上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6]

上海市华师大二附中 高三年级数学综合练习[6]

一、填空题 (本大题满分48分)

1、已知集合A={x|y=lg(x –3)}，B={x|y=x -5}，则A ∩B= 。

2、定义在R 上的函数f(x)是奇函数，则f(0)的值为 。

3、设函数f(x)=lgx ，则它的反函数f –1(x)= 。

4、函数y=sinxcosx 的最小正周期T= 。

5、若复数z 1＝3–i ，z 2＝7+2i ，(i 为虚数单位)，则|z 2–z 1|＝ 。

6、ΔABC 中，若∠B=30o ，AB=23，AC=3，则BC= 。

7、无穷等比数列{a n }满足：a 1=2，并且∞

→n lim (a 1+a 2+…+a n )=

3

8

，则公比q= 。 8、关于x 的方程2x =a a -+21

只有正实数的解，则a 的取值范围是 。

9、如果直线y = x+a 与圆x 2+y 2=1有公共点，则实数a 的取值范围是 。

10、袋中有相同的小球15只，其中9只涂白色，其余6个涂红色，从袋内任取2只球，则取出的2球恰

好是一白一红的概率是 。 11、函数)(n f

=n a n +2(n

∈N*)为增函数，则a 的范围为 。

12．设函数()x f 的定义域是D ，a,b D ∈任意的，有()()a+b a b ,1+ab f f f ⎛⎫

+=

⎪⎝⎭

()x f 的反函数为()x H ，已知()()a ,b H H ，则()a b H +=_____ ______。（用()()a ,b H H 表示）；

二、选择题 (本大题满分16分)

13．已知数列{a n }的通项公式是a n =2n –49 (n ∈N)，那么数列{a n }的前n 项和S n 达到最小值时的n 的值是

( )

(A) 23 (B) 24 (C) 25 (D) 26 14．在△ABC 中，若

C

c

B b A a cos cos cos =

=，则ABC ∆是( ) (A) 直角三角形 (B) 等边三角形 (C) 钝角三角形 (D) 等腰直角三角形 15．设x=sin α，且α∈]656[ππ-，，则arccosx 的取值范围是 ( )

(A) [0, π] (B) [3π,32π] (C) [0,32π] (D) [3

2π

,π]

16．设非零实常数a 、b 、c 满足a 、b 同号，b 、c 异号，则关于x 的方程a .4x +b .2x +c=0( )

(A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根

三．解答题（本大题满分86分） 17．(本题满分12分) 某中学，由于不断深化教育改革，办学质量逐年提高。2006年至2009

由所给数据描点作图（如图所示），从图中可清楚地看到这些点基本

上分布在一条直线附近，因此，用一次函数b ax y +=来模拟高考上线人数与年份的函数关系，并以此来预测2010年高考一本上线人数.如下表：

设()()(

)(

)

2

/

442/332/2

22

/

11y y y y y y

y y S -+-+-+-=，/1y 、/2y 、/3y 、/4y 表示各年实际上线人数，1y 、2y 、3y 、4y 表示模拟上线人数，当S 最小时，模拟函数最为理想。试根据所给数据，预测2010年高考

上线人数。

18．(本题满分12分)

在复数范围内解方程i

i

i z z z +-=++23)(2

(i 为虚数单位)

已知不等式x2–3x+t<0的解集为{x|1

(1)求t, m的值；

(2)若f(x)= –x2+ax+4在(–∞,1)上递增，求不等式log a (–mx2+3x+2–t)<0的解集。

20．(本题满分14分)

某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金。预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%。另外，每年新增加的奖金中，基本奖金均比上一年增加30元。那么，到哪一年底，

(1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以2006年为累计的第一年)将首次不少于750元?

(2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%?

已知S n 是正数数列{a n }的前n 项和，S 12，S 22、……、S n 2 ……，是以3为首项，以1为公差的等差数列；数列{b n }为无穷等比数列，其前四项之和为120，第二项与第四项之和为90。 (1)求a n 、b n ； (2)从数列{

n b 1

}中能否挑出唯一的无穷等比数列，使它的各项和等于26

1S 。若能的话，请写出这个数列的第一项和公比?若不能的话，请说明理由。

22．(本题满分18分)

函数f(x)=

b

ax x

(a ，b 是非零实常数)，满足f(2)=1，且方程f(x)=x 有且仅有一个解。

(1)求a 、b 的值；

(2)是否存在实常数m ，使得对定义域中任意的x ，f(x)+f(m –x)=4恒成立？为什么？ (3)在直角坐标系中，求定点A(–3,1)到此函数图象上任意一点P 的距离|AP|的最小值。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6]

参考答案

1、{x|3

2、0

3、y=10x , x ∈R

4、π

5、5

6、3

7、41

8、2

1

3518

11、2 12、()()()

()()

a b a+b 1a b H H H H H +=+⋅ 13、B 14、B 15、C 16、D

17、解：()()()()2222260422031722116-++-++-++-+=b a b a b a b a S

()()()()()222222604220317221167681024-+-+-+-+-+=a a a a b a b

当()8

107682a b -=

即38425=+b a ① 时 ，S 有最小值，其中最小值为：

M=()()()()()4

768102604220317221162

2

2

2

2

---+-+-+-a a a a a

2

2222223843840252602201721162160230-+-++++⨯-=a a a a 1158448052+-=a a

当且仅当48=a 时，M 有最小值。∴48=a 代入①得72=b 。∴312724855=+⨯=y 。

18、原方程化简为i i z z z -=++1)(2

,设z=x+yi(x 、y ∈R),代入上述方程得 x 2+y 2+2xi=1–i,所以x 2+y 2=1

且2x = –1，解得x= –

21 ，y= ±23, 所以原方程的解是z= –21

±2

3i 。

19、(1) 由条件得：⎩

⎨⎧=⋅=+t m m 13

1，所以⎩⎨⎧==22t m ，

(2)因为f(x)= –(x –2a )2+4+42a 在(–∞,1)上递增，所以2

a

≥1，a ≥2 ，log

a

(–mx 2+3x+2–t)= log

a

(–2x 2+3x)<0=log a 1，所以⎪⎩⎪⎨⎧>+-<-01320322

2

x x x x ，所以⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧

<><<21

1230x x x 或 ，所以0

S n =a 1n+

2

1

n(n –1)d ，则S n =120n+15n(n –1) =15n 2+105n=15(n 2+7n)， 令15n 2+105n ≥750，即n 2+7n –50≥0，而n 是正整数, ∴n ≥5。到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于750元。6分 (2)设新增加的奖金形成数列{b n }，由题意可知{b n }是等比数列，(或b 1=200，q=1.08，或b n =b n –1q) ，则b n =200· (1.08)n –1 ， 由题意可知a n >0.85 b n ，有120+30 (n –1)>200· (1.08)n –1·0.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数n=5， 到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85% 。 21、(1){S n }是以3为首项，以1为公差的等差数列；所以S n 2=3+(n –1)=n+2 因为a n >0，所以S n =

2+n (n ∈N )，当n ≥2时，a n =S n –S n –1=2+n –1+n ，又a 1=S 1=3，所以

a n =⎪⎩⎪⎨⎧>+-+=1

1213n n n n (n ∈N ) ，设{b n }的首项为b 1，公比为q ，则有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+30902

113

11q b b q b q b ，所以⎩⎨⎧==331q b ，所以b n =3n (n ∈N )， (2)

n b 1=(31)n ，设可以挑出一个无穷等比数列{c n }，首项为c 1=(31)p ，公比为(3

1

)k ，(p 、k ∈N )， 它的各项