微积分基本定理
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
； 快速阅读加盟 阅读加盟
2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分基本定理与积分变换
微积分基本定理与积分变换微积分是数学的重要分支之一，其核心概念之一就是微积分基本定理和积分变换。
本文将详细介绍微积分基本定理的原理和应用，并探讨积分变换在实际问题中的作用。
1. 微积分基本定理微积分基本定理是微积分的核心概念之一，由牛顿与莱布尼茨在17世纪分别独立发现。
其表述如下：定理1：对于连续函数f(x)，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则有∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理实际上是积分与求导的逆运算，意味着我们可以通过求导的方式来确定函数的不定积分。
基于微积分基本定理，我们可以解决各类函数的积分计算问题。
2. 第一类微积分基本定理第一类微积分基本定理是微积分基本定理的一个重要应用，也被称为牛顿-莱布尼茨公式。
它给出了确定函数F(x)的定积分的方法。
定理2：若f(x)是连续函数，则∫[a,b]f'(x)dx = F(b) - F(a)。
这个定理意味着我们可以通过求函数的原函数来确定其定积分。
这对于解决各类实际问题具有重要意义，比如计算曲线下的面积、求解物体的质量和重心等。
3. 第二类微积分基本定理第二类微积分基本定理是微积分基本定理的另一个重要应用。
它将定积分与不定积分联系在一起，可以用于积分计算和函数的性质分析。
定理3：对于连续函数f(x)，设F(x)是f(x)的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(x)|[a,b] = F(x)|[a,b] - F(x)|[a,b]。
这个定理将定积分转化为函数的不定积分，并通过原函数在区间[a,b]两端求值的差来确定。
利用这个定理，我们可以对函数在特定区间上的积分性质进行研究，比如函数值的大小、连续性等。
4. 积分变换积分变换是微积分的一个重要应用领域，它通过对函数进行积分的方式转换函数本身或者函数的性质，从而简化问题或者获得更有用的信息。
常见的积分变换包括拉普拉斯变换和傅里叶变换。
拉普拉斯变换将函数从时域转换到频域，广泛应用于信号与系统分析、控制系统等领域。
微积分基本定理
2 2 （2 1） （ 2 ln 2 ln 1） 1 2 ln 2 x |1 2(ln x) |1
公式 1: 公式：
b
a
1 b dx = lnx|a x
b
a
f ( x)dx F ( x) | F (b) F (a)
b a
例 4．计算下列定积分 3 1 2 1 (3x - x2 )dx 解:∵ (x ) = 3x ,
1
x
1dx e ___ e 1
初等函数
练习 2:求下列定积分： (1) (x2＋2x＋3)dx； (2) (3)
0 － π 2 1
(cos x－ex)dx；
x 2 sin2 dx. 0 2
练习3：求下列定积分：
(练习) A.π
(1＋cosx)dx等于 B.2 C.π－2
微积分基本定理：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F’(x)＝f（x)，则，
b
a
f ( x)dx F (b) F (a)
这个结论叫微积分基本定理（fundamental theorem of calculus)，又叫牛顿－莱布尼茨公式（Newton-Leibniz Formula).
5.在曲线y＝x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为 线方程. 解：如右图.设切点A(x0，y0)，由 .试求：切点A的坐标及过切点A的切
y′＝2x，得过点A的切线方程为
y－y0＝2x0(x－x0)，即y＝2x0x－ 令y＝0，得x＝ .即C( ,0). .
