微积分基本定理

【导语】

定积分与不定积分虽然看起来是两个完全不同的概念，但它们之间有密切的联系．这个关系为定积分的计算提供了一个有效的方法．（要讲述将要解决的问题）！！！ 【正文】

§5.4 微积分基本定理（1）

一、变限定积分

1．变限定积分函数的概念

定义2设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，则任给[,]x a b ∈，定积分

⎰

x a

t t f d )(在],[b a 上

定义了一个函数，称为变上限定积分函数（或变上限定积分），记作()F x ，即

()()d x

a F x f t t =⎰()a x

b ≤≤．

如果()0f t ≥（[,]t a b ∈），那么()F x 表示的是区间],[x a 上以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积（如图1）．

2．变限定积分函数的性质

定理13（变限定积分函数的连续性）设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，则变上限定积分函数()()d x

a F x f t t =⎰在区间],[

b a 上连续．

Remark 00

lim ()d ()d x

x a a

x x f t t f t t →=⎰⎰

证明因为函数()f x 在[,]a b 上可积，所以有界，即存在0M >，使得

(),[,]f x M x a b ∈≤．

所以对任意的,[,]x x x a b +∆∈，

()()()d ()d x x

x

a

a

F x x F x f t t f t t +∆+∆-=-⎰⎰

()d ()d x x

x x

x

x

f t t f t t M x +∆+∆=

∆⎰⎰≤

≤．

因为0

lim 0x M x ∆→∆=，所以0

lim ()()0x F x x F x ∆→+∆-=．

故0

lim ()()x F x x F x ∆→+∆=，即()F x 在x 处连续．

考虑到[,]x a b ∈的任意性，所以()()d x

a

F x f t t =⎰在区间],[b a 上连续．

定理14（微积分基本定理：变限定积分函数的可导性）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则变上限定积分函数()()d x

a F x f t t =⎰在],[

b a 上可导，且导数为

d ()()d ()d x

a

F x f t t f x x '=

=⎰()a x b ≤≤， 即()F x 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数．

证明设),(b a x ∈，设自变量x 的改变量为x ∆，且),(b a x x ∈∆+，则函数()F x 的改变量为

()()()d ()d x x x

a

a

F F x x F x f t t f t t +∆∆=+∆-=-⎰

⎰．

根据定积分的区间可加性，得

[()d ()d ]()d x

x x x

a x

a

F f t t f t t f t t +∆∆=+-⎰⎰

⎰t t f x x x

d )(⎰

∆+=

．

因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，由积分中值定理可知，存在介于x 与x x ∆+之间的ξ，使得

x f t t f x x x

∆=⎰

∆+)(d )(ξ．

所以

0lim

lim ()()x x F

f f x x ξξ∆→→∆==∆．

即()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=．

若a x =，取0>∆x ，),(b a x a ∈∆+，类似可证()()F a f a +'=． 若b x =，取0<∆x ，),(b a x b ∈∆+，类似可证()()F b f b -'=．

推论1 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上一定存在原函数．

推论2设)(x f 是],[b a 上的连续函数，()g x 在[,]αβ上可导，且()a g x b ≤≤，则

()

()()d g x a

F x f t t =⎰

是一个x 的可导函数，且

()

()()

()()d ()()g x a

F x f t t f g x g x '

''=

=⎰

()x αβ≤≤．

证明记()()d u

a

G u f t t =⎰，()u g x =，则()(())F x G g x =．

因为()()G u f u '=，所以

()(())()(())()F x G g x g x f g x g x ''''==．

一般地，如果函数()f x 在[,]a b 上连续，而可导函数(),()g x h x 的值域都在[,]a b 内，则下式成立：

()()

()

()

()

()

()d ()d ()d g x a

g x h x h x a

f t t f t t f t t '

'

=

+⎰

⎰

⎰

(())()(())()f g x g x f h x h x ''=-．

例 1求下列函数的导数

（1）设21

()d t F x t =⎰，求)(x F '；

（2）设⎰

+=

2d 11)(4

x x t t

x G ，求)(x G '；

（3）设⎰

-=x t t t x x H 0

2d sin )()(，求()H x ''．

解（1）22

1

d

()d e e d t x F x t x ''=

=⋅=．