序原理将它们按一定顺序排列起来，继而用不等关系来解题．1．设a ，b ，c 为正数，求证：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 10＋b 10＋c 10.证明：不妨设a ≥b ≥c >0，则a 12≥b 12≥c 12， 1bc ≥1ac ≥1ab>0， ∴由顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ac ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a .①又∵a 11≥b 11≥c 11，1c ≥1b ≥1a ，∴由乱序和≥反序和，得a 11b ＋b 11c ＋c 11a ≥a 11a ＋b 11b ＋c 11c ＝a 10＋b 10＋c 10，②由①②两式得：a 12bc ＋b 12ac ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.探究二利用排序不等式求最值[例2] 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋ca ＋b 的最小值．[解析] 不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b ，由排序不等式得，ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b 上述两式相加得： 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时， ab ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 取最小值32.利用排序不等式求最值的方法利用排序不等式求最值时，先要对待证不等式及已知条件仔细分析，观察不等式的结构，明确两个数组的大小顺序，分清顺序和、乱序和及反序和，由于乱序和是不确定的，根据需要写出其中的一个即可．一般最值是顺序和或反序和．2．设0<a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解析：令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋abc (a ＋b )·ab .由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc .∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋abc (a ＋b )·bc＝ca (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋bc (a ＋b ).又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋abc (a ＋b )·ac＝ba (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3.∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.探究三利用排序不等式解决实际问题[例3] 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎么样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？[解析] 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．利用排序不等式解决实际问题的关键是将实际问题转化为数学问题，构造排序不等式的模型．3．某座大楼共有n 层，在每层有一个办公室，每个办公室的人员步行上下楼，他们的速度分别为v 1，v 2，…，v n (他们各不相同)，为了能使得办公室的人员上下楼梯所用的时间总和最小，应该如何安排？(假设每两层楼的楼梯长都一样)解析：设两层楼间的楼梯长为s ，则第一层需要走的路程为s ，第二层需要走的路程为2s ，…，第n 层需要走的路程为ns .不妨设v ′1>v ′2>…>v ′n 为v 1，v 2，…，v n 从大到小的排列，显然1v ′1<1v ′2<…<1v ′n ，由排序不等式，可得ns 1v ′1＋(n －1)s 1v ′2＋…＋s 1v ′n的和最小，所以将速度快的放在高层，速度慢的放在低层，可使上下楼的时间最短．在运用排序不等式时不能准确找到相应有序数组致误[典例] 一般地，对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，几何平均数G n ＝na 1a 2…a n ，算术平均数A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，利用排序不等式可以判断G n ，A n 的大小关系为________．[解析] 令b i ＝a iG n (i ＝1,2，…，n )，则b 1b 2…b n ＝1，故可取x 1≥x 2≥…≥x n >0，使得b 1＝x 1x 2，b 2＝x 2x 3，…，b n －1＝x n －1x n ，b n ＝x nx 1.由排序不等式有：b 1＋b 2＋…＋b n ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1≥x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n＝n ，当且仅当x 1＝x 2＝…＝x n 时取等号，所以a 1G n ＋a 2G n ＋…＋a nG n ≥n ，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥G n ，即A n ≥G n . [答案] A n ≥G n[规律探究] (1)利用排序不等式的关键是正确地寻找两组有序实数组，构造的恰当是正确解题的前提，如本例中构造的两组数，恰好能够解决反序和为n ，使得问题得以解决．(2)利用排序不等式求解完成后，一定要说明等号成立的条件，若取不到等号也应该说明原因，使得解题更加清晰和准确．(3)运用排序不等式的解题步骤是①构造两组有序数组使之满足排序不等式的条件；②运用排序不等式得到不等关系；③找出等号成立的条件并以此得出证明的结论.[随堂训练] 对应学生用书第34页1．设正实数a 1，a 2，a 3的任一排列为a ′1，a ′2，a ′3，则a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3的最小值为( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：设a 1≥a 2≥a 3>0，则1a 3≥1a 2≥1a 1>0，由排列不等式可知a 1a ′1＋a 2a ′2＋a 3a ′3≥a 1a 1＋a 2a 2＋a 3a 3＝3. 当且仅当a ′1＝a 1，a ′2＝a 2，a ′3＝a 3时等号成立．答案：A2．设a 1，a 2，a 3为正数，E ＝a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2，F ＝a 1＋a 2＋a 3，则E ，F 的大小关系是( ) A ．E <F B ．E ≥F C ．E ＝FD ．E ≤F解析：不妨设a 1≥a 2≥a 3>0，于是1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2.由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2＝a 3＋a 1＋a 2，即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. ∴E ≥F . 答案：B3．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，且1a >1b ，x >y ，则x x ＋a ________yy ＋b (填“>”或“<”)．解析：∵1a >1b ，a >0，b >0，∴b >a >0，又x >y >0，∵bx >ay ， ∴bx －ay >0，又x ＋a >0，y ＋b >0，∴x x ＋a －yy ＋b ＝bx －ay (x ＋a )(y ＋b )>0，即xx ＋a >y y ＋b . 答案：>。

