自由网平差
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自由网平差
求导
ˆ T P 2 K T N 0 得到 K N 1P X ˆ 2X 1 X1 11 11 X 1 1 ˆ1 x
ˆ T P 2K T N 0 得到 X ˆ Q N K 2X 2 X2 12 2 X 2 21 X 2
于是
1 ˆ ˆ X 2 QX 2 N 21 N11 PX1 X 1
V BT ( BBT ) 1W
BR BT ( BBT ) 1
右逆
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
关于广义逆 2、广义逆（generalized Inverse)
设A是m×n矩阵，秩R（A）＝r<=min(m,n), 如果G满足如下方程，
AGA A
定义为A的广义逆，G为n×m矩阵，并记为 A 一般不唯一。
第三讲 秩亏平差（Free Net Adjustment）
一、自由网平差概述
4、秩亏网平差方法分类（根据约束条件）
加权最小二乘最小范数解
V T PV min ˆTP X ˆ min X
X
最小二乘最小范数解
逆稳平差
V T PV min ˆTX ˆ min X
ˆ X ˆ 1 X ˆ X 2 V T PV min ˆ TX ˆ min X 2 2
关于向量范数（Norm of Vector) ——范数是比长度更广泛的概念
设
X ( x1, x2 xn )
1-范数
X xi
i 1
n
X
p
( xi )1/ p
i 1
n
p
p-范数
X
( x x x )
2 1 2 2
自由网平差结果的相互转换
3
x2
h1
h2
解：
1 1 0 ˆ1 x v 0 1 0 ˆ2 x 0 1 6
2 1 N 1 2
6 v 0
x1
h3
x3
ˆ1 1 2 x ˆc x ˆ2 3 1 x
QP ( N Px GGT Px ) I QP N I QP Px GGT Px
同时右乘G
又
令
0 G QP PxG QP PxG G
QP N I GG Px
T
NG=0、GTPxG=I
ˆ p ( I GG Px ) x ˆc x
T
TP c I GGT Px
同一、数据可以采用：
经典最小二乘平差、普通秩亏网平差、加权秩亏网平差、拟稳平差 不同平差基准下的数据处理 避免因基准不同，对同一网进行多次平差
坐标转换 不同基准下平差解的相互转换
一
经典平差结果转换至秩亏网平差结果
加权秩亏网平差结果
1. 经典平差
经典平差：
ˆc L V Ax T ˆc 0 GC x T V PV min
tr (Qx ˆ2 ) min
结论： 1、最小范数条件与最小方差条件一致 2、所得参数为最优无偏解
注意： 1、对于线性问题，近似值可以任意给定！ 2、近似值提供了基准信息 思考： 1、对于非线性问题，近似值如何给定？为什么？ 2、以上三种结果的关系是什么？
主要内容
秩亏自由网平差的性质 秩亏自由网结果的相互转换 秩亏自由网平差的应用举例
T
tr ((Px Qx ˆ PL )
x2
h1
h2
解：
1 1 0 ˆ1 x v 0 1 0 ˆ2 x 0 1 6
2 1 N 1 2
6 v 0
x1
h3
x3
ˆ1 1 2 x ˆc x ˆ2 3 1 x
QP ( N Px GGT Px ) I QP N I QP Px GGT Px
同时右乘G
又
令
0 G QP PxG QP PxG G
QP N I GG Px
T
NG=0、GTPxG=I
ˆ p ( I GG Px ) x ˆc x
T
TP c I GGT Px
同一、数据可以采用：
经典最小二乘平差、普通秩亏网平差、加权秩亏网平差、拟稳平差 不同平差基准下的数据处理 避免因基准不同，对同一网进行多次平差
坐标转换 不同基准下平差解的相互转换
一
经典平差结果转换至秩亏网平差结果
加权秩亏网平差结果
1. 经典平差
经典平差：
ˆc L V Ax T ˆc 0 GC x T V PV min
tr (Qx ˆ2 ) min
结论： 1、最小范数条件与最小方差条件一致 2、所得参数为最优无偏解
注意： 1、对于线性问题，近似值可以任意给定！ 2、近似值提供了基准信息 思考： 1、对于非线性问题，近似值如何给定？为什么？ 2、以上三种结果的关系是什么？
主要内容
秩亏自由网平差的性质 秩亏自由网结果的相互转换 秩亏自由网平差的应用举例
T
tr ((Px Qx ˆ PL )
论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
论秩亏自由网平差的性质及稳健基准的意义
自由网平差是一种网络平差方法，它可以用来解决复杂的网络平差问题。
自由网平差具有三个特点：1、自由网平差是一种秩亏的网络平差方法，它可以解决复杂的网络平差问题；2、自由网平差是一种稳健的网络平差方法，它可以抵消网络中的噪声和误差；3、自由网平差是一种有效的网络平差方法，它可以有效地提高网络的精度和稳定性。
秩亏的自由网平差是指在网络平差过程中，网络的观测数据和计算结果之间存在着秩亏的状态，即观测数据和计算结果之间存在着不可解释的差异。
这种秩亏的状态可以通过调整网络中的参数来消除，从而达到网络平差的目的。
稳健基准是指在网络平差过程中，通过调整网络中的参数，使网络对噪声和误差具有较强的抗干扰能力，有效地抵消噪声和误差，从而提高网络的精度和稳定性。
稳健基准的意义在于，可以有效地抵消网络中的噪声和误差，保证网络的精度和稳定性。
6秩亏自由网平差S的求法与基准
（2）
X 3 X 30
ˆ 设 X 3 X 30 X 3
ˆ 0 X 3
称为基准条件方程
T 0 0 1 T ˆ ，G X GC C
13
ˆ X ˆ X ˆ ˆ 0 ， 其中 X X 1 2 3
2. 二维测角网
假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定 （已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为 固定值（已知）。 ——这些固定数据构成二维网的平差基准。
