八年级数学动态几何综合探究题训练大全
动态几何综合测试(二)(含答案)
动态几何综合测试（二）试卷简介:调用前期讲解的动点问题处理框架及图形运动处理框架，检测学生在复杂背景下对各种知识的调用组合能力，如图形往返，放缩运动下的面积问题、存在性问题，要求在掌握题目本身套路的同时，能够对知识间的组合，模块间的组装有所感触。
一、单选题(共4道，每道25分)1.如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=50，AD=75，BC=135．点P从点B出发，沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长度的速度向点C匀速运动；点Q从点C出发，沿线段CB以每秒3个单位长度的速度匀速运动．过点Q向上作射线QK⊥BC，交折线段CD-DA-AB 于点E．点P，Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，点Q也随之停止．设点P，Q运动的时间为t秒（）．（1）当点P落在射线QK上时，t的值为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：1．解题要点①首先研究基本图形：通过作双高研究梯形，求出高的长，得到两侧三角形的性质；②研究运动状态：通过对动点运动的研究，得到点P，Q的运动状态，如图所示，由线段图可知；③分析目标，当点P与点A重合时，时间为10s，此时点Q恰好在点D的正下方，即射线QK经过点D（点D与点E重合），所以当点P落在射线QK上时，点P在线段AD上；④画出点P落在射线QK上时的大致位置，从动点运动表达起，建立等式进行求解．2．解题过程如图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，易得MN=AD=75，BM=CN=30，AM=DN=40，当点P落在射线QK上时，如图所示，由题意得，，∴AD=，解得．∴当点P落在射线QK上时，t的值为．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架2.（上接第1题）（2）记△PEQ的面积为S，则点P落在射线QK上之前的S与t之间的函数关系式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点①分析引起目标三角形变化的状态转折点，如图所示，要求S的表达式，显然需要分两段，即．②分段画图，设计方案表达面积（公式法）．2．解题过程当时，过点P作PF⊥BC于点F，各点位置如图所示，∵BP=5t，CQ=3t，∴BF=3t，PF=4t，QE=4t．易知四边形PFQE是矩形，∴PE=FQ，∴，∴．当，各点位置如图所示，由题意得，，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架3.（上接第1，2题）在整个运动过程中，满足△PEQ是直角三角形的时间t的取值范围是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：1．解题要点充分利用前两题的分析（运动状态和图形性质），整个运动可分为四段：，在每一段内对目标进行研究．在求出结果时，需要对端点时刻的状态进行验证，判断是否满足题意．2．解题过程①当时，点P在AB上，点E在CD上，如图所示，由第2题的分析可知∠PEQ=90°，△PEQ始终是直角三角形，∴符合题意．②当时，点P，E都在线段AD上，始终满足∠PEQ=90°，△PEQ是直角三角形，∴满足题意．③当时，点E在AD上，点P在CD上，若△PEQ是直角三角形，只能是∠EPQ=90°，所以只需要判断以EQ为直径的圆是否与线段CD有交点．此时，∵，∴，∴以EQ为直径的圆与线段CD无交点，∴不满足题意．④当时，满足题意，如图所示，综上所述，满足题意的t的取值范围是．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架4.如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=8，AC=6，直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE=90°）的底边DE落在BC边上，腰DH落在AC边上，且DE=4，∠DEF=∠CBA，AH∶AC=2∶3．固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位长度的速度沿CB向右移动，当点D与点B重合时停止．设移动的时间为t秒，移动后的直角梯形为（如图2），△ABC与直角梯形重叠部分的面积为S（这里规定点是面积为0的几何图形），则S与t之间的函数关系为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：1．解题要点①研究基本图形，各线段长如图所示，EF始终与AB平行．②分析运动状态，如图所示，在找状态转折点时，找边与顶点碰撞的时刻，∴．③分段画图，设计方案求解面积．2．解题过程由题意得，DH=2，DE=4，过点F作FG⊥BC于点G，得到各线段长如下图所示，①当时，重叠部分即为直角梯形，如图所示，∵DE=4，，∴．②当时，如图所示，设与AB交于点M，则重叠部分为直角梯形，∵CE=t+4，BC=8，∴BE=t-4．∵重叠部分的面积S=梯形的面积-平行四边形MBEF的面积，∴．③当时，如图所示，设与AB交于点N，则重叠部分为△BDN，∵CD=t，BC=8，∴BD=8-t．△BDN是三边之比为3:4:5的直角三角形，∴，∴．综上所述，．试题难度：三颗星知识点：图形运动处理框架。