3.3 排序不等式课件(人教A选修4-5)

3 [答案] 2
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[悟一法]
利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c，所以可直接利用已知构造两个数组．
[通一类]
π 1．已知 0<α<β<γ< ，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos 2 1 α> (sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)． 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ，且 y＝sin x 在(0， )为增函数， 2 2 π y＝cos x 在(0， )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.
anb1 ≤ a1c1＋a2c2＋…＋ancn ≤
a1b1＋a2b2＋…＋an或 b1＝b2＝…＝bn 时，反序和等
于顺序和．
[小问题· 大思维] 1．排序不等式的本质含义是什么？提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列．
中地位的对称性，限定一种大小关系．
[通一类]
a1a2 a2a3 a3a1 2．设 a1，a2，a3 为正数，求证：＋＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0，于是
1 1 1 ≤ ≤ ，a a ≤a a ≤a1a2， a1 a2 a3 2 3 3 1 由排序不等式：顺序和≥ 乱序和得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 ＋＋ ≥ ·a＋ ·a＋ ·a a a a a3 a2 a1 a2 2 3 a3 3 1 a1 1 2 ＝a3＋a1＋a2. a1a2 a2a3 a3a1 即＋＋ ≥a1＋a2＋a3. a3 a1 a2

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5

3.3排序不等式一、教学目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．二、课时安排1课时三、教学重点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．四、教学难点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．五、教学过程（一）导入新课某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】19 25（二）讲授新课教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和．教材整理2 排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．（三）重难点精讲题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定) 例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证： (1)1bc ≥1ca ≥1ab；(2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 【精彩点拨】由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b.又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca ，同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c， ∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab，从而1bc ≥1ca ≥1ab.(2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0，∴1b 2c2≥1c 2a2≥1a 2b2，a 2≥b 2≥c 2.由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2，故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[再练一题]1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3.【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0， ∴a 5≥b 5≥c 5， 1c ≥1b ≥1a＞0.∴1bc ≥1ac ≥1ba，∴1b 3c3≥1a 3c3≥1b 3a 3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3 ＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c3. 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明例2设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3， 0<1bc ≤1ca ≤1ab，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab ，a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ，将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab.规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．[再练一题]2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2na 1≥a 1＋a 2＋…＋a n .【证明】不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n.由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n ，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 题型三、利用排序不等式求最值例3 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cCa ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【精彩点拨】不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】不妨设a ≥b ≥c ，则A ≥B ≥C . 由排序不等式，得aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ， aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ， aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立．∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3，即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3.规律总结：1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值． [再练一题]3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值．【解】不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x.由排序不等式，乱序和≥反序和．x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1，当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立．故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1.题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题例4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．规律总结：1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．[再练一题]4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少．（四）归纳小结排序不等式—⎪⎪⎪—反序和、乱序和、顺序和—排序原理—排序原理的应用（五）随堂检测1．已知x≥y，M＝x4＋y4，N＝x3y＋y3x，则M与N的大小关系是( )A．M>N B．M≥N C．M<N D.M≤N【解析】由排序不等式，知M≥N.【答案】 B2．设a，b，c为正数，P＝a3＋b3＋c3，Q＝a2b＋b2c＋c2a，则P与Q的大小关系是( ) A．P>Q B．P≥Q C．P<Q D.P≤Q【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.【解析】由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】32 28六、板书设计七、作业布置八、教学反思。

