结构力学-第十四章 结构振动与稳定
深梁理论的研究现状与工程应用
深梁理论的研究现状与工程应用夏桂云;曾庆元【摘要】综述了深梁理论、截面剪切修正系数计算理论、深梁线性与几何非线性有限元、深梁材料非线性分析、深梁振动理论、深梁稳定理论、箱梁结构分析中弯曲、剪力滞、畸变分析时考虑剪切变形影响的计算理论、钢腹板桥梁考虑剪切变形的研究成果、弹性地基深梁、深梁理论在工程结构中的应用等.提出了杆系结构的静力、振动和稳定分析方法都可用Timoshenko深梁理论进行重建和重写.【期刊名称】《力学与实践》【年(卷),期】2015(037)003【总页数】15页(P302-316)【关键词】深梁理论;剪切修正系数;有限元;振动;稳定【作者】夏桂云;曾庆元【作者单位】长沙理工大学土木与建筑学院,长沙410076;中南大学土木工程学院,长沙410075;西安交通大学航天航空学院,西安710049;中南大学土木工程学院,长沙410075【正文语种】中文【中图分类】U441.3夏桂云，长沙理工大学土木与建筑学院教授、湖南省普通高校青年骨干教师.主要从事考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用、箱梁结构的多重耦合分析理论、桥梁结构非线性分析理论等的研究.先后主持国家自然科学基金项目、中国博士后基金项目、湖南省科技计划项目及横向项目等10余项课题的研究.获湖南省科技进步一、二、三等奖、中国公路学会科技进步二等奖等4项.在国内外主要期刊上发表学术论文30余篇（其中SCI数据库收录1篇、EI数据库收录20余篇），出版《考虑剪切变形影响的杆系结构理论与应用》专著1部.经典的Bernoulli一一Euler初等梁理论应用非常广泛，是《材料力学》、《结构力学》、《结构振动》、《结构稳定》所论述杆系结构的理论基础，但该理论引入直法线假定［1］，没有考虑剪切变形的影响，故只能适用于长梁情况.随着工程技术的发展，应考虑剪切变形影响的深梁问题越来越多，如结构截面尺寸相对于跨径来说较大情况、梁的高阶振动、局部高度承载、弹性地基梁的地基沉降等问题，应用初等梁理论分析将导致计算挠度偏小［2］、计算精度不足等问题.为解决这些问题，各国学者提出了多种深梁理论［3］，出现了大量的研究成果和工程应用，促进了深梁理论的发展.到目前为止，可以说凡是利用Bernoulli一一Euler初等梁理论研究的杆系问题都可以利用考虑剪切变形影响的深梁理论进行分析，以提高计算精度.从 1921年 Timoshenko提出著名的两广义位移深梁理论以来［2-3］，深梁理论一直在快速发展当中，按剪切变形的位移场模式，深梁理论主要有零阶剪切变形理论［4-5］、一阶剪切变形理论［2-3］和高阶剪切变形理论［6］（主要是二阶和三阶剪切变形理论）；按广义位移的个数主要有单广义位移梁理论［7］、两广义位移梁理论［2-3］和多广义位移梁理论［8-9］；按理论建立的方式主要有经典理论、双挠度理论和精化理论［10］.在这些理论中，一阶剪切变形的经典理论是Timoshenko梁理论，三阶剪切变形理论主要有Bickford［6］、Levinson［8］、Jemielita［11］、Reddy［12-13］等所建立的理论和模型.在这些深梁理论中，由于Timoshenko梁理论简单、求解方便、应用最广而成为经典.考虑剪切变形影响后，如图1所示，受竖向均布载荷q、均布弯矩载荷m和轴压力共同作用的深梁的经典微分方程为［2］式中，抗弯劲度D=EI、抗剪劲度C=GA/k，k为剪切修正系数［1-2，14-15］、q为竖向均布载荷、m为均布弯矩.Timoshenko梁理论从《弹性力学》的观点看，仍然是一种近似理论，即有些方面仍不符合《弹性力学》的要求，主要缺点有3个［2］：（1）同一截面上各点的竖向位移并不相等，而这里假定为常数；（2）截面在变形后实际上并不再保持为平面，而这里继续假定它为一平面；（3）同一截面上假定剪应变为常数而剪应力却不是常数，因而不满足本构关系.为缓和上述矛盾，Cowper指出，可以把挠度w理解为截面上各点的平均挠度，转角ψ理解为截面上各点的平均转角［2］，即式中，A和I分别为截面的面积和惯性矩.经过上式的平均处理，这样w′-ψ可以理解为平均剪应变，于是剪应变与剪应力之间不符合本构关系的矛盾得到缓解［2］.一般认为，高跨比h/L≥1/5或弯剪刚度比D/（L2C）≥1/30的杆系结构都是深梁理论研究的范畴.利用 Timoshenko梁理论进行结构分析时，最为关键的问题是截面剪切修正系数（shear correction factor）的计算问题.截面剪切修正系数又称为剪切变形系数（shear deformation coefficients）、剪应力不均匀系数、剪切系数等.其定义有按式（1）中C=GA/k定义的，也有按C=kGA定义的［2］，此时的剪切修正系数与式（1）定义的剪切修正系数互为倒数.引入这个系数的目的主要是克服假定剪切应变沿梁截面均匀分布、剪应力却非均匀分布间的误差影响.历史上有多种计算理论和方法，有的根据深梁振动频谱来定义剪切修正系数，有的根据深梁静力分析理论来定义剪切修正系数.目前主要有 Timoshenko方法、Cowper方法、Stephen一一Hutchinson方法、梯形分块算法、材料力学方法、有限元方法、弹性力学方法等.一般认为，截面剪切修正系数受截面形式、结构材料、边界条件和作用载荷等的影响.Timoshenko最早提出剪切修正系数计算方法，其采用最大剪切应力与平均剪切应力之比作为剪切修正系数，并计算了矩阵、圆形、薄壁圆管、工字型、箱型等截面的剪切修正系数［14-15］.剪切修正系数的计算理论中最有影响的是能量法.最常用、最简单的能量公式如式（3）所示此式的实质就是不均匀分布的剪应力所做功与假定的平均剪切应变所做功之比.根据此计算式，得到了众多截面的剪切修正系数.1966年Cowper根据《弹性力学》中悬臂梁的剪应力分布形式及能量原理建立了计算公式［16］.