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总训练
最全初中数学几何动点问题专题分类归纳汇总近几年有关“线段最值”的中考试题层出不穷，形式多样，往往综合了几何变换、函数等方面的知识，具有一定的难度，具有很强的探索性，通过研究发现，这些问题尽管形式多样、背景复杂、变化不断，但都可以通过几何变换转化为常见的基本问题．最值题目类型多：作图、计算；有求差最大，求和最小；求周长最小、求时间最短；求最值、已知最值求待定系数等；对称载体多：几乎涉及到初中全部的轴对称图形（角、线段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、抛物线、圆、坐标轴）.我们知道“对称、平移、旋转” 是三种保形变换。
通过这三种几何变换可以实现图形在保持形状、大小不变的前提下而使其位置发生变化，具有更紧凑的位置关系或组合成新的有利论证的基本图形．通过几何变换移动线段的位置是解决最值问题的有效手段，题目是千变万化的，但是运用几何变换把最值问题转化为基本问题却是不变的。
数学问题是千变万化的，几何变换的应用也不是单一的，有些问题需要多种变换的组合才能解决，看看以下策略对解决问题能否奏效。
（1）去伪存真。
刨去不变的线段，看清楚究竟是几段和的最小值问题，必须仔细研究题目的背景，搞清楚哪些是动点、哪些是定点、哪些是定长。
（2）科学选择。
捕捉题目的信号，探索变换的基础，选择变换的手段．平移把不“连”的线段“接”起来，旋转把“碰头”的线段“展”开来重“接”，对称把在同侧的线段翻折过去重组，因此“不连——平移、碰头——旋转、同侧——对称”是一般的思路；对称变换的基础是轴对称图形，平移变换的基础是平行线，旋转变换的基础是等线段，所以选择哪种几何变换还要看题目中具备何种变换的基础信息。
（3）怎么变换？对称变换一般以动点所在直线为对称轴，构建定点（直线）的对称点（直线），如有多个动点就必须作多次变换；平移一般是移动没有公共端点的两条线段中的某一条，与另一条对“接”；旋转变换一般以定点为旋转中心旋转60°或90°。
专题01 几何动态问题(解析版)
专题01 几何动态问题1．小明发现，若一个三角形中，中线的存在会和三角形的面积有一定的关系．如图1，ABC D 中，CD 为AB 边的中线，可得AD BD =，过点C 作CM AB ^于M ，则1122ADC BDC S AD CM BD CM S D D =×=×=．在持续研究中，小明发现，这个研究可以运用到很多问题解决中，请你帮助小明完成下列任务：（1）如图2，矩形ABCD 中，点M ，N 分别为CD ，AB 上的动点，且DM AN =，AM 与DN 交于点E ．连接CE ．①判断DAE D 与DME D 的面积关系；②若3AD =，4AB =，当点M 为CD 的中点时，求四边形BCEN 的面积；（2）ABC D 中，30A Ð=°，6AB =，点D 为AB 的中点，连接CD ，将ACD D 沿CD 折叠，点A 的对应点为点E ，若ECD D 与ABC D 重合部分的面积为ABC D 面积的14，直接写出ABC D 的面积．【解答】解：（1）①连接MN ，作DP AM ^，垂足为P ，//DM AN Q ，DM AN =，90ADM Ð=°，\四边形ANMD 是矩形，AE EM \=，DE EN =，12DAE S AE DP D \=×，12DME S EM DP D =×，DAE DME S S D D \=；②DNA DEC BCEN ABCD S S S S D D =--四边形四边形，E Q 为AM 的中点，E \到DM 的距离为12AD ，11114332222DEC S DC AD D \=×=´´´=，111433222DAN S AN AD D =×=´´´=，4312ABCD S AB CD =×=´=Q 矩形，12336BCEN S \=--=四边形；（2）设ACD S D 的高为h ，由前面提到的发现可知，CD 作为中线，可得ACD CDB S S D D =，11132222ACD S AD h AB h h D =×=´×=Q ，23ABC ACD S S h D D \==，设BC 交DE 于点Q ，Q 重合部分面积为ABC S D 的14，即13344CDQ S h h D =´=，11111244222CDQ ABC ADC ADC CDE CDB S S S S S S D D D D D D \==´===，CQ Q 是中线，QD QE \=，1111322222QE DE AD AB \===´=，CDE D Q 是由ACD D 沿CD 折叠，30A E \Ð=Ð=°，cos30°=Q\QE CE ==CE \，根据勾股定理得，CQ ==，CQE CQD S S D D \==14ABC CQE S S D D \=2．