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式二2.绝对值不等式的解法2

(3)若不等式的解集为∅，m 只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即 m≥1，m 的取值范围为[1，＋∞)．
法二：由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋ 2|≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1. (1)若不等式有解，则 m∈(－∞，1)． (2)若不等式解集为 R，则 m∈(－∞，－1)． (3)若不等式解集为∅，则 m∈[1，＋∞)．
法三：原不等式的解集就是 1<(x－2)2≤9 的解集，即
x－22≤9， x－22>1，
解得－x<11≤或xx≤>35，，
∴－1≤x<1 或 3<x≤5.
∴原不等式的解集是[－1,1)∪(3,5]．
(2)由不等式|2x＋5|>7＋x，
可得 2x＋5>7＋x 或 2x＋5<－(7＋x)，
整理得 x>2 或 x<－4.
∴原不等式的解集是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．
(3)①当 x2－2<0 且 x≠0，即－ 2<x< 2，且 x≠0 时，原不等式显然成立． ②当 x2－2>0 时，原不等式可化为 x2－2≥|x|，即|x|2－|x|－2≥0， ∴|x|≥2，∴不等式的解为|x|≥2，即 x≤－2 或 x≥2. ∴原不等式的解集为(－∞，－2]∪(－ 2，0)∪(0， 2)∪[2，＋∞)．
法三：将原不等式转化为|x＋7|－|x－2|－3≤0，构造函数 y＝|x＋7|－|x－2|－3，
即 y＝－2x＋12，2，x－＜－7≤7，x≤2， 6，x＞2.
作出函数的图象，由图可知，当 x≤－1 时，有 y≤0，即|x＋7|－|x－2|－3≤0， ∴原不等式的解集为(－∞，－1]．

高中数学新人教A版选修4-5课件：第一讲不等式和绝对值不等式1.1.1不等式的基本性质

探究四
探究一不等式的基本性质
对于考查不等式的基本性质的选择题,解答时,一是利用不等式的相关
性质,其中,特别要注意不等号变号的影响因素,如数乘、取倒数、开方、平
方等;二是对所含字母取特殊值,结合排除法去选正确的选项,这种方法一般
要注意选取的值应具有某个方面的代表性,如选取 0、正数、负数等.
J 基础知识 Z 重点难点
几乎都有类似的前提条件,但结论会根据不同的要求有所不同,因而这需要
根据本题的四个选项来进行判断.选项 A,还需有 ab>0 这个前提条件;选项
B,当 a,b 都为负数时不成立,或一正一负时可能也不成立,如 2>-3,但 22>(-3)2
1
a
b
不正确;选项 C,c2+1>0,由 a>b 就可知c2+1 > c2 +1,故正确;选项 D,当 c=0 时不
A.P≥Q
B.P>Q
C.P≤Q
1
−
a+1+ a
解析:P-Q=( a + 1 − a)-( a − a-1)=
a-1- a+1
=
D.P<Q
.
( a+1+ a)( a+ a-1)
∵a≥1,∴ a-1 < a + 1,即 a-1 − a + 1<0.
又∵ a + 1 + a>0, a + a-1>0,
a-1- a+1
格依据不等式的性质和运算法则进行运算,是解答此类问题的基础.在使用
不等式的性质中,如果是由两个变量的范围求其差的范围,一定不能直接作

第三讲柯西不等式与排序不等式章末复习方案课件(人教A选修4-5)

答案：25
7．已知a，b，x，y＞0，且 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋
by)· (bx＋ay)的最小值为________．
解析： [( ax )2 ＋ ( by )2]· bx )2 ＋ ( ay )2]≥( ax · bx ＋ [( by· ay)2＝( ab· x＋ ab· 2＝ab(x＋y)2＝ab＋ (x∈(0， ))的最小值为________． 2 1－2x 2 9 22 32 解析：y＝x＋＝＋ 1－2x 2x 1－2x
22 32 ＝( ＋ )[2x＋(1－2x)] 2x 1－2x 2 3 ≥( × 2x＋ × 1－2x)2＝25. 2x 1－2x
a 2b 3c 当且仅当＝＝时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当＝＝，即 1 2 1 5 5 x＝，y＝时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝，y＝ . 2 6
v2 w2 2 u2 ∴82＝(u2＋v2＋w2)2＝( · 3＋ · 4＋ · 5) 3 4 5
4 4 u4 v w ≤( ＋＋ )(9＋16＋25)， 9 16 25 4 4 u4 v w 64 32 ∴ ＋＋ ≥ ＝ . 9 16 25 50 25

