结构力学-第十四章 结构振动与稳定

其他确定规律的动荷载 风荷载
不确定
地震荷载 其他无法确定变化规律的荷载
§14—2 结构振动的自由度
一. 自由度的定义 确定体系中所有质量位置所需的独立坐标数，称作体系的动力自由度数。
二. 自由度的确定
4)
1) 平面上的一个质点
y1
W=1
y2
y1 W=2
5)
2) W=2
W=2
弹性支座不减少动力自由度
m k1T1 /251(k 9)g 0
为2 多 少 8.215013 .86 (1 9/s2)
51 9 80 00
1.1 7(0 1/s)
T2 /0.53 (s)7
W m g 5.0 8(6 kN )
c/2m0.0257
§14—4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
一、不考虑阻尼 1.运动方程及其解
6)
3) 计轴变时 W=2
不计轴变时 W=1 7)
为减少动力自由度，梁与刚架不 计轴向变形。
y2 y1
W=2
自由度数与质点个数无关，但 不大于质点个数的2倍。
EI
W=1
8) 平面上的一个刚体
y2
y1 W=3
9)弹性地面上的平面刚体
W=3 10)
m EI
W=2
11) W=1
12)
W=13 自由度为1的体系称作单自由度体系； 自由度大于1的体系称作多（有限）自由度体系; 自由度无限多的体系为无限自由度体系。
2.振动分析
其中
A
y02
y02
2
tan y0
y0
单自由度体系不计阻尼时的自由振动是简谐振动.
y ( t ) A st i n ) A s (t i n 2 ) ( A s( i t 2 n ) [ ] y ( t 2 )
T 2
自振周期
与外界无关,体系本身固有的特性
2.阻尼对振幅的影响
在平稳阶段
y(t)A sin t()
AmP 2
1
(12)2422
yst
1
(12)2 422
3.动内力、动位移计算
除动力系数计算式不同外， 其它过程与无阻尼类似。
1
0
0.2 0.3
1
随 增大而减小
阻尼在共振区内影响显著, 在共振区外可不计阻尼.
1时 1/2
的最大值并不发生在 1处
解: ystE 11 2 IP 2l2 l6 5l4 58 P E3lI
l
=1 11
1 4 12/2 3
A yst356PEl3I
ImA2m1 4 A24A 11
5P 48
29 Pl 48
P
5P
48
5 Pl 96
动弯矩幅值图
例:求图示体系右端的质点振幅
Ps int
m EI
k
m
l
l
l
解:
Mo 0
y (0 )y 0 y (0 )y 0
动荷载激起的按结构自 振频率振动的分量,称为 伴随自由振动
y(t) A1etsin(Dt 1) A2etsin(Dt 2) Asin(t )
纯受迫振动
y*(t)Asin t ()
AmP 2
1
(12)2422
A1
y02
(y0 y0)2 D
tan1
Dy0 y0 y0
m
m y(t)
12
11
y st
Psint y(t) Psint
=1
=1
P
运动方程
振幅
y ( t) 1P 2 si t n 1( 1 m y )
m y (t)1 11y(t)1 12 1Psint
令 P* 12 P 11
AmP*2 P*11
12 11
P11
12P
yst
m y (t)111y(t)P*sint
A10m3P 2 4k
P o
1 mA 2
3
mA 2
A 2 Ak 3
二.考虑阻尼
1.运动方程及其解
tan(122)
y 通或( 解t)m y y y e (t 2 )c ty ( y c y 1 (ts k )1 y 1 y 2 i* y D (t n t P ) m s P c 2 sc iitn nto D t)s y y((tt)) y c 2 (e0 Ac) 1eo t (cy sD 1t0 tss)in i (n A y D sDt(t0 i) n t 1(y ) 0 )
1 2 自振园频率(自振频率)
T
A
振幅
初相位角
3.自振频率和周期的计算
利用计算公式
2 k11 1
m m11
W m,g stW 11 2 g st
算例 例一.求图示体系的自振频率和周期.
解:
1 1E 1(1 2 Ill3 2l1 2lll 1 2l2 ll)
7 l3 12 EI
1
稳态解
y(t)
P*
m2
s
int
仍是位移动力系数 是内力动力系数吗?
