高中数学—计数原理

行. 这 6 项工程的不同排法有多少种?
分析: 这是一个排顺序的问题. ① 甲、乙、丙、丁 固定了顺序.
② 丙、丁固定了相邻.
可将丙、丁捆绑成一个元素, 6 个人的排序变成
五个位置. 按甲、乙、(丙丁)的顺序先安排这 4 项工程,
在 5 个位置中取 3 个位置, 有C53 种方法. 另两项工程排剩下的两
第二步, 由 C 到 D, 至少要走
6 次, 6 次中任取 3 次横走,
A
另外 3 次竖走, 有C63C33种走法. 第三步, 由 D 到 B, 只有 2 种走法.
∴ 总的走法有 2C63C332=80 种. 答: 机器人最近的走法有80种.
例4. 若 最小值等于
(
x 5
+
2 3x .
)n
展开式中存在常数项,
个位置, 有A22 种方法.
甲 乙 丙丁
∴ 不同排法种数有 C53A22=20种. (答略)
例3. 机器人从如图的A地移动到 B 地, 每次只移
动一个单位长度, 问机器人最近的走法有多少种?
分析: 分三段移动:
B
A 到 C, C 到 D, D 到 B.
D
第一步, 由 A 到 C, 有 2 种走法. C
1.1 分类加法计数原理 与分步乘法计数原理
1.2 排列与组合 1.3 二项式定理
第一章 小结
本章小结
知识要点 例题选讲 补充练习 复习参考题 自我检测题
1. 分类加法计数原理 完成一件事, 如果有 n 类不同方案. 在第
1 类方案中有 m1 种不同的方法, 在第 2 类方案 中有 m2 种不同的方法, …, 在第 n 类方案中 有 mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有
50,
小于100, 求展开式中系数最大的项.
解: 展开式中, 当 x=1 时就是各项系数之和,
即各项系数之和为 3n.
当 50<3n<100 时, 得 n=4.
Tk+1 = C4k(
x
)4 k (
125k
3
2 x
)k
= C4k 2k x 6
设Tk +1是系数最大的项, 则
C4k 2k C4k12k1 解得 k=3.
Ann = n(n1)(n 2)(n m +1)321. = n!=123n.
规定 0!=1.
排列数公式可用阶乘表示:
Amnwenku.baidu.com
=
(n
n! m)!
5. 组合与组合数
从 n 个不同元素中取出 m (m≤n) 个元素
合成一组, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个
元素的一个组合. 其所有组合的个数叫做从 n
9. 二项式系数的性质
(1) 对称性 首末两端 “等距离” 的二项式系数相等.
(2) 增减性与最大值 中间项以前逐渐增大, 中间项以后逐渐减小.
n 为奇数时, 中间两项最大, n 为偶数时, 中间一项最大.
(3) 各二项式系数和
C0n + C1n + C2n ++ Cnn = 2n. C0n + C2n + C4n += C1n + C3n + C5n += 2n1.
则n 的
解: Tk+1=Cnkankbk
= Cnk(
x
)n
k
(
3
2 x
)k
=
Cnk
x
nk 2
2k
x
k 3
=
2k
Cnk
x
nk 2
k 3
3n5k
= 2kCnk x 6 ,
当
3n
6
5k
=
0时,
Tk+1项为常数,
即
k
=
3 5
n,
当 n=5, k=3时, 存在常数项.
例5. (
x
+
3
2 x
)n展开式的各项系数之和大于
分类或分步. 分类或分步中可能又包含分类或分步. (3) 在各类或各步中应用排列或组合计数. 关键是不重不漏的设计好分类或分步.
8. 二项式定理 (a + b)n = C0nan +C1nan1b++ Cknankbk ++Cnnbn. 二项式系数: Cnk . 二项展开式的通项: Tk+1 = Cknankbk.
N=m1+m2+…+mn 种不同的方法.
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2. 分步乘法计数原理
完成一件事, 如果需要 n 个步骤 做第 1
步有 m1 种不同的方法, 做第 2 步有 m2 种不同 的方法, …, 做第 n 步有 mn 种不同的方法. 那么完成这件事共有
种不同的方法.
N=m1m2…mn
3. 排列与排列数 从 n 个不同元素中取出 m ( m≤n )个元素,
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例1. 把 10 个苹果分成三堆, 要求每一堆至少 1 个, 有多少不同的分法?
分析: 不同的分法是个数的不同. 不防以一堆的个数作为基础分类考虑:
第一类, 当第一堆放 1 个苹果时, 另两堆可以是 (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), 有 4 种分法;
第二类, 当第一堆放 2 个苹果时, 另两堆可以是 (2, 6), (3, 5), (4, 4), 有 3 种分法;
按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的一个排列. 其所有排列的 个数叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排 列数, 用符号 Anm 表示:
Amn = n(n1)(n 2)(n m +1).
m 个连续整数相乘
4. 全排列与阶乘
将 n 个不同元素全部取出的排列.
n 个元素的全排列数等于 n 的阶乘:
个不同元素中取出 m 个元素的组合数, 用符
号
Cnm表示. Cmn
=
Amn m!
=
n(n 1)(n
2)(n m!
m
+1)
=
n! m!(n
m)!.
规定: C0n =1.
6. 组合数的性质 性质 1: Cmn = Cnnm.
性质 2: Cmn+1 = Cmn + Cmn 1.
7. 计数问题的应用 (1) 两个基本原理是基础. (2) 从特殊元素入手, 根据限制条件进行
C4k 2k C4k+12k+1
∴
系数最大的项为
T4
=
32 . x
补充 练习
共8 题
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1. 6 个相同的球放入 3 个不同的盒子中, 每个盒子中至少放 1 个, 有多少种不 同的放法?
2. 有 5 个座位连成一排, 现安排3人就坐, 则有两个空位不相连的不同坐法共
有( )种
A．28 B．36
第三类, 当第一堆放 3 个苹果时, 另两堆只能是 (3, 4), 有 1 种放法.
∴不同的分法有 4+3+1= 8 种. 答: 有 8 种不同的分法.
例2. 有 6 项工程需要先后单独完成, 其中工程乙
必须在工程甲完成后才能进行, 工程丙必须在工程乙
完成后才能进行, 工程丁必须在工程丙完成后立即进