人教版数学高二A版选修4-5素材3.3排序不等式

庖丁巧解牛知识·巧学排序不等式Sequence Inequality(又称排序原理)(1)排序原理的内容：设有数组A ：a 1≤a 2≤…≤a n ，及数组B ：b 1≤b 2≤…≤b n .称a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n 为顺序和，a 1b n +a 2b n-1+a 3b n-2+…+a n b 1为倒序和，a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 为乱序和(其中c 1,c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的一个排列).则有：顺序和≥乱序和≥倒序和，其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 或b 1=b 2=…=b n 时成立. 记忆要诀以S=∑=n i i i ba 1表示顺序和，以∑=+-=n i i n ib a S 11表示倒序和，以S 1=∑=n i i ic a 1表示乱序和（其中，c 1，c 2,…,c n 是b 1≤b 2≤…≤b n 的任一排列）,则有S ≤S 1≤S.(2)排序原理的本质含义：两实数序列同方向单调（同时增或同时减）时所得两两乘积之和最大，反方向单调（一增一减）时所得两两乘积之和最小，注意等号成立条件是其中一序列为常数序列.学法一得由排序原理，我们可以得到这样一个推论：对于实数，a 1,a 2,…,a n ,设a i1,a i2,…,a in 为其任一个排列,则有a 1a i1+a 2a i2+…+a n a in ≤a 12+a 22+…+a n 2.证明：不妨设满足a 1≤a 2≤…≤a n ,取b k =a k (k=1,2，…,n),因此b 1≤b 2≤…≤b n ,且a 1,a 2,…,a n 是b 1,b 2,…,b n 的一个排列,由排序原理知,a 11i a +a 22i a +…+a n n i a ≤a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 12+a 22+…+a n 2. (3)排序原理的意义：在解各种涉及到若干个可以比较大小的对象（如实数、线段、角度等）a 1,a 2,…,a n 的数学问题时，如果根据对称性，假定它们按一定的顺序排列起来，往往能使问题迎刃而解.这就是数学中的排序思想.联想发散根据排序原理的定义，在处理积问题时，有时我们可以通过“逐步调整”的方法，使最后的积总的最大.而且所进行操作的步骤是有限的.排序原理的思想：在解答数学问题时常常涉及到一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，不妨可以将它们按一定顺序排列起来，往往十分有助于解题，这在不等式中应用尤为广泛.典题·热题知识点一：用排序不等式证明不等式例1 在△ABC 中，h a ,h b ,h c 为边长a,b,c 上的高，求证：asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c . 思路分析：解题关键是将h a ，h b ，h c 结合已知量转化为积的形式，进而运用排序原理去求证. 证明：如下图,h a =bsinC;h b =csinA,h c =asinB,不妨设a≥b≥c;由大角对大边可知A≥B≥C.①若A≤90°，则有sinA≥sinB≥sinC,由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.②若A>90°,此时,sinA=sin(B+C),因为B+C 为锐角,故亦有sinA≥sinB≥sinC.由顺序和≥乱序和，可得asinA+bsinB+csinC≥asinB+bsinC+csinA.综上可知,asinA+bsinB+csinC≥h a +h b +h c 成立.巧妙变式用A 、B 、C 表示△ABC 的三内角的弧度数，a 、b 、c 表示其对边，求证c b a cC bB aA ++++≥3π. 证明：由对称性，不妨设a≥b≥c,于是A≥B≥C ，于是由顺序和≥乱序和，可得aA+bB+cC=aA+bB+cC,aA+bB+cC≥aB+bC+cA,aA+bB+cC≥aC+bA+cB.将上面三式相加可得3（aA+bB+cC ）≥(a+b+c)(A+B+C)=π(a+b+c).因为a+b+c>0，所以c b a cC bB aA ++++≥3π. 例2 a,b,c ∈R +，求证: a+b+c≤abc ca b bc a b a c a c b c b a 233222222222++≤+++++. 思路分析：本题所证不等式为对称式（任意互换两个字母，不等式不变），在处理该类式子中，经常对每个式子采用同样的处理方法即可（即轮换技巧）.中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a≥b≥c ，则a 2≥b 2≥c 2,c 1≥b 1≥a 1,则a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b 1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1（倒序和），同理a 2·c 1+b 2·a 1+c 2·b 1（乱序和）≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1（倒序和）.两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组a 3≥b 3≥c 3及bc 1≥ac 1≥ab 1，仿上可证第二个不等式.