函数图象的对称性
函数与图像的对称性
函数与图像的对称性在数学中，函数与图像之间存在着一种特殊的关系，那就是对称性。
对称性是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的性质和图像的形态。
一、关于对称轴的对称性首先，我们来讨论一下函数关于对称轴的对称性。
对称轴是指函数图像上的一条直线，当函数关于该直线对称时，我们称之为关于对称轴的对称性。
以二次函数为例，二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c。
当二次函数的二次项系数a为正数时，函数图像开口向上，此时函数关于y轴对称；当a为负数时，函数图像开口向下，此时函数关于x轴对称。
对于一般的函数，我们可以通过观察函数的表达式来判断其是否具有关于对称轴的对称性。
例如，对于函数y=sin(x)，我们知道正弦函数的图像关于原点对称。
同样地，对于函数y=cos(x)，我们知道余弦函数的图像关于y轴对称。
二、关于原点的对称性除了对称轴的对称性，函数还可以具有关于原点的对称性。
当函数图像关于原点对称时，我们称之为关于原点的对称性。
对于奇函数来说，它具有关于原点的对称性。
奇函数的特点是f(-x)=-f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值也取相反数。
例如，函数y=x^3就是一个奇函数，它的图像关于原点对称。
相比之下，偶函数具有关于y轴的对称性。
偶函数的特点是f(-x)=f(x)，也就是说，当x取相反数时，函数值保持不变。
例如，函数y=x^2就是一个偶函数，它的图像关于y轴对称。
三、关于倒影的对称性除了对称轴和原点的对称性，函数还可以具有关于倒影的对称性。
当函数图像关于某一直线倒影时，我们称之为关于倒影的对称性。
以指数函数为例，指数函数的一般形式为y=a^x。
当指数函数的底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
然而，当底数a小于1时，函数图像是递减的，并且关于y轴有关于倒影的对称性。
此外，对数函数也具有关于倒影的对称性。
对数函数的一般形式为y=log_a(x)，当底数a大于1时，函数图像是递增的，没有关于倒影的对称性。
函数图像的对称性与单调性的研究与应用
函数图像的对称性与单调性的研究与应用函数是数学中的重要概念，用于描述变量之间的关系。
而函数图像的对称性与单调性是研究函数特性的重要内容。
本文将从理论和实际应用的角度，探讨函数图像的对称性与单调性。
一、对称性的研究与应用1.1 点对称性在函数图像中，如果存在一点P，对于图像上任意一点Q，都有关于点P对称的点R，那么称函数图像具有点对称性。
点对称轴就是过点P的垂直线。
点对称性在数学中有广泛的应用，如求解方程、证明等。
例如，对于函数y = x^2，其图像关于y轴对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值相等，这种对称性可以简化计算。
1.2 奇偶对称性函数图像的奇偶性是指函数关于y轴或原点的对称性。
如果函数满足f(-x) =f(x)，则称其为偶函数；如果满足f(-x) = -f(x)，则称其为奇函数。
奇偶性在函数的积分计算、函数的性质证明等方面有重要应用。
例如，函数y = x^3是一个奇函数，其图像关于原点对称，这意味着当x取正值和负值时，函数值的正负相等。
二、单调性的研究与应用2.1 单调递增性函数图像的单调递增性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≤ f(x2)。
单调递增性在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = x^2，在定义域上是单调递增的，这意味着当x1 < x2时，x1^2 ≤ x2^2。
2.2 单调递减性函数图像的单调递减性是指函数在定义域上的任意两个点，若x1 < x2，则有f(x1) ≥ f(x2)。
单调递减性也在优化问题、最值求解等方面有应用。
例如，对于函数y = -x^2，在定义域上是单调递减的，这意味着当x1 < x2时，-x1^2 ≥ -x2^2。
三、对称性与单调性的应用举例3.1 函数图像的变换对称性与单调性的研究可以帮助我们理解函数图像的变换规律。
例如，对于函数y = x^2，我们知道它关于y轴对称，那么当我们对其进行平移、缩放等变换时，可以利用对称性来简化计算。
函数图象的对称性
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
(1)若x a和x b是函数f ( x)的对称轴，则函数的周 期为T ?
f (2a x) f ( x)
f (2b x) f ( x) T 2(b a)
f (2a x) f (2b x)
(2)若(a,0)和(b,0)是函数f ( x)的对称中心，则函数的 周期为T ?
2 、函数图像关于点 (a, 0) 对称的定义：
奇函数f (0 x) f (0 x) 图像关于点 0,0)对称 (
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到(a,0)距离相等的点的函数值 互为相反数 sin( x) sin( x)
函
数
——函数图像的对称性
1、函数图像关于直线 x=a 对称的定义：
特例：偶函数 (0 x) f (0 x) 图像关于直线 0对称 f x
f (a x) f (a x) 或f (2a x) f ( x)
到直线x a距离相等的点的函数值 相等 cos( x) cos( x)
“双对称函数一定是周期函数”
3、函数的周期性、图像对称性的相互关系：
T (3) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称轴为 x a, 则x) f ( x)
f (2a x) f ( x)
2a T T x a 2 2
f (2a x) f (T x)
T (4) 若函数 f ( x)周期为 T , 对称中心 (a,0), 则(a ,0)是对称中心 2
《天府高考》 24 P (3) y f ( x 2)是偶函数, y f ( x)关于x 1对称
函数对称性公式大总结
函数对称性公式大总结1. 引言在数学中，函数对称性是一个重要的概念，它描述了函数在某种变换下保持不变的性质。
函数对称性有多种形式，如轴对称性、中心对称性等。
本文将对函数对称性的一些常见公式进行总结，并提供示例说明。
2. 轴对称函数公式2.1 轴对称性的定义轴对称是指函数图像对于某一条直线对称，即函数图像在这条直线两侧对称。
设函数为 f(x)，对称轴为 x = a，则函数 f(x) 在对称轴两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
2.2 轴对称函数公式•偶函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = f(x)，则称 f(x) 为偶函数。
•奇函数：若函数 f(x) 满足 f(-x) = -f(x)，则称 f(x) 为奇函数。
偶函数和奇函数都具有轴对称性，其中以偶函数更为常见。
3. 中心对称函数公式3.1 中心对称性的定义中心对称是指函数图像对于某一点对称，即函数图像关于这一点对称。
设函数为 f(x)，对称中心为 (a, b)，则函数 f(x) 在对称中心两侧的函数值相等，即 f(a + h) = f(a - h)。
3.2 中心对称函数公式•对数函数：对数函数 y = loga(x) 关于 y 轴对称，其中 a > 0，且a ≠ 1。
•幂函数：幂函数 y = ax^n 关于 y 轴对称，其中a ≠ 0，且 n 为任意整数。
•正弦函数和余弦函数：正弦函数 y = sin(x) 和余弦函数 y = cos(x) 关于原点对称。
4. 复合对称函数公式4.1 复合对称性的定义复合对称是指函数图像同时具有轴对称性和中心对称性。
函数 f(x) 在具有轴对称性的直线上的每一个点，同时也是具有中心对称性的点。
4.2 复合对称函数公式•奇次幂函数：奇次幂函数y = ax^(2n+1) 具有轴对称性和中心对称性，其中a ≠ 0，n 为任意整数。
