八年级轴对称专题课讲义(精)

轴对称

【知识梳理】

一、轴对称与轴对称图形的区别与联系:

二、轴对称的性质:

1. 关于某条直线对称的两个图形是 _________。(全等图形一定轴对称吗?

2. 如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的 __________。

3. 两个图形关于某直线对称, 如果它们的对应线段或延长线相交, 那么交点在________上。

【典型题型】

轴对称、中心对称题型的识别:

例 1、(2010• 兰州观察下列银行标志,从图案看既是轴对称图形也是中心对称

图形的有 (个.

A . 1个

B . 2个

C . 3个

D . 4个

练习 1、写出以下轴对称图形的对称轴条数: (1直线 _______ (2线段 _______ (3角 _______ (4圆 _______

(5等腰三角形 _______ (6等边三角形 _______

作已知图形的轴对称图形

例 2、 (2009 四川眉山, 19 在 33 的正方形格点图中, 有格点△ ABC 和△ DEF , 且△ ABC 和△ DEF 关于某直线成轴对称,请在右面的备用图中画出所有这样的△DEF 。

练习 2、画出以下图形的轴对称图形 :

轴对称的概念和性质应用

例 3、下列命题中 , 说法正确的是 (

A 两个全等三角形是关于某直线对称的轴对称图形

B 两个全等的等腰三角形是关于某直线对称的轴对称图形

C 关于某直线对称的两个三角形全等

D 关于某直线对称的两个三角形不一定全等

练习 3、 1、下列说法中 , 正确的有( (1 . 两个关于某直线对称的图形是全等形 ;

(2两个图形关于某直线对称 , 对称点一定在直线两旁 ;

(3两个对称图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴 ; (4平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个

图形的“折叠”问题

例 4、 (2009 江苏, 26将矩形纸片 ABCD 沿过点 B 的直线折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处,折痕为 BE (如图③ ;再沿过点 E 的直线折叠,使点 D 落在 BE 上的点D '处,折痕为 E G (如图④ ;再展平纸片(如图⑤ .求图⑤中α∠的大小.

练习 4、矩形纸片 ABCD 的边长 AB =4, AD =2.将矩形纸片沿 EF 折叠,使点 A 与点 C 重合, 折叠后在其一面着色 (如图 ,则着色部分的面积为( B

(A 8 (B

11

2

(C 4 (D52

E D C

F B A

图③ D C A B F '

A D E C 图④图⑤ A

E

(第 11题

利用对称轴解决几何最值问题

例 5、在一平直河岸 l 同侧有 A , B 两个村庄, A , B 到 l 的距离分别是 3 km和2 km, AB= a km(a >1 .现计划在河岸 l 上建一抽水站 P ,用输水管向两个村庄供水.

方案设计

某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案:图 13-1是方案一的示意图,设该方案中管道长度为 d1,且 d1=PB+BA(km (其中 BP ⊥ l于点 P ;图 13-2是方案二的示意图,设该方案中管道长度为 d2 ,且 d2=PA+PB(km (其中点与点 A 关于 l 对称, B 与l 交于点 P .

观察计算

(1在方案一中, d1= ___________km(用含 a 的式子表示 ;

(2在方案二中,组长小宇为了计算 d2的长,作了如图 13-3所示的辅助线,请你按小宇同学的思路计算, d2=__________________km(用含 a 的式子表示 .

练习 5、如图 , 正方形 ABCD 的边长为 8, M 在 DC 上,且 DM=2, N 是 AC 上的一动点, DN+MN的最小值为 __________________。

全等三角形解题能力提升

1. 全等三角形的性质

(1全等三角形中,对应边相等,对应角相等。

2全等三角形的对应线段(对应边上的中线,对应边上的高,对应角的平分线相等。 (3全等三角形的周长相等,面积相等。 2. 全等三角形的五种判定公理:

(1三边对应相等的两个三角形全等, “边边边” (SSS ;

(2两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等, “边角边” (SAS ; (3两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等, “角边角” (ASA ; (4两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等, “角角边” (AAS ; (5斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等, “斜边,直角边” (HL 一、挖掘“隐含条件”判全等

【提示】 :公共边,公共角,对顶角这些都是隐含的边,角相等的条件 1.如图(1, AB=CD, AC=BD,则△ ABC ≌△ DCB 吗 ? 说说理由

二、添条件判全等【提示】 :添加条件的题目 . 首先要找到已具备的条件 , 这些条件有些是题目已知条件 , 有些是图中隐含条件 . 如图,已知 AD 平分∠ BAC ,

要使△ ABD ≌△ ACD ,需要哪些条件?

三、熟练转化“间接条件”判全等

如图(4 AE=CF,∠ AFD=∠ CEB , DF=BE,△ AFD 与△ CEB 全等吗?为什么?

四、条件比较隐蔽时,可通过添加辅助线

如图 3, AB=AC,∠ 1=∠ 2. 求证:AO 平分∠ BAC

2

1C

O

B A

图 3

构造全等三角形的主要方法常见的构造三角形全等的方法有以下三种：①涉及三角形的中线问题时，采用延长中线一倍来构造一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线来构造一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法来构造一对全等三角形；（1）利用中点（中线）构造全等若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 。例 1：如图，已知Δ ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 又是 BC 边上的中线。求