【问题再现】苏科版《数学》八年级下册第94页有这样一题：如图1，在正方形ABCD 中，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，AD 上的点，GE BF ^，垂足为M ，那么GE = BF ．（填“<”、“ =”或“>” )【迁移尝试】如图2，在56´的正方形网格中，点A ，B ，C ，D 为格点，AB 交CD 于点M ．求AMC Ð的度数；【拓展应用】如图3，点P 是线段AB 上的动点，分别以AP ，BP 为边在AB 的同侧作正方形APCD 与正方形PBEF ，连接DE 分别交线段BC ，PC 于点M ，N ．①求DMC Ð的度数；②连接AC 交DE 于点H ，直接写出DH BC的值为 ．【解答】解：【问题再现】GE BF ^Q ，90BMG \Ð=°，将线段GE 向左平移至AL 处，交BF 于I ，AL GE \=，90AIB BMG Ð=Ð=°，90BAL ABI \Ð+Ð=°，Q 四边形ABCD 为正方形，AB BC \=，90ABC C Ð=Ð=°，90CBF ABI \Ð+Ð=°，BAL CBF \Ð=Ð，()ABL BCF ASA \D @D ，AL BF \=，GE BF \=，故答案为：=；【迁移尝试】将线段AB 向右平移至ND 处，使得点B 与点D 重合，连接PN ，如图2所示：AMC NDC \Ð=Ð，设正方形网格的边长为单位1，则由勾股定理可得：DN ==，PD ==，PN ==，222PN PD DN \+=，DPN \D 是直角三角形，90DPN Ð=°，且PN PD =，45AMC NDC \Ð=Ð=°；【拓展应用】①平移线段BC 至DK 处，连接KE ，如图3所示：则DMC KDE Ð=Ð，四边形DKBC 是平行四边形，DC KB \=，Q 四边形ADCP 与四边形PBEF 都是正方形，DC AD AP \==，BP BE =，90DAK KBE Ð=Ð=°DC AD AP KB \===，AG BP BE \==，在AKD D 和BEK D 中，AK BE DAK KBE AD KB =ìïÐ=Ðíï=î，()AKD BEK SAS \D @D ，DK EK \=，ADK EKB Ð=Ð，90EKB AKD ADK AKD \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90EKD \Ð=°，45KDE KED \Ð=Ð=°，45DMC KDE \Ð=Ð=°；②如备用图所示：AC Q 为正方形ADCP 的对角线，45DAC PAC DMC \Ð=Ð=Ð=°，AC \=，HCM BCA Ð=ÐQ ，AHD CHM ABC \Ð=Ð=Ð，ADH ACB \D D ∽，\DH AD BC AC ==，．3．已知，矩形ABCD中，4=，AC的垂直平分线EF分别交AD、BCBC cmAB cm=，8于点E、F，垂足为O．（1）如图1，连接AF、CE．求证四边形AFCE为菱形，并求AF的长；D和CDE（2）如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿AFBD各边匀速运动一周．即点P自A F B A®®®停止．在运动过程中，®®®停止，点Q自C D E C①已知点P的速度为每秒5cm，点Q的速度为每秒4cm，运动时间为t秒，当A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．②若点P、Q的运动路程分别为a、b（单位：cm，0)ab¹，已知A、C、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形，求a与b满足的数量关系式．【解答】解：（1）①Q四边形ABCD是矩形，\，AD BC//Ð=Ð，CAD ACB\Ð=Ð，AEF CFEQ垂直平分AC，垂足为O，EF\=，OA OC\D@D，AOE COFOE OF \=，\四边形AFCE 为平行四边形，又EF AC ^Q ，\四边形AFCE 为菱形，②设菱形的边长AF CF xcm ==，则(8)BF x cm =-，在Rt ABF D 中，4AB cm =，由勾股定理得2224(8)x x +-=，解得5x =，5AF cm \=．（2）①显然当P 点在AF 上时，Q 点在CD 上，此时A 、C 、P 、Q 四点不可能构成平行四边形；同理P 点在AB 上时，Q 点在DE 或CE 上或P 在BF ，Q 在CD 时不构成平行四边形，也不能构成平行四边形．因此只有当P 点在BF 上、Q 点在ED 上时，才能构成平行四边形，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，PC QA =，Q 点P 的速度为每秒5cm ，点Q 的速度为每秒4cm ，运动时间为t 秒，5PC t \=，4124QA CD AD t t =+-=-，即124QA t =-，5124t t \=-，解得43t =，\以A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时，43t =秒．②由题意得，四边形APCQ 是平行四边形时，点P 、Q 在互相平行的对应边上．