设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形面积为S，
C.3
答案：D
D.2
微积分学基本定理
(2)
3
(2x
1
1 x2
)dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
2sin x cos x
x2 0
3
. 2
例2
设
f
(x)
2x 5
0 1
x x
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
b
a
f
( x)dx
a
(1)定义法:
b a
n
f ( x)dx lim n i 1
f
(
微积分基本定理
A．
d
f (x)dx
a
B．
d
f (x)dx
a
C．
b
f (x)dx
c
f (x)dx
d
f (x)dx
a
b
c
y
D．
b
c
f (x)dx f (x)dx
y loga x (a 0, a 1, x 0)
y 1 x ln a
y sin x
y cos x
y cos x
y sin x
注：ln a loge a ，称为 a 的自然对数，其底为e ，e 是一个和 π 一样重要的无理数e 2.7182818284 ． 注意 (ex ) ex ．
0
2
【答案】 2π
【例3】
求定积分
1
(
1 (x 1)2 x)dx ．
0
【解析】
1
(
1 (x 1)2 x)dx
1
1 (x 1)2 dx
1 xdx ，
0
0
0
设 y 1 (x 1)2 ，则 (x 1)2 y2 1( y ≥0) ，
∵ 1 1 (x 1)2 dx 表示以1 为半径的圆的四分之一面积， 0
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
0
3π
2 π
( cos
x)dx
2π 3π
cos
xdx
．
2
2
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同步课程˙微积分基本定理 y
1
O
2 x
【答案】
2π
| cos x | dx
0
π
2 cos xdx
微积分基本定理
§3微积分基本定理()baf x dx ⎰＝()ba f t dt ⎰． [,]x ab ∀∈．()()x aF x f t dt =⎰．在[,]a b 有定义．定理1 若[,]f R a b ∈，()()xaF x f t dt =⎰，则（１） ()F x 是[,]a b 上的连续函数．（２） 若()f x 在[,]a b 上连续，则()F x 是[,]a b 上可微，且()()F x f x '=． 证明：（１）0[,]x a b ∀∈，00()()()()()xx xaax F x F x f t dt f t dt f t dt -=-=⎰⎰⎰．[,]m M η∃∈．00()()()0F x F x x x η-=-→．（２）00()()()()F x F x f x x ξ-=-．00000()()limlim ()()x x x F x F x f f x x x ξξ→→-==-． 推论 ()()()()()(())()(())()x x F x f t dt f x x f x x ϕψϕϕψψ''''==-⎰．证明：设()()uaG u f t dt =⎰．()(())()x aG x f t dt ϕϕ=⎰．()(())()x aG x f t dt ψψ=⎰． ()()G u f u '=．((()))(())()G x G x x ϕϕϕ'''=． ()()()()()x x aaF x f t dt f t dt ϕψ=-⎰⎰．例１：232002sin 2limlim 33x x x x x x x ++→→==⎰． ()f x 的积分上限给出()f x 的一个原函数，即()()xaf x dx f t dt C =+⎰⎰()()xad f t dt f x dx =⎰ 若()()uaF u f t dt =⎰()u x ϕ=，则()(())()()[()]()x af t dt F u x f x x ϕϕϕϕ''''==⎰．同理，()()()[()]()[()]()x x d f t dt f x x f x x dxϕψϕϕψψ''=-⎰． 例：求极限2032000sin 22sin 2limlim lim 333x x x x x x x x x x +++→→→⋅===⎰． 二．微积分基本定理定理２ 设()f x 在[,]a b 上连续，()F x 是()f x 在[,]a b 上的一个原函数，则成立()()()()bba af x dx F b F a F x =-⎰．证明：()()xaf t dt F x c =+⎰，()0F a c +=．()()()xaf t dt F x F a ∴=-⎰． ()()()baf t dt F b F a ∴=-⎰．例２：111lim 122n n n n →∞⎛⎫+++⎪++⎝⎭1111111lim lim 121111nn x i n i n n n n n n→∞→∞=⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥=+++=⋅ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥++++ ⎪⎣⎦⎝⎭∑ 110011lim ()ln 1ln 21ni i x i f x dx x n ξ→∞==∆==+=+∑⎰． 例３：121limsin sin sinn n n n n n πππ→∞-⎛⎫+++ ⎪⎝⎭1lim ()ni i x i f x ξ→∞==∆∑1sin xdx =⎰11cos x ππ-=＝112πππ+=．三．定积分的计算１．