ˆ Q AT Pl X r 11
S T Q11 0
T T -1 T QX Q A PQ PAQ Q NQ Q Q S ( S S ) S Q11 ˆ X ˆ 11 ll 11 11 11 11 11 r r
NQ11 I S( S T S )1 S T
可以证明
d u
Q11 N N m
S
T
ˆ 0 X r
u1
ˆTX ˆ min X
主要内容
秩亏自由网平差的三种解法回顾 各类自由网S的确定 S与基准的关系
各类自由网S和G的确定
1、水准网
d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基 本元素+1和-1，其元素结构总是形如:
ˆ 0 0 X 1 V1 1 1 V 0 X ˆ 0 1 1 2 2 6 ˆ 1 0 1 V3 X 3
x2 h1 h2 x3
（1）
x1
h3
0 ym 0 xm
0 1 0
0 zm
y10
0 zm
0
0 xm 0 ym
测绘数据处理自由网平差
(1-7-1） 系数矩阵B最大线性无关的行（列）向量的个数，及B矩阵
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
2020/7/9
2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
2020/7/9 11
此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
2020/7/9
5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
2020/7/9
9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
的秩R(B)等于未知参数 的个数t.即 (1-7-2)
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2
在最小二乘准则下，得其法方程为
(1-7-3)
其中N= PB,W=
。此时，系数阵N为满秩方阵，即
det(N) ,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
(1-7-4)
当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知
方程，从而可以按附有限制条件的间接平差法求解。
等价于约束条件
的限制条件方程为
式中
BG=0
故加权秩亏网平差函数模型为
(1-7-9) (1-7-10)
(1-7-11)
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此处的系数矩阵B不是列满矩阵，而是列亏矩阵。 将式（1-7-11）组成法方程，得
(1-7-12)
式中
， 因N为降秩方阵，无正常逆，所以
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5
（2）、秩亏网平差。它是在最小二乘
和最小范数
的条件
下求定未知参数的最佳估值。
（3）、加权秩亏网平差。它是在最小二乘
和加权最
小范数的条件
下求定未知参数的最佳估值。式
中， 为表示未知参数稳定程度的先验权矩阵。
（4）、拟稳平差。若将平差网中的未知参数分为两类，即
(s>d)
(1-7-7)
平均距离）。 对于一维的高程网，这种约束是使平差前后网店的平均高程保持 不变。 这些约束条件我们称之为重心基准条件。
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9
（三）加权秩亏自由网平差基准 和秩亏自由网平差基准类似，但应考虑各网点的权重，采用了带 权重心基准条件。 （四）拟稳平差基准 也和秩亏自由网平差基准类似，但仅仅是采用所有拟稳点的重心 基准条件。
秩亏自由网平差的解法
秩亏G-M模型：
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
R( A) r t
增加虚拟观测：
ˆ l AX 2 2 1 D ( l ) Q P 0 0
（1）
d t r
P 非奇异对称矩阵
ˆ l B X
d ,t
PI
T 即当 BB I
R( B ) d
（2）
① R( B ) d T ② AB 0
h3 15.817 m
x2 h1 x1 h3 x3 h2
各线路距离S相等，试求平差后各点高程及协因数。 解： 取各点近似高程为：
0 0 0 0 x10 H 10 0 m , x2 H2 12.345 m , x3 H3 15.817 m
PI
1. 列误差方程式
ˆ l V AX
( N i I )S i NSi 0 ( i 1,d )
因N 具有秩亏d=t-r，故N的特征值中必有d个为零，对应 零特征值必存在d个线性无关的特征向量，由此构成矩阵
ud
S ( S 1 S 2 S d )
BT S
R( S ) d
AS 0
（1）再确定
l
T ˆ ˆ X r X r min
Q N Q ( AT PA BT B) I Q A PA I Q B B 右乘 B
T T
T，顾及
ABT O
B T Q B T BBT O
Q B T B T ( BBT ) 1
Q B T B T ( BBT ) 1
左乘 AQ
伪观测法
AQ Q B T AQ B T ( BBT ) 1 ABT ( BBT ) 1 ( BBT ) 1 O
时满足该条件。 相当于
【精】三维自由网平差（学习资料）
_5341722.zsd-_5541722.zsd 是
_5541723.zsd-_6761723.zsd 是
_5161724.zsd-_5541724.zsd 是
_5161724.zsd-_6761724.zsd 是
_5161723.zsd-_6761723.zsd 是
_5161723.zsd-_5541723.zsd 是
三维自由网平差
4.基线改正数及标准差
基线名