分三种情况：)i 如图1，当P 点在AF 上、Q 点在CE 上时，AP CQ =，即12a b =-，得12a b +=；)ii 如图2，当P 点在BF 上、Q 点在DE 上时，AQ CP =，即12b a -=，得12a b +=；)iii 如图3，当P 点在AB 上、Q 点在CD 上时，AP CQ =，即12a b -=，得12a b +=．综上所述，a 与b 满足的数量关系式是12(0)a b ab +=¹．4．（1）已知：如图1，ABC D 为等边三角形，点D 为BC 边上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等边ADE D ，连接CE ．求证：①BD CE =，②120DCE Ð=°；（2）如图2，在ABC D 中，90BAC Ð=°，AC AB =，点D 为BC 上的一动点（点D 不与B 、C 重合），以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ，类比题（1），请你猜想：①DCE Ð的度数；②线段BD 、CD 、DE 之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D 点在BC 的延长线上运动，以AD 为边作等腰Rt ADE D ，90DAE Ð=°（顶点A 、D 、E 按逆时针方向排列），连接CE ．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连接BE ，若10BE =，6BC =，直接写出AE 的长．【解答】证明：（1）①如图1，ABC D Q 和ADE D 是等边三角形，AB AC \=，AD AE =，60ACB B Ð=Ð=°，60BAC DAE Ð=Ð=°，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，BAD EAC \Ð=Ð．在ABD D 和ACE D 中，AB AC BAD EAC AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，BD CE \=；②ABD ACE D @D Q ，60ACE B \Ð=Ð=°，6060120DCE ACE ACB \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）90DCE Ð=°，222BD CD DE +=．证明：如图2，90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð-Ð=Ð-Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45B ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90B ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE \Ð=°，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；（3）①（2）中的结论还成立．理由：90BAC DAE Ð=Ð=°Q ，BAC DAC DAE DAC \Ð+Ð=Ð+Ð，即BAD CAE Ð=Ð，在ABD D 与ACE D 中，AB AC BAD CAE AD AE =ìïÐ=Ðíï=î，()ABD ACE SAS \D @D ，45ABC ACE \Ð=Ð=°，BD CE =，90ABC ACB ACE ACB \Ð+Ð=Ð+Ð=°，90BCE ECD \Ð=°=Ð，Rt DCE \D 中，222CE CD DE +=，222BD CD DE \+=；②Rt BCE D Q 中，10BE =，6BC =，8CE \===，8BD CE \==，862CD \=-=，Rt DCE \D中，DE ===，D Q\AE ==．5．综合与实践动手操作利用正方形纸片的折叠开展数学活动．探究体会在正方形折叠过程中，图形与线段的变化及其蕴含的数学思想方法．如图1，点E 为正方形ABCD 的AB 边上的一个动点，3AB =，将正方形ABCD 对折，使点A 与点B 重合，点C 与点D 重合，折痕为MN ．思考探索（1）将正方形ABCD 展平后沿过点C 的直线CE 折叠，使点B 的对应点B ¢落在MN 上，折痕为EC ，连接DB ¢，如图2．①点B ¢在以点E 为圆心， BE 的长为半径的圆上；②B M ¢= ；③△DB C ¢为 三角形，请证明你的结论．拓展延伸（2）当3AB AE =时，正方形ABCD 沿过点E 的直线l （不过点)B 折叠后，点B 的对应点B ¢落在正方形ABCD 内部或边上．①ABB ¢D 面积的最大值为 ；②连接AB ¢，点P 为AE 的中点，点Q 在AB ¢上，连接PQ ，AQP AB E ¢Ð=Ð，则2B C PQ ¢+的最小值为 ．