方法归纳证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，这些操作包括一些添项、拆项，及一定的构造,而变形的主要依据是不等式的性质.因此在学习中，应该认真把握这个定理的内容形式.知识点二：用排序不等式证明重要公式例3 证明切比雪不等式：若a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≤b 2≤…≤b n ,则∑=n i i i b a n 11≥(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11).思路分析：排序原理,运用于数列解题是常见题型,处理该类题目,应将数列进行重组,使其成为递增数列或者递减数列,再由大小关系应用排序原理求解.证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1,a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2，……a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1.将以上式子相加得：n(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )≥a 1(b 1+b 2+…+b n )+a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+a n (b 1+b 2+…+b n ), ∴∑=ni i i b a n 11≥∑=ni ia n 11)·(∑=ni i b n 11).巧妙变式a 1≤a 2≤…≤a n 且b 1≥b 2≥…≥b n ,则∑=n i i i b a n 11≤(∑=n i i a n 11)·(∑=ni i b n 11).例4 请利用排序不等式证明G n ≤A n .（一般地，对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ；几何平均G n =n n a a a 21，算术平均A n =n a a a n+++ 21）思路分析：由排序不等式可以衍生出很多的定理与性质，及一些有用的式子.证明：令b i =niG a(i=1,2, …,n)，则b 1b 2…b n =1，故可取x 1,x 2, …,x n >0，使得b 1=21x x,b 2=32x x , …,b n -1=n n x x 1-,b n =1x xn .由排序不等式有：b 1+b 2+…+b n =13221x x x x x x n ++（乱序和）≥x 1·11x +x 2·21x +…+x n ·nx 1（倒序和）=n ， ∴nn n n G a G a G a +++ 21≥n,即n a a a n++21≥G n .方法归纳对,1,121a a …，n a 1各数利用算术平均大于等于几何平均即可得，G n ≤A n .问题·探究思想方法探究问题如何形象地理解排序原理，并正确地运用它？探究过程:理解排序原理的正确性，令a 1=2,a 2=7,a 3=8,a 4=9,a 5=12,另令b 1=3,b 2=4,b 3=6,b 4=10,b 5=11,记c 1,c 2,c 3,c 4,c 5是b 1,b 2,b 3,b 4,b 5的一个重排列，来计算a 1c 1+a 2c 2+…+a 5c 5的值,至多可以得到5！=120个不同的数.易验证出a 1b 1+a 2b 2+…+a 5b 5最大,值为304;而a 1b 5+a 2b 4+…+a 5b 1最小,值为212.排序不等式应用较为广泛，它的应用技巧是将不等式两边转化为两个有序数组的积的形式，如a,b,c ∈R +时,a 3+b 3+c 3≥a 2b+b 2c+c 2a a 2·a+b 2·b+c 2·c≥a 2·b+b 2·c+c 2·a,此处依据的是顺序和≥乱序和;a c c b b a 222++≥a+b+c ⇔a 2·b 1+b 2·c 1+c 2·a 1≥a 2·a 1+b 2·b 1+c 2·c1,此处依据的是乱序和≥倒序和.在运用排序定理时，首先要特别注意“序”，应注意所给项的一个大小问题，这是排序不等式与别的不等式的一个显著区别所在.我们以前学过的一些有用的不等式，如对a>0,有a+a 1≥2，完全可以改写为这样一个形式，对a>0,有a·1+1·a 1≥a·a1+1·1，这时，运用的就是顺序和≥反序和，可谓异曲同工.探究结论:排序不等式也有广泛的应用，许多重要的不等式（如柯西不等式、平均不等式等）都可以由它推得.交流讨论探究问题平均的概念，在人们的日常生活和生产实践中是经常遇到的.除了上述谈到的算术平均数和几何平均数之外，还常会用到哪些平均数？探究过程:同学甲：设a 1,a 2, …,a n 为正数，则这n 个数的平方和的算术平均数的算术平方根为Q n =na a a n 22221+++ . Q n 称为这n 个数的平方平均数.平方平均数在概率统计及误差分析中有着重要的作用. 同学乙：而n 个正数的倒数的算术平均数的倒数为H n =n a a a n11121+++ .H n 称为这n 个数的调和平均数.调和平均数在物理学中的光学及电路分析中有着较多的应用.而记A n =na a a n ++21,G n =n n a a a 21. 同学丙：A n ,G n ,Q n ,H n 四个平均数的关系为H n ≤G n ≤A n ≤Q n .其中等号当且仅当a 1=a 2=…=a n 时成立.探究结论:这些不等式，本身也可以通过排序不等式证明出，这些重要的不等式不仅应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具.。