对于一些简单截面，Cowper利用Love解给出的剪应力分布解析解得到了剪切修正系数的解析式，对于某些复杂截面Cowper给出了近似解，其给出的 11种常见截面剪切修正系数当今应用极为广泛［2，17］.Cowper建立其计算公式时利用截面的主弯矩轴，其Iyz=0，这样导致截面有两个剪切修正系数，即αyy，αzz.因此Cowper方法只适应于有对称轴的截面.1968年，Mason等将Cowper方法扩展到任意截面的剪切修正系数计算中，起始坐标系统可以任意定义，其计算理论中多出了两个相关剪切修正系数αyz，αzy［18］.1980年 Stephen［19］采用与 Cowper相同的过程，但采用自重作用下的剪应力分布，对Cowper理论进行修正，提出了新的剪切修正系数，将其应用于圆形、矩形截面杆的固有频率估算，其结果比Cowper方法精确，但是对于一般截面情形未能得出相同结论.2001年Hutchinson［20］利用Hellinger一一Reissner变分原理建立了另一种新的剪切修正系数公式，后来证明与Stephen方法是同一种公式，只要经过复杂的推导就可互相转化，被称为S一一H系数［21-22］. 2013年王乐等［23］采用《弹性力学》方法，得到悬臂梁纯弯曲变形条件下截面剪应力分布的精确解，基于能量原理得到了各种梁截面剪切修正系数新的表达式，然后推导了弯扭耦合变形条件下截面剪应力分布的精确解，进一步获得了该条件下截面的剪切修正系数.2008年夏桂云在截面面积、抗弯惯性矩特性计算的梯形分块算法［24］基础上提出了截面剪切修正系数的算法，其假定截面的剪应力分布服从《材料力学》中剪应力分布规律，应用最小能量原理建立剪切修正系数的计算公式，即取式（3）中的单轴向剪应力所做功，采用Gauss数值积分方法进行积分计算，用Fortran编制了截面剪切修正系数的梯形分块计算程序［25-26］，可适应于截面可梯形分块的实心截面剪切修正系数计算.推导的10种截面计算公式与Cowper公式相比，只是没有考虑泊松比效应，对桥梁工程常用的T型截面、工字型截面计算的剪切修正系数数值结果与理论结果一致.该方法和计算程序适应于常规复杂截面的剪切修正系数计算.用《弹性力学》方法来确定剪切修正系数也是一种不错的途径，其做法大致为先用《弹性力学》的方法确定简单结构的解，如挠度等，将其与考虑剪切变形影响的《材料力学》解进行比较，即可得到剪切修正系数［17］.但此方法存在同一结构由于《弹性力学》有精度不同的多种解，导致同一截面有多种剪切修正系数值［27-30］.黄文彬［27-28］、王敏中［29］、唐玉花等［30］等先后讨论了平面弹性悬臂梁剪切挠度问题，得到了不同的计算结果.用有限元方法确定截面剪切修正系数是一种简便的数值方法.Mason等［18］在基于假定的位移场，使用最小势能原理，建立了针对任意截面三角形单元划分的有限元方程.Schramm等［31］、Wagner等［32］根据弹性梁理论，用加权残值法建立了截面几何特性计算的有限元方法.Sapountzakis等［33］根据弹性梁理论建立了截面几何特性计算方法，但是使用了边界元方法求解；Chana等［34］从频率角度，提出了剪切修正系数的计算方案.陈常松等［35］利用目前成熟的弹性梁理论，建立了悬臂梁受自由扭转、约束扭转、横向剪力下的弹性方程，推导出截面翘曲函数的调和方程.引入圆柱自由边界条件，采用Galerkin方法，解出离散截面节点处的函数值，利用高斯积分计算截面几何特性，采用4节点等参元编写任意梁截面几何特性值计算的有限元程序. Pilkey［36-37］系统地介绍了利用有限元法计算截面几何特性的理论、程序编制方法等，是截面几何特性数值计算的经典著作，在国际上有广泛的影响.1992年郑泉水等［38-39］提出了Hilbert空间上用子空间变分原理来提高本构方程精度，以解决投影类型梁本构方程精度比平衡方程精度低的缺点，其研究生卢小抒［40］在此基础上利用子空间变分原理和有限元方法建立梁的深化本构方程，并利用子空间变分原理进行深梁剪切修正系数的有限元计算.1996年杜丹旭等［41］通过简化子空间变分原理的数学结构，用修正子空间变分原理消除子空间变分原理的奇异性，计算了单材料多种截面的剪切修正系数，并对圆环截面剪切修正系数的有限元结果与Cowper理论结果进行了比较，指出了修正子空间变分原理的有限元法可处理复杂截面以及层状或复合材料截面的能力.周凌远［42］采用将梁截面离散化的方式，用数值积分方法计算截面的几何特性，并根据梁的剪切变形和扭转理论，利用变分原理建立截面几何特性计算的有限元方程，求解任意形状截面的扭转常数、剪切中心、剪切修正系数等.目前大型商业软件，如Ansys，Midas，SAP，桥梁博士等都有截面几何特性计算功能.Ansys采用9节点平面单元计算截面的面积、抗弯惯性矩、中心轴、剪心、抗扭惯性矩、翘曲惯性矩、剪切修正系数等［43］.Midas软件也具备相同功能，略为不同的是采用4节点平面单元计算截面几何特性［44］.曹志远等［45］在研究中厚板的振动问题时指出，只要对板中剪切变形和挤压变形的分布作出不同假定，就可导出中厚板的Hencky理论、Reissner理论、Vlasov理论、Mindlin理论等，这些经典的中厚板理论都可退化成深梁理论，利用其偏离位移分布函数和挤压变形函数可确定剪切修正系数.4种经典中厚板理论中，剪切修正系数分别为1，6/5，6/5，12/π2.但由于其偏离位移分布函数和挤压变形函数是从中厚板理论中得来，故只能用于矩形截面梁.瞿履谦等［46］利用截面剪应力分布特征建立了剪切修正系数的计算公式，此公式的实质是截面实际分布剪应力所做剪切功与平均剪应力所做剪切功之比.经过公式推导，其建立了建筑结构中常用的对称与不对称的工字型、十字型和T型截面的剪切修正系数，并制作了大量的计算表格以供查询，得到剪切修正系数的另一种数学解释为“剪切修正系数可表示为截面剪应力与平均剪应力之比的方差再加1、也就是截面剪应力的变异系数的平方再加1”，剪应力分布越不均匀，则剪切修正系数就越大.