Tau
_5161720.zsd-_5341720.zsd 是 _5541724.zsd-_6761724.zsd 是 _5161720.zsd-_5541720.zsd 是 _5161720.zsd-_6761720.zsd 是 _5541721.zsd-_6761721.zsd 是 _5161721.zsd-_6761721.zsd 是 _5161721.zsd-_5541721.zsd 是 _5161721.zsd-_5341721.zsd 是 _5161722.zsd-_5341722.zsd 是 _5161722.zsd-_6761722.zsd 是 _5161722.zsd-_5541722.zsd 是 _5341721.zsd-_6761721.zsd 是 _5341721.zsd-_5541721.zsd 是 _5341722.zsd-_6761722.zsd 是 _5341722.zsd-_5541722.zsd 是 _5541723.zsd-_6761723.zsd 是 _5161724.zsd-_5541724.zsd 是 _5161724.zsd-_6761724.zsd 是 _5161723.zsd-_6761723.zsd 是 _5161723.zsd-_5541723.zsd 是 _5161723.zsd-_5341723.zsd 是 _5161724.zsd-_5341724.zsd 是 _5341720.zsd-_5541720.zsd 是 _5341720.zsd-_6761720.zsd 是 _5341724.zsd-_5541724.zsd 是 _5341724.zsd-_6761724.zsd 是 _5341723.zsd-_6761723.zsd 是 _5541720.zsd-_6761720.zsd 是 _5541722.zsd-_6761722.zsd 是 _5341723.zsd-_5541723.zsd 是
测绘数据处理-自由网平差
2019/2/15
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
2019/2/15
17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
2019/2/15
2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
2019/2/15
det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
2019/2/15
26
点号
P1 P2 P3 P4
/m
2019/2/15
27
（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
2019/2/15
4
d就是网中必要的起算数据个数。且有：
二、秩亏自由网平差思路 为了求得未知参数的唯一确定解，除了遵循最小二乘准则外 ，还必须增加新的约束条件，从而达到求得唯一解的目的 。由于约束条件不同，秩亏自由网平差可分为如下几种情 况： （1）、经典自由网平差。它是在假设网中有d个必要起算数据 的条件下，求定未知参数的最佳估计。这种方法早就已为 人们所熟知。不难理解，该法的平差结果（未知参数X的 解及其协因数阵 ）将随着假设的d个必要起算数据的不同 而不同，即随着已知点位置的改变而改变。
第七行划去，剩下的6三行u列的阵即为三维测边网平差时的附
加阵。 很明显，上述的附加阵G均未标准化，即只是满足了BG=0， 但尚未满足的条件。
2019/2/15
17
阵标准化
1、用原始阵 2、设 和 阵，求出相应的阵 ； 相应 中第i行主对角元素为gii，把原始阵
的第i行数据均乘以
即可得到标准化阵的相应数据；
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2
在最小二乘准则下，得其法方程为 (1-7-3) 其中N= PB,W= 。此时，系数阵N为满秩方阵，即 (1-7-4) 当平差网没有起算数据时，网中所有的点均为待定点。设未知 参数的个数为u,误差方程为 (1-7-5) 组成的法方程为
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det(N)
,N为非奇异阵，有唯一解，其解为
2019/2/15
26
点号
P1 P2 P3 P4
/m
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27
（1）计算网的重心点坐标
（2）计算以加权重心点坐标为坐标原点的各待定点的坐标值
点号
P1 P2 P3
/km
P4
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自 由 网 平 差
自由网平差班级：测绘0911 学号：姓名：日期：一、实验分析（1）实验的目的1.熟悉广义逆的概念和计算当观测值之间不存在着函数相关，是满秩的，以间接平差为例，在求解NX=BTPl的时候，N=BTPB，其秩R(N)=R(BTPB)=R(B)=t，N为非奇异的，存在凯利逆，所以法方程存在唯一的解，称为经典自由网平差，而当网中不设起始数据或不存在必要的起始数据，而且又设网点坐标为待平差参数，误差方程系数阵列亏，这样的平差称为秩亏自由网平差，而这里就引入了广义逆的概念，广义逆是对任何矩阵定义的一种逆矩阵，设A为n*m阵，秩R(A)=γ<=min（m，n），满足方程AGA=A，的G定义为A的广义逆，G为m*n阵，记为A-不唯一，称为A-型广义逆。
（仅当A为m=n阶非奇异方阵时，A-1=A-,唯一）2.了解秩亏自由网平差的原理和方法秩亏自由网平差的原理:误差方程式为V=BX-l，权阵P为D=σ02Q=σ02P-1平差原则：V T PV=min，X T X=min法方程及其解为 NX=B T Pl X=N M-B T Pl=N(NN)-B T Pl因N+也满足最小范数逆的两个条件，故N+∈Nm-,其解也可以用N+表达，即有X=N+B T Pl=N(NN)-N(NN)-NB T Pl,单位权方差估值仍为σ02=V T PV/f=V T PV/(n-R(B))X的协因数阵为 Q XX=Nm-B T PQPB(Nm-)T=N(NN)-N(NN)-N=N+ 或者Q XX=N+ B T PQPBN+=N+NN+=N+ 法方程系数阵N的伪逆N+就是参数估值X的协因数阵。
由误差方程式，顾及Q XV=Q-BQ XX B T=Q-BN+B T秩亏自由网平差的方法:第一步：求得误差方程：V=BX-l第二步：组成法方程:NX=B T Pl第三步：计算N(NN)-和Nm-=N(NN)-第四步：计算X=Nm-B T l第五步：平差结果的计算第六步：X的协因数计算Q XX=N+3.掌握如何使用自由网拟稳平差解决变形监测数据处理在监测自由网中，假定有一部分对于另一部分点是相对稳定的。
第8章自由网平差
2、秩亏自由网平差 如果不设起始已知高程， 设网中全部待定点为参数， 则误差方程为：
ˆ1 l1 v1 1 0 1 x v 1 1 0 x l ˆ 2 2 2 ˆ3 v3 0 1 1 x l3
自由网： 当控制网中仅没有必要的起算数据时，通常称为自由网。 附合网： 当控制网中除必要起算数据时外，还有多余的起算数据 的网，称为附合网。 自由网平差方法分为： 经典自由网平差和秩亏自由网平差两种。
一些特殊用途的控制网，如变形观测网、沉降监测网等， 一般为自由网。
1、经典自由网平差
例：
选定x3的高程为已知，则可列出误差方程为：
v1 1 0 l1 ˆ1 v 1 1 x l 2 2 x ˆ2 v3 0 1 l3
法方程：
ˆ1 l1 l2 2 1 x 0 1 2 x ˆ2 l2 l3
ˆ X 1 t11 B2 f ˆ n1 nt1 X 2 t2 1
2、拟稳平差附加基准条件
ˆ 0 GT Px X 0 0 t1t1 T T 其中：Px , G G1 0 I du dt1 t t 2 2 则基准约束条件变为： ˆ 0 GT X
系数阵的行列式不为零，即R（N）=2，非奇异， 方程有唯一解：
ˆ1 2 1 l1 l2 x x ˆ2 1 2 l2 l3
经典平差法的条件：
是在控制网中必需设定（或已有）足够的坐标起算数据；
如果“设定”的坐标起算数据等于必要起始数据，则称为经 典自由网平差。
第二章2自由网平差基准
1 0 0 ...
...
GCT
42t
0
ac1132
1 b12 d13
0 a12
0
... b12
0
0 c13
... d13
... ... 0 ...
3、二维测边网、边角网、导线网 ①基准条件：一个已知点坐标、一条边上的方位角
Xˆ1 0 Yˆ1 0
a12 Xˆ1 b12Yˆ1 a12 Xˆ 2 b12Yˆ2 0
M
GTG
M
H
m
m
， H
(Yi 2
X
2 i
)
S
2 i
H
i 1
i 1
标准化后G：
1
m
0
GT
Y1
m
X1
m
0
1
m
1
0
m
X 1 Y2
mm
Y1 X 2
mm
0 ....
1
...
m
X2
...
m
Y2
...
m
基准条件也可写为：
1 m
m i 1
Xˆ i
1 m
m
Yˆi
i 1
0 0
S02i
(S00i )2
2(
X
0 i
X 0 )Xˆ i
2(Yi0
Yi )Yˆi
(S00i )2
2(
X
0 i
Xˆ
i
Yi0Yˆ) 2X 0 Xˆ i
2YYˆi
将m个点至重心点的边长取和得：
m
m
m
m
m
S
2 0i
(
S
0 0i
三维自由网平差
是
-279.5359
-972.7634
1217.6322
0.6
1.5
0.8
1583.3626
1:859179
21812393_8185.zsd-TX012393_8217.zsd
是
30.3883
-869.6403
1219.2785
0.8
2.0
1.1
1497.9445
1:619698
21812393_8185.zsd-TX032392.zsd
长度(m)
相对误差
20832390.zsd-21342391_8217.zsd
是
1321.3650
1059.9209
-848.3703
0.7
0.9
0.9
1894.5105
1:1316890
20832390.zsd-21352391_7511.zsd
是
898.8916
609.6090
-420.9916
基线条数:46
平差点数:14
基线标准差置信度(松弛因子):10.00σ
Tau检验显著水平:1.00%
单位权中误差比:0.1061
x2检验值:10.5011
x2理论范围:66.5101 - 138.9868
x2检验结果:False
1.
基线名
Tau
DX(m)
DY(m)
DZ(m)
中误差_DX(mm)
中误差_DY(mm)
21732392_8185.zsd-LL022392_7511.zsd
是
121.2211
-176.1104
300.4389
4.1
4.2
-279.5359
-972.7634
1217.6322
0.6
1.5
0.8
1583.3626
1:859179
21812393_8185.zsd-TX012393_8217.zsd
是
30.3883
-869.6403
1219.2785
0.8
2.0
1.1
1497.9445
1:619698
21812393_8185.zsd-TX032392.zsd
长度(m)
相对误差
20832390.zsd-21342391_8217.zsd
是
1321.3650
1059.9209
-848.3703
0.7
0.9
0.9
1894.5105
1:1316890
20832390.zsd-21352391_7511.zsd
是
898.8916
609.6090
-420.9916
基线条数:46
平差点数:14
基线标准差置信度(松弛因子):10.00σ
Tau检验显著水平:1.00%
单位权中误差比:0.1061
x2检验值:10.5011
x2理论范围:66.5101 - 138.9868
x2检验结果:False
1.
