高斯积分公式第十一次课

面临的问题：
哪些节点是高斯点？各节点 对应的系数是多少？
公式 ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk )
a k 0
b
n
对f ( x ) x l (l 0,1,
分析：
, 2 n 1)精确成立
b
令 ul ( x ) x l dx
a
A1 A2 An u0 A x A x A x u 1 1 2 2 n n 1 则 A x 2 n 1 A x 2 n 1 A x 2 n 1 u 2 2 n n 2 n 1 1 1
x [1,1 .5 ]
注 意
f
(2)
0 .5 5 Rs 73 0 .000792 2880
若使用梯形公式
( x) 2 1 1 1 cos sin x x4 x x3
max f
(2)
(x) 3
x [1 ,1 . 5 ]
0 .5 3 RT 3 0 .03125 12
a n k 1 k k
b
n
( x )dx ( x ) r ( x )dx
a
b

( x )r ( x )dx A r ( x
a
)
A
k 1
n
k
f ( xk )
结论：
区间[ a , b ]上关于权函数 ( x )的正交多项式 系中的 n +1 次正交多项式的根就是 Gauss点。
用误差估计公式不仅可以计算所求近似值的误 差，还可由给定的精度估计应取多大的步长。
x I e dx 若用复化求积公式计算积分 例3 0

1
的近似值，要求计算结果有四位有效数字，n应取多 大？
解
x [ 0 ,1 ], 0 . 3 e
f
(k )
1
e
x
1
(x) e
x
1 , x [ 0 ,1 ]
Gauss - Legendre 求积公式

1
1
f ( x )dx
A
k 1
n
k
f ( xk )
(1)
其中高斯点为Legendre多项式的零点
1 d ( x 1) Ln ( x ) n , ( x) 1 n 2 n! dx
n 2 n
对于一般有限区间[a,b]，用线性变换 x=(a+b)/2+(b-a)t/2使它变成为[-1,1]。
高斯求积公式
1
1个 节 点 时 ， f ( x )dx 2 f ( 0 ), 具 有 一 次 代 数 精 度 。
1 1
1 1 2个 节 点 时 ， f ( x )dx f ( ) f ( ), 3 3 1
具有三次代数精度
5 1 8 5 1 3个 节 点 时 ， f ( x )dx f ( 15 ) f ( 0 ) f ( 15 ), 9 5 9 9 5 1
f ( x k )具有 2 n 1次代数精度
( x ) f ( x ) dx A
a k 1
k
设 p ( x ) 为 至 多 n次 多 项 式 ,
高斯求积定理
则 p ( x ) ( x ) 为 至 多 2 n 1次 多 项 式
( x ) p ( x ) n ( x )dx
1 0 .5 sin dx h 0.05 1 x 10 5 4 0.05 1 [sin 1 4 f ( x 2 k 1 ) 2 f ( x 2 k ) sin ] 3 1 .5 k 1 k 1
1 .5
0 .3 6 0 8 1 0 6 9
m ( 2h)5 (4) 估计误差 R s f ( ) [a , b ] 2880 m ( 2h)5 (4) 1 Rs f ( ) 5 0 .1 5 73 1 . 2 6 7 3 6 1 0 6 2880 2880 nh 3 若使用复化梯形余项为 : RT f ' ' ( ) [ a , b ] 12 3 nh 1 (2) RT f ( ) 10 0 .05 3 3 0 .0003125 12 12
例1
Leabharlann Baidu
使用辛普森公式 1 .5 1 计 算 积 分 I sin dx 的 近 似 值 , 并 计 算 误 差 。 1 x
已知公式: ba S 6 ab f a 4 f 2 f b
解

1.5
1
1 0.5 1 1 sin dx [sin 1 4 sin sin ] x 6 1.25 1.5
第3节高斯型求积公式
复习回顾
一、 复化梯形公式 二、 复化辛普森求积公式
复化梯形公式
将 区 间[ a ， b ]分 为 n 等 分 ， 复化梯形公式：
在 每 个 子 区 间 [ x k , x k 1 ]( k 0,1,
, n 1)
上用梯形公式