【解答】解：（1）由折叠的性质知，BE BE =¢，BC B C =¢，1322MA MB NC ND AB =====，B EB C Ð=Т，①由题意得，点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上；②3MB MN MB MN ¢=-¢=-==；③BC B C CD =¢=Q ，而B D B C ¢===¢，\△DB C ¢为 等边三角形，故答案为①BE ；；③等边；（2）①33AB AE ==Q ，则1AE =，2BE =，Q 点B ¢在以点E 为圆心，BE 的长为半径的圆上，如图1，ABB ¢\D 面积的最大时，只要AB 边上的高最大即可，\当B E AB ¢^时，ABB ¢D 面积的最大，ABB ¢\D 面积1132322AB B E =´´¢=´´=，故答案为3；②AQP AB E ¢Ð=ÐQ ，//PQ B E \¢，P Q 是AE 的中点，PQ \是AEB D ¢的中位线，如图2，12PQ B E \=¢，即2B C PQ B C B E ¢+=¢+¢，E \、B ¢、C 三点共线时，2B C PQ ¢+取得最小值为CE ，则CE ===，．6．（1）如图1，菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD ，DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积为 （2）如图2，平行四边形ABCD 中，3AB =，5BC =，60ABC Ð=°，点M ，N 分别为边AD 、DC 上的动点，且4DM DN +=，则四边形BMDN 的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是，请求出最值；（3）如图3，四边形ABCD 中，AB AD =，1CD =，90A C Ð=Ð=°，60ABC Ð=°，点M 、N 分别为边AD 、DC 上的动点，且2DM DN +=，是否存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小？若存在，求出DMN D 的周长最小值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）过点B 作BE DA ^延长线于点E ，过点B 作BF DC ^延长线于点F ，则90BEA BFC Ð=Ð=°，Q 四边形ABCD 是菱形，//AB CD \，//AD BC ，60ABC D Ð=Ð=°，60BAE BCF \Ð=Ð=°，BE BF \==，连接BD ，设DM x =，则4DN x =-，BMD BNDBMDN S S S D D =+四边形1122MD BE DN BF =××+××11(4)22x =´+´-=故四边形BMDN 的面积为，故答案为：；（2）过点B 作BP DA ^延长线于点P ，过点B 作BQ DC ^延长线于点Q ，则90BPA BQC Ð=Ð=°，设DM x =，则4DN x =-，5AM AD DM BC DM x =-=-=-，3(4)1CN CD DN AB DN x x =-=-=--=-，Q 四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC \，//AB CD ，60BAP ABC \Ð=Ð=°，60BCQ ABC Ð=Ð=°，在Rt ABP D 中，sin 60BP AB =×°=，在Rt BCQ D 中，sin 60BQ BC =×°=ABCD ABM BCNBMDN S S S S D D =--Y 四边形115(5)(1)22x x =-´-´-=-，3DN DC =Q …，43x \-…，1x \…，0k =<Q ，S \随着x 的增大而减小，1x \=时，四边形BMDN 的面积最大为=（3）连接BD ，AB AD =Q ，90A Ð=°，45ADB ABD \Ð=Ð=°，60ABC Ð=°Q ，15DBC \Ð=°，又90BCD Ð=°Q ，75BDC \Ð=°，120ADC Ð=°，设DM x =，则2DN x =-，21x \-…，1x \…，过点M 作MH BD ^，过点N 作NJ BD ^，BMD BDNBMDN S S S D D =+四边形1122BD MH BD NJ =´´+´´1[sin 45(2)sin 75]2BD x x =×××°+-°1[(sin 45sin 75)2sin 75]2BD x =×°-°+°，sin 45sin 750°-°<Q ，\当1x =时，BMDN S 四边形存在最大值，过点M 作CD 的垂线交于延长线于点K ，60MDK \Ð=°，12DK x \=，MK =，112222NK x x x =-+=-，在Rt MKN D 中，22221)(2)(1)32MN x x =+-=-+，当1x =时，2MN 存在最小值，最小值为3，MN \\存在M 、N ，使得四边形BMDN 面积最大且DMN D 的周长最小，DMN D 的周长最小为2+．7．阅读材料如图1，在ABCD中，D，E分别是边AB，AC的中点，小明在证明“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”时，通过延长DE到点F，使EF DE=，连接CF，证明ADE CFED@D，再证四边形DBCF是平行四边形即得证．类比迁移（1）如图2，AD是ABCD的中线，BE交AC于点E，交AD于点F，且AE EF=，求证：AC BF=．小明发现可以类比材料中的思路进行证明．