第一类换元法：()()()(())()()u x bb aa f x x dx f u du ϕϕϕϕϕ='=⎰⎰(())()ba f x d x ϕϕ⎡⎤=⎣⎦⎰．例：cos cos cos 10sin cos ()xx x exdx e d x e e e πππ-=-=-=-⎰⎰．或cos 11111t xt te dt e e e =---=-=-=-⎰．２．第二类换元法：()()()()(())()x t baa bf x dx f t t dt ϕβαϕαϕβϕϕ==='=⎰⎰．例：2()11cos x xe x f x x-⎧≥⎪=⎨≤≤⎪+⎩ -1x 0 求：21()f x dx -⎰． 21()f x dx -⎰＝2021011cos x dx xe dx x -++⎰⎰＝20222101cos 1()1cos 2x x dx e d x x --+---⎰⎰ ＝2020111sin 2x ctgx e x --⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＝202101cos 1sin 2x x e x ----＝041sin 111cos 22x e x ---++＝41sin1(1)21cos1e --++． ３．分部积分法：()()()()()()bbba aau x v x dx u x v x v x u x dx ''=-⎰⎰．例：000sin (cos )cos sin x xdx x x xdx x ππππππ=-+=+=⎰⎰．４．利用函数的特殊性质计算积分： 定理３ ()[,]f x R a a ∈-， （１）若()f x 为偶函数，则有0()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰；（２）若()f x 为奇函数，则有()0aaf x dx -=⎰．证明：()()()aa aaf x dx f x dx f x dx --=+⎰⎰⎰00()()[()()]a aaf t dt f x dx f x f x dx =--+=-+⎰⎰⎰．例：222202(sin )(cos )(sin )()(sin )x t f x dx f x dx f x dt f x dx πππππ=-==-=⎰⎰⎰⎰．例：222000sin cos sin cos 2sin cos sin cos sin cos 2x x x x dx dx A A dx x x x x x x ππππ+==⇒==+++⎰⎰⎰．例：2sin n n xdx I π=⎰，121sin [(1)sin cos ]n n n n xdx I n I x x n--==--⎰ 2201n n n n I II nπ--== 2n ≥． 210sin 1I xdx π==⎰， 02I π=．01131(1)!!22!!2132(1)!!23!!n n n I n n n n n n I n n n π---⎧=⋅⋅⋅=⋅⎪⎪-⎨---⎪=⋅⋅⋅=⎪-⎩ n=偶数 n=奇数例：设21()xt f x e dt -=⎰不能用初等函数表示，221111110000011()()()(1)(1)0(1)22x x f x dx xf x xf x dx f xe dx f e e --'=-=-=+=+-⎰⎰⎰．定理４ ()f x 是以T 为周期的可积函数，则a ∀有0()()a TTaf x dx f x dx +=⎰⎰．注：计算定积分应该注意的问题（1）换元时，上下限应改变．（2）第二类换元不必一一对应．（3）若积分函数积分区域不连续，应变形去掉不连续点．。
微积分基本定理
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同步课程˙微积分基本定理
y
1
O
2 x
【答案】 | cos x | dx 2 cos xdx π2 ( cos x)dx 3π cos xdx
0 0 2 2
2π
π
3π
2π
【例5 】 图中阴影部分的面积总和可用定积分表示为（ A． f ( x)dx
a b
【例1 】 根据定义计算积分 x dx ．
1
1
1 1 【解析】所求定积分为两个全等的等腰直角三角形的面积，故 x dx 2 1 1 1 ． 1 2
【答案】1
2
【例2 】 根据定义计算积分
0
4 x 2 dx ．
2
【解析】所求定积分为圆 x2 y 2 4 在 x 轴上半部的半圆的面积，故 【答案】 2π
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同步课程˙微积分基本定理 四、微积分基本定理 如果 F ( x) f ( x) ， 且 f ( x) 在 [a , b] 上可积， 则 f ( x)dx F (b) F (a) ， 其中 F ( x) 叫做 f ( x) 的
a b
一个原函数． 由于 [ F ( x) c] f ( x) ， F ( x) c 也是 f ( x) 的原函数，其中 c 为常数． 一般地，原函数在 [a , b] 上的改变量 F (b) F (a) 简记作 F ( x) b ， a 因此，微积分基本定理可以写成形式： f ( x)dx F ( x) b a F (b) F ( a) ．
【答案】
4 3
【例11】 (2 x 1)dx ______ ．
0
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
微积分基本定理(6)
x
a
f (t )dt
C.
在上式中令x a， 则由 a f (t )dt 0得到C F (a). a
移项得
x
f (t )dt F ( x) F (a).
a
令x
b，
即得
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a).