基线名
Tau
DX(m)
DY(m)
DZ(m)
中误差_DX(mm)
中误差_DY(mm)
21732392_8185.zsd-LL022392_7511.zsd
是
121.2211
-176.1104
300.4389
4.1
4.2
《自由网平差基准》课件
数据采集
确定观测点，选择合适的测量仪 器，进行实地测量以获取原始数 据。
数据预处理
对原始数据进行检查、筛选、转 换和整理，以确保数据的质量和 准确性。
平差模型的建立与求解
模型建立
根据实际需求和测量任务，选择合适 的数学模型进行平差计算。
模型求解
运用数学方法和计算技术，求解平差 模型的参数，得到最优解。
详细描述
自由网平差基准在测量数据处理中具有重要作用，它可以对各种测量数据进行处理，提高测量精度和 可靠性。通过自由网平差基准处理，可以消除测量误差，提高测量数据的准确性和可靠性，为后续的 工程设计和施工提供可靠的依据。
自由网平差基准的历史与发展
总结词
自由网平差基准经历了多年的发展，不断优 化和完善。
《自由网平差基准》PPT课件
• 自由网平差基准概述 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的应用场景 • 自由网平差基准的实现方法
• 自由网平差基准的优缺点分析 • 自由网平差基准的案例分析
01
自由网平差基准概述
定义与特点
总结词
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，具有灵活性和可靠性。
详细描述
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，它基于最小二乘原理，通过平差计算对测量数据进行处理，以获得更 准确的结果。自由网平差基准具有灵活性和可靠性，可以根据实际需求选择不同的模型和算法，以适应不同的数 据处理需求。
自由网平差基准的重要性
总结词
自由网平差基准在测量数据处理中具有重要作用，可以提高测量精度和可靠性。
案例二：遥感影像的自由网平差处理
总结词
遥感影像处理
详细描述
在遥感影像处理中，自由网平差基准被用于纠正遥感影像的几何变形，提高遥感数据的 精度和可靠性。通过自由网平差，可以消除遥感影像的扭曲、倾斜等几何误差，使遥感
自由网平差基准PPT演示文稿
空测量等。
算法优化
随着技术的发展，自由网平差 基准的算法不断得到优化和完 善，提高了数据处理效率和精
度。
02
自由网平差基准的基本原理
Chapter
自由网平差的数学模型
01
自由网平差是一种基于最小二乘法的数学模型，通过构建误差方程式和法方程 式，求解出最优解，得到待定点坐标。
02
自由网平差模型中，待定点坐标是未知数，而观测值是已知数，通过观测值之 间的相互关系，可以求解出待定点坐标的最优解。
给定初始值，为模型求解做准备。
迭代计算
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
收敛判定
判断模型是否收敛，若收敛则停止迭代，否则继 续迭代计算。
平差结果的后处理
结果输出
将平差结果以图表、表格等形式进行展示。
精度评估
对平差结果进行精度评估，判断其可靠性和稳定性。
异常值检测
利用平差结果对观测数据进行异常值检测，提高数据质量。
自由网平差基准ppt演示文稿
目录
• 引言 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的实现细节 • 自由网平差基准的优点与局限性 • 自由网平差基准的应用实例 • 总结与展望
01
引言
Chapter
什么是自由网平差基准
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，通过数学模 型和算法对测量数据进行处理，以获得更准确的位置信 息。 它是一种相对定位方法，通过最小化观测值之间的误差 来获得更准确的位置信息。
机器视觉中的应用
总结词
关键技术、高精度要求
详细描述
自由网平差基准是机器视觉中的关键技术之一，能够提供高精度的图像几何校正和配准，广泛应用于 工业自动化、智能交通等领域。
算法优化
随着技术的发展，自由网平差 基准的算法不断得到优化和完 善，提高了数据处理效率和精
度。
02
自由网平差基准的基本原理
Chapter
自由网平差的数学模型
01
自由网平差是一种基于最小二乘法的数学模型，通过构建误差方程式和法方程 式，求解出最优解，得到待定点坐标。
02
自由网平差模型中，待定点坐标是未知数，而观测值是已知数，通过观测值之 间的相互关系，可以求解出待定点坐标的最优解。
给定初始值，为模型求解做准备。
迭代计算
通过迭代计算，逐步逼近最优解。
收敛判定
判断模型是否收敛，若收敛则停止迭代，否则继 续迭代计算。
平差结果的后处理
结果输出
将平差结果以图表、表格等形式进行展示。
精度评估
对平差结果进行精度评估，判断其可靠性和稳定性。
异常值检测
利用平差结果对观测数据进行异常值检测，提高数据质量。
自由网平差基准ppt演示文稿
目录
• 引言 • 自由网平差基准的基本原理 • 自由网平差基准的实现细节 • 自由网平差基准的优点与局限性 • 自由网平差基准的应用实例 • 总结与展望
01
引言
Chapter
什么是自由网平差基准
自由网平差基准是一种测量数据处理方法，通过数学模 型和算法对测量数据进行处理，以获得更准确的位置信 息。 它是一种相对定位方法，通过最小化观测值之间的误差 来获得更准确的位置信息。
机器视觉中的应用
总结词
关键技术、高精度要求
详细描述
自由网平差基准是机器视觉中的关键技术之一，能够提供高精度的图像几何校正和配准，广泛应用于 工业自动化、智能交通等领域。
二维自由网平差
5.6
_2051660.zsd-49771661.zsd
是
255.1372
851.9220
2.9
4.0
_2051653.zsd-49771654.zsd
是
421.8291
156.1454
3.4
3.8
_2051671.zsd-49771672.zsd
是
-1523.1956
14.0370
7.5
5.1
_2561673.zsd-49771674.zsd
3.4
_2051731.zsd-_2561732.zsd
是
-164.1512
125.3796
2.8
3.3
_2051731.zsd-80931732.zsd
是
-490.1648
59.8698
5.1
5.8
_2051732.zsd-80931733.zsd
是
