13材料力学课后题答案

1
( a 2)
(b 2)
(c 2)
8．平面刚架如图所示。刚架各部分材料和截面相同，试用图乘法求截面 A 的转角。
3Fl
1
题8图
1
3 Fl
(b ) - 129 -
(c )
专业班级
姓名
学号
解：结构受外力、单位 1 力作用如图（b） 、 （c）所示；
θA = ∑
ωMC
EI
=−
1 EI
1 ⎡ 1 ⎤ 2 × × 3l × 3Fl × 1 + × 5l × 3Fl × 1⎥ ⎢ 2 ⎣ 2 ⎦
（三）附加题： 1．计算图示曲杆的应变能。
题1图 解：
U = ∑∫
π π M 2 ( s )ds M 2 (θ ) Rdθ ( FR sin θ ) 2 Rdθ π F 2 R 3 = ∫2 +∫2 = 0 0 2 EI 2 EI 2 EI 8EI
2．图示刚架各杆的 EI 皆相等，试求截面 A、B 的位移
1
题2图
x1 x3
1
1
ql 2
( a)
ql 2
1 (b )
1 (c )
- 131 -
专业班级
姓名
学号
M ( x1 ) = 0
解：利用对称性，可求得两点约束反力如图（a）所示，弯矩方程：
M ( x2 ) =
ql q 2； x2 − x2 2 2
M ( x1 ) = 0
（b）图为 A 截面加单位力外力图，弯矩方程：
2 Fl 2 Fl 2l
题6图
2l
1
1
2 Fl
( a) (b )
1
(c )
1
解：结构受外力、单位 1 力、单位 1 力偶作用如图（a） 、 （b） 、 （c）所示；
2 1 ⎡1 ⎤ × 2l × 2 Fl × × 2l + 2 Fl × 2l × 2l + × l × 2l × 2 Fl ⎥ ⎢ EI 3 2 ⎣2 ⎦ 3 3 9 38Fl 38 × 10 ×10 ×10 = = = 21.1mm(←) 3EI 3 × 200 ×103 × 3 × 102 × 104 ωM C 1 ⎡1 1 ⎤ = × 2l × 2 Fl × 1 + 2 Fl × 2l × 1 + × l × 2 Fl × 1⎥ θD = ∑ ⎢ EI EI ⎣ 2 2 ⎦ Δ DX = ∑ = 1 EI 7 Fl 2 7 ×10 ×103 × 106 = = = 0.0117rad (↵) EI 200 ×103 × 3 × 107
Δ CX = ∑
ωM C
EI
+∑
ωT C
GI t
=
1 EI
2 1 2 a⎤ ⎡1 × a × 2 Fa × × a + × a × Fa × × a + Fa × a × ⎥ + ⎢ 3 2 3 2⎦ ⎣2
Fa × a × a GI t ⎡ 3Fa 3 Fa 3 ⎤ =⎢ + ⎥ (←) EI GI 2 t ⎦ ⎣
ωMC
7．刚架各部分的 EI 相等，试用图乘法求在下图所示一对力 F 的作用下，A、B 两点之间的 相对位移和相对转角。
- 128 -
专业班级
姓名
学号
题 7 图（a） 解： （a）题；
题 7 图（b）
1
Fh
( a1)
h h
(b1)
1 (c1)
（b）图； 结构受外力、单位 1 力、单位 1 力偶作用如图（a2） 、 （b2） 、 （c2）所示；
q A
l
F=qa C
题 1 图（a）
q A C
l
题 1 图（b）
B
2．用图乘法求如下悬臂梁上B截面处的挠度时，yB=
B
。 （略）
剪 切 线 （二）基本计算题： 1．计算图示各杆的应变能。
题2图
Me
lx 1
x2
Me
l
FN2l 3F 2 l F 2l F 2l = + = (a) U = ∑ 2 EA 2 EA 2 E (2 A) 4 EA
Δ=∑
F N FN l = EA
4(
2 2 F) a + (−1)(− F ) 2a (2 + 2) 2 2 = Fa EA EA
3．试用莫尔积分法求图示梁的截面 B 的挠度和转角。EI=常数。 题3图 x2 x1 解：
1
1
M ( x1 ) = − x1 ; M ( x2 ) = −(l − a + x2 ); M ( x1 ) = 1; M ( x2 ) = 1;
Δ Ay = ∑ ∫
5．试用图乘法及叠加原理，计算图示梁 B 截面的挠度和转角。
题5图 解：
1
1
Fl 4 Fl 4 l 4
1
- 127 -
专业班级
姓名
学号
ΔB = ∑ =
ωM C
EI
=
1 EI
