相对论动力学

p 2 c 2 = ( E k m 2 ) 2 - m c 2 c 4 = E k ( E k 2 m 2 )
碰撞后：E= p2c2M2c4 应用动量、能量守恒：p=p,E=E
得到资用能（ Ek>>mc2 ）： M c 2 =2 m 2 (E k c 2 m 2 ) c 2 m 2 E kc
v
在S系中定义
px
x
p
y
pz
=
m
0
d dt
y z
p4
ict
pp4=m0
dr
dtict
m0
dr
r1(t1)
r2(t2)
S 参考系
mp 0=：m静0 d质dtr量：，三dt维：动原量时
低速牛顿动量
— 动量的四维矢量形式
【思考】四维动量还有其它形式吗？
相对论粒子动力学方程的形式：
反应后的不变量在粒子系计算。
（1） 靶 A2 静止情况
反应前（实验室系）： P1 =(0,0, p1,iE1/c)
P2 =(0,0,0,im)c
反应后（粒子系）： P1 = (0,0,0, imc )
P2 = (0,0,0, imc )
不变量：
PB = (0,0,0, iMc)
p 1 2 - E 1c m 2 = - ( c 2 m M ) 2 c 2
（反应前）
（反应后）
E1 2=p1 2c2m 2c4
靶静止，为产生新粒子加速粒子的最小能量为
E1=(2m 242 m mM M 2)c2M 2m 2c2
(2) 对撞情况
反应前（实验室系）：
P1
=(p,iE/c)
P2 =(-p,iE/c)
反应后（粒子系）： P1 = (0,0,0, imc )
P2 = (0,0,0, imc )
一、四维力ff4和=三ddt维pp力4的= 关0 dd系t ipEc
=
F
0
i c
v
F
0=1 1-v2/c2（粒子运动）
四维力用三维力表示为
四维力
f
f4
=
F
0
i
c
vF
三维力
二、相对论粒子动力学方程
力用三维力表示，动力学方程为
FivF c
=ddt
p iE c
(m0不变）
代入
p4 =icm
，得
d
p4
=
i
dE c
，积分得
p4
=
iE c
K
选择能量零点K=0，即得
p4
=
iE c
。
结论：协变性要求粒子的动量表达成四维动量
或写成
px mvx mvx
P
=
p
y
=
mv
y
=
mv
y
pz
p4
mvz
icm
mvz iE c
P=pp4=imcm v=imE vc
相对论动力学的研究对象主要是不受外界影 响的粒子体系。动力学方程通常表现为体系的 四维动量守恒的形式。
以下述过程为例
A B CD
粒子的四维动量为
T
P=px
py
pz
iE c
,=A,B,C,D
体系的四维动量守恒是指：在同一参考系中
PAPB=PCPD
或者表示成总动量和总能量守恒
pApB=p CpD
1、实物粒子(m0 0)的速 度不能超过真空中的光速。 m0
v
m
2、静质量为零粒子的速度 可以等于真空中的光速。
S 参考系
1 1- v 2 c 2
实验数据：
质量随速率的变化
§9 质能关系 能量—动量关系
p p4
=
mv icm
下面证明 p4=iE c ，E为粒子总能量。
证明：考虑不变量 p 2 p 4 2= 0 p 4 2=(ic0m )2=-m0 2c2
方程就一定协变。
四维矢量
fx
f f
y z
=
d
dt
px
p p
y z
四维矢量
f 4 原时 p 4
“力等于四维动量对原时微商”
因为 dt 为不变量，四维动量的微分仍为四
维矢量，所以方程右侧是四维矢量 —保证协变
【思考】方程还有其它形式吗？
下面寻找四维动量的具体形式。
三、四维动量的形式
其中
fx
px
f f
y z
=
d
dt
p p
y z
f 4
p 4
px
x
p
y
pz
=
m
0
d
dt
y z
p
4
ict
由此可得：质量的概念、质能关系……
四、质量概念的形成
pp4=m0ddtirct
=0m0ddt
dt＝ dt r
ict =
/ 0
0m0vic
=
或
F
=
dp dt
vF=ddEt =ddEtk
【思上考式】为这动里能的定F 理=（dpmd0t保，持与不牛变顿的方情程况的）区。别？
三、三维力与加速度的关系
F=FnFt
Ft
Fn = m an =
m0 1- v 2
c2 an
at v m
aF
Ft
=
m0 (1-v2 c2)3
2
at
an Fn
1、力和加速度不同向；
mv icm
p =0m 0v =m v （S参考系）
m=0m0
应该理解为S系中测量的粒子质量。当粒子低速 运动时，0 1，m m0 .
