基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法

基于四元数奇异值分解的图像质量评价方法

摘要：

关键词：四元数奇异值分解图像质量评价

图像质量评价是图像处理的重要研究内容之一，作为算法性能评判及参数优化的重要指标，图像质量评价对于图像采集、压缩、编码、去噪、增强、水印、认证、存储、合成、复制等相关领域具有重要意义一。图像质量评价用来表征畸变图像相对于作为标准图像的原始图像的差异程度，其中的畸变图像主要指对原始图像进行如下变换：噪声（高斯、椒盐）、模糊（失焦、大气湍流、运动模糊）、有损压缩（JPEG、JPEG2000、SVD、小波）等。图像质量评价主要有主观和客观两种方式。考虑到传统的主观质量评价不仅对实验条件要求有着苛刻的要求，而且实施步骤复杂，不能满足实时性的要求，客观质量评价吸引了更多关注。

根据参考图像的存在与否，客观图像质量评价方法又可分为全参考、半参考和无参考三种算法。其中，对于全参考算法的研究最为深入，并将其分为：①基于物理信号差异的方法，包括常见的均方误差（MSE)，信噪比（SNR）和峰值信噪比（PSNR）等指标；②基于人言视觉系统（HVS）建模的方法。例如，视觉信噪比（VSNR）利用HVS的临界阈值和超阈值视觉感知特点改进SNR，以便更好的吻合人眼视觉感知结果；③基于结构相似性的方法。假设结构信息丢失是造成图像质量下降的唯一原因，此类方法包括了结构相似度（SSIM)和它的多分辨版本（MSSSIM);④基于自然场景统计（NSS)的方法，包括信息置信度标准（IFC）和视觉信息置信度（VIF）。

1.四元数基础

1.1 四元数及四元数矩阵的定义

1983年，英国数学家哈密顿（Hamilton W R)创造了四元数[1],一个四元数q是四维空间中的一个数，它包含一个实部a和三个虚部b、c、d，其基本形

式为：

dk cj bi a q +++= （1） 其中，a 、b 、c 、d 是四个实数，基元i 、j 、k 满足

1222-====i j k k j i （2） j ik ki i kj jk k ji ij =-==-==-=,, （3） 四元数的全体记为H ，若矩阵H a a A ij n m ij ∈=⨯,)(，则称A 为n m ⨯阶四元数矩阵，n m ⨯阶四元数全体记为n m H ⨯。

1.2 四元数矩阵的特征值和特征向量

设)(q A 为四元数矩阵，如果存在四元数λ及非零的四元数向量)(q x ，使

)()()(q q q x x A λ=，称λ为)(q A 的左特征值，)(q x 为)(q A 的属于左特征值λ的特征向量。同理，可以定义有特征值和特征向量的关系时：λ)()()(q q q x x A =。

1.3 四元数的等价复矩阵

设)(q A 是n m ⨯的四元数矩阵，记作n m q H A ⨯∈)(，如果i B A A c c q )()()(+=，其中)(c A 和)(c B 是两个复矩阵，那么)(q A 的等价复矩阵定义为

n m c c c c c e C A B B

A A 22)()()()

()(⨯∈⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛-=。 1.4 四元数的等价实矩阵

设n m q H A ⨯∈)(，若,)(k A j A i A A A k j i r q +++=),,,(k j i r l R A n m l -∈⨯，那么)

(q A 的等价实矩阵定义为

n m r i

j

k i r k

j j k r i k j i r

r e R A A A A

A A A A A A A A A A A A A 4)

(⨯∈⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝

⎛------= 2. 奇异值分解和四元数矩阵的奇异值分解 2.1 奇异值分解[2]

奇异值分解是一种有效的代数特征提取方法。任意实数或复数矩阵A 可以分解成三个矩阵的乘积T USV A =,其中U 、V 为正交矩阵，即I U U T =，

I V V T =;S 为对角矩阵，即),,,(21i s s s diag S =，),,1(0r i s i =>，)(A rank r =，i s 被称为A 的奇异值，U 的列向量称为A 的左奇异向量，V 的列

向量称为A 的右奇异向量，这就是奇异值分解（SVD ），也可以写成：

T i i r

i i V U s A ∑==1

(4)

从线性代数的角度来看，一幅数字灰度图像可以看成是由对应位置像素的灰度值作为元素组成的实数矩阵，即图像矩阵A ，那么灰度图像（公式4）也可以被认为是r 个秩为1的特征图T

i i V U 以各自奇异值为权相加的总和。

2.2 四元数矩阵奇异值分解的存在性性定理[3]

若)(q X 是秩为r 的n m ⨯的四元数矩阵，则必存在两个四元数酉矩阵

m m q Q U ⨯∈)(和n n q Q V ⨯∈)(，使得n

m r

q q H

q R V X U ⨯∈Λ≡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡Λ=000)()()(，其中，{}r r d i a g λλλ,,,21 =Λ，01(r i i ≤≤λ均为正实数，即为)(q X 的奇异值，

r λλλ≥≥≥ 22，符号H 是共轭转置。

即对任意的n m ⨯的四元数矩阵)(q X 可进行如下的奇异值分解：

H q r

q q V U X )()()(00

0⎥⎦

⎤⎢⎣⎡Λ

= 当然n n H

q q m m H

q q I V V I U U ⨯⨯==)()()()(,（单位矩阵）。 文献[4]给出了四元数奇异值分解存在性的证明

2.3 四元数奇异值分解的意义[5]

假设有H

q q q V U X )()()(Λ=，那么

2()()()()H H

q q q q X X U U =Λ,

2()()()()H H

q q q q X X V V =Λ。

所以，四元数矩阵奇异值分解的意义是：