-490.1663
59.8726
4.6
3.6
_2051674.zsd-49771674.zsd
旋转: -000:00:02.96172
缩放: 1.00003860859983
高程拟合参数:
A:-24.8769438080506
B:1.04354647031321E-05
C:6.35100357423265E-05
D:0
E:0
F:0
X0:3787481.82782513
Y0:500650.503339553
3.3
_2051642.zsd-_2561642.zsd
是
-280.8640
-491.0035
3.3
4.0
_2051660.zsd-49771661.zsd
是
255.1372
851.9220
2.9
4.0
_2051653.zsd-49771654.zsd
是
421.8291
156.1454
3.4
3.8
_2051671.zsd-49771672.zsd
是
-1523.1956
14.0370
7.5
5.1
_2561673.zsd-49771674.zsd
3.4
_2051731.zsd-_2561732.zsd
是
-164.1512
125.3796
2.8
3.3
_2051731.zsd-80931732.zsd
是
-490.1648
59.8698
5.1
5.8
_2051732.zsd-80931733.zsd
是
-490.1663
59.8726
4.6
3.6
_2051674.zsd-49771674.zsd
旋转: -000:00:02.96172
缩放: 1.00003860859983
高程拟合参数:
A:-24.8769438080506
B:1.04354647031321E-05
C:6.35100357423265E-05
D:0
E:0
F:0
X0:3787481.82782513
Y0:500650.503339553
3.3
_2051642.zsd-_2561642.zsd
是
-280.8640
-491.0035
3.3
4.0
第二章1秩亏自由网平差与拟稳平差
满足最小二乘法则。
N
1
2 1 1 / 3 1 2
如不设其始高程，则X 1 H1 , X 2 H 2 , X 3 H 3 均为未知高程，
那么，误差方程：
0 1 X 1 L1 1 1 1 0 X 2 L2 0 1 1 X 3 L3
ˆ ˆ ˆ X T X 2K T ( NX AT Pl)
ˆ 对 X 求偏导数令其等于零，得：
ˆ 2 X T 2 K T N 0(极值点） ˆ X
ˆ X N T k (1) ˆ NX AT Pl(2)
所以
NN T K AT Pl
ˆ K ( NN T ) AT Pl, X r N T ( NN T ) AT Pl N ( NN ) AT Pl
水准网中通过观测高差无法确定高程有一个未知数需要有一个高程基准相对于海平面来说例100这时如果还考虑水准尺之间的尺度比这时尺度比为未知参数用高差也无法确定它那就需要一个尺度标准这时d测角网
二、 秩亏自由网平差
3.1 平差问题的基准与网的秩亏数 一、平差问题的基准： 例：
设：H=1.000m 为已知。
ˆ ( N m1 N m2 ) NX 0 ( N m1 N m2 ) AT Pl 0 N m1 AT Pl N m2 AT Pl
两边右乘
ˆ X
例：
ˆ ˆ ˆ X1 X 2 X
是最小范数解是唯一的。
取各点近似高程：
0 0 0 0 H10 X 10 0m, H 2 X 2 12.345m, H 3 X 3 15.823m
高程基准：
d 3 Cn2一维网），高程基准——位置基准，基准个数 d 0 d1 d 2 =2，当不考虑尺度比 d 0 1 。 三角网，测边网，测角网，导线网（二维网）
N
1
2 1 1 / 3 1 2
如不设其始高程，则X 1 H1 , X 2 H 2 , X 3 H 3 均为未知高程，
那么，误差方程：
0 1 X 1 L1 1 1 1 0 X 2 L2 0 1 1 X 3 L3
ˆ ˆ ˆ X T X 2K T ( NX AT Pl)
ˆ 对 X 求偏导数令其等于零，得：
ˆ 2 X T 2 K T N 0(极值点） ˆ X
ˆ X N T k (1) ˆ NX AT Pl(2)
所以
NN T K AT Pl
ˆ K ( NN T ) AT Pl, X r N T ( NN T ) AT Pl N ( NN ) AT Pl
水准网中通过观测高差无法确定高程有一个未知数需要有一个高程基准相对于海平面来说例100这时如果还考虑水准尺之间的尺度比这时尺度比为未知参数用高差也无法确定它那就需要一个尺度标准这时d测角网
二、 秩亏自由网平差
3.1 平差问题的基准与网的秩亏数 一、平差问题的基准： 例：
设：H=1.000m 为已知。
ˆ ( N m1 N m2 ) NX 0 ( N m1 N m2 ) AT Pl 0 N m1 AT Pl N m2 AT Pl
两边右乘
ˆ X
例：
ˆ ˆ ˆ X1 X 2 X
是最小范数解是唯一的。
取各点近似高程：
0 0 0 0 H10 X 10 0m, H 2 X 2 12.345m, H 3 X 3 15.823m
高程基准：
d 3 Cn2一维网），高程基准——位置基准，基准个数 d 0 d1 d 2 =2，当不考虑尺度比 d 0 1 。 三角网，测边网，测角网，导线网（二维网）
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原点纬度
L0
=
113
中央子午线
N0
=
0.0000
北向加常数
E0
=
500000.0000
东向加常数
回到顶部
2三维无约束平差
2.1平差参数
基准
WGS-84
迭代次数
2
参考因子
1.00
χ平方检验(α=95%)
通过
自由度
27
2.2基线向量及改正数
基线
起点->终点.时段
DX/改正数
(m)
DY/改正数
(m)
DZ/改正数
DY04->HG67.328K
0.4721
0.0277
0.2793
DY04->HG67.328L
0.1347
0.4665
0.3476
DY04->HG67.328M
0.3580
0.7991
0.3396
EY02->G021.331K
0.0693
0.0920
0.1366
EY02->HG67.328K
0.4309
-0.0003
0.0024
0.0007
-0.0003
1: 394858
DY04->HG67.328K