此式称为定积分的基本公式.又称牛顿----莱布尼兹公式
ò 常表示为
b a
f
(
x )dx
前提条件 f在[a, b]连 续 (1)
b f ( x)dx 存 在,
a
(2) f ( x)存 在 原 函 数.
x f (t)dt就 是 它 的 一 个 原 函 数. a
13
证明:
因为f ( x)在[a, b]连续
故 x f (t)dt是 f ( x)的一个原函数 a
又F ( x)是f ( x)的原函数， 所以 F ( x)
定积分与积分变量的记号无关.
x
( a cos xd x ) cos x.
8
例2
设 F (x) x2 sin(1 t2 )d t , 求 F(x) . 0
解
令 u x2, g(u)
u
sin(1
t2)dt
,
则
F ( x)
g(x2) ,
0
故 F(x) g(u) d u ( u sin(1 t2)dt) (x2) dx 0
定理指出 ( x)是 f ( x) 的一个原函数,而 ( x) 又是变上限
积分,故
(b)
b
f ( x)dx,
(a)
a
f ( x)dx
a
a
6.2微积分基本定理
sin x ⋅ e = lim x→0 2x
1 = . 2e
例：求 y = ∫0
x
sin t 上的极值。 上的极值 dt 在(-1,1)上的极值。 1+ t
sin x 解： ' = y , 令 y ' = 0, 得 x = 0. 1+ x
cos x(1 + x ) − sin x y '' = , y ''(0) = 1 > 0, 2 (1 + x )
2
(∫ 2 cos t dt )' = ( ∫ cos t dt + ∫ cos t 2 dt )' x x 0
2
0 2
2
x3
x3
= ( − ∫ cos t 2 dt + ∫ cos t 2 dt )&#os x 4 + 3 x 2 cos x 6 .
注： (∫v( x) f (t )dt )' = f (u( x))u'( x) − f (v( x))v '( x).
∫ 例：求 lim
x→ 0
1 cos x
e x
− t2 2
dt .
解： 原式= 原式
0 ( 0 lim
x→0
∫
1
cos x
e dt )'
2
−t2
( x )'
− cos 2 x
= lim
x →0
−( ∫
cos x
1
e dt )'
−t2
2x
= lim
x→0
−e
⋅ (cos x )' 2x
− cos 2 x
微积分基本定理
1
2
x ,0 ≤ x < 1 ， 例8 设 f ( x ) = x,1 ≤ x ≤ 2
2
上的表达式. 求 Φ( x ) = ∫0 f (t )dt ，在 [0,2] 上的表达式
x
解
当 0 ≤ x < 1 时，
Φ( x ) = ∫0 f (t )dt = ∫0 t dt
x x 2
1 t 3 = 1 x 3 = 3 0 3
3 2
3x 2 2x = − 12 1+ x 1 + x8
x 0 “ 型未定式，可利用洛必达法 型未定式， 解 这是一个 ” 0 1 −t cos x −t e 则计算， 则计算，分子为 ∫cos x dt＝－∫1 e dt
2 2
例4
e ∫cos x 求 limt
由法则2得 由法则 得
(2)定理2 (2)定理2 定理
分上限函数Φ ( x ) = ∫ f (t )dt 是 f ( x ) 在区间
x
上连续， 若函数 f ( x ) 在 [a, b]上连续，则积
a
上的一个原函数. [a, b] 上的一个原函数.