5. 示例说明5.1 示例 1：偶函数考虑函数 f(x) = x^2，我们可以看到该函数关于 y 轴对称，即 f(x) = f(-x)。
函数图像分析：分析函数图像
函数图像分析：分析函数图像函数图像是数学中一个重要的概念，通过分析函数图像，我们可以深入理解函数的性质和特点。
本文将从图像的对称性、增减性、极值点、拐点以及特殊函数的图像等角度，进行函数图像的详细分析。
一、图像的对称性函数图像的对称性可以帮助我们更好地理解函数的性质。
主要有以下几种对称性：1. 奇对称：函数图像关于坐标原点对称。
例如，y = sin(x)函数的图像就是奇对称的，即在原点处对称。
2. 偶对称：函数图像关于y轴对称。
例如，y = x^2函数的图像是偶对称的，即在y轴上对称。
3. 平移对称：函数图像在某一平移变换下保持不变。
例如，y = 2^x 中的图像在平移变换2单位向上后保持不变。
二、图像的增减性通过观察函数图像的增减性，我们可以了解函数在不同区间内的增减趋势。
主要有以下几种情况：1. 递增：函数图像在某一区间上单调递增。
例如，y = x函数在整个定义域上都是递增的。
2. 递减：函数图像在某一区间上单调递减。
例如，y = -x函数在整个定义域上都是递减的。
3. 局部极值点：函数图像在某一区间上有极大值或极小值。
通过求导可确定函数图像的极值点。
三、图像的极值点函数图像的极值点反映了函数的最值情况。
可以通过求导数的方式来确定函数图像的极值点。
1. 极大值点：函数图像在该点附近局部最大。
求导数后，导数为0，且由正变负。
2. 极小值点：函数图像在该点附近局部最小。
求导数后，导数为0，且由负变正。
四、图像的拐点函数图像的拐点是指函数曲线的凹凸性发生改变的点。
可以通过求导数的二阶导数来确定函数图像的拐点。
1. 凹点：函数图像在该点附近向下凹陷。
求二阶导数后，导数大于0。
2. 凸点：函数图像在该点附近向上凸起。
求二阶导数后，导数小于0。
五、特殊函数的图像1. 幂函数：幂函数的图像可以分为几种情况。
当指数n为正数时，幂函数图像随着自变量的增大而增大；当指数n为负数时，幂函数图像随着自变量的增大而减小。
函数的对称性与奇偶性的判断方法
函数的对称性与奇偶性的判断方法在数学中，对称性和奇偶性是研究函数性质的重要概念。
判断函数的对称性与奇偶性有助于我们深入理解函数的特点和行为。
本文将介绍几种常见的方法来判断函数的对称性与奇偶性。
一、函数的对称性1. 关于y轴对称如果函数在y轴两侧的取值相同，即f(x) = f(-x)。
这意味着函数图像关于y轴对称。
为了判断该对称性，我们可以通过将x替换为-x，然后观察方程两边是否相等。
2. 关于x轴对称如果函数在x轴上和下两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)。
这表示函数图像关于x轴对称。
同样，我们可以通过将x替换为-x来验证该对称性。
3. 关于原点对称如果函数在原点两侧的取值相同，即f(x) = -f(-x)，这说明函数图像关于原点对称。
同样地，我们可以通过将x替换为-x来检验该对称性。
二、函数的奇偶性1. 关于y轴对称的奇函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = -f(x)，则函数是奇函数。
换句话说，当x取相反数时，函数的函数值也取相反数。
2. 关于y轴对称的偶函数如果函数关于y轴对称，并且满足f(-x) = f(x)，则函数是偶函数。
这表示当x取相反数时，函数的函数值保持不变。
3. 奇偶函数的性质奇函数和偶函数有一些特殊的性质。
对于奇函数，它的反函数也是奇函数；对于偶函数，它的反函数也是偶函数。
此外，奇函数和奇函数的乘积是偶函数，偶函数和偶函数的乘积是偶函数，奇函数和偶函数的乘积是奇函数。
三、判断方法示例下面通过几个简单的例子来说明判断函数对称性和奇偶性的方法。
例1：判断函数f(x) = 2x^4 - 3x^2是否关于y轴对称和奇偶性。
由于f(x)是一个多项式函数，它的所有指数都是非负整数，因此它是一个偶函数。
将x替换为-x，我们可以验证f(-x) = f(x)。
所以该函数关于y轴对称。
例2：判断函数f(x) = sin(x)是否关于x轴对称和奇偶性。
由于f(x)是正弦函数，它的值在不同的x值处取正负值，因此它是一个奇函数。
高三函数对称性知识点总结
高三函数对称性知识点总结一、函数对称性的概念与重要性函数作为数学中描述变化规律的重要工具，其图像的对称性是解析几何中一个非常有趣且具有实际意义的课题。
在高中数学的学习中，掌握函数图像的对称性对于理解和运用函数知识至关重要。
对称性不仅能够帮助我们快速识别函数的性质，还能在解决实际问题时提供直观的解题思路。
本文将对高三数学中函数对称性的相关知识点进行总结和梳理。
二、函数图像的对称轴1. 轴对称性轴对称性是函数对称性中最基本也是最常见的一种形式。
对于一个函数图像来说，如果存在一条直线，使得图像上任意一点关于这条直线对称，那么这个函数就具有轴对称性。
对于二次函数，其对称轴通常为 x = -b/2a，这里的 a 和 b 分别是二次项和一次项的系数。
2. 中心对称性除了轴对称性，函数图像还可能具有中心对称性。
如果图像上任意一点 P(x, y) 关于某一点 (a, b) 对称，即存在点 P'(2a-x, 2b-y) 也在图像上，那么这个函数就具有中心对称性。
例如，反比例函数 y =k/x (k 为常数) 的图像就具有中心对称性，其对称中心为原点。
三、常见函数的对称性质1. 二次函数的对称性二次函数 y = ax^2 + bx + c 的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线的开口方向不同，但其对称轴始终为直线 x = -b/2a。
当 a >0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。
此外，二次函数的图像可以通过平移、伸缩等变换保持其对称性质。
2. 一次函数的对称性一次函数 y = kx + b 的图像是一条直线。
直线的对称性较为简单，它关于垂直于其斜率 k 的直线具有轴对称性。
当 k 为正时，直线向右上方倾斜；当 k 为负时，直线向右下方倾斜。
一次函数的图像是对称的，但不是中心对称的。
3. 反比例函数的对称性反比例函数y = k/x (k ≠ 0) 的图像是一对双曲线。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
函数图像的对称性分析
函数图像的对称性分析在数学的世界里，函数图像的对称性是一个十分有趣且重要的概念。
它不仅有助于我们更深入地理解函数的性质，还能在解决数学问题时提供巧妙的思路和方法。
首先，让我们来谈谈什么是函数图像的对称性。
简单来说，就是如果函数图像沿着某条直线或者某个点进行翻转或折叠后，能够与原图像完全重合，那么就称这个函数图像具有对称性。
函数图像的对称性主要包括轴对称和中心对称两种类型。
轴对称就好比我们把一张纸沿着中间的一条直线对折，两边能够完全重合。
对于函数来说，如果存在一条直线 x ＝ a，使得对于函数定义域内的任意x，都有 f(a ＋ x) ＝ f(a x)，那么函数 f(x) 的图像就关于直线 x ＝ a 对称。
比如说，二次函数 f(x) ＝ x²的图像就关于 y 轴对称。
中心对称则类似于我们把一个图形绕着某个点旋转 180 度后能与原图形重合。
对于函数，如果存在一个点（a, b)，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(a ＋ x) ＋ f(a x) ＝ 2b，那么函数 f(x) 的图像就关于点（a, b) 对称。
例如，函数 f(x) ＝ x ＋ 1/x 的图像就关于点（0, 0)对称。
为什么我们要研究函数图像的对称性呢？这是因为它能给我们带来很多好处。
从理论角度来看，对称性可以帮助我们更深入地理解函数的本质。
通过研究函数图像的对称性，我们能够发现函数的一些内在规律和特点，从而更好地把握函数的性质。
在实际应用中，对称性也有着广泛的用途。
比如在求解函数的最值问题时，如果我们知道函数图像具有对称性，那么就可以利用这一性质来简化计算，更快地找到最值。
