杆件的横截面应力

i 1
i 1
n
n
z
Sy A
Syi
i 1 n
Ai
Ai zi
i 1 n
Ai
z
O
i 1
i 1
这种方法称为组合法 .
zC A
A1 C
A2
yC
y
y
z
例1：
求抛物线 z =hy2/b2下方面积的形心。
h
解：
A
A
d
A
b 0
h b2
y2 d y
h b2
b 0
y 2 dy
hb 3
O
y
Sz
A
yd A
b
0
h y
d I yz yz d A
z
平面图形A对坐标轴系的惯性积为
A
I yz
yz d A
A
惯性积反映平面图形对坐标轴系 z
的对称性
O
y
Baidu Nhomakorabea
dA y
例 4-3 求矩形对边轴和形心轴的惯性矩。
解：
Iy
z2 d A
A
h z2b d z bh3
0
3
z
zC
b/2
Iz
y2 d A
A
b y2h d y b3h
b2
y2 d y
h b2
b
0
y3 d y
hb2 4
b
Sy
A
z
d
A
h
0
zb 1
z h
d
z
b
h 0
z
3
z2
h
d
z
b
h2
5
2h 2
bh2
2 5 h 10
y 3b z 3h
4
10
例2： 求图示面积的形心。 解：
z 16
16 16
1400
A 1400860 1334 828 99448 mm2 y 0
dIy z2 d A dIz y2 d A
dIp 2 d A
Iy
z2 d A
A
Iz
y2 d A
A
Ip Iy Iz z
A
惯性半径定义为：
dA
z
iy
Iy A
iz
Iz A
ip
Ip A
O
y
y
▲ 以上讨论都与转动惯量的计算方法相似。
微面积元 dA 乘以 yz 称 dA 对 yOz 轴系的惯性积：
且SyC=SzC=0，可得
I z y 2 A I yC
I y
z 2 A I zC
z
zC
A
对于惯性积，用同样结果可以得到
C
y
I yz yzA I yC zC
z
C
O
y
y
以上公式与计算转动惯量所用的平行轴定理非常相似。
例5：求图形对形心轴和y、z轴的惯性矩。 解： zC 2a
I yC
5a 3
12
a
5a2 1.5a2
5aa3 12
5a2 1.5a2
130 12
22.5
a
4
I zC
5aa3 12
5a3 a
12
130 a4 12
Iy
I yC
10a 2
2a 2
130 12
62.5
a
4
2a
I z I zC
z zC a
C
O 5a
5a
yC a y
四、 转轴公式
研究将坐标系逆时针旋转α角时，平面图形A的惯性矩 和惯性积在新、老轴系之间的变化规律。
Iz cos2 I yz sin 2 I y sin2
Iz
1
cos 2
2
I yz
sin
2
Iy
1 cos 2
2
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
平面图形A对新轴系的惯性积：
I y1z1
y sin z cos y cos z sin d A
A
z2 y2 sin cos yz cos2 sin2 d A A
I y I z sin cos I yz cos2 sin2
经整理后
I y1
Iy
2
Iz
Iy
Iz 2
0
3
Iyz
yz d A
A
b
yd y
h z d z b2h2
0
0
4
I yC
A zC2 d A
h
2 h
2
zC2b d zC
bh3 12
C
yC
h/2
IzC
A yC2 d A
h
2 h
2
yC2h d
yC
b3h 12
O
b
y
b
h
I yCzC
A yC zC d A
2 b
yC
d
yC
50
O
y
860
z 1400860 700 1334 828 1334 / 2 50
1400860 1334 828
511.2 mm
二、惯性矩 , 惯性积和惯性半径
微面积元dA乘以坐标z的平方称dA对y轴的惯性矩 同样， dA对z轴的惯性矩为 dA对O点的极惯性矩为
平面图形A对两坐标轴的惯性矩 和对O点的极惯性矩分别为:
y Sz z Sy
A
A
C点是平面图形A的形心的充分必要条件： 平面图形A对过C点任意方向轴的静矩为零。
SzC=0；SyC=0。
根据静矩定义和静矩的可加性，为了简化复杂图形的形心 计算，可以将复杂图形A分为Ai ，i=1,2,…,n，则
n
n
y
Sz
Szi
i 1
Ai yi
i 1
z
A
n
Ai
n
Ai
2 h
zC
d zC
0
2
2
例 4：求圆对形心轴的惯性矩和极惯性矩。
解：
Iy
z2 d A
A
d
2r
2 r2 sin2 d d r
00
d
2 r3 d r 0
d4
64
Iz Iy
d
d4
IO Iz I y 32
z
r
O
y
三、 平行移轴公式
研究平面图形对两组相平行的轴系的惯性矩、惯性积之间 的关系。首先根据坐标平移公式
Iz sin2 I yz sin 2 I y cos2
Iz
1
cos 2
2
I yz
sin
2
Iy
1
cos 2
2
Iy
2
Iz
Iy
2
Iz
cos 2
I yz
sin 2
平面图形A对旋转后的z1轴的惯性矩：
Iz1
A y12dA
y cos z sin 2 d A
A
y2 cos2 2 yz sin cos z2 sin2 d A A
坐标旋转公式：
z1
z
zy11
y cos z sin y sin z cos
A
y1
z1
y1
z
O
y
y
转轴公式的推导
平面图形A对旋转后的y1轴的惯性矩：
I y1
A z12dA
y sin z cos 2 d A
A
y2 sin2 2 yz sin cos z2 cos2 d A A
y z
b a
y1 z1
I z
y2 d A
A
A b y1 2 d A
A b2 2by1 y12 d A
I z I y
b2 A 2bSz1 I y1 a2 A 2aSy1 I z1
z
z1
A
dA
O1
y1
a
O
y
b
针对形心轴系的平行移轴公式
取O1点为平面图形的形心， a z , b y
一、静矩和形心
微面积 dA 乘以坐标 z 称为dA对y轴的静矩: d S y z d A 同样，dA对 z 轴的静矩为: d Sz y d A
平面图形 A 对两坐标轴的静矩为: z
Sy
zdA
A
A
dA
Sz
yd A
A
z
O
y
y
静矩是可加的, 即
n
Sz Szi ,
n
Sy Syi
i1
i1
利用计算均质板形心的公式, 可知计算几何图形形心的公式: