非参数统计第二章 单样本检验
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根据5年前的数据，对0.05，0.5和0.95分位数，至少检验一个 假定。 H0:M0.5=7.5,H1:M0.5<7.5 H0:M0.05=6,H1:M0.05<6 H0:M0.95=9,H1:M0.95<9
字符型数据的符号检验
例. 为了解顾客对咖啡、茶的喜好情况，在某商店随机抽取15 名顾客进行调查，结果有12名顾客更喜欢茶，2名顾客更喜欢 咖啡，1名对两者同样喜好。问顾客对咖啡和茶的喜好是否有 差异？若有，是否更喜欢茶?
此处的目的只是为了比较两者中哪个更受欢迎，并无定量的数 值，因而可采用符号检验，只要把更喜欢茶视为“成功+”， 反之视为“失败-”。故可建立如下假设： H0:P+=P-,H1:P+≠P_ H0:P+=P-,H1:P+>P_
在第一个检验中，仅判定对二者喜好程度有无差异。由调查结 果，n=14，s+=12,s-=2. P(S_≤2|n=14,p=0.5)=0.0065,双侧检 验概率为0.013.
构造置信度为90%的置信区间： [9.8,10.0]
第二节 Wilcoxon符号秩检验
基本概念及性质 对称分布的中心一定是中位数，在非对称分布情况下，中 位数不唯一，研究对称中心比中位数更有意义。 例：下面的数据中，O是对称中心吗？
0
检验步骤
Ex. 某公司为减少加工费用，决定若铸件重量的中位数超过 25公斤，就转包加工；若不超过 25公斤则不转包。现从这 批铸件中随机抽取8件，每件的重量分别为：24.3，25.8， 25.4，24.8，25.2，25.1，25.0，25.5。使用这些数据，能 否作出这批铸件是否转包的决定。
2PN(0,1) (Z z) PN(0,1) (Z z) PN(0,1) (Z z)
检验步骤
Ex. 某国12位总统的寿命（岁）分别为46，57，58，60，60， 63，64，67，72，78，88，90.问该国总统寿命的中位数是 否不小于71.5岁？
根据题目，要检验的是 H0:M0.5≥71.5,H1:M0.5<71.5 显然，当S_太小时拒绝原假设。经计算，K=min(S_,S+)=4 P(K≤4)=? 0.1938
n
n
定义, s I(x i M0 ) , s I(x i M0 ) ，则 s s n , K min{s ,s}
i 1
i 1
在零假设情况下 K ~ B(n,0.5) ，在显著性水平为 的拒绝域为
Pbinom (K k | n, p 0.5)
在0.05的水平下，拒绝前面的两个假设.
中位数的置信区间
根据顺序统计量构造置信区间：
P(X(i) M X( j) ) 1 P(M X(i) ) P(M X( j) ) n n n n k1 k1 Cn Cn 1 i j n 2 k j 2 k i
其中k是满足上式最大的k值。
结果讨论
结果讨论
大样本结论
当n较大时
n n K ~ N( , ) 2 4
Z
Kn 2 N(0,1), n n4
双边： H0 : Me M0 H ， p-值 1 : Me M0
左侧： H0 : Me M0 H ， p-值 1 : Me M0 右侧： H0 : Me M0 H1， p值 :M e M0
按照传统的参数方法，假设房屋价格服从正态分布N(84, σ 2)， X 则检验统计量为 ,t其值为 1.384, 结论呢？ s / n
第一节 符号检验和置信区间
假设总体 F(x) ，Me是总体的中位数，对于假设检验问题：
H0 : Me M0 H1 : Me M0
M 0 是待检验的中位数取值
广义符号检验
假设总体 F(x) ，Mp是总体的p分位数，对于假设检验问题：
H0 : Mp M0 H1 : Mp M0
M 0 是待检验的分位数取值
定义, s I(x i M0 ) , s I(x i M0 ) ，则 s s n ,
n
n
i 1
i 1
K s
在零假设情况下 K ~ B(n,p) ，在显著性水平为 的拒绝域为
Pbinom (K k | n, p)
其中k是满足上式最大的k值。
பைடு நூலகம்
例. 5年前成年人在每日24小时中的睡眠量中位数是7.5小时， 每日睡眠量为 6 小时或少于 6 小时的占调查总数的 5% ， 9 小时 和9小时以上的也占5%。现对8个普通成年人的抽样调查结果 为：7.2，8.3，5.6，7.4，7.8，5.2，9.1，5.8.问现在成年人 的睡眠量是否少于5年前
第四节 Cox-Stuart趋势检验
检验原理:
数据序列： X1,X2,…,X ，双边假设检验问题： n
令：
H0 : 数据序列无趋势 H1 : 有增长或减少趋势
n / 2, n为偶数 c (n+1)/2, n为奇数
由于得到的区域是以中位数对称的，
P X ( k 1)
k 1 M X ( nk ) 1 2P( K k ) Cn 2 i 0 k 1 n 1
采用Neyman原则选择最优置信区间，首先找出置信度大于 1 的所有区间 [X(i) , X( j) ],i j ，然后再从中选择区间 长度最小的一个。对于大样本，可以用近似正态分布求 置信区间。
X t s/ n
假设某地的10栋房屋出售价格（由低到高排列）为56，69， 85， 87， 90，94， 96，113 ，118， 179 （单位：万元）， 问该地区的平均房屋价格是否和人们相信的 84 万元的水平大 体一致。 我们用M表示价格分布的中心（这里考虑中位数），如假设该 分布对称，则M也是均值。我们要检验 H0:M=84,H1:M≠84
字符型数据的符号检验
例. 为了解顾客对咖啡、茶的喜好情况，在某商店随机抽取15 名顾客进行调查，结果有12名顾客更喜欢茶，2名顾客更喜欢 咖啡，1名对两者同样喜好。问顾客对咖啡和茶的喜好是否有 差异？若有，是否更喜欢茶?