Fl l 1 Fl 2 l 1 l l Fl ⎤ ⎡ 1 − ×l × × + ×l × × × + × × × ⎥ ⎢ 4 2 2 4 3 4 2 4 4 4⎦ ⎣ 2
2 qx2 [ −(l − a + x2 )] dx2 qa3 M ( x) M ( x)dx 2 Δy = ∑ ∫ =∫ = (4l − a )(↓) 0 24 EI EI EI 2 qx2 − (1)dx2 a M ( x) M ( x)dx qa 3 2 =∫ =− (↵) θ = ∑∫ 0 6 EI EI EI
16.5 Fl 2 (↵) =− EI
9．图示刚架的各组成部分的抗弯刚度EI相同，抗扭刚度GIp也相同，在力F作用下，试求截 面A和C的水平位移。
C D A F a a
F a
B
题9图
解：结构受外力、A 点受单位 1 力、C 点受单位 1 力作用弯矩图如图（b） 、 （c） 、 （d）所示； 结构受外力、C 点受单位 1 力作用扭矩图如图（e） 、 （f）所示；
Δ AB = ∑ =
ωM C
EI
=
1 ⎡ 2 Fl 1 2 2 ⎤ × × × l⎥ ⎢2 × l × EI ⎣ 2 2 3 2 ⎦
Fl 3 (←→) 3EI
θ AB = ∑
=
ωM C
EI
=
1 EI
⎡ 1 2 Fl ⎤ × 1⎥ ⎢2 × × l × 2 2 ⎣ ⎦
2 Fl 2 (↵) EI
2 Fl 2 2 l 2
l 2 0
(
- 132 -
5Fl 3 (↓) 384 EI ωM C 1 = θB = ∑ EI EI Fl 2 = (↵) 12 EI
Fl 1 1 Fl 2 l Fl ⎤ ⎡ 1 − × l × × + × l × × × 1 + 1× × ⎥ ⎢ 4 2 2 4 3 4 4⎦ ⎣ 2
6．已知图示刚架AC和CD两部分的I=3×103.cm4，E=200 GPa。试用图乘法求截面D的水平位 移和转角。F=10kN，l=1m。
− a
4．图示刚架的各杆的 EI 皆相等，试用莫尔积分求截面 A 的位移和截面 C 的转角。 题4图
- 126 -
专业班级
姓名
学号
x1
x2
1 1
1
x3
(b) (c)
(d)
(a)
M ( x1 ) = 0(a); M ( x2 ) = − Fx2 (a ); M ( x3 ) = − Fb(a ); M ( x1 ) = − x1 (b); M ( x2 ) = 0(b); M ( x3 ) = − a(b); M ( x1 ) = 0(c); M ( x2 ) = 0(c); M ( x3 ) = − x3 (c); M ( x1 ) = 0(d ); M ( x2 ) = −1(d ); M ( x3 ) = −1(d );
- 125 -
专业班级
姓名
学号
F a D
A
B
1
A a
B
C a F
D
C a
1
题2图 解：结构受 F 力作用内力：
FNAB = FNAD = FNCD = FNBC =
结构受一对单位力作用内力：
2 F ; FNBD = − F ； 2
F NAB = F NAD = F NCD = F NBC =
2 ; F NBD = −1 ； 2
3 Fa 2a a
Fa
a
a
(b )
(c )
(d )
Fa
a
Fa
a
(e)
(f)
- 130 -
专业班级
姓名
学号
Δ AX = ∑ =
ωM C
EI
=
1 EI
2 1 5 ⎡1 ⎤ × 2a × 2 Fa × × 2a + × a × Fa × × 2a ⎥ ⎢ 3 2 6 ⎣2 ⎦
7 Fl 3 ( ←) 2 EI
b − Fb( − a ) dx M ( x) M ( x)dx Fabh 3 =∫ = (↑) 0 EI EI EI b − Fb ( − x ) dx M ( x) M ( x)dx Fbh 2 3 3 Δ Ax = ∑ ∫ =∫ = (→) 0 EI EI 2 EI b − Fx ( −1) dx b − Fb( −1) dx M ( x) M ( x)dx Fb 3 2 2 θc = ∑ ∫ =∫ +∫ = (b + 2h)(↵) 0 0 EI EI EI 2 EI
l M 2 ( x)dx = ∫3 (b) U = ∑ ∫ 0 2 EI
(−
Me 2 Me x1 ) dx1 x2 ) 2 dx2 2l (− M 2l l l +∫ 3 = e 0 2 EI 2 EI 18 EI