武汉纺织大学 大学物理 机械波

第十三章
（在下列各题中，均给出了4个～5个答案，其中有的只有1个正确答案，有的则有几
1.在下列关于机械波的表述中，不正确的是 A.
B.在波的传播方向上，相位差为2π
C.
D.波的振幅、频率、相位与波源相同;
E.波线上离波源越远的质元，相位越落后。

（
解：选（D ）。

简谐波的频率与波源的频率相同。

对于平面简谐波，我们假设了介质是均匀、无吸收的，那么各点的振幅将保持不变，且与波源的振幅相同，但对于简谐球面波，其振幅与离开波源的距离成反比。

波的相位与位置有关，且总是落后于波源的相位。

2.已知一平面简谐波的波函数为y =A cos （at -bx ）(a 、b 为正值)
A.波的频率为a ；
B.波的传播速度为
a
b
C.波长为
πb D.周期为
2π
a
解：选（D ）。

沿Ox 轴正方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：
cos 2π()λ
t x
y A T =-。

将题中给出的波函数化为cos 2π(
)2π2πt x y A a b =-，与标准形式比较得：周期2πT a
=，波长2πλ=
b ，波速λ=a u T b =，频率1==2π
a
T ν。

3.
A. 波的能量2
2
1kA E E E P K =
+=
B. 机械波在介质中传播时，任一质元的K E 和P E 均随时间t 变化，但相位相差
π
2
C. 由于K E 和P E 同时为零，又同时达到最大值，表明能量守恒定律在波动中不成立；
D.K E 和P E 同相位，表明波的传播是能量传播的过程。

（
解：选（D ）。

在有波传播的介质中，任一体积元中的动能和势能随时间变化的规律完全相同，也就是说，当该体积元内的动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。

但这并不表明能量守恒定律本身不成立，因能量守恒定律只适用于封闭（孤立）系统，而该体积元是开放系统，它不断从后面的介质中获得能量，又不断地把能量传给前面的介质。

这与单个质点的简谐振动不同，当单个质点做简谐振动时，其动能最大时势能为零，势能最大时动能为零，两者之和为2
2
1kA E E E P K =
+=，机械能守恒。

4.传播速度为100m/s ，频率为50Hz 的平面简谐波，在波线上相距为0.5m
的两点之间
A.
π
3
； B.
π6； C.π2； D.
π
4。

（
解：选（C ）。

波长m 250
100
===νλu ，相位
差x ∆=∆λϕπ22
π
5.02π2=⨯=。

5.一列平面余弦波t 时刻的波形如图13-1所示，则该时刻能量为最大值的介质质元的位置是：
A.e c a ,, ；
B.f d b ,, ；
C.e a , ；
D.c
解：选（B ）。

由图可知，该时刻b 、d 、f 三个质元位移为零，说明此时它们正通过平衡位置，因此动能最大，根据波动过程中能量传播的规律，它们的势能也最大。

6.一频率为500Hz 的平面简谐波，波速为360m/s ，则同一波线上相位差为
3
π
的两点间
A. 0.24m ；
B.0.48m ；
C.0.36m ；
D.0.12m 。

（
图13-1
解：选（D ）。

波长m 72.0500360==
=
ν
λu
，又因相位差x ∆=∆λϕπ2，所以2π
x λ
φ∆=∆ 0.72π
0.122π3
=
⨯=m 。

7.一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，其振幅A =0.01m ，频率ν=550Hz ，波速u =330m/s 。

若t =0
A.y=0.01cos ［2π（550t+1.67x ）+π
B.y=0.01cos ［2π（550t-1.67x ）+π
C.y=0.01cos ［2π（550t+1.67x ）-π/2
D.y=0.01cos ［2π（550t-1.67x ）+3π/2
（
解：选（A ）。

沿Ox 轴负方向传播的平面简谐波的波函数具有标准形式：
cos 2π(+)+λt x y A T ϕ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，其中11=s 550T ν=，3303m 5505u λν===，
由旋转矢量法易知，=πϕ，故选A 。