此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 此定理一方面说明了连续函数一定存在原函数， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 另一方面也说明了定积分与原函数之间的关系， 从而可能用原函数来计算定积分. 从而可能用原函数来计算定积分
3.法则3 3.法则3 法则
α ( x ) ∈ [a , ， β ( x ) ∈ [a , b] 且α ( x ) 与 β ( x ) b] ，
都可微， 都可微，则有
若函数 f ( x )在区间 [a, b]上连续， 上连续，
微积分中的基本定理和导数初步
微积分中的基本定理和导数初步微积分是一门基础而重要的数学学科，其应用涉及到许多领域，包括物理、化学、工程等等。
微积分的基本理论包括导数、积分、微分方程等等，其中基本定理和导数是微积分的基础，并且在微积分中有着重要的地位。
本文将会介绍微积分中的基本定理和导数初步。
一、基本定理基本定理是微积分中的重要概念之一，其涉及到导数和积分之间的关系。
基本定理包括第一基本定理和第二基本定理。
第一基本定理：如果f(x)在区间[a,b]上连续，那么函数F(x)=∫(a到x)f(t) dt在[a,b]上可导，并且其导数为f(x)。
这个定理告诉我们，积分和导数之间是有一种对应关系的，也就是说，对于一个函数来说，其积分函数的导数就是原函数。
这个定理在实际应用中有着广泛的用途，比如求一些定积分。
第二基本定理：如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)为其一个原函数，那么∫(a到b)f(x) dx=F(b)-F(a)。
这个定理告诉我们，如果知道一个函数的导数，我们就可以通过求积分来求解函数的值。
这个定理在实际应用中也有着广泛的用途，比如说求解一个区间内的面积。
二、导数初步导数是微积分中另一个基础概念，其涉及到函数的变化率。
在微积分中，导数的求法有好几种，比较常见的包括利用极限、利用定义式、利用微积分基本公式等等。
1、利用极限在微积分中，导数的定义式是f’(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h。
我们可以通过这个定义式来求解导数。
例如，如果要求解函数y=x^2+2x+1在点x=2的导数，我们可以这样计算：f’(2)=lim(h->0)[f(2+h)-f(2)]/h=lim(h->0)[(2+h)^2+2(2+h)+1-(2^2+2(2)+1)]/h=lim(h->0)(4h+1)=1。
因此，函数y=x^2+2x+1在点x=2的导数为1。
2、利用定义式另一种求导数的方法是利用导数的定义式进行计算。
微积分基本定理及其应用
微积分基本定理及其应用微积分是高等数学中的一门重要课程，它为理解自然规律和科学现象提供了强有力的数学工具。
在微积分中，基本定理是一个重要的概念，它是微积分中最基本的定理之一。
基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和分部积分公式两部分。
本文将分别介绍基本定理及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它将微积分的两个重要概念联系起来，即微分和积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于 $[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分转化为了原函数的差值，从而实现了对于函数 $f(x)$ 积分的求解。
在实际应用中，我们经常需要求解一些复杂的积分问题，而牛顿-莱布尼茨公式的使用，可以大大简化这个过程。
例如，求解下面的积分：$$\int_{0}^{1}x^2dx$$根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先求出函数 $f(x)=x^2$ 的原函数 $F(x)$，然后再利用公式求解积分。
易得：$$F(x)=\frac{1}{3}x^3$$则：$$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$$二、分部积分公式分部积分公式是微积分中的另一个基本定理，它将积分于微分有机结合在了一起，从而将一些复杂的积分问题简化为一些其他积分问题的组合。
分部积分公式的表述如下：若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可微，则对于$[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$分部积分公式可以用于求解一些复杂的积分问题，特别是在计算工程、物理和化学等领域中很常用。
微积分的基本定理
dx a
由 F(x)
x
f (t)dt
及
F(x)
f (x) 你会想到什么？
a
F(x)是f(x)的一个原函数。
这说明，连续函数必有原函数。
定理
若 f (x) C([a,b]), 则 F(x)
x
f (t)dt, x [a,b]
a
为 f (x) 在[a,b] 上的一个原函数.
推论1 若 f (x) C( I ) , 则 f (x) 在 I 上原函数存在.
2x x2 sint 2dt 2x3 sin x4 . 0
例 6.3.2 设f ( x)为连续函数，证明：
x
xt
0 ( x t) f (t)dt 0 (0 f (u)du)dt.
证
设F( x)
x
( x t) f (t)dt, G( x)
xt
( f (u)du)dt.
0
0
2 0 | cos x | d x
去绝对 值符号(如果 是分段函数， 则利用积分 的性质将积 分分成几个 部分的和的 形式.)
2 2 cos x d x 0
2 (cos x)d x
2
2sin
x
2 0
2sin x
2
2.