再比如，在解决函数方程的问题时，对称性也能提供有用的线索。
如果我们能判断出函数图像的对称性，就可以根据对称点或对称轴上的函数值来推导其他点的函数值，从而更容易地求解方程。
接下来，让我们通过一些具体的例子来进一步感受函数图像对称性的魅力。
考虑函数 f(x) ＝ sin x，它的图像是一个周期函数，并且具有轴对称性。
函数对称性的总结
参考一：函数对称性总结函数的对称性一、三角函数图像的对称性1、y =f (x ) 与y =-f (x ) 关于x 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =-g (x ) ，即它们关于y =0对称。
2、y =f (x ) 与y =f (-x ) 关于Y 轴对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (-x ) ，即它们关于x =0对称。
3、y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 关于直线x =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) =g (2a -x ) ，即它们关于x =a 对称。
4、y =f (x ) 与y =2a -f (x ) 关于直线y =a 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (x ) =2a ，即它们关于y =a 对称。
5、y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 关于点(a , b ) 对称。
换种说法：y =f (x ) 与y =g (x ) 若满足f (x ) +g (2a -x ) =2b ，即它们关于点(a , b ) 对称。
6、y =f (a -x ) 与y =f (x -b ) 关于直线x =二、单个函数的对称性一、函数的轴对称：定理1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (b -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a +b2a +b 2对称。
对称.推论1：如果函数y =f (x )满足f (a +x )=f (a -x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =a 对称. 推论2：如果函数y =f (x )满足f (x )=f (-x )，则函数y =f (x )的图象关于直线x =0（y 轴）对称. 特别地，推论2就是偶函数的定义和性质. 它是上述定理1的简化.二、函数的点对称：定理2：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=2b ，则函数y =f (x )的图象关于点(a , b )对称.推论3：如果函数y =f (x )满足f (a +x )+f (a -x )=0，则函数y =f (x )的图象关于点(a , 0)对称.推论4：如果函数y =f (x )满足f (x )+f (-x )=0，则函数y =f (x )的图象关于原点(0, 0)对称. 特别地，推论4就是奇函数的定义和性质. 它是上述定理2的简化.性质5：函数y =f (x ) 满足f (a +x ) +f (b -x ) =c 时，函数y =f (x ) 的图象关于点（a +b ，c ）对称。
函数图像的对称性问题
x=1 对称，故 xi= ×2=m，
故选：B 【2016 全国卷 2 理】 12．（ 5 分 ）已 知 函 数 f（ x）（ x∈R）满 足 f（ ﹣ x）=2﹣ f（ x），若 函 数 y= 与 y=f（ x） 图 象 的 交 点 为 （ x1， y1），（ x2， y2）， …，（ xm，
ym）， 则 （ xi+yi） =（
2
2
（b－x），由轴对称的定义可知：点（a＋x，f（a＋x））与点（b－x，f（b
－x））关于直线成轴对称，又由 x 的任意性可知：函数 y =f（x）关于直线
成轴对称。反之亦然。
特例： 函数 y f (x) 的图象关于直线 x a 对称
f (a x) f (a x) f (2a x) f (x)
A．关于直线 x＝0 对称
B．关于直线 x＝1 对称
C．关于(1,0)点对称
D．关于(0,1)点对称
解：D
【依题意，将 h(x)＝2sin(2x＋π)的图象向右平移π个单位，再向
4
4
上平移 2 个单位后得 y＝2sin[2(x－π)＋π]＋2，即 f(x)＝2sin(2x－π)
44
4
＋2 的图象，又∵h(－x)＋f(x)＝2，∴函数 f(x)的图象与函数 h(x)的图象
图象关于
对称
解：由 f（x）+f（2－x）+2 = 0 得：f（x）+1 = －[f（2－x）+1]
令φ（x）= f（x）+1，则φ（2－x）=f（2－x）+1
∴φ（x）=－φ（2－x）
∴ φ（x）关于点（1，0）对称，又 f（x）=φ（x）－1
故由平移知识可得：f（x）关于点（1，－1）对称。 典例 5：【可不看】已知函数 f (x) a x 的反函数 f 1(x) 的图象的对称中心
函数图像的对称性
函数图像的对称性一、 点的对称1、在平面直角坐标系中，已知点P ),(b a ，则（1） 点P 到x 轴的距离为b ； （2）点P 到y 轴的距离为a ； （3） 点P 到原点O 的距离为PO ＝ 22b a +2、平行直线上的点的坐标特征：a) 在与x 轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；点A 、B 的纵坐标都等于m ；b) 在与y 轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；点C 、D 的横坐标都等于n ；3、对称点的坐标特征：c) 点P ),(n m 关于x 轴的对称点为),(1n m P -， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；d) 点P ),(n m 关于y 轴的对称点为),(2n m P -， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；e) 点P ),(n m 关于原点的对称点为),(3n m P --，即横、纵坐标都互为相反数；关于x 轴对称 关于y 轴对称 关于原点对称 4、 两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：f) 若点P （n m ,）在第一、三象限的角平分线上，则n m =，即横、纵坐标相等；g) 若点P （n m ,）在第二、四象限的角平分线上，则n m -=，即横、纵坐标互为相反数；在第一、三象限的角平分线上 在第二、四象限的角平分线上二、(一次函数)： 1、若直线与直线关于（1）x 轴对称，则直线l 的解析式为 （2）y 轴对称，则直线l 的解析式为（3）原点对称，则直线l 的解析式为P （b a ,）abxy OXYABm XYCDn Xy P1Pn n -mO XyP2P mm -nOXyP3Pmm -nOn -XyPmnOyPmnOXab（4）直线y ＝x 对称，则直线l 的解析式为（5）直线对称，则直线l 的解析式为2、直线11b x k y +=（01≠k ）与22b x k y +=（02≠k ）的位置关系 （1）两直线平行⇔21k k =且21b b ≠（2）两直线相交⇔21k k ≠（3）两直线重合⇔21k k =且21b b =（4）两直线垂直⇔121-=k k 三、二次函数：二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．注意：本部分内容的理解最好结合图形。
函数对称性
故点M1（2a－x0，2b－y0）也在 图像上；而点M与点M1关于点P(a ,b)对称。
在掌握了（*）式以后，也基本解决了函数 在平面内关于任一点对称的问题。
（1）f(a＋x)＝f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝f(x)。