第三讲柯西不等式与排序不等式章末复习方案课件(人教A选修4-5)

a 2b 3c 当且仅当＝＝时取等号． 1 1 3 3 3 1 又 a＋2b＋3c＝13，∴a＝9，b＝，c＝ . 2 3 13 3 ∴ 3a＋ 2b＋ c有最大值 . 3
10．(创新预测)求实数x，y的值使得(y－1)2＋(x＋y－3)2＋
(2x＋y－6)2达到最小值．
解：由柯西不等式，得 (12＋22＋12)×[(y－1)2＋(3－x－y)2＋(2x＋y－6)2]≥[1× (y－1) ＋2× (3－x－y)＋1× (2x＋y－6)]2＝1， 1 即(y－1) ＋(x＋y－3) ＋(2x＋y－6) ≥ ， 6 y－1 3－x－y 2x＋y－6 当且仅当＝＝，即 1 2 1 5 5 x＝，y＝时，上式取等号． 2 6 5 5 故所求 x＝，y＝ . 2 6
和结论构造恰当的序列，如何排好这个序列是难点所在．
(2)注意等号成立的条件．
π aA＋bB＋cC π [例 6] 在△ABC 中，试证： ≤ ＜ . 3 2 a＋b＋c [证明] 不妨设 a≤b≤c，于是 A≤B≤C.
由排序不等式，得 aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC， aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC， aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC. 相加，得 3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)＝π(a ＋b＋c)． aA＋bB＋cC π 得 ≥ ，① 3 a＋b＋c
不妨设 1＞a1≥a2≥„≥an＞0，则 0＜2－a1≤2－a2≤„≤2－an， 1 1 1 且 ≥ ≥„≥ ＞0， 2－a1 2－a2 2－an
1 1 1 1 ∴S≥n(a1＋a2＋„＋an)2－a ＋2－a ＋„＋2－a 1 2 n
1 1 1 ＝n2－a ＋„＋2－a . 1 n 又由算术平均值不等式 ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋

高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式三排序不等式教案(含解析)新人教A版选修4_5

三排序不等式1．顺序和、乱序和、反序和设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，称a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n 为这两个实数组的顺序积之和(简称顺序和)，称a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1为这两个实数组的反序积之和(简称反序和)．称a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n 为这两个实数组的乱序积之和(简称乱序和)．2．排序不等式(排序原理)定理：(排序原理，又称为排序不等式) 设a 1≤a 2≤…≤a n ，b 1≤b 2≤…≤b n 为两组实数，c 1，c 2，…，c n 为b 1，b 2，…，b n 的任一排列，则有a 1b n ＋a 2b n －1＋…＋a n b 1≤a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n ≤a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，等号成立(反序和等于顺序和)⇔a 1＝a 2＝…＝a n 或b 1＝b 2＝…＝b n .排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和．[点睛] 排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．用排序不等式证明不等式(所证不等式)中字母大小顺序已确定[例a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥1a ＋1b ＋1c. [思路点拨] 分析题目中已明确a ≥b ≥c ，所以解答本题时可直接构造两个数组，再用排序不等式证明即可．[证明] ∵a ≥b >0，于是1a ≤1b，又c >0，从而1bc ≥1ca，同理1ca ≥1ab ，从而1bc ≥1ca ≥1ab.又由于顺序和不小于乱序和，故可得a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3＋c 5c 3a 3＋a 5a 3b 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3⎝⎛⎭⎪⎫∵a 2≥b 2≥c 2，1c 3≥1b 3≥1a 3≥c2c3＋a2a3＋b 2b3＝1c＋1a＋1b＝1a＋1b＋1c.∴原不等式成立．利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．1．已知0<α<β<γ<π2，求证：sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γ·cos α>12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．证明：∵0<α<β<γ<π2，且y＝sin x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为增函数，y＝cos x在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2为减函数，∴0<sin α<sin β<sin γ，cos α>cos β>cos γ>0.∴sin αcos β＋sin βcos γ＋sin γcos α>sin αcos α＋sin βcos β＋sin γcos γ＝12(sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ)．2．设x≥1，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.证明：∵x≥1，∴1≤x≤x2≤…≤x n.由排序原理得12＋x2＋x4＋ (x2)≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)x n.①又因为x，x2，…，x n,1为1，x，x2，…，x n的一个排列，由排序原理得1·x＋x·x2＋…＋x n－1·x n＋x n·1≥1·x n＋x·x n－1＋…＋x n－1·x＋x n·1，即x＋x3＋…＋x2n－1＋x n≥(n＋1)x n.②将①②相加得1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)x n.用排序不等式证明不等式(对所证不等式中的字母大小顺序作出假设)a12bc＋b12ca＋c12ab≥a10＋b10＋c10.[思路点拨] 本题考查排序不等式的应用，解答本题需要搞清：题目中没有给出a ，b ，c 三个数的大小顺序，且a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．[证明] 由对称性，不妨设 a ≥b ≥c ，于是a 12≥b 12≥c 12，1bc ≥1ca ≥1ab，故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab ≥a 12ab ＋b 12bc ＋c 12ca ＝a 11b ＋b 11c ＋c 11a.① 又因为a 11≥b 11≥c 11，1a ≤1b ≤1c.再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得a 11a ＋b 11b ＋c 11c ≤a 11b ＋b 11c ＋c 11a.② 所以由①②得a 12bc ＋b 12ca ＋c 12ab≥a 10＋b 10＋c 10.在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．3．设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a .由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c＝a ＋c ＋b ，即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c .4．设a 1，a 2，a 3为正数，求证：a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3. 证明：不妨设 a 1≥a 2≥a 3>0，于是 1a 1≤1a 2≤1a 3，a 2a 3≤a 3a 1≤a 1a 2，由排序不等式：顺序和≥乱序和得a 1a 2a 3＋a 3a 1a 2＋a 2a 3a 1≥1a 2·a 2a 3＋1a 3·a 3a 1＋1a 1·a 1a 2 ＝a 3＋a 1＋a 2. 即a 1a 2a 3＋a 2a 3a 1＋a 3a 1a 2≥a 1＋a 2＋a 3.1．有两组数：1,2,3与10,15,20，它们的顺序和、反序和分别是( ) A ．100,85 B ．100,80 C ．95,80D ．95,85解析：选B 由顺序和与反序和的定义可知顺序和为100，反序和为80. 2．若0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析：选A 因为0<a 1<a 2,0<b 1<b 2，所以由排序不等式可知a 1b 1＋a 2b 2最大． 3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的大小关系为( )A ．P ≥QB ．P ＝QC ．P ≤QD ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A ) ＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )] ＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c2.4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花( )A ．76元B ．20元C ．84元D ．96元解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．设正实数a 1，a 2，…，a n 的任一排列为 a 1′，a 2′，…，a n ′，则a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为________．解析：不妨设0<a 1≤a 2≤a 3…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n.其反序和为a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a n a n＝n ，则由乱序和不小于反序和知a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a n a n ′≥a 1a 1＋a 2a 2＋…＋a na n＝n ， ∴a 1a 1′＋a 2a 2′＋…＋a na n ′的最小值为n . 答案：n7．设a 1，a 2，a 3，a 4是1,2,3,4的一个排序，则a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是________．解析：a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的最大值为12＋22＋32＋42＝30，最小值为1×4＋2×3＋3×2＋4×1＝20，∴a 1＋2a 2＋3a 3＋4a 4的取值范围是[20,30]．答案：[20,30]8．设a ，b ，c 是正实数，用排序不等式证明a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.证明：由所证不等式的对称性，不妨设a ≥b ≥c >0，则lg a ≥lg b ≥lg c ，据排序不等式有：a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥b lg a ＋c lg b ＋a lg c ， a lg a ＋b lg b ＋c lg c ≥c lg a ＋a lg b ＋b lg c ，以上两式相加，再两边同加a lg a ＋b lg b ＋c lg c ，整理得 3(a lg a ＋b lg b ＋c lg c )≥(a ＋b ＋c )(lg a ＋lg b ＋lg c )，即lg(a a b b c c)≥a ＋b ＋c3·lg(abc )，故a a b b c c≥(abc )a ＋b ＋c3.9．某学校举行投篮比赛，按规则每个班级派三人参赛，第一人投m 分钟，第二人投n 分钟，第三人投p 分钟，某班级三名运动员A ，B ，C 每分钟能投进的次数分别为a ，b ，c ，已知m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，如何派三人上场能取得最佳成绩？解：∵m ＞n ＞p ，a ＞b ＞c ，且由排序不等式知顺序和为最大值， ∴最大值为ma ＋nb ＋pc ，此时分数最高， ∴三人上场顺序是A 第一，B 第二，C 第三． 10．已知0<a ≤b ≤c ，求证：c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a.证明：因为0<a ≤b ≤c ，所以0<a ＋b ≤c ＋a ≤b ＋c ，所以1a ＋b ≥1c ＋a ≥1b ＋c>0，又0<a 2≤b 2≤c 2，所以c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c是顺序和，a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a是乱序和，由排序不等式可知顺序和大于等于乱序和，即不等式c 2a ＋b ＋b 2a ＋c ＋a 2b ＋c ≥a 2a ＋b ＋b 2b ＋c ＋c 2c ＋a成立．。