2
例6.3.6 设
x2, 1 x 0
f
(
x)
e
x
,
0 x1
求 1 f ( x)dx. 1
解
1 f ( x)dx
0
f ( x)dx
1
微积分七个基本定理
微积分七个基本定理
1、定义域定理（积分定义域定理）：如果函数f（x）有连续的导数f'(x)，那么f（x）在定义域内具有定义连续性。
2、基本定理（积分基本定理）：设内一区间上有一函数f（x），若f（x）在这区间上存在连续的导数f'(x)，那么f（x）的定积分就存在，且可以用反常积分形式表示。
3、基本定理（积分变换定理）：如果函数f(x)和函数g(x)都在某一区间(a,b)上具有反常积分，则有f(x)g(x)在区间(a,b)上有定积分。
4、分部积分定理（部分积分定理）：若f（x）是a到b范围内任意一点x上的可积函数，则有∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx。
5、置换定理：积分置换定理正如名字说的，即把函数f（x）的变量由x换成g（x）的变量，在规定的变换空间内，得到的积分值相等。
6、定理（积分级数定理）：积分级数定理表明，若函数f（x）在区间[a,b]上连续，那么函数的定积分值等同于其积分级数的和。
7、变量替换定理：变量替换定理定义为：如果函数f（x）与变量x 具有连续导数，且变量u=g（x）具有连续导数，那么：∫f（u）d u=∫f （x）g'（x）dx。
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【导语】
定积分与不定积分虽然看起来是两个完全不同的概念，但它们之间有密切的联系．这个关系为定积分的计算提供了一个有效的方法．（要讲述将要解决的问题）！！！ 【正文】
§5.4 微积分基本定理（1）
一、变限定积分
1．变限定积分函数的概念
定义2设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，则任给[,]x a b ∈，定积分
⎰
x a
t t f d )(在],[b a 上
定义了一个函数，称为变上限定积分函数（或变上限定积分），记作()F x ，即
()()d x
a F x f t t =⎰()a x
b ≤≤．
如果()0f t ≥（[,]t a b ∈），那么()F x 表示的是区间],[x a 上以)(x f y =为曲边的曲边梯形的面积（如图1）．
2．变限定积分函数的性质
定理13（变限定积分函数的连续性）设函数)(x f 在区间],[b a 上可积，则变上限定积分函数()()d x
a F x f t t =⎰在区间],[
b a 上连续．
Remark 00
lim ()d ()d x
x a a
x x f t t f t t →=⎰⎰
证明因为函数()f x 在[,]a b 上可积，所以有界，即存在0M >，使得
(),[,]f x M x a b ∈≤．
所以对任意的,[,]x x x a b +∆∈，
()()()d ()d x x
x
a
a
F x x F x f t t f t t +∆+∆-=-⎰⎰
()d ()d x x
x x
x
x
f t t f t t M x +∆+∆=
∆⎰⎰≤
≤．
因为0
lim 0x M x ∆→∆=，所以0
lim ()()0x F x x F x ∆→+∆-=．
故0
lim ()()x F x x F x ∆→+∆=，即()F x 在x 处连续．
考虑到[,]x a b ∈的任意性，所以()()d x
a
F x f t t =⎰在区间],[b a 上连续．
定理14（微积分基本定理：变限定积分函数的可导性）设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则变上限定积分函数()()d x
a F x f t t =⎰在],[
b a 上可导，且导数为
d ()()d ()d x
a
F x f t t f x x '=
=⎰()a x b ≤≤， 即()F x 是)(x f 在],[b a 上的一个原函数．
证明设),(b a x ∈，设自变量x 的改变量为x ∆，且),(b a x x ∈∆+，则函数()F x 的改变量为
()()()d ()d x x x
a
a
F F x x F x f t t f t t +∆∆=+∆-=-⎰
⎰．
根据定积分的区间可加性，得
[()d ()d ]()d x
x x x
a x
a
F f t t f t t f t t +∆∆=+-⎰⎰
⎰t t f x x x
d )(⎰
∆+=
．
因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，由积分中值定理可知，存在介于x 与x x ∆+之间的ξ，使得
x f t t f x x x
∆=⎰
∆+)(d )(ξ．
所以
0lim
lim ()()x x F
f f x x ξξ∆→→∆==∆．