随着深梁研究的深入，其有限元发展也很迅速.深梁有限元列式中最简单的模式是1977年Hughes提出的线性插值单元［47-48］，此单元的缺点是整个单元的弯矩和曲率为常数，单元网格必须划分较密才能获得较好的精度，而且剪切刚度过硬，存在剪切闭锁问题.1968年 Przemieniecki［49］采用工程梁理论中梁的位移微分方程，分别考虑剪切变形和弯曲变形，导出了均匀梁的刚度矩阵，该方法中挠度采用三次插值函数、转角位移采用二次插值函数，精度高、适应性强，导出的刚度矩阵是一般意义上深梁单元的精确刚度矩阵，因此广为使用.1981年胡海昌［2］根据Timoshenko两广义位移梁理论，假定深梁单元横向位移为三次插值、转角位移为二次插值，应用最小势能原理消去内部自由度，导出了深梁单元位移插值函数，是深梁单元插值函数的标准形式，并被广泛使用.但此方法由于要消除内部自由度，理论推导繁杂.Oral［50］提出了高阶等参数杂交Timoshenko梁单元.1994年周世军等［51］利用最小势能原理得到了考虑剪切变形影响的Timoshenko梁单元位移函数表达式，并导出了单元刚度矩阵、一致质量矩阵和几何刚度矩阵.2000年龚克［7］提出了单广义位移深梁理论，并利用该理论建立深梁单元，是对二广义位移梁理论的发展.2004年夏桂云等［52］从深梁的二广义位移理论出发，利用解析试函数［2］直接建立深梁单元横向位移、转角、剪切应变的插值函数，进而导出了考虑剪切变形影响的单元线弹性刚度矩阵、一致质量矩阵和几何刚度矩阵.Przemieniecki［49］、胡海昌［2］、周世军等［51］、夏桂云等［52］推导的单元位移模式、线弹性刚度矩阵都相同，是深梁单元的标准形式，为多数商业软件所采用，能克服剪切闭锁问题.2008年杜柏松等［53］从工程梁理论中的梁位移微分方程出发直接推导出考虑剪切变形影响的空间梁单元的刚度矩阵，并从动力载荷的虚功原理出发推导出考虑剪切变形影响的质量矩阵，通过实例分别比较考虑剪切变形影响和不考虑剪切变形影响对结构固有频率的影响，结果表明在剪切修正系数较大时，不考虑剪切效应会引起较大的误差.1998年李华［54］将深梁单元横向位移分解为弯曲位移和剪切位移，都采用三次插值函数，成功构造了深梁的有限元列式和刚度，是一种双挠度理论.1999年王荣辉［55］通过引入剪切转角和弯曲转角，假定横向位移为三次插值函数，导出了一种新的单元模式.此单元引入了剪切转角和弯曲转角2个自由度，比一般深梁单元的自由度多.初等梁结构几何非线性分析主要有两种方法，一种是基于T.L.列式或U.L.列式的非线性有限元方法（单元的位移函数取多项式）；另一种是稳定函数方法，其经典方法主要有Saafan理论、Brotton理论、Fleming理论，这些理论被称为有限位移理论，是大跨度杆系结构分析的主流方法［56］.对于深梁结构的几何非线性来说，李国强等［57］指出主要有4种影响因素：（1）轴力的影响（轴力对横向变形的影响）；（2）剪切变形的影响；（3）初始弯曲的影响；（4）弓形效应的影响（弯矩对轴向变形的影响）.准确地说，剪切变形不是梁的几何非线性影响因素，而是梁弯曲理论简化缺陷所带来的问题.分析轴力对杆件弯曲的影响时，一般指其 P一一δ或P一一∆效应，目前主要采用Von-Karman的大挠度理论［58-59］，建立基于 T.L.或 U.L.列式下的刚度，并结合拖动坐标来实现大位移效应的求解.刘永华等［59］利用 Ansys用户可编程特性（user programmable features，UPFS）研究考虑剪切变形后的弓形效应实用方法，研究了空间梁单元转角位移函数的级数展开形式，给出了弯曲缩短与轴力间的近似函数关系，避免迭代运算.钱若军等［60］讨论了空间梁柱的几何非线性分析方法，并对剪切闭锁产生的原因、防止剪锁的方法进行了详细探讨.2006年夏桂云［61］在其博士论文中参考初等梁的有限位移理论［62-63］，利用Timoshenko深梁的解析函数，建立了Timoshenko深梁相应的Saafan理论、Brotton理论、Fleming理论，将有限位移理论从初等梁推广至深梁.并对单元轴力N=0时的特殊情况进行了处理，建立了通用的弓形效应分析方法.李国强等［64］以考虑剪切变形影响的深梁双挠度理论为基础，建立了考虑轴力影响的几何非线性分析方法，导出了包含剪切变形影响的深梁单元刚度矩阵，为解决数值计算中当轴力很小时可能出现不稳定现象，给出了刚度的级数展开形式［65］.深梁单元刚度展开后，如同初等梁一样，取前两项时，第一项为线弹性刚度、第二项为初应力刚度（或称几何刚度）［56］.1992年笹川和郎［66］利用考虑剪切变形影响的深梁双挠度理论，建立了有轴力作用下的单元刚度矩阵，其与夏桂云、李国强等建立的刚度矩阵一致.并推导了多种深梁单元在轴力和横向载荷共同作用下的固端力表达式.2004年赵红华等［67］通过分析横向剪切变形对梁单元的影响、轴心力的二次影响以及约束扭转时翘曲引起的二次剪应力效应，引入了翘曲函数及三次多项式的扭转模式，得到了7个自由度的杆系结构精确模型.在几何非线性分析中，考虑了轴向载荷、平面弯曲、剪切、约束扭转翘曲以及载荷一一变形各效应的耦合，建立了变形状态几何非线性分析的切线刚度矩阵.利用基于弧长法的球面显式迭代一一增量法，进行了空间结构的几何非线性全过程分析.1995年黄文等［68-69］以三维连续体的虚功增量方程为基础，采用平动、转角位移分别插值方法，导出了深梁结构大位移、大转动问题分析的U.L.列式方法，其考虑了轴力、剪切变形、弯曲、扭转等效应，提出了新的几何刚度矩阵.1988 年Dvorkin等［70］提出考虑大位移、大转角的Timoshenko梁增量分析的T.L.方法，并推导了相应的切线刚度矩阵，文中采用了Argyris提出的描述大转动的转换方法.1979年Bathe等［71］根据三维连续体虚功方程，提出了适应大转动效应的Timoshenko空间梁的T.L.列式和U.L.