（3）f(2a＋x)＝f(－x)。
性质2、若函数y＝f(x)关于点(a,0)中心对称，则以下三式成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)。
（2）f(2a－x)＝－f(x)。
解：设点 是函数 图象上的任一点。
若 ，则点M关于函数 的图象上；
若 ，则点 关于直线 的对称点为 ，这点也在 的图象上；
若 ，可类似说明。
所以 与 的图象关于直线 对称。
例4.设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x≤0时，
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
（A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。
解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函数的图像关于直线y = x对称，
函数的对称性与奇偶性
函数的对称性与奇偶性函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在数学中，函数可以具有对称性和奇偶性。
函数的对称性和奇偶性是函数图像的特征，它们能够提供有关函数行为的重要信息。
一、函数的对称性函数的对称性指的是函数图像相对于某一基准轴的镜像对称关系。
常见的对称形式包括关于x轴对称、关于y轴对称和关于原点对称。
1. 关于x轴对称的函数如果一个函数的图像关于x轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = -f(-x)，则该函数关于x轴对称。
常见的对称函数包括y = x^2 和 y = sin(x)。
2. 关于y轴对称的函数如果一个函数的图像关于y轴对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(x) = f(-x)，则该函数关于y轴对称。
常见的对称函数包括y = x^3 和 y = cos(x)。
3. 关于原点对称的函数如果一个函数的图像关于原点对称，那么对于函数中的每一个点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
具体来说，如果对于函数f(x)来说，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数关于原点对称。
常见的对称函数包括y = x^4 和 y = tan(x)。
二、函数的奇偶性函数的奇偶性指的是函数的输入为正数或负数时的输出表现。
函数可以是奇函数、偶函数或者既不奇也不偶。
1. 奇函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = -f(x)，则该函数为奇函数。
奇函数的特点是关于原点对称，即对于函数图像中的任意一点(x, y)，对应的点(-x, -y)也在图像上。
常见的奇函数包括y = x 和 y = sin(x)。
2. 偶函数若对于函数f(x)，当对于任意实数x，有f(-x) = f(x)，则该函数为偶函数。
简析两个函数图象的对称性
简析两个函数图象的对称性
两个函数图象的对称性指的是函数的轴对称，图象的结构是由点的一系列排列组成的，具有一定的平衡性和美感，函数的对称性决定了函数的展示规律是一致的，可以清晰的表示出函数的变化趋势。
观察可知，两个函数图象都具有典型的轴对称特征，它们的图象有一条中轴线，这条线就是轴对称的轴，轴线左右两侧的形状和大小是一样的，但是是反着的。
其中函数一的轴对称轴是y轴，函数二的轴一般都是x轴，轴线左右形状是一样的，但是反着的，而且两个函数变化状态是一样的，所以可以判断函数是具有轴对称特性的。
此外，对称能更好的表达函数的特性，函数轴对称的特点使得图象具有视觉上的和谐性，在使用函数图象来描述函数曲线时，能够很清楚地看出函数变化的趋势和变化极值点，可以更直观和动态地表达函数的变化情况。
总的来说，两个函数的对称性表明它能够很好的表达函数的曲线走向，可以帮助我们更好的观察函数的变化，从而分析函数的特点，更好的理解函数的规律，并能够准确的应用到实际的问题中。
函数的性质之---函数的对称性
函数图像的对称性函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:定理1: 函数()y f x =的图象关于直2a b x +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-= 特殊的有：①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=。
②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（偶函数）)()(x f x f =-⇔。
③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ⇔关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--⇔b x a f x a f 2)()(=-++特殊的有：① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-⇔。
③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ⇔关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =--⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。
48.函数图象的对称性(高考)
函数图象的对称性对称性是函数图象的一个重要性质，其中包含着函数的奇偶性．函数图象的对称性又分一个函数图象自身的对称性和两个函数图象的对称性．一、函数图象自身的对称性（自对称）结论1：若)()(x a f x a f -=+（⇔)()2(x f x a f =-，即函数)(x a f y +=为偶函数），则)(x f 的图象关于直线a x =对称．特别地，若)()(x f x f =-，则)(x f 的图象关于直线0=x 即y 轴对称． 证明:用x a -代换)()(x a f x a f -=+中的x ，可得)()2(x f x a f =-；再次用x a -代换)()2(x f x a f =-中的x ，可得)()(x a f x a f -=+．所以)()(x a f x a f -=+⇔)()-2(x f x a f =． 设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线a x =的对称点为))(,2('x f x a P -，因为)()-2(x f x a f =，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于直线a x =对称．例1 (2009年高考山东卷)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（ ）A ．)80()11()25(f f f <<-B ．)25()11()80(-<<f f fC ．)25()80()11(-<<f f fD ．)11()80()25(f f f <<-分析：由条件)()4(x f x f -=-可得函数的周期性，用其先把三个函数值化简，然后结合函数的奇偶性，得出函数图象的对称性，即可进一步转化函数值，最后用函数的单调性比较大小．解：由)()4(x f x f -=-，可得)()4()4)4(()8(x f x f x f x f =--=--=-，所以)(x f 的周期8=T ，所以)0()80(),3()11(),1()25(f f f f f f ==-=-．因为)(x f 是定义在R 上的奇函数，所以0)80(),1()25(=-=-f f f ，)()4(x f x f =-，所以)(x f 图象关于直线2=x 对称，所以)1()3()11(f f f ==．