人教版高中数学选修4-5 第三讲三排序不等式 (共30张PPT)教育课件

:
那
你
的
第
一
部
戏
有
没
有
胆
怯
，
像
费
里
尼
拍
第
一
部
戏
时
就
穿
戴
得
口
罗
没
有
我
和
他
不
同
。
我
是
从
底
层
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像
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我
自
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经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是数组{ci} 由小到大的情况，最大和数是顺序和，即S≤S2.

人教数学选修4-5全册精品课件：第三讲三排序不等式

排序不等式学习目标课前自主学案课堂互动讲练排序不等式学习目标1 •了解排序不等式的基本形式，会运用排怀等式分析解决一些简单问题;2.体会运用经典不等式的一般思想方法.课前自主学案C — c 2 ,…5为久，b 2 ,…，加的任一排列，称+。

3仇-2 ------ 坷01 为反序和,。

疋1+叱+心3+・・・+色5为乱序和.2＞排序原理可简记为：反序和W 乱序和W 顺序和• b02W ・・・W 叽为两组实数,讪+尬2+力3 ------------- a 』n 为顺序和/代+。

2久—11.思考感悟排序不等式除教材上的证明方法外，还有其他证明方法吗？提示：排序不等式的证明方法比较灵活，还有其他证明方法.【思路点拨】先不妨设定大小顺序，再找念, 昇P 启的大小顺序，用排序不等式证明.【解】不妨设aNb 三c.于是a+方Mc+aM 方+c.d 设最小值.用排序不等式求最值为正数，求总+土+山的a 、b 、又TaM方Me,——鼻一;——| .•〃十c c十a a十〃由排序不等式：顺序和M乱序和得：a b c b c a b+c c+a a+b"方+c c+a a+方'a丄b c c _ a丄bb+c c+a a+b"方+c c+a a+方' 两式相加得：2（命+土+命）$3・・亠+丄+厶＞丄变式训练1 设41、血、为正数, 且«1+«2+«3••方+c c+a a+方"2，当且仅当a=b=c,等号成立.・••洽+¥+士的最小值为£ 〃十c c 十a a~rb2【名师点评】本题的关键是构造常数，3=竺+土+也=丄+亠+亠+厶+亠方+c c+a a+方方+c 方+cc+a c+a a+方+上.a+方解:矽3 a^ia2的最小值. 不妨设«3>«1>^2>0,W2a2设乱序和s=也3 °3=。

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