列式方法，通过增加两个附加自由度来考虑剪切变形影响，单元结点有7个自由度，非线性刚度通过三维积分得到，积分点多达254个［72］，工作量非常大，其据此编制了Adina 的4号梁单元，材料可以为线弹性和弹塑性.1992年陈政清等［72］以三维连续体的虚功增量方程为基础，导出了空间梁单元大挠度问题分析的U.L.列式法，提出了新的几何刚阵形式.理论与算例表明其新建立的方法与ADINA的4号梁单元精度相同，但计算时间大大减少，并能适用于任意形状截面的杆件.其编制的NACS程序具有分析大型空间柔性结构在非常规载荷作用下的强非线性行为的能力，可用于斜拉桥、悬索桥的非线性分析中，并得到了工程界的青睐.1994年舒兴平［73］在试验基础上认识到钢框架结构的剪切变形较大，其影响不应忽略，后基于有限变形理论，利用空间梁单元模式，采用考虑剪切变形影响的3次多项式位移插值函数，建立了考虑剪切变形影响的空间钢框架结构几何非线性、材料非线性分析方法，并分析了一个6层的钢框架结构.在框架结构分析中，考虑剪切变形影响、几何和材料非线性的高等分析还有刘坚［74］、郑廷银［75］、万金国［76］所做的类似系列工作等.考虑剪切变形影响的杆系结构材料非线性分析中，Hinton等［77］研究了深梁的弯曲变形，并编制了计算程序.崔世杰等［78］也做了相同的工作，其研制的程序与文献［77］相近.舒兴平［73］在空间钢框架结构的非线性分析中考虑了材料非线性，并分析了一个6层的钢框架结构.李国强等［64］、郑廷银［75］利用深梁理论，同时考虑材料和几何非线性特性，对框架结构的双重非线性分析方法进行了系统的研究.笹川和郎［66］在研究框架结构的材料非线性时也同时考虑了剪切变形影响.黄侨等［79-80］根据混凝土的塑性理论及极限分析的上限方法，探讨了求解钢筋混凝土简支深梁的抗剪强度的数值计算方法，分析了钢筋混凝土简支深梁发生塑性剪切破坏时屈服线的形状以及屈服线上混凝土和钢筋的能量耗散情况，建立了钢筋混凝土简支深梁的2个剪切破坏机构的模型，通过对这2个破坏机构的计算分析，求出了与破坏机构对应的极限载荷.庞苗等［81］为提高钢筋混凝土梁的计算效率和精度，提出了一种基于梁截面弯矩一一曲率关系的宏观有限元方法，在此基础上利用Timoshenko梁弯曲理论建立考虑横向剪切变形影响的钢筋混凝土梁的有限元分析模型，通过对试验梁的分析、对比，验证了所提出的分析方法的适用性.夏桂云等［25］通过假定单元的统一位移场，建立了可以考虑材料非线性的钢筋混凝土Timoshenko深梁组合单元，来分析桥梁结构等非线性特征和极限承载力.梁结构振动理论的研究历史较长，研究成果丰富［82］.自 18世纪以来，各国学者提出一系列理论，经典的理论主要有：（1）基于直法线和截面不变形条件下的Bernoulli一一Euler梁振动理论［82］，目前绝大多数结构振动书藉论述杆系结构振动时都采用此理论，尤其在桥梁、建筑等土木工程中最为典型；（2）考虑梁弯曲引起转动惯量的Rayleigh梁振动理论［83］；（3）考虑剪切变形影响的剪切梁振动理论［84］；（4）同时考虑剪切变形和转动惯量的Timoshenko梁振动理论［85］，此为经典的Timoshenko梁振动理论；（5）陈镕等［86］既考虑剪切变形影响和转动惯量，又考虑剪切变形引起转动惯量影响的修正Timoshenko深梁振动理论.陈镕认为，传统的Timoshenko深梁振动理论没有考虑到剪切变形引起的转动，导致振动方程非常复杂，考虑剪切变形引起的转动后，所建立的方程形式简单，并且只有一个相速度系、一个群速度系、一个固有频谱，克服了经典Timoshenko梁理论一个振型对应两个振动频率的困惑.1973年Dym等［85］应用变分原理导出了传统的Timoshenko梁的振动方程，分析中考虑了剪切变形影响及截面转动惯量影响，比较了简支初等梁、深梁自由振动频率的差别，讨论了分别只考虑转动惯量和剪切变形影响时的深梁自由振动频率解的近似程度.1983年曹志远［87］推导了简支一一简支、自由一一自由、固支一一固支、固支一一自由、固支一一简支、简支一一自由等6种边界条件下深梁振动频率的特征方程.1961年 Huang［83］也进行了相同的工作，计算中考虑了剪切变形影响和截面转动惯矩的影响，并对悬臂梁等的自由振动频率进行了计算.夏桂云等［25］利用变分原理建立了Timoshenko振动方程，导出了单梁多种边界条件下的深梁振动频率的特征方程.夏桂云等［52］建立了深梁单元的位移模式，分析了悬梁梁的振动频率.2002年楼梦麟等［88］应用模态摄动法求解Timoshenko梁的振动模态特性，对两端简支的Timoshenko梁得到了精确理论解，对比了两端简支的Timoshenko梁、Euler梁、纯剪切梁的模态特性及其影响因素，讨论了Timoshenko简支梁自由振动频率随长细比及模态数的变化情况.楼梦麟等［89］还讨论了固端Timoshenko梁振动频率求解的近似方法.周平等［90］采用Timoshenko梁动态刚度矩阵研究船体的总振动问题，导出了Timoshenko梁动态刚度矩阵的显示表达式.陈准［91］建立了考虑梁单元剪切变形和转动惯量影响的框架结构动力分析的动态有限元方法，阐述了框架结构有限单元各阶振动约束模态函数的概念，并用它组成结构有限单元各阶动态形函数矩阵，说明了使用递推方法计算结构的各阶振动特性以及利用动态有限元方法求解框架结构动态响应和动应力的方法.Eisenberger［92］同样建立了 Timoshenko梁动态刚度矩阵.韩博宇等［93］应用直接模态摄动法研究了变截面 Timo-shenko固端及简支梁的自由振动特性，并通过算例，讨论了这两种支撑条件下梁高的斜率及长细比对梁各阶主频率的影响.张汝清等［94］建立了Timoshenko梁振动的对偶变量求解体系，提出了分离变量法.芮筱亭等［95］系统研究了多体系统传递矩阵法，其中就包括了Timoshenko梁系统.刘庆潭等［96］也广泛研究了深梁振动的传递矩阵法.李。
(整理)《结构力学2》习题集同济版.