8.在下列关于波的干涉的表述中，正确的是： A.
B.两列相干波干涉的结果，使介质中各质元不是“加强”，就是“减弱”（即极大或极小）；
C.干涉加强意味着合振幅A 有极大值，干涉减弱意味着合振幅A
D.干涉加强点意味着该质元的y
E.两列相干波形成干涉，某时刻介质中P 点处的质元距平衡位置为y ，且m i n m a
x A y A <<，
表明P 点一定既不是加强点，也不是减弱点。

（
解：选（C ）。

波的干涉是指频率相同、振动方向平行、相位相同或相位差恒定的两列波相遇时，使某些地方振动始终加强、某些地方振动始终减弱的现象。

干涉加强的点合振幅有极大值max A ，干涉减弱的点合振幅有极小值min A ，其它点的合振幅则在极大值和极小值之间。

9.一列火车驶过火车站时，站台上的观察者测得火车汽笛声的频率由1200Hz 变为1000Hz ，空气中的声速为330m/s
A.30m/s ；
B.55m/s ；
C.60m/s
D.90m/s
解：选（A ）。

注意，题中给出的两个频率都是观察者接收到的频率o ν，不是波源（火车）的频率s ν。

由多普勒效应的频率公式知，观察者接收到的频率
=
o
o s s
u u υννυ± 上式中，假若观察者接近波源，o υ前取正号，反之取负号（本题观察者的速度为0o υ=）；波源向着观察者运动时，s υ前取负号，远离时取正号，因此有
3301200=
330s s νυ- 330
1000=330+s s
νυ
消去s ν，得到30m/s s υ=。

10.
A.波的反射和折射；
B.波的干涉；
C.
D.
波的强度不同。

解：选（C ）。

1.已知波源在坐标原点（x =0）的平面简谐波的波函数为y =A cos （Bt -Cx ），其中A 、B 、C 为正值常数，则此波的振幅为 A ，波速为/B C ，周期为2πB ，波长为2πC 。

在任意时刻，在波传播方向上相距为D 的两点的相位差为
DC
解：参见本章选择题2。

此题不需要明确哪点相位超前或落后，故相位差
2π
Δ=
x DC ϕλ
∆=。

若将此题改成，求在波传播方向上坐标为M x 和N x 的两点的相位差，
则应写成MN M N ϕϕϕ∆=-2π
()M N x x λ
=-
-，注意下标M 、N 的顺序不能颠倒。

2.波源位于x =-1m 处，其振动方程为y =0.05cos （2πt+π/3）m ，此波源产生的波无吸收地分别向X 轴正、负方向传播，波速u =2m/s 。

则向X 轴正向传播的波动方程为：y 1=
1π0.05cos 2π23x t ⎡+⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，向X 轴负向传播的波动方程为y 2=1π0.05cos 2π+23x t ⎡+⎤
⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣
⎦
解：仅分析波沿X 轴正方向传播时的情况（如图）。

所谓“求波动方程”其实就是求任意质点在任意时刻的位移，其理论依据是：（1）波的传播是状态的传播（这里的“状态”是指质点振动的位移、速度、加速度等）；（2）状态的传播需要时间。

为此，任取坐标为x 的一点P ，显然， P 点在t 时刻的位移，应该等于波源处（M 点）在1
x t u
+-时刻的位移，于是有11π0.05cos 2π23x y t ⎡+⎤
⎛⎫=-
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
m 。

3.一沿x 轴正方向传播的平面简谐波，波速为u =10m/s ，频率为ν=5Hz ，振幅A =0.02m 。

在t =0时，位于坐标原点处的质元的位移为y 0=0.01m ，速度d 0d y
t
>，则此列波的波动方程为：y =π0.02cos 10π-
-m 103x t ⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
位于x 1=4m 和x 2=4.1m 处两质元的相位差：Δφ=0.1π。

解：把坐标原点作为参考点，设参考点的振动方程为cos()y A t ωϕ=+，其中A =0.02m ，
=2π=10πωνrad/s ，如图，由旋转矢量法求得初相π
=-3ϕ，因此π0.02cos(10π-)m 3
y t =。

在x 轴正向任取一点P,P 点在t 时刻的位移等于参考点在-
x
t u
时刻的位移，因此，波动方程为π0.02cos 10π--m 103x y t ⎡⎤
⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦。