质量取成 m = 0 m0 的形式是协变性的要求。
粒子的质量与粒子相对测量质量的参考系的
运动速率v 有关
m=
m0
1-v2 c2
其中，m 0 代表粒子的静质量。
2、对撞情况
m Ek Ek m
M
资用能：M c2=2E k2 m 2 c 2E k
3、对撞比靶静止更有效
2Ek = 2Ek 1 2m2cEk m2c
欧洲核子中心（CERN）用270Gev质子轰击
静止质子（mc2 1Gev）,资用能仅为：
2m2E c k=2 1 27 G 0 e2V G 3 eV
若粒子受合外力
F=0，则四维动量
随时间变化 —四维动量守恒：
p p4
不
动量 p和能量 E守恒
【思考】对于多粒子体系上述守恒定律成立吗？
实验表明： 对于不受外界影响的多粒子体系所经历的过 程(包括不能用力的概念描述的过程，例如衰 变、裂变、产生新粒子等)，体系的四维动量 守恒。或者说，体系的总动量和总能量守恒。
【例】两个静质量为m的粒子A1和A2碰撞产生 静质量为 M（>>m ）的新粒子B的反应为
A1+ A2 A1+ A2+ B 当所有产物粒子相对静止时，用于加速粒子的 能量最小。求加速粒子的最小能量
(1) 靶 A2静止情况； (2) 对撞情况。 解. 复杂反应，用反应前后不变量相等计算。
反应前的不变量在实验室系计算，
当然，建立的动力学方程是否正 确，还要通过实验结果来检验。
相对论粒子的动力学方程，应该 如何建立呢？
§8 四维动量 质量 一、对方程的基本要求 1、速度v << c 时返回牛顿方程 方程基本形式：
力矢量＝动量矢量的时间变化率
2、满足爱因斯坦相对性原理 在不同惯性系中方程形式相同。 方程在洛仑兹变换下形式不变，具有洛仑
兹变换协变对称性。
S 参考系和粒子参考系：
v
m0
dr
r1(t1)
r2(t2)
S参考系
静质量 m0是不变量
测时 dt = t2 - t1
m0
粒子参考系
原时是不变量
dt =t 2- t 1
dt
=
dt 0
0=1 1-v2 c2
（粒子运动引起）
二、方程的形式 在S 系中，假定方程为
fx
px
f f
（S系） （粒子系）
2p p 2 d d p tp 4 2 2= p- 4d m dpt0 2 4c =20
其中F = ddd pt4p =d -tp代14 p表dd三pt =维-力p14，mv是F三 维动量对测
时的微商。因E为粒子总能量，则
vF=dEdt
d p4 dt
=
-
m p4
dE dt
v2 =1-1m＋E0ck2 -2－c2
实验结果：电子极限速度等于真空中的光速
四、动量和能量的相对论变换 由四维动量的洛仑兹变换，得
px
=px
-c
E
py = p y
pz = pz
E = E - cpx
=1 1-u2/c2（参考系相对运动）
— 在变换中，动量和能量是相联系的。
§10 相对论粒子动力学方程
y z
=
d dt
p p
y z
f பைடு நூலகம்
p 4
其中 dt 为原时，[px,py,pz,p4]T代表动量矢量，
[fx, fy, fz, f4]T代表力矢量。 形式上满足
力矢量＝动量矢量的时间变化率
如何保证具有洛仑兹变换协变对称性？
只要 [px,py,pz,p4]T是四维矢量—四维动量，
1982年改为用270Gev质子-反质子对撞，资用 能增大到
Eav2Ek =54G 0eV
相当于静止靶情况的23倍，有利于产生新粒子。 因此，在这台对撞机上发现了W和Z0粒子，
证实了弱电统一理论。(C.Rubbia, S.van der Meer, 1984 诺贝尔物理学奖)
欧洲核子中心 CERN
A1+ A2 B 设加速粒子的动能为Ek（>>mc2，粒子的静能）
(1) 求当靶静止时的资用能； (2) 求对撞时的资用能； (3) 哪种碰撞更有效？
解. 简单反应，应用动量、能量守恒计算
1、靶静止情况 m Ek m
复合粒子
M Ek
Eav=Mc2—资用能，E k —浪费掉了。 碰撞前：E=Ek2m2c