南华大学《结构力学II》习题集（适合于大土木工程各专业方向）组编：刘华良班级：姓名：学号：建筑工程与资源环境学院道路桥梁工程教研室衡阳2005年前言本习题集取材于第九章位移法9-l 确定下列各结构的位移法未知数目，并绘出基本结构。
9-2~9-3 用位移法计算下列结构内力．并绘出其弯矩图、剪力图和轴力图。
题9-2图题9-3图9-4~9-11 用位移法绘制下列结构弯矩图。
题9-4图题9-5图题9-6图题9-7图题9-8图题9-9图题9-10图题9-11图9-12~9-15 用位移法绘制下列具有斜杆的刚架的弯矩图。
题9-12图题9-13图题9-14图题9-15图9-16~9-17 列出下列结构的位移法典型方程式，并求出所有系数和自由项。
题9-16图题9-17图9-18~9-23 用位移法绘制下列具有无限刚性杆结构的M图。
题9-18图题9-19图题9-20图题9-21图题9-22图题9-23图9-24~9-26 用位移法绘制下列刚架M图。
题9-24图题9-25图题9-26图9-27 用位移法绘制图9-27所示结构弯矩图，并求桁架杆的轴向力。
题9-27图9-28 用位移法求图9-28所示桁架各杆轴向力。
题9-28图9-29 图9-29所示为一个三角形刚架，考虑杆件的轴向变形，试写出位移法的典型方程，并求出所有系数和自由项。
题9-29图9-30~9-31 用位移法计算图示有剪力静定杆组成的刚架的M图。
题9-30图题9-31图9-32~9-41 利用对称性，用位移法求作下列结构的M图。
题9-32图题9-33图题9-34图题9-35图题9-36图题9-37图题9-38图题9-39图题9-40图题9-41图9-42~9-48 试直接按平衡条件建立位移法方程计算题9-2、9-5、9-8、9-11、9-12、9-24、9-35，并绘出M图。
题9-42图题9-43图题9-44图题9-46图题9-47图题9-48图9-49~9-52 试用位移法求作下列结构由于支座位移产生的M图。
结构力学稳定理论课件2
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0 •由位移参数不全为零得稳定方程： Pl 6 EI l 3 EI 6 EI 3 EI 解得： P1 2 P2 2 , Pcr P1 2 l l l
l
例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方 法求其临界荷载。 -1C A B D P 解：1）静力法 1 k k l l l •设变形状态 λ P 求支座反力 P A D y1 M B 0 YA y2 B左 B k YA=Py1/l k C M C 0 YD YD=Py2/l C右 R1=ky1 R2=ky2 •列变形状态 的平衡方程
A点为稳定平衡， 偏离A点δΠ＞０其 势能将增加，故知 稳定平衡位置的势 能为最小。
A
B C 刚性小球运动稳 定性与能量的关系 设静止点A、B、C点Π=0
对于弹性变形体系，其稳定性与能量的关系与刚性小球情 况相似。设原始平衡状态为零势能点，让体系微小偏移，荷载 在位移上做功W（外力势能UP=－W）使体系偏移，内力在变 形上产生变性能U，使体系恢复原位置。总势能Π=U+ UP即总 势能的增量δΠ。 Π=0 P P 如总势能Π=U+ UP >0（δΠ>0），体系能 恢复原位置，平衡是稳定的； B B´ λ 如总势能Π=U+ UP =0（δΠ=0），体系能 在任意位置平衡，平衡为中性的； EI=∞ 如总势能Π=U+ UP <0（δΠ<0），体系不 能恢复原位置，平衡是不稳定的。 θ 用能量法求临界荷载，依据于临界状态的 平衡条件，它等价于势能驻值原理： 弹性体系在临界状态，其总势能为驻值，即 （用于多自由度体系） δΠ=0 或：Π=0 （单自由度体系）
结构力学之结构弹性稳定
2EI
Pcr l 2
学习文档
例:求图示体系的临界荷载.
x
解:
2.设
y(x)
4a l2
(lx
x
2
)
P
l/2 l/2
y(x)
Pcr
12EI l2
误差:+21.6%
3.设杆中作用集中荷载所引起的位 移作为失稳时的位移.
l
y(x) y
EI
x
y(x)
Q
(l2x
x3 )
(0 x l )
EIy(x) Py Q(l x) 或 y(x) P y Q (l x)
EI EI 令 n2 P
EI y(x) n2 y n2 Q (l x)
P
通解为
y(x) Acos nx B sin nx Q (l x) P
由边界条件
y(0) 0, y(0) 0, y(l) 0学习文档
l
EI
y
xM
y
得 A Ql 0 Bn PQ 0 P Acos nl B sin nl 0
1
0l
0
n 1 0
cosnl sin nl 0 稳定方程
nl cos nl sin nl 0 tan nl nl
y
y(nl) nl y(nl) tannl
x
P
P
Q
Q
l
EI
y
xM
3
5 nl
y
2
二.第二类稳定问题(极值点失稳) P
P
第二类稳定问题
非完善体系
三.分析方法 大挠度理论。 小挠度理论。
静力法 能量法
偏心受压 有初曲率
四 .稳定自由度
《振动力学结构力学》课件
静力学基础
静力学基本概念：力的平衡、力矩平衡、力系平衡等 静力学基本原理：牛顿三大定律、胡克定律等 静力学基本方法：力法、位移法、能量法等 静力学基本应用：结构分析、结构设计等
弹性力学基础
弹性力学的定义：研究弹性体在外力作用下的变形和应力分布的学科 弹性力学的基本假设：连续性假设、小变形假设、均匀性假设、各向同性假设 弹性力学的基本方程：胡克定律、泊松比定律、弹性模量定律 弹性力学的应用：结构设计、地震工程、航空航天等领域
相位：振动 的起始位置
振型：振动 的形态和形 状
阻尼：振动 的衰减程度
共振：振动 的放大效应
振动系统的基本组成
阻尼：阻碍振动的力，影响 振动的衰减和能量损失
弹簧：连接物体和支撑物的 弹性元件，影响振动的频率 和振幅
质量：物体本身的质量，影 响振动的频率和振幅
支撑物：支撑物体的物体， 影响振动的频率和振幅
振添加动副力标学题 结构力学 PPT课件
汇报人：
目录
PART One
振动力学概述
PART Two
结构力学基本概念
PART Three
振动力学中的基本 理论
PART Five
振动力学与结构力 学的应用
PART Four
结构力学中的基本 理论
PART Six
案例分析
振动力学概述
振动的定义和分类
振动：物体 在平衡位置 附近做往复 运动
振动分类： 自由振动物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用
受迫振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 受到外力作 用
自激振动： 物体在平衡 位置附近做 往复运动， 没有外力作 用，但受到 自身振动的 影响
振动的物理量描述
振动力学结构力学
03
结构的边界条件和支撑条件
这些条件对结构的振动行为有显著影响，限制了振动力学的行为。
01
结构的刚度和质量分布
结构的刚度和质量分布影响振动的传递和分布，进而影响振动力学的行为。
02
结构的阻尼特性
阻尼是结构对振动的消耗能力，对振动力学的行为有重要影响。
结构力学对振动力学行为的制约
利用结构力学知识设计和优化振动控制系统，改善结构的振动响应。
结构力学是研究结构在各种力和力矩作用下的响应和行为的学科。
结构力学概述
研究结构在静力载荷作用下的响应，包括力的平衡、变形和应力分布等。
静力学原理
研究结构在动力载荷作用下的响应，包括振动、冲击和动力稳定性等。
动力学原理
研究弹性结构在各种力和力矩作用下的响应，包括弹性变形、应力和应变等。
弹性力学原理
结构分析的基本原理
结构优化设计案例
THANKS
感谢您的观看。
详细描述
振动测试案例
总结词
振动控制是利用一定的控制策略和技术手段减小或抑制结构振动的措施，以达到提高结构稳定性和减小振动对周围环境的影响。
要点一
要点二
详细描述
在振动控制案例中，首先需要确定控制目标和设计控制策略，如主动控制、被动控制和混合控制等。然后，选择合适的控制装置和传感器，进行系统建模和仿真分析。在实施控制策略时，需要确保系统的实时性和准确性，并对控制效果进行评估和调整。最后，对控制结果进行详细分析，包括性能指标分析和优化设计等，以达到最佳的控制效果。