证明：如图2，延长AD至点M，使MD FD=，连接MC，¼¼请根据小明的思路完成证明过程．方法运用（2）如图3，在等边ABCD中，D是射线BC上一动点（点D在点C的右侧），连接AD．把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE．F是线段BE的中点，连接DF，CF．①请你判断线段DF与AD的数量关系，并给出证明；②若4AB=，12CF CD=请直接写出CF的长．【解答】（1）证明：延长AD至M，使MD FD=，连接MC，在BDFD和CDMD中，BD CD BDF CDM DF DM =ìïÐ=Ðíï=î，()BDF CDM SAS \D @D ，MC BF \=，M BFM Ð=Ð，AE EF =Q ，EAF EFA \Ð=Ð，EFA BFM Ð=ÐQ ，M MAC \Ð=Ð，AC MC \=，AC BF \=；（2）①解：线段DF 与AD 的数量关系为：2AD DF =，证明如下：延长DF 至点M ，使DF FM =，连接BM 、AM ，如图2所示：Q 点F 为BE 的中点，BF EF \=，在BFM D 和EFD D 中，BF EF BFM EFD FM DF =ìïÐ=Ðíï=î，()BFM EFD SAS \D @D ，BM DE \=，MBF DEF Ð=Ð，//BM DE \，Q 线段CD 绕点D 逆时针旋转120°得到线段DE ，CD DE BM \==，120BDE Ð=°，18012060MBD \Ð=°-°=°，ABC D Q 是等边三角形，AB AC \=，60ABC ACB Ð=Ð=°，6060120ABM ABC MBD \Ð=Ð+Ð=°+°=°，180********ACD ACB Ð=°-Ð=°-°=°Q ，ABM ACD \Ð=Ð，在ABM D 和ACD D 中，AB AC ABM ACD BM CD =ìïÐ=Ðíï=î，()ABM ACD SAS \D @D ，AM AD \=，BAM CAD Ð=Ð，60MAD MAC CAD MAC BAM BAC \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð=Ð=°，AMD \D 是等边三角形，2AD DM DF \==；②解：CF 的长为1或2．当CF 为BDE D 的中位线时，1122CF CD DE ==，C \为BD 的中点，4CD BC \==，122CF CD \==，如图3，当CF 不是BDE D 的中位线时，连接CE ，取BC 的中点N ，连接FN ，过点D 作DG CE ^，过点G 作GI CD ^于点I ，过点F 作FH BC ^于点H ，CDE D Q 为等腰三角形，120CDE Ð=°，30DCE \Ð=°，12DG CD \=，12CG CE =，12CF CD =Q ，DG CF \=，N Q 为BC 的中点，F 为BE 的中点，NF \是BCE D 的中位线，//NF CE \，12NF CE CG ==，30CNF DCE \Ð=Ð=°，12HF NF \=，12GI CG =，HF GI \=，NH CI =，FC GD =Q ，Rt FCH Rt GDI(HL)\D @D ，CH DI \=，NH CH CI DI \+=+，即NC CD =，2CD \=，即1CF =，综上所述，CF 的长为1或2．8．如图，在正方形ABCD 中，4AB =，点G 在边BC 上，连接AG ，作DE AG ^于点E ，BF AG ^于点F ，连接BE 、DF ，设EDF a Ð=，EBF b Ð=，tan tan k a b =×．（1）求证：DE EF BF =+．（2）求证：BG k BC=．（3）若点G 从点C 沿BC 边运动至点B 停止，求点E ，F 所经过的路径与边AB 围成的图形的面积．【解答】（1）证明：Q 四边形ABCD 是正方形，AB BC AD \==，90BAD ABC Ð=Ð=°，DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，90ADE DAE \Ð+Ð=°，90BAF DAE Ð+Ð=°Q ，ADE BAF \Ð=Ð，在AED D 和BFA D 中，ADE BAF AED BFA AD BA Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AED BFA AAS \D @D ，AE BF \=，DE AF =，DE AF AE EF BF EF \==+=+；（2）证明：在Rt DEF D 和Rt EFB D 中，tan tan EF EDF DE a Ð==，tan tan EF EBF BF b Ð==，\tan tan EF BF BF DE EF DEa b =×=，由（1）可知，ADE BAG Ð=Ð，90AED GBA Ð=Ð=°，AED GBA \D D ∽，\AE DE GB AB=，由（1）可知，AE BF =，\DE BF AB GB =，\BF GB DE AB=，tan tan k a b =×Q ，\GB k AB=，AB BC =Q ，\BG BG BF k BC AB DE===；（3）解：DE AG ^Q ，BF AG ^，90AED BFA \Ð=Ð=°，\当点G 从点B 沿BC 边运动至点C 停止时，点E 经过的路径是以AD 为直径，圆心角为90°的圆弧，同理可得点F 经过的路径，两弧交于正方形的中心点O ，如图所示：4AB AD ==Q ，\所围成的图形的面积14444AOB S S D ==´´=．