2021届高三第五次数学周测试题

OO1 = OE
r2 +
1 4
=
=
21AD=
1 2
12
+
1 4
=
， 49 4
，
因此球 O 的表面积是 S = 4πR2 = 49π. 故选：B.
8.
已知动点
P
在椭圆
C
： x2 25
+
y2 16
=
1
上 ，F
为椭圆
C
的右焦点 ，若点
M
满足
MF
= 1，且 MP ⊥ MF ，则
PM 的最小值为 (
)
A. 3
)
① f(x) 的最小正周期为 2；
② f(x) 图象的一条对称轴为直线 x =-21 ；
③ f(x) 在
2k
-
41 ,2k
+
3 4
,k ∈ Z 上是减函数；
④ f(x) 的最大值为 A,
A. ①④
B. ②③
C. ①③
D. ③④
【答案】C
【解析】由函数 f(x) = Acos(ωx + φ) 的部分图象如图所示，可得 T = 2 × (54 - 41 ) = 2，①正确；
又 AD ⊥ 平面 ABC ，所以 AD//OO1，
延长 O1O 到 E，使得 O1E = AD，连接 DE，
则四边形 AO1ED 为矩形；所以 AO1 = DE, 连接 OA，OD，则 OA = OD = R，
所以 因此
Rt△DEO ≃ Rt△AO1O，所以
R = OA = AO12 + OO12 =
<
1，且
b
>
a，所以角
B
有两解；
对于选项
D
中：因为
sinB
=
bsinA a
<
1，且
b
<
a，所以角
B
仅有一解
.
故选 ：BC .
12. 已知 F1,F2 分别是双曲线 C : x2 - y2 = 1 的左右焦点，点 P 是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量 PF1 ⋅
PF2 = 0，则下列结论正确的是 (
圆 C2 的半径 r 为 2，所以 |PQ| +|PF1| 的最小值等于 C2F1 - 2 = (-1 + 3)2 + 42 - 2 = 2 5 - 2，
∴ |PQ| +|PF1| 的最小值为 2 5 - 6，故选：D.
5.
已知椭圆
C
:
x2 9
+
y2 4
=
1
的左焦点为
F ，点
M
在椭圆
C
上且位于第一象限，O
B. 2
C. 3
D. 1
【答案】C
【所解以析】P由F 已=知，(Fx(-3,30))2，+设y2P=(x,y )29，5则x2y-2=6x16+-251=265x235，因x -P
在椭圆上，所以 -5
25 3
= 5 - 35 x，
≤
x
≤
5
，
所以当
x
=
5
时，|PF|min =
2
，又
MP
⊥
MF
，
所以 PM = |PF|2 - 1 ，所以 PM min = |PF|2min - 1 = 3 .
为坐标原点，若线段
MF
的
中点 N 满足 NF ⋅ NO = 0，则直线 MF 的方程为 ( )
A. 3x - y + 3 5 = 0 B. 2x - y + 2 5 = 0 C. x - y + 5 = 0
D. x - 2y + 5 = 0
【答案】D
【解析】设椭圆
C
的右焦点为
F1，M
(x,y)
2021 届高三第五次数学周测试题 (2020.11.13)
一、单项选择题：( 本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的 )
1. 已知 A = {x|y = 5x - x2 - 4 }，B = x|x2 - 2ax + a + 2 ≤ 0 ，若 A ∪ B = A，那么实数 a 的取值范围是
7. 在四面体 ABCD 中，AB = AC = 2 3 ，BC = 6，AD ⊥ 平面 ABC ，四面体 ABCD 的体积为 3 . 若四面体
ABCD 的顶点均在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是 (
)
A.
49π 4
B. 49π
C.
49π 2
D. 4π
【答案】B
【解析】因为 AB = AC = 2 3 ，BC = 6，
OA
× MA
=
1 2
×
OM
×
AB 2
，
·1·
可得 AB
=
2 ×OA×MA OM
=
46 5
，故选
A.
4.