波长10
=
2m 5u
λν=
=，
位于x 1=4m 和x 2=4.1m 处两质元的相位差：2π2π
=0.1=0.1π2
x φλ∆=∆⨯。

4.频率为500Hz 的波，其传播速度为350m/s ，相位差为
2π3的两点间距为7
30
m
解：3507=m 50010u
λν
=
=,由2πx φλ
∆=∆可求出7
30x ∆=m 。

M O P u
X
Y -1 x
5.一列波由波疏介质向波密介质传播，在两介质的分界面上反射，则反射波的相位将 损失π，这个现象称为 半波损失
解：(略)
6.已知驻波方程为y =0.04cos20x cos800t （SI ），则形成该驻波的两列行波的振幅A = 0.02 m ，波速u = 40 m/s ，相邻两波节的距离为Δx =π20 m
解：驻波是由振幅、频率和传播速度都相同的两列相干波，在同一直线上沿着相反方向传播时叠加形成的。

若设这两列相干波的振幅均为A 、频率均为ν、波长均为λ、且坐标原点处的初位相都为零，则驻波方程可以写成
2π
2cos
cos 2πy A x t νλ
=
与题目中给出的驻波方程比较，可以求得0.02m A =，π=m 10λ，400
=Hz π
ν。

从而，波速40m/s u λν==。

由于相邻两波节之间的距离为半个波长，所以π
m 220
x λ∆==。

7.设入射波的表达式为y 1=Acos2π（νt+x /λ），波在x =0处发生反射，若反射点为固定端，则反射波的表达式为y 2=cos 2π-
+πx A t u ν⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；若反射点为自由端，则反射波的表达式为y 3=cos 2π-
x A t u ν⎡⎤
⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

解：入射波在x =0处引起振动的方程为cos 2πy A t ν=。

若反射点为固定端，则应计
入半波损失，于是反射波在x =0处引起振动的方程为cos 2π+πy A t ν=（），因此，反射波
的表达式（亦称反射波的波动方程）为2cos 2π-+πx y A t u ν⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭
⎣⎦
（参见本章填空题第2
题解答）。

若反射点为自由端，则不存在半波损失，此时反射波的表达式为
3cos 2π-x y A t u ν⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦。

8.一列平面简谐波在介质中传播，波速u =1.0×103m/s ，振幅为A =1.0×10-4m ，频率为
ν=1.0×103Hz ，介质密度为ρ=8.0×102kg/m 3，则该波的能流密度为I =242
=1.6π10J/m s ⨯⋅；在60s 内垂直通过面积为S=4.0×104m 2的总能量为W=2
10
3.84π10⨯
J
解：波的能流密度
222211
(2π)22I A u A u ρωρν=
= 232-42318.010(2π 1.010) 1.0102
=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯（1.010） 242=1.6π10J/m s ⨯⋅
总能量W IS t =∆244=1.6π10 4.01060⨯⨯⨯⨯210
=3.84π10J ⨯
9.一个功率为W 的波源位于O 点，以O 为球心作两个同心球面，它们的半径分别为r 1
和r 2，则通过这两个球面的能流密度之比为I 1：I 2=22
21:r r 。

若在两球面上分别取面积ΔS 1
和ΔS 2，则通过它们的平均能流分别为1P =
1
214πW S r ∆和2P =22
24πW
S r ∆
解：设介质不吸收能量，则在t ∆时间内，通过半径为1r 和2r 的两同心球面的能量必相
等，即2211224π4πI r t I r t ∆=∆，得22
1221:I I r r =:。

若在两球面上分别取面积ΔS 1和ΔS 2，则通过它们的平均能流分别为：
1111214πW P I S S r =⋅∆=
∆, 222
22
24πW
P I S S r =⋅∆=∆
10.如图13-2所示，可以是某时刻的波形图，图中波长为λ，就驻波而言，a 、b 两点间的相位差为π ；
就行波而言，a 、b 两点间的相位差为
3π
2
解：如果图13-2表示驻波的波形图，那么当a 点到达正向位移最大处时，b 点恰在负方向位移最大处；
反过来，a 点到达负向位移最大处时，则b 点正好在正向位移最大处，也就是说，它们始终“唱反调”，换句话说，a 、b 两点的振动状态反相，其相位差为π。

若该图表示行波的波形
图
13-2
图，则a、b两点间的相位差为
2π2π33π
==
42
x
λ
ϕ
λλ
∆=∆⨯。