9．如图，射线AB 和射线CB 相交于点B ，(0180)ABC a a Ð=°<<°，且AB CB =．点D 是射线CB 上的动点（点D 不与点C 和点B 重合），作射线AD ，并在射线AD 上取一点E ，使AEC a Ð=，连接CE ，BE ．（1）如图①，当点D 在线段CB 上，90a =°时，请直接写出AEB Ð的度数；（2）如图②，当点D 在线段CB 上，120a =°时，请写出线段AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并说明理由；（3）当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，请直接写出CE BE的值．【解答】解：（1）连接AC ，如图①所示：90a =°Q ，ABC a Ð=，AEC a Ð=，90ABC AEC \Ð=Ð=°，A \、B 、E 、C 四点共圆，AEB ACB \Ð=Ð，90ABC Ð=°Q ，AB CB =，ABC \D 是等腰直角三角形，45ACB \Ð=°，45AEB \Ð=°；（2）AE CE =+，理由如下：在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：ABC AEC Ð=ÐQ ，ADB CDE Ð=Ð，180180ABC ADB AEC CDE \°-Ð-Ð=°-Ð-Ð，A C \Ð=Ð，在ABF D 和CBE D 中，AF CE A C AB CB =ìïÐ=Ðíï=î，()ABF CBE SAS \D @D ，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，ABF FBD CBE FBD \Ð+Ð=Ð+Ð，ABD FBE \Ð=Ð，120ABC Ð=°Q ，120FBE \Ð=°，BF BE =Q ，11(180)(180120)3022BFE BEF FBE \Ð=Ð=´°-Ð=´°-°=°，BH EF ^Q ，90BHE \Ð=°，FH EH =，在Rt BHE D 中，12BH BE =，FH EH ===，22EF EH \===，AE EF AF =+Q ，AF CE =，AE CE \=+；（3）分两种情况：①当点D 在线段CB 上时，在AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图②所示：由（2）得：FH EH ==，1tan 3BH DAB AH Ð==Q ，332AH BH BE \==，32CE AF AH FH BE \==-=-=，\CE BE =②当点D 在线段CB 的延长线上时，在射线AD 上截取AF CE =，连接BF ，过点B 作BH EF ^于H ，如图③所示：同①得：FH EH ==，332AH BH BE ==，32CE AF AH FH BE \==+==，\CE BE =；综上所述，当120a =°，1tan 3DAB Ð=时，CE BE ．10．如图，直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，C 为线段OA 的一个动点，以A 为圆心，AC 长为半径作A e ，A e 交AB 于点D ，连接OD 并延长交A e 于点E ，连接CD ．（1）当2AC =时，证明：OBD D 是等边三角形；（2）当OCD ODA D D ∽时，求A e 的半径r ；（3）当点C 在线段OA 上运动时，求OD DE g 的最大值．【解答】解：（1）Q 直线:2l y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，\点A ，0)，点(0,2)B ，OA \=2OB =，tan OB BAO OA \Ð==30BAO \Ð=°，24AB OB \==，60ABO Ð=°，2AC AD ==Q ，2BD BO \==，且60ABO Ð=°，BDO \D 是等边三角形；（2）如图1，过点D 作DH AO ^于H ，OCD ODA D D Q ∽，30ODC OAB \Ð=Ð=°，AC AD =Q ，30BAO Ð=°，75ACD \Ð=°，45DOH ACD ODC \Ð=Ð-Ð=°，DH AO ^Q ，30DAO Ð=°，12DH r \=，AH ==，DH AO ^Q ，45DOH Ð=°，12DH OH r \==，AO OH AH =+=Q ，12r \=，6r \=-（3）如图2，连接EH ，过点O 作OG AB ^于G ，OG AB ^Q ，30BAO Ð=°，12OG AO \==3AG ==，3GD AD \=-，DH Q 是直径，90DEH OGD \Ð=°=Ð，又ODG HDE Ð=ÐQ ，ODG HDE \D D ∽，\GD OD DE DH=，239(3)22()22OD DE GD DH AD AD AD \==-=--+g g g ，\当32AD =时，OD DE g 的最大值为92．