因为在区间]2,0[上是增函数，所以0)0()1(=>f f ，所以0)1(<-f ，所以)11()80()25(f f f <<-．选D ．评注：若画出草图，数形结合，会把抽象函数直观化，更快捷．练习1 设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+， )20()20(x f x f -=+，则)(x f 是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数解：由)10()10(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线10=x 对称，由)20()20(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线20=x 对称，所以)(x f 是周期函数，其周期20|1020|2=-=T ，同时得)(x f 图象关于y 轴对称，所以)(x f 是偶函数．选A ．练习2 已知)(x f 是定义域为R 的奇函数，满足)1()1(x f x f -=+．若2)1(=f ，则=+++)50()2()1(f f f （ ）A ．50-B ．0C ．2D ．50解：由)1()1(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线1=x 对称，又因为)(x f 是奇函数，所以)(x f 是周期函数，其周期4|01|4=-=T ．因为0)0()2(==f f ，2)1()3(-=-=f f ，0)0()4(==f f ，所以++)2()1(f f 0)4()3(=+f f ，所以2)2()1()50()2()1(=+=+++f f f f f ．选C ．例2 (2022年新高考Ⅰ卷，多选题)已知函数)(x f 及其导函数)('x f 的定义域均为R ，记)()('x f x g =，若)2(,223x g x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛-均为偶函数，则（ ） A ．0)0(=f B ．021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g C ．)4()1(f f =- D ．)2()1(g g =- 解：由⎪⎭⎫ ⎝⎛-x f 223为偶函数，可得⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 223223，所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x f x f 2323①，所以)(x f 图象关于直线23=x 对称，把25=x 代入①式得)4()1(f f =-，所以C 正确；由)2(x g +为偶函数，可得)2()2(x g x g +=-②，所以)(x g 图象关于直线2=x 对称，由②无法推出D ，错误．依题意23=x 是)(x f 的极值点，所以023=⎪⎭⎫ ⎝⎛g ；所以0252322=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯g g ，所以25=x 是)(x f 的极值点，所以2125232=-⨯=x 也是)(x f 的极值点，所以021=⎪⎭⎫ ⎝⎛g ；所以0272122=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯g g ，所以27=x 也是)(x f 的极值点，所以2127232-=-⨯=x 也是)(x f 的极值点，所以021=⎪⎭⎫ ⎝⎛-g ，所以B 正确．)0(f 是)(x f 的常数项，不一定为0，所以A 错误．例3 函数x x x f 212)(4+=+的图象关于（ ） A ．点)0,2(-对称 B ．直线2-=x 对称 C ．点)0,2(对称 D ．直线2=x 对称解法一：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++222124)(x x x f ，易证明x x y 212+=是偶函数，图象关于y 轴对称，而22212+++=x x y 的图象可由前者向左平移2个单位得到，所以)(x f 图象关于直线2-=x 对称．选B ．解法二：组成)(x f 两个函数之间用+号连接，所以二者交换位置依然如故，设用y 代换其中的x 可以达成互换，即⎩⎨⎧+=--=+.4,4x y x y 解得4--=x y ，所以)()4(x f x f =--，所以)(x f 图象关于直线2-=x 对称．选B ．练习3 已知)4ln()2ln()(x x x f -+-=，则（ A ）A ．)(x f 的图象关于直线3=x 对称B ．)(x f 的图象关于点)0,3(对称C ．)(x f 在)4,2(上单调递增D ．)(x f 在)4,2(上单调递减结论2：若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(x f x b a f =-+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(mx b f mx a f -=+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称；若)()(mx f mx b a f =-+，则)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称．显然结论1是结论2的特例． 证明:设))(,(x a f x a P ++是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线2b a x +=的对称点为))(,('x a f x b P +-，因为)()(x b f x a f -=+，所以))(,('x b f x b P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于直线2b a x +=对称． 例4 (2021年高考全国甲卷)设)(x f 是定义域为R 的奇函数，且)()1(x f x f -=+．若3131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛35f （ ） A ．35- B ．31- C ．31 D ．35 分析：把)(x f -视为)0(x f -，即可由结论2得出)(x f 图象的对称性，进而再结合奇偶性求出)(x f 的周期，即可转化⎪⎭⎫ ⎝⎛35f ． 解：由)()1(x f x f -=+可得)0()1(x f x f -=+，所以)(x f 图象关于直线21201=+=x 对称，又因为)(x f 是奇函数，所以)(x f 的周期20214=-=T ，所以313135=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ．选C ． 评注：函数图象的对称性还可以由结论1得出：因为)())(1()1(x f x f x f -=--=+，所以)(x f 图象关于直线21=x 对称． 练习4 若函数)(x f 在定义域R 内可导，)1.0()9.1(x f x f -=+，且0)()1('<-x f x ，)3(,21),0(f c f b f a =⎪⎭⎫ ⎝⎛==，则c b a ,,的大小关系是（ ） A ．c b a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >>解：由)1.0()9.1(x f x f -=+可得)(x f 的图象关于直线121.09.1=+=x 对称，所以)1(-=f c ． 由0)()1('<-x f x 可知当1<x 时，0)('>x f ，)(x f 单调递增，所以b a c <<．选D ．结论3：若)()(x a f x a f --=+（⇔)()2(x f x a f -=-或0)()(=-++x a f x a f ，即函数)(x a f y +=为奇函数），则)(x f 的图象关于点)0,(a 对称．