[列幅值方程求内力幅值]
y(t)Asint
y (t)A2sint I(t)mA2sint
同频同步变化
P(t)Psint
例:求图示体系振幅、动弯矩幅值图.已知0.5
Ps int
m
P m 2A
Pl/ 2 P
EI
l/2
l/2
y(t)
A
y st
Ayst 2.4 5 1 0 3m
动弯矩幅值
MDMst3k 4N.
1 /m 11 g/ Q 6.3 2 1 /S跨中最大弯矩
2 n/6 0 5.3 21 /S
M ma xM QM D6k 9N
112/2 3.4
跨中最大位移
fma x QA4.9 8 1 3 0 m
[动荷载不作用于质点时的计算]
设 y*(t)D 1co t sD 2sitn
D 1m P(22 2 )2 42 22
A2etsin(Dt 2) Asin(t )
D 2m P(2 2)22 42 222
A1
y02
(y0 y0)2 D
y*(t)Asin t ()
AmP 2
1
(12)2422
tan1
Dy0 y0 y0
A t2am n2 P D 2(22 22 (( D D ) 2 2 2- -[2 2 2 初 起)2 )2 位 的 (2 移 自2 、 由( 初 振 2 )2 速 动度 分2)引 量2]y(t)t c a2enc o t (csD 1ts()12 i nA D st2 )in t ()
R(t)cy (t)
c-----阻尼系数
2.计阻尼自由振动
1）.运动方程及其解
m y(t)
m y(t)
cy(t )
k11y(t)
运动方程 m y cy k1y 10
令 c/2m
y 2 y 2y0
设
y(t) Aet
22 20 特征方程
根为 i12
1(c2m )
小阻尼情况
A
y02
(yy0)2 D
例1 求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知 0.5
解.
24EI k11 l3
yst
P k11
Pl3 24EI
Psint l
1 4 12/2 3
A
yst118
Pl3 EI
m
EI1
EI
EI
Pl/3
P
Pl/4
动弯矩幅值图
例2 求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移
已知: l4m,I8.810 5m4,E21G 0P , a Psint
2）.振动分析
y(t) A i
y (t) A e t sin D t (D )
Ai1
D 12
ti
ti1
t
2
周期延长
TD
TD D
计算频率和周期可不计阻尼
振动是衰减的
Ai Ai1
AA e e(ti tiTD)
eTD
ln Ai Ai1
TD
2 2 D
对数衰减率
1 ln Ai 2 Ai1
利用此式,通过实验可确定 体系的阻尼比.上式也可写成
令
2 k11 1 m m11
y (t)2y(t)0
二阶线性齐次常微分方程
其通解为 y(t) c 1cot sc 2sitn 令 y0 Asin
由初始条件 y(0)y0
y 0/Acos
y(0) y0
y(t)A si n t ()
可得 c1 y0 c2 y0 /
y(t)y0cots y 0si nt
§14—1 概述
一.动荷载的定义 大小、方向和作用点随时间变化;在其作用下，结构上的惯性力
与外荷比不可忽视的荷载。
自重、缓慢变化的荷载，其惯性力与外荷比很小，分析时仍视作
静荷载。 静荷只与作用位置有关，而动荷是坐标和时间的函数。
二.动荷载的分类 确定
动荷载
简谐荷载 周期 非简谐荷载
冲击荷载 非周期 突加荷载
Q35 kN ,P10 kN ,n50转 0/分 .