振动控制
结合振动力学和结构力学的方法，对结构进行健康监测和损伤识别。
结构健康监测
利用振动力学和结构力学的原理，设计和实施有效的振动隔离和减振措施。
大学结构力学课件
目 录
• 结构力学概述 • 静力学基础 • 动力学基础 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 结构分析方法与技能
CHAPTER 01
结构力学概述
结构力学定义与重要性
结构力学定义
结构力学是研究结构在各种荷载作用 下的响应和行为的学科。它主要研究 结构的内力、变形、稳定性以及振动 等方面。
静力分析方法
通过平衡条件求解结构内力，适用于静荷载作用下的结构分析。
动力分析方法
考虑结构动力学特性，适用于动力荷载作用下的结构分析。
弹性分析方法
考虑材料弹塑性性质，适用于复杂结构分析。
结构分析技能与策略
简化模型技能
根据实际情况对结构进行公道简化，降低计 算难度。
有限元法策略
利用有限元法进行结构离散化，提高计算精 度和效率。
圆筒受内压分析
02
通过圆筒受内压分析实例，介绍弹性力学在压力容器设计中的
应用。
弹性地基上梁的分析
03
通过弹性地基上梁的分析实例，介绍弹性力学在土木工程中的
应用。
CHAPTER 05
塑性力学基础
塑性力学基本概念
塑性力学定义
塑性力学是研究材料在到达屈服极限后，产生 不可逆的塑性变形时力学行为的学科。
现代结构力学
20世纪以来，随着计算机技术和数值分析方法的发展，现代结构力学得到了迅速发展 。它不仅广泛应用于传统工程领域，还扩大到了生物、医学、材料等其他领域。
结构力学基本原理
荷载与反力
平衡方程
变形与内力
稳定性
弹性与塑性
荷载是施加在结构上的 外力，反力是结构内部 产生的抵抗荷载的力。
根据牛顿第三定律，结 构在荷载作用下的平衡 方程为∑F=0，其中∑F为 所有荷载向量之和。
结构力学—结构稳定
杆件伸长量 杆件轴力 应变能 外力势能
2 / 2
N EA / l 2EA / 2l 2 1 1 EA Ve N 2 EA2 P 2l 2 2l * EP (1 ) P 1 1 1 VP P 1 2l 2 EA
1
dEP EA ( 1 ) 0 d l
若
稳定方程
l
EI
1 0
Pcr 20.19 EI / l 2
cos nl sin nl
nl tan nl EI 1 (nl) 2 k l Pcr n 2 EI 解方程可得nl的最小正根
P
若
l
EI
k 0 tan nl 0 sin nl 0 nl 2 EI Pcr 2 l
P
k
k
1
nl tan nl
k l EI
12
0
2 EI k 3 12 EI / l l/2 P
nl 1.45
10结构力学——结构的稳定计算
哈工大 土木工程学院
4 / 85
16
结构的稳定计算
第一类失稳的基本特征 结构失稳前后平衡状态所对应的变形性质发生改变，分支 点处平衡形式具有两重性，分支点处的荷载即为临界荷载， 称分支点失稳。 FP FP FP < FPcr时，杆件仅产生压 缩变形。轻微侧扰，杆件微 II 不稳定 弯；干扰撤消，状态复原 FPcr 0 （平衡路径唯一）。
Δ f
FP
FPcr
O
l
l
由极值点的失稳问题突然转化为受拉的强度问题
哈工大 土木工程学院
9 / 85
16
结构的稳定计算
稳定性分析有基于小变形的线性理论和基于大变 形的非线性理论。非线性理论考虑有限变形对平 衡的影响，分析结果与实验结果较吻合，但分析 过程复杂。不管是第一类稳定问题，还是第二类 稳定问题，它们都是一个变形问题，稳定计算都 必须根据其变形状态来进行，有时还要求研究超 过临界状态之后的后屈曲平衡状态。
• 第二类失稳属于几何非线性问题，而当结构变形达到 一定程度时通常伴有材料非线性的出现，因此计算比 较复杂，但却是精确解。
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16
结构的稳定计算
分析结论
• 第一类失稳常可用物理概念清晰的解析式表达，计算 较简单，有利于对影响临界荷载的各种因素形成直观 的认识。但计算出的临界荷载偏大，不安全。 • 第一类失稳的临界荷载是第二类临界荷载的上限值， 对因缺陷引起的第二类失稳问题常可以将第一类失稳 的临界荷载乘以折减系数，或对其表达式进行适当修 改，以求其临界荷载值，这便于设计应用。
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16
结构力学第十四章总结
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示结构频率为ωi，求图b所示结构频率ω。
ki (a) k1 k2 (b) k3
解：图b体系为并联弹簧，其刚度系数k等于各弹簧 刚度系数ki之和. k=k1+k2+k3
k1 k2 k3 k 2 2 2 1 2 3 m m
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
(3) 最大位移和最大内力的计算 振动体系的最大位移为最大动位移与静位移之和； 最大内力为最大动内力与静内力之和。动位移和动内力有 正负号的变化，在与静位移和内力叠加时应予以注意。 5. 阻尼对振动的影响 r 1 2 (1) 考虑阻尼时体系的自振频率 c 其中, 为阻尼比, c为阻尼系数。 2m 通常ξ很小，一般结构可取 r≈ 。 (2) 阻尼比的确定。 利用有阻尼体系自由振动时振 幅衰减的特性，可以用实验方法确定体系的阻尼比。 y 1 ln k
2
T1 T2 T3
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第十四章
结构动力学总结
结构力学
例：图a所示体系中，已知横梁B端侧移刚度为k1， 弹簧刚度为k2，求竖向振动频率。
A k1 B k2 m (a) k1 k2 m (b)
解：体系可简化为图b所示的串联弹簧体系， 竖向振动频率为
k m
k1 k 2 m(k1 k 2 )
返回
y1 (t ) F sin t 1P FI111
2 EI [ Y " ( x )] dx 2 i 2 2 m [ Y ( x )] d x m Y 0 i i l 0
振动力学(结构力学)
从方程的解中还可以看出，系统属于周 期振动，振动的周期为
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
2.2 自由振动系统
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
振动微分方程的解(P6)
mxkx0
1. 方程的解 设
则方程变为
2 n
k m
xn2x0
通解为
xb 1cosntb 2sinnt
或
xAsin(ntf)
2.2 自由振动系统
设系统的初始条件为：t＝0时，x＝x0，x x0
则可确定上述解中的常数为：
b1 x0 ,
b2
x0
n
A
2
x02x0n ,
farctannx0
分为自由振动、强迫振动和自激振动。 自由振动:系统受到初始激励作用后，仅靠其本身 的弹性恢复力“自由地”振动，其振动的特性仅决定 于系统本身的物理特性(质量和刚度);（如摆钟） 受迫振动或称强迫振动:系统受到外界持续的激励 作用而“被迫地”进行振动，其振动特性除决定于系
统本身的物理特性外，还决定于激励的特性; 工程中的大部分振动都属于此类振动(振动机械、
x0
2.2 自由振动系统
2. 概念与名词(P6-7) 一阶线性振动微分方程的解是时间 t 的
简谐函数，因此这种振动为简谐振动。
方程的解中n只决定于系统本身的参数
m和k，而与系统的初始条件无关，是系统本 身所固有的特性，所以称为固有频率，或称 圆频率或角频率。
方程解中的A称为振幅，是质量偏离静平
结构力学-稳定计算
θ
FRB=kΔ
B
弹簧的反力 FRB k kl sin(θ ) sin
sin 所以：Fp kl cos 1 sin( ) 求极值
dFP cos ( ) kl sin( ) sin 1 0 2 d sin ( )