特别地，若)()(x f x f --=（0)()(=-+x f x f ），则)(x f 的图象关于点)0,0(即原点对称．证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于点)0,(a 的对称点为))(,2(x f x a P --，，因为)()2(x f x a f -=-，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于点)0,(a 对称．例5 （1992年全国高中数学联赛）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足下列关系)10()10(x f x f -=+，)20()20(x f x f --=+，则)(x f 是（ ）A ．偶函数，又是周期函数B ．偶函数，但不是周期函数C ．奇函数，又是周期函数D ．奇函数，但不是周期函数解：由)10()10(x f x f -=+可得)(x f 图象关于直线10=x 对称，由)20()20(x f x f --=+可得)(x f 图象关于点)0,20(对称，所以)(x f 是周期函数，其周期40|1020|4=-=T ，同时得)(x f 图象关于原点对称，所以)(x f 是奇函数．选C ．练习5 函数x x e e x f --=2)(的图象关于（） A ．点)0,1(对称 B ．直线1-=x 对称 C ．点)0,1(-对称 D ．直线1=x 对称 解法一：)()(11x x e e e x f ---=，易证明x x e e y --=是奇函数，图象关于原点对称，而x x e e y ---=11的图象可由前者向右平移1个单位得到，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称．选A ．解法二：组成)(x f 两个函数之间用—号连接，所以二者交换位置后互为相反，设用y 代换其中的x 可以达成前后互换，即⎩⎨⎧=--=.2,2x y x y 解得x y -=2，所以)()2(x f x f -=-，所以)(x f 图象关于点)0,1(对称对称．选A ．结论4：若)(2)(x a f b x a f --=+（⇔)(2)2(x f b x a f -=-或b x a f x a f 2)()(=-++），则)(x f 的图象关于点),(b a 对称．若)(2)(x n f b x m f --=+（b x n f x m f 2)()(=-++），则)(x f 的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+b n m ,2对称． 证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于点),(b a 的对称点为))(2,2(x f b x a P --，，因为)(2)-2(x f b x a f -=，所以))2(,2('x a f x a P --，即'P 在)(x f 的图象上．所以)(x f 的图象关于点),(b a 对称．例6 (2022年高考全国乙卷)已知函数)(),(x g x f 的定义域均为R ，且)(,5)2()(x g x g x f =-+ 7)4(=--x f ．若)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，4)2(=g ，则∑==221)(i k f （ ） A ．21-B ．22-C ．23-D ．24- 分析：根据对称性和已知条件得到2)2()(-=-+x f x f ，从而得到10)21()5()3(-=+++f f f ，10)22()6()4(-=+++f f f ，易求)2(f 的值，再由题意得到6)3(=g ，进而可得)1(f 的值．解：因为)(x g y =的图象关于直线2=x 对称，所以)2()2(+=-x g x g ，因为7)4()(=--x f x g ，所以7)2()2(=--+x f x g ，即)2(7)2(-+=+x f x g ；因为5)2()(=-+x g x f ，所以5)2()(=++x g x f ，所以5)2(7)(=-++x f x f ，即2)2()(-=-+x f x f ，所以10)21()5()3(-=+++f f f ，10)22()6()4(-=+++f f f ．因为5)2()(=-+x g x f ，所以5)2()0(=+g f ，所以1)0(=f ，所以3)0(2)2(-=--=f f ． 因为7)4()(=--x f x g ，所以7)()4(=-+x f x g ，又因为5)2()(=-+x g x f ，二者相加得12)2()4(=-++x g x g ，所以)(x g y =的图象关于点)6,3(对称，所以6)3(=g ；因为5)2()(=++x g x f ，所以1)3(5)1(-=-=g f ．所以24101031)(221-=----=∑=i k f ．选D ．评注：本例中的图象对称比较隐蔽，需对相关对称的表达式很熟悉，同时还要瞄准目标，善于转化，方能成功求解．练习6 已知函数)12(+=x f y 的图象关于直线1=x 对称，函数)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称，则下列说法正确的是（ ）A ．0)1(=fB ．)1()1(x f x f +=-C ．)(x f 的周期是2D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f x f 23)( 解：由)12(+=x f y 的图象关于直线1=x 对称，可得)1)1(2()1)1(2(++=+-x f x f ，即)23()23(x f x f +=-，所以)3()3(x f x f +=-，所以)(x f 的图象关于直线3=x 对称，所以)6()(x x f -=，无法得出⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x f x f 23)(，D 错误． 由)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称和平移知识，可得)(x f 图象关于点)0,2(对称，所以)(x f 的周期4)23(4=-=T ，C 错误．由)1(+=x f y 的图象关于点)0,1(对称得0)2(=f ，由)(x f 的图象关于直线3=x 对称得0)4(=f ，由周期4=T 得0)0(=f ，无法得出0)1(=f ，A 错误．由)6()(x x f -=和4=T 可得)2()(x f x f -=，所以)1()1(x f x f +=-，所以B 正确．选B ．二、两个函数图象的对称性（互对称）结论5：函数)(x f y =与)2(x a f y -=的图象关于直线a x =对称；函数)(x f y =与)2(x a f y --=的图象关于点)0,(a 对称；函数)(x f y =与)2(2x a f b y --=的图象关于点),(b a 对称．证明:设))(,(x f x P 是)(x f 图象上的任意一点，则它关于直线a x =的对称点为))(,2(x f x a P -，，因为 )())2(2(x f x a a f =--，所以点'P 在)2(x a f y -=的图象上．点))(,(x f x P 关于点)0,(a 的对称点为))(,2(x f x a P --，，因为)())2(2(x f x a a f -=---，所以点'P 在)2(x a f y --=的图象上．反向证明略．例7 下列函数中，其图象与函数)1ln(+=x y 的图象关于直线1=x 对称的是（ ）A ．)1ln(x y -=B ．)3ln(x y -=C ．)1ln(x y +=D ．)3ln(x y += 解:设)1ln()(+=x x f ，则与其关于直线1=x 对称的是)3ln()12ln()2(x x x f -=+-=-的图象．选B ．结论6：函数)(x a f y +=与)(x a f y -=的图象关于直线0=x （y 轴）对称；函数)(x a f y +=与)(x a f y --=的图象关于点)0,0(（原点）对称．