振动习题

机械振动习题集

同济大学机械设计研究所

2004．9

1_简谐运动及其运算

1-1求下列简谐函数的单边复振幅和双边复振幅

（1）)3sin(2π

ω+

=t x （2）)4

10cos(4π

π+

=t x （3）)452cos(3︒+=t x π

1-2通过简谐函数的复数表示，求下列简谐函数之和。 （1）)3

sin(21π

ω+

=t x )3

2sin(32πω+

=t x （2）t x π10sin 51=

)4

10cos(42π

π+

=t x （3）)302sin(41︒+=t x π )602sin(52︒+=t x π

)452cos(33︒+=t x π

)382cos(74︒+=t x π )722cos(25︒+=t x π

答案：

（1）)6.6cos(359.412︒+=t x ω （2）)52.4710cos(566.312︒-=t x π

（3）)22.92cos(776.1412345︒+=t x π

1-3试计算题1中)(t x 的一阶对数和二阶导数对应的复振幅，并给出它们的时间历程。

1-4设)(t x 、)(t f 为同频简谐函数，并且满足)(t f cx x b x a =++ 。试计算下列问题 （1）已知)3712sin(10)(,25,6,5.1 +====πt x c b a ，求)(t f

（2）已知)647sin(25)(,30,7,3 +====πt f c b a ，求)(t x

1-5简述同向异频简谐振动在不同频率和幅值下合成的不同特点。 1-6利用“振动计算实用工具”，通过变换频率和相位总结垂直方向振动合成的特点。

2_单自由度系统振动

2-1请解释有阻尼衰减振动时的固有圆频率d ω为什么总比自由振动时的固有圆频率n ω小？ 答案：因为n d ωξ

ω2

1-=，ξ<1

2-2在欠阻尼自由振动中，把ξ改成0.9的时候，有人说曲线不过X 轴了，这种说法正确么，

请说明理由？

答案：ξ<1为小阻尼的衰减振动，当然过X 轴

2-3

初始位移0x ,以及初始速度0v . 答案：如n ω2-4 如图2-1答案：T 2=

2-5 O 以角速度ω转动。每个滑块质量为m

答案：22

ωk

n

2-6 如图2-3质心C

答案：n ω=

2-7 图2-4所示，竖直杆的顶端带有质量kg

m 1=时，测得振动频率为Hz 5.1。当带有质量kg m 2=时，测得振动频率为Hz 75.0。略去杆的质量，试求出使该系统成为不稳定平衡状态时顶端质量s m 为多少？

答案：kg m s 3=

2-8 确定图2-5所示系统的固有频率。圆盘质量为m 。

2-9

2-10 确定图答案：n =

ω

2-11 一个粘性阻尼单自由度系统，在振动时测出周期为1.8s ，相邻两振幅之比为4.2:1。求此系统的无阻尼固有频率。

答案：πω14.1=n

2-12 一个龙门起重机，要求其水平振动在25s 内振幅衰减到最大振幅的5%。起重机可简化

成图2-8系统。等效质量

m =10.0，问起重机水平方向的刚度k 至少应达何值。

2-13 某洗衣机重14700N ，用四个弹簧对称支承，每个弹簧的弹簧常数为m N k /80360=。

a) 计算此系统的临界阻尼系数c c ；

b) 在系统上安装四个阻尼器，每一个阻尼系数为m s N c /4.1646⋅=。这时，系统自由振动经过多少时间后，振幅衰减到10%；

c) 衰减振动的周期为多少？与不安装阻尼器时的振动周期作比较。 答案：a) m s N c c /43914⋅=； b) s t 137.0=；

c) s T d 434.0= 而s T n 429.0=

2-14 一个集中质量为m

2-9所答案：

δ=

2-15 一质量m 相撞后一起作自由振动，如图m 在相撞后多少时答案：t =

2-160, 外界激励频率为0.5rad/s, x"u=0.1, q"°=30,利用所给计算工具画出简谐振动以及受Duhamel 积分激励的系统(m=40)的瞬态响应与稳态响应的叠加图 答案：

简谐振动：

受Duhamel 积分激励：

2-17 一个有阻尼弹簧-质量系统，受到简谐激励力的作用。试证明：

发生位移共振的频率比221/ζωω-==n r ； 发生速度共振的频率比1=r ；

发生加速度共振的频率比221/1ζ+=r 。

2-18 一个电动机安装在一个工作台的中部。电动机和工作台的总重量为356N ，转动部分的重量89N ，偏心为1cm 。观察到：当电动机装到工作台上时，其变形为3.2cm 。在自由振动时，1cm 的位移在1s 内将减小1/32cm 。电动机的转速为900r/min 。假定阻尼时粘性的，计算运动的最大幅值。

答案：

2-19 a l x a y ,/sin ==π

答案：0.71cm

2-20 图2-12

定N c m N k 6.262,/6958==

答案：F N F d s ,89==

2-21 在图2-13t F ωsin 。试求质量块m 的振幅。

答案：()(

)

k k m x n ω

ω2

2

2122-+=

2-22 一机器重4410N ，支承在弹簧隔振器上，弹簧的静变形为0.5cm 。机器有一偏心重，产生偏心激励力N g

F 2

54

.2ω=，ω为激励频率，g 为重力加速度，不计阻尼。求：

a) 机器转速为1200r/min 时，传入地基的力； b) 机器的振幅。

答案：a) N F 7.514max =;

b) cm X 0584.0=

2-23 一位移传感器，其固有频率为4.75Hz ，阻尼比为0.65，确定测量误差分别小于：

a) 1%；

b) 2%的最低测试频率。

2-24 如果加速度计的固有频率是所测试运动频率的4倍，该加速度计的读数误差是多少？

答案：6.66%

3_二自由度系统振动

3-1如图，已知m 2＝2×m 1=m ，k 3=2k 1=2k 2=2k ，x 10=1.2,x 20=10x ＝20x ＝0，试求系统的固有频率，主振型以及相应。