点
P
在椭圆
C1
： x2 4
+
y2 3
=
1
上
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，C1
的右焦点为
F
，点
Q
在圆
C2
：x
2
+
y2
+
6x
-
8y
+
21
=
0
上
，则
|PQ|
-
|PF| 的最小值为 (
A. 4 2
)
B. 4 - 4 2
C. 6 - 2 5
11. 在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. 根据下列条件解三角形，其中有两解的是 (
)
A. b = 10,A = 45°,C = 70° C. a = 14,b = 16,A = 45°
B. b = 45,c = 48,B = 60° D. a = 7,b = 5,A = 80°
Δ = 4a2 - 4a - 8 ≥ 0
1 ≤ a ≤ 4
当 B 不是空集时, 有 1 - 2a + a + 2 ≥ 0
解得 2 ≤ a ≤ 178 , 综上知, 实数 a 的取值范围是 -1, 178
16 - 8a + a + 2 ≥ 0
故选：D.
2. 函数 f(x) = Acos(ωx + φ) (ω > 0) 的部分图象如图所示，给出以下结论，则其中正确的为 (
C. an+1 ⋅ an
D. an+1 + an
【答案】BC
【解析】因为数列 an
是公比为
q(q
≠
1)
的等比数列,
则
an+1 an
=
q,
对于选项
A,
2an+1 2an
=
2 , an+1-an
因为
an+1
-
an
不是常数,
故
A
错误
；
对于选项 B,aa2n+2n1 =
an+1 an
2
= q2, 因为 q2 为常数, 故 B 正确；
D. 2 5 - 6
【答案】D
【解析】由题得圆 C2：(x + 3)2 + (y - 4)2 = 4，所以圆心为 C2( -3,4)，半径为 2.
设椭圆的左焦点为 F1，则 PQ - PF = PQ - (2a - |PF1|) = PQ + PF1 - 4，
故要求 |PQ| -|PF| 的最小值，即求 |PQ| +|PF1| 的最小值，
，所以
3
=
1 3
⋅
S△ABC
⋅
AD
=
3 AD
，则
AD
=
1
；
设 △ABC 的外接圆半径为 r，记 △ABC 外接圆圆心为 O1，连接 AO1，
由正弦定理可得，2r =
BC sin∠BAC
=
6 3
= 4 3
，则 AO1 = r = 2 3
2
设外接球的半径为 R，连接 OO1，根据球的性质可得，OO1 ⊥ 平面 ABC ，
对于选项
C
,
an+2 ⋅an+1 an+1 ⋅ an
=
an+2 an+1
⋅
an+1 an
=
q2,
因为
q2
为常数,
故
C
正确；
对于选项 D, 若 an+1 + an = 0, 即 q =-1 时, 该数列不是等比数列, 故 D 错误 .
故答案为 : BC
10. 关于定义在 R 上的函数 f(x)，下列命题正确的是 (
【答案】BC
【解析】对于选项 A 中：由 A = 45°,C = 70°，所以 B = 180 - A - C = 65°，即三角形的三个角是确定的值，故
只有一解；
对于选项
B
中：因为
sinC
=
csinB b
=
83 15
<
1，且
c
>
b，所以角
C
有两解；
对于选项
C
中：因为
sinB
=
bsinA a
=
42 7
(x
>
0,y
>
0)，∵
NF
⋅
NO
= 0，∴
NF
⊥
NO，
∵
N
,O
分别是
MF
和 FF1
的中点，∴
MF
⊥
MF1，由已知可得
F(
-
5
,0)，F1(
5
,0)，
∴ (x + 5 ,y) ⋅ (x - 5 ,y) = 0，即 x2 + y2 = 5，
由
x2 9
+
y2 4
x2 + y2 =
= 5
1
得
M
(355 ,455 )，∴
)
A. 若 f(x) 满足 f(2018) > f(2017)，则 f(x) 在 R 上不是减函数 B. 若 f(x) 满足 f( -2) = f(2)，则函数 f(x) 不是奇函数
·3·
C. 若 f(x) 在区间 ( -∞,0) 上是减函数，在区间 0, + ∞ 也是减函数，则 f(x) 在 R 上是减函数 D. 若 f(x) 满足 f( -2018) ≠ f(2018)，则函数 f(x) 不是偶函数.
)
A. 双曲线 C 的渐近线方程为 y =± x C. F1 到双曲线的一条渐近线的距离为 1
B. 以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2 + y2 = 1 D. ΔPF1F2 的面积为 1
【答案】ACD
【解析】
A. 代入双曲线渐近线方程得 y =± x, 正确 .
B.