161稳定问题概述结构力学2浙大宁波理工学院土建学院fp线性非线性结构力学2浙大宁波理工学院土建学院非线性叠加原理不成立线性叠加原理成立f1f2f1f2f1f2结构力学2浙大宁波理工学院土建学院fpfpfp由于取消干扰后结构可以恢复原状所以原状态为稳定状态fpfp由于取消干扰后结构无法恢复原状所以原状态为不稳定状态fp临界状态结构力学2浙大宁波理工学院土建学院两类失稳现象两种理论分析方法大挠度分析法
（c） 荷载—位移曲线（P—Δ 曲线）
结构力学（2）
浙大宁波理工学院土建学院
2、第二类失稳（非完善体系极值点失稳）：虽不出现新的 变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许 可值，结构不能正常工作。
P eP
临界荷载
P
小挠度理论
Δ
A
B Pcr Pc r O C
大挠度理论
Δ
P
(a) 偏心受压杆
θ
B
考虑在小变形情况下，取 sinθ=θ、cosθ=1，
k kl 上式可写为 Fp kl l 0
弹簧的反力 FRB 分支后两条平衡路径： 1. θ=0， Fp为任意值(不稳定) 2. θ>0 ， Fp=kl(随遇平衡) 临界荷载（分支点）Fpcr
A
EI无穷大
y
Fp
kl
体系处于荷载随位移增大而增大的状态，荷载与位移一一对 应，则平衡状态为稳定衡平状态。 否则体系处于不稳定平衡状态。
《结构力学》结构动力学(1)
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y
(a)
y0
o
t
(b)
y
y0
o
t
(c)
y
T=
y0
a
a
o
a
a
t
图14-6
若令
y0 a sin ，
y0 a cos
振幅和相位角
a
y02
y02
2
tan y0
y0
则有
图14-2
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关。如图14-3所示的体系。
图14-3
§14-3 单自由度结构的自由振动
自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动， 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。
原有平衡位置
强迫偏离位置
图14-4
和相位角 。
(2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自 振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结 构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类
(1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载
3．结构动力计算的内容
(1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。
结构力学结构弹性
k1 1
M Fy k11
， 令 n2 F
上式可写为
EI
y"n2 y n2 k11
F
微分方程的通解（挠曲线方程）
y Acosnx B sin nx k11
F
式中，A，B为任意常数。挠曲线的边界条件为
当 x=0 时，y=0， y′= 1 当 x=l 时，y k11
F
δF
y
y 1
k1
δ
y y 1
k1
F
B
EI
l x A
F
M
y
x
y 1
A
k1 1
F k11 0
k11
F
\
1.弹性支座（弹性）压杆的稳定
δF
取下段隔离体分析，由M A 0 有
B
F
M
EI
y
因 EIy" M 于是可得挠曲线微分方程
y
l
x
x
y 1
A
EIy" Fy k11
或
y" F y k11
EI EI
y 1
A
k1
F2=0.382kl 时，失稳形式是 因 F2 <F1，所以临界荷载为 而真正的失稳形式是
y2 F1 kl 0.618
y1
F1
y2 F2 kl 1.618
y1
F2
Fcr F2 0.382 kl y2 1.618 y1
2. 弹性压杆（无限自由度）的临界荷载
图示一段固定另一端铰支的等 截面弹性压杆。设失稳时杆件 的挠曲线为 y=y(x)，C为任一 截面，其弯矩为M，取AC段 分析，
(1) 按小变形分析
由于位移和变形都很小，近似地取 sin ，则平衡方程
结构力学课件—结构动力学
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17:04
§14-1 概述
二、动力荷载的分类
1. 周期荷载
结构力学
周期荷载—— 随时间周期地变化的荷载。其中最简单、最重要的是 简谐荷载(按弦或余弦函数规律变化)。 F
r
m
F (t) F t
θ t
o
简谐荷载
l/ 2
l/ 2
非简谐性周期荷载
F (t)
例：打桩时落锤撞击所产生的荷载。
o
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§14-3 单自由度结构的自由振动
结构力学
（2）柔度法。即列位移方程。当质点m振动时，把惯性力看作静力荷载作用在体 系的质量上，则在其作用下结构在质点处的位移y应当为：
y F111 my11
即
my k11 y 0
同刚度法所得方程
此二阶线性常系数齐次微分方程的通解为：
振动微分方程的建立方法：
（1）刚度法。即列动力平衡方程。设质点m在振动的任一时刻位移为y，取质点 m为隔离体，不考虑质点运动时受到的阻力，则作用于质点m上 的力有： (a) 弹簧恢复力
Fc k11 y
(b) 惯性力
该力有将质点拉回静力平衡位置的趋势，负号表示其方 向恒与位移y的方向相反，即永远指向静力平衡位置。
产生自由振动的原因：结构在振动初始时刻受到干扰。 初始干扰的形式: （1）结构具有初始位移 m （2）结构具有初始速度 Δ st 静平衡位置 （3）上述二者同时存在
yd
结构力学
自由振动：结构在振动进程中不受外部干扰力作用的振动形式。
k11
m
FS (t )
yd
W
FI ( t )
1. 不考虑阻尼时的自由振动
《结构力学》第十四章 结构振动与稳定
y(t ) Aet
特征方程
2 2 2 0
根为
i 1 2
小阻尼情况
1(c 2m )
方程的通解为
A
y (
2 0
y0 y
2 令 D 1 临界阻尼情况
0 y0 ) tan D y0 D /( y
m
y(t )
EI
P(t ) P sin t
P ---荷载幅值 运动方程 或
l
---荷载频率
(t ) k11 y(t ) P sin t m y
P (t ) y (t ) sin t y m
2
设
y* (t ) A sin t
P A m( 2 2 )
P P A 2 2 2 m m( )
1
P(t)
m
y(t )
EI
A yst
---稳态振幅
2 1 2
l
P y st P 11 ---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移 2 m 1 ---动力系数 || 2 2 1 /
---频比 1 1
§14—1 概述
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力 与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作 静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类
简谐荷载 周期 非简谐荷载 确定 冲击荷载 非周期 突加荷载 动荷载 其他确定规律的动荷载 风荷载 地震荷载 不确定 其他无法确定变化规律的荷载
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程 通解 其中
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2.阻尼对振幅的影响
在平稳阶段
y(t)A sin t()
AmP 2
1
(12)2422
yst
1
(12)2 422
3.动内力、动位移计算
除动力系数计算式不同外， 其它过程与无阻尼类似。
1
0
0.2 0.3
1
随 增大而减小
阻尼在共振区内影响显著, 在共振区外可不计阻尼.