2、速率越大，增大速率越困难。
3、法向关系与牛顿力学类似。
证明：
F
=
d
m
v
=
m
d
v
d
m
v
dt
dt dt
=
m
(a n
at
)
dm dt
v
=
m
(
an
dv dt
vˆ )
d dt
m 0 v vˆ 1 - v 2 c 2
=
m
an
(1 -
v
m
2
0
c2
)3
2
at
其中a n 和 a t 分别代表法向和切向加速度。
PB = (0,0,0, iMc )
- 2 E c 2= - (2 m M )2 c 2
对撞情况加速粒子最小能量为
E=(2m M )c22M 22 c
三维力与加速度的关系还可表示成
F =mavcF2 v
证明：
F
=
d m
v
=
m
d t dv
dm
v
dt dt
=ma
1
dE
v,
E = mc 2
=
m
a
c v
2
Fdvt
,
c2
dE dt
= v F
§11 四维动量守恒和不变量的应用
一、四维动量守恒
FivcF=ddt pp4=ddt
p icE
相对论动力学
狭义相对论（二） 相对论动力学
陈信义 编 2005.1
目录
§8 四维动量 质量 §9 质能关系 能量—动量关系 §10 相对论粒子动力学方程 §11四维动量守恒和不变量的应用 §12 力的相对论变换 §13 广义相对论简介
任何物理体系的动力学方程都是 基本假定，只能通过实验事实和更 普遍的假定来建立或猜想。
一、质能关系 由 p4=ic= m iEc得质能关系
E=m2c
一定的能量相当于一定的质量，只差因子c2.
称 m0c2 为粒子的静能量。 粒子的静质量一般用静能量表示
电子 0.510 999 06 Mev/c2 质子 938.272 31 Mev/c2 中子 939.565 63 Mev/c2 氘核 1875.613 39 Mev/c2
重核裂变 X YZ
质量亏损
m 0 =m X 0 -(m Y0 m Z 0)
裂变能
E=m0c2
【例】氘核的结合能
+ m nc 2 m pc 2
mn = 939.56563M ev/ c2 mp = 938.27231M ev/ c2 md = 1875.61339M ev/ c2
mdc2
0
-EB
结合能
p
=
E c
=
h
c
,
m
=
h c2
其中 代表光子的频率。
【思考】带电粒子的速度能达到光速吗？
三、相对论动能
Ek =mc2 -m0c2
=m0c2
1 -1 1-v2 c2
为与实验比较，改写成
v2 =1-1mE0ck2 -2c2
对于v c情况
Ek
1 2
m0v
2
.
测时间 t
Ek =eV v =8.4 t 作 v2 ~ Ek 曲线 贝托齐电子极限速率实验（1962）
EAEB=ECED
二、不变量的应用 由体系的四维动量守恒可知：
反应前后体系四维动量的不变量相等，即 体系四维动量的四个分量的平方和相等。
因为不变量与参考系无关，而四维动量守 恒要涉及参考系的变换，所以对于复杂的反 应过程，用不变量要比用四维动量守恒更简 单。
【例】高能粒子碰撞中的资用能：可以用于 粒子转化的能量。对于
宇宙诞生后的百万分之几秒内，曾存在一种 “夸克-胶子等离子体”物质。在夸克-胶子等 离子体中，夸克和胶子等基本粒子处于自由状 态。它们随宇宙的冷却结合成质子和中子等亚 原子粒子，后者又形成原子核，最终产生原子 以及今天的宇宙万物。
美国布鲁克海文国家实验室（BNL）通过金 原子核对撞，试图获得夸克-胶子等离子体， 并宣布找到了这种物质存在的新证据。
E B =m n m p- m dc 2= 2 .2M 3 ev
二、能量—动量关系
P=ipcm =ipEc
由不变量 p2-Ec22 =-m02c2，得能量—动量关系：
（S系）（粒子系）
E2=p2c2m 0 2c4
pc
E
m0 c2
1、静质量为零的粒子以光速运动
E2 =p2c20 E=pc=mv=m c 2c v=c 2、光子的动量和质量