即()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=．
若a x =，取0>∆x ，),(b a x a ∈∆+，类似可证()()F a f a +'=． 若b x =，取0<∆x ，),(b a x b ∈∆+，类似可证()()F b f b -'=．
推论1 设)(x f 是],[b a 上的连续函数，则)(x f 在],[b a 上一定存在原函数．
推论2设)(x f 是],[b a 上的连续函数，()g x 在[,]αβ上可导，且()a g x b ≤≤，则
()
()()d g x a
F x f t t =⎰
是一个x 的可导函数，且
()
()()
()()d ()()g x a
F x f t t f g x g x '
''=
=⎰
()x αβ≤≤．
证明记()()d u
a
G u f t t =⎰，()u g x =，则()(())F x G g x =．
因为()()G u f u '=，所以
()(())()(())()F x G g x g x f g x g x ''''==．
一般地，如果函数()f x 在[,]a b 上连续，而可导函数(),()g x h x 的值域都在[,]a b 内，则下式成立：
()()
()
()
()
()
()d ()d ()d g x a
g x h x h x a
f t t f t t f t t '
'
=
+⎰
⎰
⎰
(())()(())()f g x g x f h x h x ''=-．
例 1求下列函数的导数
（1）设21
()d t F x t =⎰，求)(x F '；
（2）设⎰
+=
2d 11)(4
x x t t
x G ，求)(x G '；
（3）设⎰
-=x t t t x x H 0
2d sin )()(，求()H x ''．
解（1）22
1
d
()d e e d t x F x t x ''=
=⋅=．
（2）()G x
'2()x '=
-
（3）因为⎰⎰
-=x
x t t t t t x
x H 0
20
2d sin d sin )(，所以
)d sin ()d sin ()(0
20
2'-'='⎰⎰x
x t t t t t x x H
2220
()sin d (sin d )sin x x
x t t x t t x x ''=+-⎰⎰
220
2sin sin d sin x x x x t t x -+=⎰⎰=x
t t 0
2d sin ，
故220
()(sin d )sin x
H x t t x '''==⎰．
例 2求极限x
x t
t x x sin d sin lim
20
20
⎰→．
解当0→x 时，因为x x ~sin ，所以3
2
~sin x x x ．从而
x
x t
t x x sin d sin lim
2
20
⎰
→3
20
d sin lim
x
t t x x ⎰
→=．
这是一个
型的不定式，利用罗比达法则，得 2
3
sin d lim
x x t t x →⎰)()d sin (lim
30
20
'
'
=⎰→x t t x
x 2203sin lim x x x →=3
1
=．
所以20
20
sin d 1
lim
sin 3
x x t t
x x →=
⎰． 例3 设连续函数)(x f 在区间],[b a 上单调递增，证明函数a
x t
t f x F x a
-=
⎰d )()(在(,]a b 上
单调递增．
证因为)(x f 在],[b a 上连续，所以()F x 在(,]a b 上可导，且
2
)(d )())(()(a x t
t f a x x f x F x
a
---=
'⎰．
由积分中值定理可知，存在一点(,)a x ξ∈，使得
))((d )(a x f t t f x a
-=⎰
ξ．
因此a
x f x f x F --=
')
()()(ξ．
由题意，函数)(x f 在],[b a 上单调递增，所以()()f x f ξ>，从而()0F x '>．
故函数a
x t
t f x F x a
-=
⎰d )()(在(,]a b 上单调递增．
例4 已知函数()f x 在区间[0,1]上连续、单增，证明：对任意的[0,1]q ∈，都有
1
1
()d (1)()d q
f x x q f x x -⎰⎰≥．
证当1q =时，等号成立．
当[0,1)q ∈时，令1
1
0()d ()()d 1q
f x x F q f x x q
=-
-⎰⎰，则
12
(1)()()d ()(1)q
q f q f x x
F q q --+'=
-⎰．
因为1
(1)()()d q
q f q f q x -=⎰，且()f x 在区间[0,1]上单调递增，所以
1
2
[()()]d ()0(1)q
f x f q x F q q -'=-⎰≥．
又因为(0)0F =，所以当[0,1)q ∈时，()0F q ≥．
【本讲总结与下讲预告】。