由题意得
F1( 2 ,0),F2(
三．填空题：( 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 )
13. 已知点 P( -2,0) 和直线 l：(1 + 3λ)x + (1 + 2λ)y - (2 + 5λ) = 0(λ ∈ R)，该直线 l 过定点 __________，
(
)
A.
46 5
B.
26 5
C. 6
D.
36 5
【答案】A 【解析】如图所示，设圆 x - 3 2 + y - 4 2 = 1 的圆心坐标为 M (3,4)，
半径为 r = 1，
则 OM = 32 + 42 = 5,OA = 52 - 1 = 24 = 2 6 ，
则
SΔAOM
=
1 2
×
- 2 ,0)，则以
F1F2 为直径的圆的方程,不是
x2 +
y2 =
1，错误
.
C. D.
F1( 2 ,0)，渐近线方程为 y = x，距离为 1，正确 .
由题意得 F1( 2 ,0),F2( - 2 ,0), 设 P(x0,y0)，根据
PF1
⋅
PF2
=
0，解得
x0
=±
6
2
，y0
=±
2
2
，则
ΔPF1F2 的面积为 1. 正确 . 故选：ACD.
【答案】AD 【解析】由题意，对于 A 中，由 2018 > 2017，而 2018 > 2017 ，由减函数定义可知，f(x) 在 R 上一定不是 减函数，所以 A 正确； 对于 B 中，若 f(x) = 0，定义域关于原点对称，则 f( -2) = f(2) =-f(2)，则函数 f(x) 可以是奇函数，所以 B 错误； 对于 C 中，由分段函数的单调性的判定方法，可得选项 C 不正确； 对于 D 中，若 f(x) 是偶函数，必有 f( -2018) = f(2018)，所以 D 正确 . 故选：AD.
kMF
=
45 3555+5
=
1 2
，
∴
直线
MF
的方程为
y
=
21 (x
+
5)
，即
x
-
2y
+
5
=
0.
故选
：D.
6. 设函数 f x
=
ex-e-x 5
，若
f
2log3m
+ f 2 - 3log3m
> 0，则 m 的取值范围是
(
)
A. -∞,9
B. 1,32
C. 0,5
D. 0,9
【答案】D
【解析】因为 f -x
故选：C
二、多项选择题：( 本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要 求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的 0 分 )
9. 已知数列 an 是公比为 q(q ≠ 1) 的等比数列，则以下一定是等比数列的是 (
)
A. 2an
B. a2n
(
)
A. ( -1，2)
B. 2, 178
C. -1, 178
D. -1, 178
【答案】D
【解析】由题意,A = {x|y = 5x - x2 - 4 } = {x|1 ≤ x ≤ 4},
由 A ∪ B = A 得 B ⊆ A, 又 B = {x|x2 - 2ax + a + 2 ≤ 0}
当 B 是空集时, 符合题意, 此时有 △ = 4a2 - 4a - 8 < 0 解得 -1 < a < 2
=
e-x-ex 5
=-f
x
，所以
f
(x)
是奇函数
，因为
f
(x)
=
ex+e-x 5
>
0
，所以
f
(x)
是增函数
，
因为 f 2log3m + f 2 - 3log3m > 0，所以 f 2log3m >-f 2 - 3log3m = f 3log3m - 2 ，
所以 2log3m > 3log3m - 2，解得 0 < m < 9. 故选：D.
所以 cos∠BAC =
则
S△ABC
=
1 2
⋅
AB
AB2 +AC2-BC2 2AB ⋅ AC
⋅ AC ⋅ sin∠BAC =
=-
1 2
⋅
1 2
，则
2 3 ⋅
sin∠BAC
2 3
⋅
3
2
= =
1 - cos2∠BAC
3 3 ，
=
3
2
，
·2·
因为
AD
⊥
平面
ABC
，四面体
ABCD
的体积为
3
由图知，左侧第一个零点为：41
-
1
=-34
，所以对称轴为：x
=
-34+41 2
=-41
，所以
x
=-21
不是对称轴，
②不正确；
f (x)
在
(2k
-
1 4
，2k
+
34 )，k
∈
Z
上是减函数
；③正确
；
因为 A 正负不定，f(x) 的最大值为 |A|．所以④不正确,综上可得：①③正确．
故选 ：C ．
3. 过坐标原点 O 作圆 x - 3 2 + y - 4 2 = 1 的两条切线，切点为 A,B，直线 AB 被圆截得弦 AB 的长度为