解. 114l8 3 EI0.72210 7m/N
l/2
Q l/2
重力引起的弯矩
MQ
1Q 4
l35kN
1
重力引起的位移 QQ11 2.5 31 0 3m
11
ystP11 0 .72 12 3 0 m
Mst
1P 4
l10kN.m
振幅
l/4
mW/g
k
3EI l3
g
3 EI l2
W
EI
k
l
k11
1
k11
3 EI
l3
k
二、阻尼对振动的影响
1.阻尼与阻尼力
阻尼:使振动衰减的作用. 阻尼产生原因: 材料的内摩擦,连接点、支承面等处的外摩擦及介质阻力等. 阻尼力： 在振动分析当中用于代替阻尼作用的阻碍振动的力。 粘滞阻尼理论假定阻尼力的大小与速度成正比，方向与速度相反。
y ( t 方由) 令c 程y 初1 ( 的 e t 始) 通( 条 y D 解t 件0 A ( 为c 1 y s (0e ) t1y s i 0 ) D y / t n i0 2,临大n D D c y t 界2 , (阻 c 0 c 阻2 尼) (尼 情D 情o ) 况y y D 0 0 况t)stcccy r ra (t 1 1 )((D 2c c 2n m m (cc 1 2 2 y 0 m m c D -2t-))/)临e -y 界( - 0 -不阻t 阻不振尼尼振动系比y 动数0 )
1 ln Ai 2n Ain
例: 对图示体系作自由振动试验.用钢 解: 1.阻尼比
丝绳将上端拉离平衡位置2cm,用 力16.4kN,将绳突然切断,开始作 自由振动.经4周期,用时2秒,振幅
214ln1 20.0276
降为1cm.求 1.阻尼比
2.刚度系数
2cm
2.刚度系数
3.无阻尼周期
16.4kN 4.重量
§14—3 单自由度结构的自由振动
一、不计阻尼自由振动
自由振动---由初位移、初速度引起的,在振动中无动荷载作用的振动。 分析自由振动的目的---确定体系的动力特性：频率、周期。 阻尼---耗散能量的作用。
1.运动方程及其解
m m y(t) y(t)
l EI
y(t)1[1m y (t)]
k1y 1(t)m y (t)
y(t) c 1c ot sc 2s itn y(t)c1co t sc2sin tm (2 P 2)sitn
2.纯受迫振动分析
y(t)Asint
P
P
A m(2 2) m 2
A yst ---稳态振幅
1
1
2 2
P(t) m y(t)
l EI
yst
P
m2
P11
பைடு நூலகம்
---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移
m11
12EI 7ml3
l/2
m
EI EI
l
=1 11
l
T 2 2 7ml3
12EI
l
=1
l
例二.求图示体系的自振频率和周期. m/2 m
l
=1
解:
11
2 3
l3 EI
EI EI
l EI l
1 3m 2l3
EI ml3
l
2 3EI
T 2 ml 3
EI
例三.质点重W,求体系的频率和周期.
解:
3EI k11 k l3
位移滞后于荷载
例.图示为块式基础.机器与基础的质量为 m156103kg;地基竖向
P(t)Psint
P(t) m y(t)
l EI
P ---荷载幅值 ---荷载频率
运动方程
m y (t) k 1y 1 (t)P sitn
或 y (t)2y(t)Psint
设 y*(t)Asint
m
代入方程,可得
二阶线性非齐次常微分方程 通解
y(t)y(t)y*(t)
A
P
m(2
2)
其中
通解为
1
12 /2
---动力系数
| |
---频比
1
1
2
1
1
0 1
01 增函数
1 ---共振
1 | | 减函数
为避开共振 一般应大于1.25
0
或小于0.75.
0
y(t)m P 2sitn m 1 2P (t)
通过改变频比可增加或减小振幅.
若要使振幅降低,应采取何种措施?
01
2 k11
m
应使频比减小.
增加结构自频. 增加刚度、减小质量.
1
应使频比增大. 减小结构自频. 减小刚度、增大质量.
3.动位移、动内力幅值计算
y(t)Asint
A yst 1
12 /2
计算步骤:
1）.计算荷载幅值作为静荷载所引起的 位移、内力；
2）.计算动力系数；
3）.将得到的位移、内力乘以动力系数 即得动位移幅值、动内力幅值。
k11 1.0 4 6 .0 12 308.2150 (N/m )
5.阻尼系数
6.若质量增加800kg体系
的周期和阻尼比为多少
3.无阻尼周期
T D2/40.5(s)
5.阻尼系数
c2 m 36 (N 0 s1 /)m
6.若质量增加800kg,体系的周期和阻尼比
TTD 12 0.49(9s)8 4.重量212 .57 (1/s)