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0.0032
0.0038
0.0003
-0.0033
-0.0034
1: 647896
DY04->HG67.328L
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0.0032
0.0023
-0.0117
-0.0057
0.0022
1: 647896
DY04->HG67.328M
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0032
-0.0013
0.0085
0.0028
-0.0019
(m)
距离/改正数
(m)
中误差/相对误差
(m)
DY02->DY04.331H
-1519.1312
-211.6287
-742.0110
1703.8564
0.0031
-0.0008
0.0006
0.0010
0.0002
1: 558411
DY02->EY02.331H
-3334.5682
-1957.2523
DY04->EY02.331H
-1815.4371
-1745.6236
1701.5001
3039.4269
0.0026
0.0021
-0.0066
-0.0014
0.0017
1: 1151096
DY04->EY14.328M
-1134.9505
-114.2128
-611.5582
1294.2800
0.0033
0.7663
0.4586
EY02->HG67.328L
0.1424
0.5361
0.3856
EY02->HG67.331K
0.1831
0.4272
0.3379
EY14->HG67.328M
0.2537
0.9268
0.5470
G021->HG67.331K
0.2352
0.2999
0.4235
2.4 τ(Tau)检验直方图
113:02:05.60274E
0.0007
19.6398
0.0015
0.0018
EY02
28:17:37.96805N
0.0006
113:03:31.98334E
0.0008
37.2655
0.0016
0.0019
EY14
28:16:12.79743N
0.0013
113:02:45.56501E
0.0013
测绘1501-1组-C2-星开地区首级GPS工程文件-陈宇文网平差报告
1坐标系统
1.1坐标系统名称
Xian80
1.2基准参数
椭球长半轴
a
6378140.0000
椭球扁率
f
1/298.25700000
1.3投影参数
M0
=
1.00000000
投影比率
H
=
0.0000
投影高
Bm
=
0
投影面的平均纬度
B0
=
0
0.2508
0.1035
0.2878
DY02->EY02.331H
0.2791
0.1190
0.3200
DY04->EY02.328K
0.4533
0.1734
0.3874
DY04->EY02.331H
0.4344
0.8777
0.2676
DY04->EY14.328M
0.1030
0.4380
0.1852
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
0.0035
0.0013
-0.0061
-0.0031
-0.0003
1: 623244
EY14->HG67.328M
-829.4222
-586.7759
422.7876
1100.4529
0.0041
-0.0012
0.0104
0.0046
0.0035
0.0032
-0.0078
-0.0050
0.0004
1: 623244
EY02->HG67.328L
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
0.0035
0.0024
-0.0128
-0.0063
-0.0008
1: 623244
EY02->HG67.331K
1: 647896
EY02->G021.331K
-1560.4703
1388.4132
-3464.0630
4045.0576
0.0050
0.0003
-0.0009
-0.0006
0.0001
1: 809858
EY02->HG67.328K
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
2.5自由网平差坐标
站点
纬度/中误差
经度/中误差
高程/中误差
中误差
(度:分:秒)
(m)
(度:分:秒)
(m)
(m)
(m)
DY02
28:17:02.88525N
0.0009
113:01:11.26256E
0.0010
19.4020
0.0023
0.0026
DY04
28:16:35.51081N
0.0006
959.4891
3983.8174
0.0032
0.0010
-0.0008
-0.0012
-0.0007
1: 1257687
DY04->EY02.328K
-1815.4371
-1745.6236
1701.5001
3039.4269
0.0026
0.0026
0.0013
-0.0023
-0.0036
1: 1151096
28.5984
0.0024
0.0030
G021
28:15:29.80498N
0.0013
113:04:04.70759E
0.0017
59.6462
0.0038
0.0044
HG67
28:16:28.20343N
0.0009
113:03:21.99839E
0.0011
39.3609
0.0022
0.0026
-0.0029
1: 266033
G021->HG67.331K
1411.5347
-343.7783
1573.7923
2141.8301
0.0058
0.0021
-0.0059
-0.0053
-0.0015
1: 371047
2.3 τ(Tau)检验表
基线
Tau-X
Tau-Y
Tau-Z
DY02->DY04.331H
L0
=
113
中央子午线
N0
=
0.0000
北向加常数
E0
=
500000.0000
东向加常数
回到顶部
2三维无约束平差
2.1平差参数
基准
WGS-84
迭代次数
2
参考因子
1.00
χ平方检验(α=95%)
通过
自由度
27
2.2基线向量及改正数
基线
起点->终点.时段
DX/改正数
(m)
DY/改正数
(m)
DZ/改正数
DY04->HG67.328K