1时 1/2
的最大值并不发生在 1处
令
2 k11 1 m m11
y (t)2y(t)0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t) c 1cot sc 2sitn 令 y0 Asin
由初始条件 y(0)y0
y 0/Acos
y(0) y0
y(t)A si n t ()
可得 c1 y0 c2 y0 /
y(t)y0cots y 0si nt
§14—1 概述
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力
与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作
静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类 确定
动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
y(t) c 1c ot sc 2s itn y(t)c1co t sc2sin tm (2 P 2)sitn
2.纯受迫振动分析
y(t)Asint
P
P
A m(2 2) m 2
A yst ---稳态振幅
1
1
2 2
P(t) m y(t)
l EI
yst
P
m2
P11
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
mW/g
k
3EI l3
g
3 EI l2
W
Hale Waihona Puke EIklk11
1
k11
3 EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
1 ln Ai 2n Ain
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
214ln1 20.0276
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3m 2l3
EI ml3
l
2 3EI
T 2 ml 3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
解:
3EI k11 k l3
例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 0.5
解.
24EI k11 l3
yst
P k11
Pl3 24EI
Psint l
1 4 12/2 3
A
yst118
Pl3 EI
m
EI1
EI
EI
Pl/3
P
Pl/4
动弯矩幅值图
例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移
已知: l4m,I8.810 5m4,E21G 0P , a Psint
位移滞后于荷载
例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 m156103kg;地基竖向
1
12 /2
---动力系数
| |
---频比
1
1
2
1
1
0 1
01 增函数
1 ---共振
1 | | 减函数
为避开共振 一般应大于1.25
0
或小于0.75.
0
y(t)m P 2sitn m 1 2P (t)
通过改变频比可增加或减小振幅.
若要使振幅降低,应采取何种措施?
01
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
11) W=1
12)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
y (0 )y 0 y (0 )y 0
动荷载激起的按结构自 振频率振动的分量,称为 伴随自由振动
y(t) A1etsin(Dt 1) A2etsin(Dt 2) Asin(t )
纯受迫振动
y*(t)Asin t ()
AmP 2
1
(12)2422
A1
y02
(y0 y0)2 D
tan1
Dy0 y0 y0
2）.振动分析
y(t) A i
y (t) A e t sin D t (D )
Ai1
D 12
ti
ti1
t
2
周期延长
TD
TD D
计算频率和周期可不计阻尼
振动是衰减的
Ai Ai1
AA e e(ti tiTD)
eTD
ln Ai Ai1
TD
2 2 D
对数衰减率
1 ln Ai 2 Ai1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
k11 1.0 4 6 .0 12 308.2150 (N/m )
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T D2/40.5(s)
5.阻尼系数
c2 m 36 (N 0 s1 /)m
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
TTD 12 0.49(9s)8 4.重量212 .57 (1/s)
m
m y(t)
12
11
y st
Psint y(t) Psint
=1
=1
P
运动方程
振幅
y ( t) 1P 2 si t n 1( 1 m y )
m y (t)1 11y(t)1 12 1Psint
令 P* 12 P 11
AmP*2 P*11
12 11
P11
12P
yst
m y (t)111y(t)P*sint
设 y*(t)D 1co t sD 2sitn
D 1m P(22 2 )2 42 22
A2etsin(Dt 2) Asin(t )
D 2m P(2 2)22 42 222
A1
y02
(y0 y0)2 D
y*(t)Asin t ()
AmP 2
1
(12)2422
tan1
Dy0 y0 y0
A t2am n2 P D 2(22 22 (( D D ) 2 2 2- -[2 2 2 初 起)2 )2 位 的 (2 移 自2 、 由( 初 振 2 )2 速 动度 分2)引 量2]y(t)t c a2enc o t (csD 1ts()12 i nA D st2 )in t ()
其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度
y ( t 方由) 令c 程y 初1 ( 的 e t 始) 通( 条 y D 解t 件0 A ( 为c 1 y s (0e ) t1y s i 0 ) D y / t n i0 2,临大n D D c y t 界2 , (阻 c 0 c 阻2 尼) (尼 情D 情o ) 况y y D 0 0 况t)stcccy r ra (t 1 1 )((D 2c c 2n m m (cc 1 2 2 y 0 m m c D -2t-))/)临e -y 界( - 0 -不阻t 阻不振尼尼振动系比y 动数0 )
Q35 kN ,P10 kN ,n50转 0/分 .
解. 114l8 3 EI0.72210 7m/N
l/2
Q l/2
重力引起的弯矩
MQ
1Q 4
l35kN
1
重力引起的位移 QQ11 2.5 31 0 3m
11
ystP11 0 .72 12 3 0 m
Mst
1P 4
l10kN.m
振幅
l/4
m k1T1 /251(k 9)g 0
为2 多 少 8.215013 .86 (1 9/s2)
51 9 80 00
1.1 7(0 1/s)
T2 /0.53 (s)7
W m g 5.0 8(6 kN )