证明:设))(,(x a f x P +是)(x a f y +=图象上的任意一点，则它关于直线0=x 的对称点为))(,(x a f x P +-，，因为)())((x a f x a f +=--，所以点'P 在)(x a f y -=的图象上．点))(,(x a f x P +关于点)0,0(的对称点为))(,(x a f x P +--，，因为)())((x a f x a f +-=---，所以点'P 在)(x a f y --=的图象上．反向证明略．结论7：函数)(x a f y +=与)(x b f y -=的图象关于直线2||b a x -=对称；函数)(x a f y +=与)(x b f y --=的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2||b a 对称；函数m x a f y ++=)(与n x b f y +--=)(的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛+-2,2||n m b a 对称．结论5，6是结论7的特殊情况． 证明: 不妨设a b >，则22||a b b a -=-． 设))(,(x a f x P +是)(x a f y +=图象上的任意一点，则它关于直线2a b x -=的对称点为))(,(x a f x a b P +--，，因为)())((x a f x a b b f +=---，所以点'P 在)(x b f y -=的图象上． 点))(,(x a f x P +关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2a b 的对称点为))(,(x a f x a b P +---，，因为)())((x a f x a b b f +-=----，所以点'P 在)(x b f y --=的图象上．反向证明略．例8 函数1)1(+-=x f y 与3)3(---=x f y 的图象关于点 对称．解: 两个函数的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛---231,2)1(3即()1,2- 结论8：函数)(x f y =与)(x f y --=的图象关于原点对称；函数)(x f y =与)(x f y -=的图象关于x 轴对称；函数)(x f y =与)(x f y -=的图象关于y 轴对称．例9 （1989年全国高中数学联赛）已知函数)(x f 的定义域均为R ，则)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象（ ）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于直线1=x 对称D ．关于直线1=y 对称 解:因为)(x f y =与)(x f y -=关于y 轴对称，而)1(-=x f y 与)1(x f y -=的图象可视为前两者向右平移1个单位所得，所以二者图象关于直线1=x 对称．选C ．评注：结论：函数)(a x f y -=与)(x a f y -=的图象关于直线a x =对称．练习7 函数)ln(x x y -=与x x y ln =的图象关于( )A ．直线x y =对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称解:设)ln()(x x x f -=，则x x y ln =为)(x f y --=，所以二者图象关于原点对称．选D ．。
初中数学 什么是函数的对称性 如何判断一个函数是否具有对称性
初中数学什么是函数的对称性如何判断一个函数是否具有对称性函数的对称性是指函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
常见的函数对称性包括奇偶性对称、轴对称和中心对称等。
1. 奇偶性对称：如果对于任意$x$，都有$f(-x)=-f(x)$，那么称函数$f(x)$是奇函数。
奇函数图像关于原点对称。
如果对于任意$x$，都有$f(-x)=f(x)$，那么称函数$f(x)$是偶函数。
偶函数图像关于$y$轴对称。
2. 轴对称：如果函数图像关于某条垂直于$x$轴的直线对称，那么称函数具有$x$轴对称性。
同样地，如果函数图像关于某条垂直于$y$轴的直线对称，那么称函数具有$y$轴对称性。
3. 中心对称：如果函数图像关于坐标系中心对称，那么称函数具有中心对称性。
要判断一个函数是否具有对称性，可以采用以下方法：1. 奇偶性判断：对于一个函数，可以根据函数的定义式来判断它是否是奇偶函数。
如果函数的定义式中只包含偶次幂或者只包含奇次幂，那么它就是偶函数或者奇函数。
如果函数的定义式中既包含偶次幂又包含奇次幂，那么它既不是偶函数也不是奇函数。
2. 轴对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有轴对称性。
如果函数图像关于某条垂直于$x$轴或$y$轴的直线对称，那么函数具有$x$轴或$y$轴对称性。
3. 中心对称判断：通过观察函数图像在坐标平面上的位置和形状，可以判断函数是否具有中心对称性。
如果函数图像关于坐标系中心对称，那么函数具有中心对称性。
需要注意的是，函数的对称性是函数图像在坐标平面上的某种变换下仍保持不变的性质。
不同的对称性可以对应不同的变换方式，具体需要根据函数的定义式和函数图像来进行判断。
希望以上内容能够帮助你理解函数的对称性以及如何判断一个函数是否具有对称性，并提供了一些常用的判断方法和思路。
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性一 函数的对称性 （一）函数图象的自对称所谓函数图象的自对称是指一个函数图象的对称(中心对称或轴对称)图象是其本身. 关于函数图象的自对称,有下列性质:1、奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称，反之亦然。
2、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象关于直线 对称。
3、三角函数xy sin =的图象关于直线 对称，它也有对称中心是 ；xy c o s =的图象的对称轴是 ，对称中心是 。
4、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()x b f x a f -=+，则其图象关于直线对称。
5、函数()x f y =若对于定义域内任意一个x 都有()()b x a f x a f=-++，则其图象关于点对称。
6、曲线()x f y =关于直线a x =与bx =（a ＜b ）对称，则()x f y =是周期函数且周期为()a b -2（二）函数图象的互对称所谓函数图象的互对称是指两个函数图象的上的点一一对应，且对应点相互对称（中心对称或轴对称）。
关于函数图象的互对称,有下列性质:1、互为反函数的两个函数的图象关于直线 对称；反之， 。
2、函数()x f y =与函数()x f b y -=2的图象关于直线 对称。
3、函数()x a f y +=与函数()x b f y -=的图象关于直线 对称。
4、函数()x f y=与函数()x h f k y --=22的图象关于点 对称。