0.4721
0.0277
0.2793
DY04->HG67.328L
0.1347
0.4665
0.3476
DY04->HG67.328M
0.3580
0.7991
0.3396
EY02->G021.331K
0.0693
0.0920
0.1366
EY02->HG67.328K
0.4309
-0.0003
0.0024
0.0007
-0.0003
1: 394858
DY04->HG67.328K
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0.0032
0.0038
0.0003
-0.0033
-0.0034
1: 647896
DY04->HG67.328L
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0.0032
0.0023
-0.0117
-0.0057
0.0022
1: 647896
DY04->HG67.328M
-1964.3727
-700.9887
-188.7706
2094.2253
0032
-0.0013
0.0085
0.0028
-0.0019
(m)
距离/改正数
(m)
中误差/相对误差
(m)
DY02->DY04.331H
-1519.1312
-211.6287
-742.0110
1703.8564
0.0031
-0.0008
0.0006
0.0010
0.0002
1: 558411
DY02->EY02.331H
-3334.5682
-1957.2523
DY04->EY02.331H
-1815.4371
-1745.6236
1701.5001
3039.4269
0.0026
0.0021
-0.0066
-0.0014
0.0017
1: 1151096
DY04->EY14.328M
-1134.9505
-114.2128
-611.5582
1294.2800
0.0033
0.7663
0.4586
EY02->HG67.328L
0.1424
0.5361
0.3856
EY02->HG67.331K
0.1831
0.4272
0.3379
EY14->HG67.328M
0.2537
0.9268
0.5470
G021->HG67.331K
0.2352
0.2999
0.4235
2.4 τ(Tau)检验直方图
113:02:05.60274E
0.0007
19.6398
0.0015
0.0018
EY02
28:17:37.96805N
0.0006
113:03:31.98334E
0.0008
37.2655
0.0016
0.0019
EY14
28:16:12.79743N
0.0013
113:02:45.56501E
0.0013
测绘1501-1组-C2-星开地区首级GPS工程文件-陈宇文网平差报告
1坐标系统
1.1坐标系统名称
Xian80
1.2基准参数
椭球长半轴
a
6378140.0000
椭球扁率
f
1/298.25700000
1.3投影参数
M0
=
1.00000000
投影比率
H
=
0.0000
投影高
Bm
=
0
投影面的平均纬度
B0
=
0
0.2508
0.1035
0.2878
DY02->EY02.331H
0.2791
0.1190
0.3200
DY04->EY02.328K
0.4533
0.1734
0.3874
DY04->EY02.331H
0.4344
0.8777
0.2676
DY04->EY14.328M
0.1030
0.4380
0.1852
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
0.0035
0.0013
-0.0061
-0.0031
-0.0003
1: 623244
EY14->HG67.328M
-829.4222
-586.7759
422.7876
1100.4529
0.0041
-0.0012
0.0104
0.0046
0.0035
0.0032
-0.0078
-0.0050
0.0004
1: 623244
EY02->HG67.328L
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
0.0035
0.0024
-0.0128
-0.0063
-0.0008
1: 623244
EY02->HG67.331K
1: 647896
EY02->G021.331K
-1560.4703
1388.4132
-3464.0630
4045.0576
0.0050
0.0003
-0.0009
-0.0006
0.0001
1: 809858
EY02->HG67.328K
-148.9356
1044.6349
-1890.2707
2164.8480
2.5自由网平差坐标
站点
纬度/中误差
经度/中误差
高程/中误差
中误差
(度:分:秒)
(m)
(度:分:秒)
(m)
(m)
(m)
DY02
28:17:02.88525N
0.0009
113:01:11.26256E
0.0010
19.4020
0.0023
0.0026
DY04
28:16:35.51081N
0.0006
959.4891
3983.8174
0.0032
0.0010
-0.0008
-0.0012
-0.0007
1: 1257687
DY04->EY02.328K
-1815.4371
-1745.6236
1701.5001
3039.4269
0.0026
0.0026
0.0013
-0.0023
-0.0036
1: 1151096
28.5984
0.0024
0.0030
G021
28:15:29.80498N
0.0013
113:04:04.70759E
0.0017
59.6462
0.0038
0.0044
HG67
28:16:28.20343N
0.0009
113:03:21.99839E
0.0011
39.3609
0.0022
0.0026
-0.0029
1: 266033
G021->HG67.331K
1411.5347
-343.7783
1573.7923
2141.8301
0.0058
0.0021
-0.0059
-0.0053
-0.0015
1: 371047
2.3 τ(Tau)检验表
基线
Tau-X
Tau-Y
Tau-Z
DY02->DY04.331H