x k 1
xk
h h3 f ( x ) dx [ f ( x k ) f ( x k 1 )] f ' ' ( k ) k [ x k , x k 1 ] 2 12
0 .08333( 0 .84147 4 0 .71736 0 .61837 ) 0 .36076
NIntegrate[Sin[1/x],{x,1,1.5}] 答案： 0.360811
(b a)5 (4) f ( ) [a, b] 估计误差: Rs 2880 24 12 1 1 36 1 (4) f ( x ) ( 5 7 ) cos ( 8 6 ) sin x x x x x x 24 12 1 36 (4) max f ( x ) max( 5 7 8 6 ) 73 x x x x
高斯求积公式
定义： 如 果 一 组 节 点 x1 , x 2 ,
b n
, x n [ a , b ]能 使 求 积 公 式
k
( x ) f ( x )dx A
a k 0
f ( xk )
具有 2 n 1次代数精度，则称这组节点 xk 为 Gauss点， 而此公式称为带权函数 ( x )的 Gauss型求积公式。
b n 1 x k 1
求和可得
a
I f ( x ) dx
k 0
xk
f ( x ) dx
(a, b)
n 1 h ba 2 [ f ( a ) 2 f ( x k ) f (b ) ] h f ''( ) 2 12 k 1
复化辛普森公式
将 区 间 [ a， b ]分 成 n 2 m 等 分 ，
k 0
n
( x ) p ( x ) ( x ) dx 0
a
b
推出：
b n
x 0 , x1 ,
k 0 k
, xn是 高 斯 点
具 有 2 n 1次 代 数 精 度
( x ) f ( x ) dx A
a
b n
f ( xk )
必要性： 若 x 0 , x1 ,
, xn 是 高 斯 点, 则 求 积 公 式
高斯求积公式
1 d ( x 2 1) n 1时 , L1 ( x ) x , 零 点 为x 0 2 dx
1 d 2 ( x 2 1) 2 1 n 2时 , L2 ( x ) 2 0 x 2 2 2! dx 3
1 d 3 ( x 2 1) 3 n 3时 , L3 ( x ) 3 0 3 2 3! dx 1 x1 0, x 2 , 3 15 5 计算相应的系数，就可得到高斯求积公式：
a
b
A
k 1
n
k
p ( x k ) n ( x k ) 0
即 ( x )与任意次数不超过 n的多项式 p ( x ) 在[ a , b ]上关于权函数 ( x )正交
充分性： 设 f ( x )为任意次数不超过 2 n 1次的多项式 , 用 ( x )除 f ( x )得
f ( x ) q ( x ) ( x ) r ( x )
在 每 个 子 区 间 [ x 2 k 2 , x 2 k ]上 引 用
辛普森公式 :
I
ba S 6
ab f a 4 f 2 f b

b
a
f ( x ) dx

k 1
m
x2k x2 k2
f ( x ) dx
m m 1 h b a 4 (4) [ f ( a ) f (b ) 4 f ( x2 k 1 ) 2 f ( x2 k )] h f ( ) 3 180 k 1 k 1
1
具有五次代数精度
例题1
1
例1 1 用高斯—勒让德求积公式计算 例 使其具有五次代数精度。 解： 用三个节点的高斯—勒让德公式
1
1
cos xdx
5 1 8 5 1 f ( x )dx f ( 15 ) f ( 0 ) f ( 15 ), 9 5 9 9 5 1
1
cos xdx 0.5556 0.7147 0.8889 0.5556 0.7147 1.6831
此方程组为非线性方程组，求解十分困难。
高斯求积定理
插值型求积公式 ( x ) f ( x ) dx Ak f ( xk ) 定理：
的 节 点 是 高 斯 点 的 充 要 条 件 是 函 数 ( x ) ( x xk )
k 0
b
n
a
k 0
n
与任意次数不超过n的多项式p ( x )在[ a, b]上 关于权函数 ( x )正交，即 ( x ) p ( x ) ( x) dx 0
n 3 .2 , 故 n 取 4
数值求积公式提高精度的方法 1、增加节点的个数。
如复化梯形公式，复化辛普森公式
2、适当选取x k .
b
高斯求积公式
n k
插值型求积公式
代数精度至少是？ n
( x ) f ( x) dx A
a k 0
f ( xk )
代数精度至多是？ 2n+1
例2
把积分区间[1，1.5]10等分，使用复化辛普森公式
计 算 积 分I
解

1 .5
1
1 sin dx 的 近 似 值, 并 计 算 误 差 。 x
5 4 h S n [ f ( a ) 4 f ( x 2 k 1 ) 2 f ( x 2 k ) f ( b )] 3 k 1 k 1
如 果 要 使 : R T 1 . 26736 10 6
n h3 0 .5 3 1 RT 3 2 1 .26736 10 6 12 4 n
6 3 10 0 . 5 n2 394520 1.26736 4 n 157
这说明使用复化梯形公式计算量比复化辛普森公式大得多
其 中 q ( x ), r ( x ) 均 为 至 多 n次 多 项 式 ， 且 r ( x k ) f ( x k )
( x ) r ( x ) dx A r ( x )
a k 1 k k
b
n
故 ( x ) f ( x )dx
a b
b
( x )q ( x )
a b
证明：必要性：
( x ) f ( x ) dx A
a k 0
n
b
n
k
f ( xk )
x 0 , x1 ,
, xn 是 高 斯 点
满足 ( x ) p ( x ) ( x ) dx 0
a b
推出： ( x ) ( x xk )
k 0
充分性：
( x ) ( x x k ) 满足
用Gauss型求积公式计算积分近似值时，Gauss点 与求积系数都是预先给出的，见p122表
1 2 1 2 1 RT h f ( ) h 10 4 12 12 2
1 n 10 4 n 40 .8 6
2
所以若用复化梯形公式，n应等于41才达到精度 若用复化辛普森公式，则
1 4 (4) 1 4 1 4 RS h f ( ) h 10 180 180 2