二 函数的周期性如果函数y ＝f(x)对于定义域内任意的x ，存在一个不等于0的常数T ，使得f(x ＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T 是它的一个周期.一般情况下，如果T 是函数f(x)的周期，则kT(k ∈N ＋)也是f(x)的周期. 关于函数的周期性的结论： 1、已知函数()x f y=对任意实数x,都有()()x f a x f-=+,则()x f y=是以 为周期的函数；2、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有()x a f+=f(x)1,则()x f y =是以 为周期的函数； 3、已知函数()x f y =对任意实数x ,都有()x a f+=-f(x)1-,则()x f y =是以 为周期的函数. 4、已知函数()x f y =对任意实数x,都有()()b x f x a f=++，则()x f y =是以 为周期的函数5、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝f(x －m),则 是()x f y=的一个周期.6、已知函数()x f y=对任意实数x ,都有f(x ＋m)＝)x (f 1)x (f 1+-,则 是f(x)的一个周期.7、已知函数()x f y=对任意实数x,都有f(x ＋m)＝－)x (f 1)x (f 1+-,求证:4m 是f(x)的一个周期.1． 证明：由已知f(x ＋2m)＝f[(x ＋m)＋m])(1)(1)(11)(1)(11)(1)(1x f x fx f x f x fm x f m x f -=+--+-+-=+++--= 于是f(x ＋4m)＝－)m 2x (f 1+＝f(x) 所以f(x)是以4m 为周期的周期函数.8、已知函数f(x)对任意实数x,都有f(a ＋x)＝f(a －x)且f(b ＋x)＝f(b －x), 求证:2|a －b|是f(x)的一个周期.(a≠b)证明：不妨设a ＞b于是f(x ＋2(a －b))＝f(a ＋(x ＋a －2b)) ＝f(a －(x ＋a －2b))＝f(2b －x)＝f(b －(x －b)) ＝f(b ＋(x －b))＝f(x) ∴ 2(a －b)是f(x)的一个周期 当a ＜b 时同理可得 所以，2|a －b|是f(x)的周期 例题应用 1、已知()1+x f 是偶函数，则函数()x f y 2=的图象的对称轴是（ ）A.1-=x B. 1=x C . 21-=x D. 21=x2、函数()()2122+-+=x a x x f 在区间()4,∞-上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A .3≥aB. 3-≤aC. 5≤aD. 3-=a3、函数⎪⎭⎫ ⎝⎛+=252sin πx y的图象的一条对称轴方程是（ ）A.2π-=x B.4π-=x C.8π=x D.45π=x4、如果函数f(x)＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)5、函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，则a 的值为（ ）A. 1B. 2-C. 2D. 1-6、如果直线3-=x与2=x 均为曲线()x f y =的对称轴且()01=f 则()11f 的值为 。
函数的对称性ppt课件
(1)(2023·郴州检测)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是
偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)<f(1)<f(2)
B.f(1)<f(2)<f(－1)
C.f(2)<f(－1)<f(1)
D.f(－1)<f(2)<f(1)
√
(2)(2023·银川模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(4＋x)＝f(－x)，若函数y＝
则 + = ．
【答案】6
【解析】设函数 图象的对称中心为 , ，则有2 = + (2 − )，
即2 = 3 − 9 2 + 29 − 30 + (2 − )3 − 9(2 − )2 + 29(2 − ) − 30，
整理得2 = (6 − 18) 2 − (122 − 36) + 83 − 362 + 58 − 60，
所以 = 2 ．
故答案为 = 2 ．
题型三
例3
两个函数图象的对称
已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)与y＝f(4－x)
的图象
√
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
跟踪训练3
A.y＝ex－1
√
C.y＝e2－x
A
B
考点2 函数的对称性
一。函数的图象自对称性
函数y=f(x)图象关于直线x=a对称⇔f(2a-x)=f(x)
函数y=f(x)图象关于点(a,b)中心对称 ⇔f(2a-x)+f(x)=2b
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2、关于直线y=b对称 ⑴函数y=f(x)关于x轴（y=0)对称的函数是y=-f(x) ⑵求函数y=f(x)关于直线y=b对称的函数解析式 解：设(x,y)是所求曲线上任意一点，它关于直 线y=b的对称点为(x,y1),从而y1=f(x)而 y1-b=b-y故y1=2b-y,于是y=2b-f(x) 结论：f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立
函数图象的对称性
王明山 江苏省兴化中学023信箱 225752 mshwwq@
函数图象的对称性
目的:1,进一步熟悉函数奇偶性的对称关系 2,理解相关点法的意义及步骤 3,掌握函数图象关于x=a,y=b,点(a,0)的对称 规律与特征 复习:偶函数的图象关于 Y轴(x=0) 对称 奇函数的图象关于 原点(0,0) 对称
⑵f(x)与g(x)的图象关于直线y=b对称，则 f(x)+g(x)=2b反之也成立 ⑶-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称；一个 函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有f(x)=f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
课上练习 ，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=( A, x 2 2 | x | +1
3、关于点(a,0)对称 练习：求函数y=f(x)关于点（a,0)对称的解析 式 答案：y=-f(2a-x) 结论：⑴-f(2a-x)与f(x)的图形关于点(a,0)对称 ⑵一个函数y=f(x)本身关于点(a,0)对称，有 f(x)=-f(2a-x)即f(x)+f(2a-x)=0
总结：本节主要说明了以下几个对称问题： ⑴y=f(x)的图象关于直线x=a对称，则f(a+x)=f(a-x)， 反之也成立；关于x=a对称的图形在对称轴两侧对称 区间上单调性相反；y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直 线x=a 对称
问题:一般的如x=a,y=b,点(a,0)的对称性又如何
1、关于直线x=a的对称特征 ⑴y=f(x)的图象关于直线x=a 对称，则f(a+x)=f(a-x)，反之 也成立
a-x X=a
a+x
练习：已知定义在实数集上的函数f(x)满足 f(5-x)=f(5+x),若f(x)在（5，+∞）上单调增， 则f(x)在（-∞，5）上的单调性如何？由此你 得到什么结论？ 单调减 关于x=a对称的1 C,|x2-1| D, 2 答案A
x 2x + 1
2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象， 说明它关于哪个点对称（不必证明），并 指出函数的最值。 3、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x) 的图象关于原点及x=1对称。⑴求f(0);⑵ 若0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的 解析式
作业另留 ： 谢谢合作再见
区间上单调性相反
⑵求函数y=f(x)关于直线x=a对称的函数解析 式 解：用相关点法，设(x,y)是所求曲线上任意 一点，则它关于直线x=a的对称点为（x1,y) 在函数y=f(x)图象上，故y=f(x1),而 x1-a=a-x所以x1=2a-x,于是y=f(2a-x)即为 所求 结论：y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a 对称