高考数学讲义微专题05函数的对称性与周期性(含详细解析)

微专题05 函数的对称性与周期性

一、基础知识

（一）函数的对称性

1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称

2、轴对称的等价描述：

（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当a 0时，恰好就是偶函数）

ab

（2）f a x f b x f x 关于x 轴对称

2

在已知对称轴的情况下，构造形如f a x f b x 的等式只需注意两点，一是等式

ab 两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是a, b的取值保证x 为所给

2

对称轴即可。例如：f x 关于x 1 轴对称f x f 2 x ，或得到

f 3 x f 1 x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便

（3）f x a 是偶函数，则f x a f x a ，进而可得到：f x 关于x a 轴对称。

①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一

部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f x a f x a ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a ：f x 是偶函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f x a f x a

②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f x a 关于x 0 轴对称，

而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a的符号决定），所以f x 关于x a对称。

3、中心对称的等价描述：

（1）f a x f a x f x 关于a,0 轴对称（当a 0时，恰好就是奇函数）

ab

（2）f a x f b x f x 关于 a b,0 轴对称

2

在已知对称中心的情况下，构造形如f a x f b x 的等式同样需注意两点，一是

ab

等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是a, b的取值保证x 为所给对称中心即可。例

2

如：f x 关于1,0 中心对称f x f 2 x ，或得到f 3 x f 5 x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f

x 更为方便

（3）f x a 是奇函数，则f x a f x a ，进而可得到：f x 关于a,0 轴对称。

① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即f x a f x a ，要与以下的命题区分：

若f x 是奇函数，则f x a f x a ：f x 是奇函数中的x占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有f x a f x a

② 本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是奇函数，则f x a 关于0,0 中心对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a的符号决定），所以f x 关于a,0 对称。

4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要

分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：

（1）可利用对称性求得某些点的函数值

（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像

（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称

（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同

（二）函数的周期性

1、定义：设f x 的定义域为D ，若对x D ，存在一个非零常数T ，有f x T f x ，则称函数f x 是一个周期函数，称T 为f x 的一个周期

2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等

3、若f x 是一个周期函数，则f x T f x ，那么f x 2T f x T f x ，即2T 也是f x 的一个周期，进而可得：kT k Z 也是f x 的一个周期

4、最小正周期：正由第 3 条所说，kT k Z 也是f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数f x C

5、函数周期性的判定：

（ 1） f x a f x b ：可得 f x 为周期函数，其周期 T b a （ 2） f x a f x f x 的周期 T 2a

分析： 直接从等式入手无法得周期性， 考虑等间距再构造一个等式： f x 2a f x a

分析： f x 2 a

xa

（ 6）双对称出周期：若一个函数 f x 存在两个对称关系，则 f x 是一个周期函数，具体 情况如下：（假设 b a ）

① 若 f x 的图像关于 x a,x b 轴对称，则 f x 是周期函数，周期 T 2 b a 分析： f x 关于 x a 轴对称

f x f 2a x

f x 关于 x b 轴对称

f x f 2b x

f 2a x f 2b x f x 的周期为 T 2b 2a 2 b a

② 若 f x 的图像关于 a,0 , b,0 中心对称，则 f x 是周期函数，周期 T 2 b a

③ 若 f x 的图像关于 x a 轴对称，且关于 b,0 中心对称，则 f x 是周期函数，周期 T 4 b a

7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹” ，只要了解一个周期的性质，则得到整

个函数的性质。

（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值

所以有： f x 2a xa x f x ，即周期 T 2a

注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，

过两个等式看能否得出周期

那么可考虑等间距再列一个等式，进而通 3) f x a

f x 的周期 T 2a

4) f x k （ k 为常数） f x 的周期 T 2a 分析： f x

k, f x a

f x 2a k ，两式相减可得： f x 2a 5) f x f x a

k （ k 为常数）

f x 的周期 T 2a