此处的目的只是为了比较两者中哪个更受欢迎，并无定量的数 值，因而可采用符号检验，只要把更喜欢茶视为“成功+”， 反之视为“失败-”。故可建立如下假设： H0:P+=P-,H1:P+≠P_ H0:P+=P-,H1:P+>P_
在第一个检验中，仅判定对二者喜好程度有无差异。由调查结 果，n=14，s+=12,s-=2. P(S_≤2|n=14,p=0.5)=0.0065,双侧检 验概率为0.013.
构造置信度为90%的置信区间： [9.8,10.0]
第二节 Wilcoxon符号秩检验
基本概念及性质 对称分布的中心一定是中位数，在非对称分布情况下，中 位数不唯一，研究对称中心比中位数更有意义。 例：下面的数据中，O是对称中心吗？
0
检验步骤
Ex. 某公司为减少加工费用，决定若铸件重量的中位数超过 25公斤，就转包加工；若不超过 25公斤则不转包。现从这 批铸件中随机抽取8件，每件的重量分别为：24.3，25.8， 25.4，24.8，25.2，25.1，25.0，25.5。使用这些数据，能 否作出这批铸件是否转包的决定。
2PN(0,1) (Z z) PN(0,1) (Z z) PN(0,1) (Z z)
检验步骤
Ex. 某国12位总统的寿命（岁）分别为46，57，58，60，60， 63，64，67，72，78，88，90.问该国总统寿命的中位数是 否不小于71.5岁？
根据题目，要检验的是 H0:M0.5≥71.5,H1:M0.5<71.5 显然，当S_太小时拒绝原假设。经计算，K=min(S_,S+)=4 P(K≤4)=? 0.1938
n
n
定义, s I(x i M0 ) , s I(x i M0 ) ，则 s s n , K min{s ,s}
i 1
i 1
在零假设情况下 K ~ B(n,0.5) ，在显著性水平为 的拒绝域为
Pbinom (K k | n, p 0.5)
在0.05的水平下，拒绝前面的两个假设.
中位数的置信区间
根据顺序统计量构造置信区间：
P(X(i) M X( j) ) 1 P(M X(i) ) P(M X( j) ) n n n n k1 k1 Cn Cn 1 i j n 2 k j 2 k i
其中k是满足上式最大的k值。
结果讨论
结果讨论
大样本结论
当n较大时
n n K ~ N( , ) 2 4
Z
Kn 2 N(0,1), n n4
双边： H0 : Me M0 H ， p-值 1 : Me M0
左侧： H0 : Me M0 H ， p-值 1 : Me M0 右侧： H0 : Me M0 H1， p值 :M e M0
按照传统的参数方法，假设房屋价格服从正态分布N(84, σ 2)， X 则检验统计量为 ,t其值为 1.384, 结论呢？ s / n
第一节 符号检验和置信区间
假设总体 F(x) ，Me是总体的中位数，对于假设检验问题：
H0 : Me M0 H1 : Me M0
M 0 是待检验的中位数取值
广义符号检验
假设总体 F(x) ，Mp是总体的p分位数，对于假设检验问题：
H0 : Mp M0 H1 : Mp M0
M 0 是待检验的分位数取值
定义, s I(x i M0 ) , s I(x i M0 ) ，则 s s n ,
n
n
i 1
i 1
K s
在零假设情况下 K ~ B(n,p) ，在显著性水平为 的拒绝域为
Pbinom (K k | n, p)
其中k是满足上式最大的k值。
பைடு நூலகம்
例. 5年前成年人在每日24小时中的睡眠量中位数是7.5小时， 每日睡眠量为 6 小时或少于 6 小时的占调查总数的 5% ， 9 小时 和9小时以上的也占5%。现对8个普通成年人的抽样调查结果 为：7.2，8.3，5.6，7.4，7.8，5.2，9.1，5.8.问现在成年人 的睡眠量是否少于5年前
第四节 Cox-Stuart趋势检验
检验原理:
数据序列： X1,X2,…,X ，双边假设检验问题： n
令：
H0 : 数据序列无趋势 H1 : 有增长或减少趋势
n / 2, n为偶数 c (n+1)/2, n为奇数
由于得到的区域是以中位数对称的，
P X ( k 1)
k 1 M X ( nk ) 1 2P( K k ) Cn 2 i 0 k 1 n 1
采用Neyman原则选择最优置信区间，首先找出置信度大于 1 的所有区间 [X(i) , X( j) ],i j ，然后再从中选择区间 长度最小的一个。对于大样本，可以用近似正态分布求 置信区间。
X t s/ n
假设某地的10栋房屋出售价格（由低到高排列）为56，69， 85， 87， 90，94， 96，113 ，118， 179 （单位：万元）， 问该地区的平均房屋价格是否和人们相信的 84 万元的水平大 体一致。 我们用M表示价格分布的中心（这里考虑中位数），如假设该 分布对称，则M也是均值。我们要检验 H0:M=84,H1:M≠84