11．[问题提出]（1）如图1，已知线段4AB =，点C 是一个动点，且点C 到点B 的距离为2，则线段AC 长度的最大值是 6 ；[问题探究]（2）如图2，以正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，E 为半圆O 上一动点，若正方形的边长为2，求AE 长度的最大值；[问题解决]（3）如图3，某植物园有一块三角形花地ABC ，经测量，AC =120BC =米，30ACB Ð=°，BC 下方有一块空地（空地足够大），为了增加绿化面积，管理员计划在BC 下方找一点P ，将该花地扩建为四边形ABPC ，扩建后沿AP 修一条小路，以便游客观赏．考虑植物园的整体布局，扩建部分BPC D 需满足60BPC Ð=°．为容纳更多游客，要求小路AP 的长度尽可能长，问修建的观赏小路AP 的长度是否存在最大值？若存在，求出AP 的最大长度；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）当C 在线段AB 延长线上时，AC 最大，此时426AC AB BC =+=+=，故答案为：6；（2）连接AO 并延长交半圆O 于F ，如图：Q 正方形ABCD 的边CD 为直径作半圆O ，边长为2，90ADO \Ð=°，2AD =，1OD OD OF ===，当E 运动到F 时，AE 最大，AF 的长度即是AE 的最大值，Rt AOD D 中，AO ==1AF AO OF \=+=，即AE 1；（3）作BC 的垂直平分线DE ，在BC 下方作30BCO Ð=°，射线CO 交DE 于O ，以O 为圆心，OC 为半径作O e ，连接OB 、连接AO 并延长交O e 于P ，则AP 为满足条件的小路，过A 作AF OC ^于F ，如图：30BCO Ð=°Q ，30ACB Ð=°，60ACF \Ð=°，Rt ACF D 中，sin 6030AF AC =×°=，cos60CF AC =×°=DE Q 垂直平分BC ，120BC =，60CE \=，90OEC Ð=°，cos30CE OC OP \===°，OF OC CF \=-=，Rt AOF D 中，60OA ==，60AP OA OP \=+=+．即小路AP 的长度最大为60+12．在O e 中，弦CD 平分圆周角ACB Ð，连接AB ，过点D 作//DE AB 交CB 的延长线于点E ．（1）求证：DE 是O e 的切线；（2）若1tan 3CAB Ð=，且B 是CE 的中点，O e DE 的长．（3）P 是弦AB 下方圆上的一个动点，连接AP 和BP ，过点D 作DH BP ^于点H ，请探究点P 在运动的过程中，BH AP BP+的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，请直接写出比值．【解答】证明：（1）如图1，连接OD 交AB 于点F ，连接OA ，OB ，AD ，CD Q 平分ACB Ð，ACD BCD \Ð=Ð，\AD BD =，AOD BOD \Ð=Ð，OA OB =Q ，OD AB \^，//AB DE Q ，OD DE \^，DE \是O e 的切线．解：（2）如图2，连接OC ，OD ，OE ，过点O 作OF BC ^于点F ，2BOC BAC \Ð=Ð，OB OC =Q ，OF BC ^，12COF COB CAB \Ð=ÐÐ=Ð，1tan tan 3CF COF CAB OF \Ð==Ð=，设CF x =，3OF x =，O Qe ，OC \=，222OF CF +Q ，222(3)x x \=+，解得：12x =，12CF \=，32OF =，1BC \=，B Q 是CE 的中点，1BE BC \==，32EF \=，222OE OF EF =+Q ，2223318((224OE \=+=，222OD DE OE +=Q ，DE \===（3）解法一：如图3，延长BP 至Q 使得PQ AP =，连接AQ ，OC ，连接OB ，BD ，连接OD 交AB 于点K ，连接HK ，A Q ，P ，B ，C 四点共圆，APQ ACB \Ð=Ð，AP PQ =Q ，Q QAP \Ð=Ð，1902Q ACB \Ð=°-Ð，DE Q 是O e 的切线，OD DE \^，//DE AB Q ，OD AB \^，K \是AB 的中点，DH BH ^Q ，90BHD \Ð=°，90BKD Ð=°Q ，B \，K ，H ，D 四点共圆，BHK ODB \Ð=Ð，BOD ACB Ð=ÐQ ，OB OD =，1902ODB ACB \Ð=°-Ð，ODB Q \Ð=Ð，BHK Q \Ð=Ð，//AQ HK \，\12BH BK BQ AB ==，BQ BP QP =+Q ，QP AP =，BQ BP AP \=+，\12BH BP AP =+．解法二：如图4，在BP 上截取BM AP =，连接DM ，BD ，DP ，AD ，Q 弦CD 平分圆周角ACB Ð，AD BD \=，Q AP AP =，PAD PBD MBD \Ð=Ð=Ð，()APD BMD SAS \D @D ，DP DM \=，AP BM =，DH BP ^Q ，DH \为PDM D 的中线，HP HM \=，2BP BM PM BM HM \=+=+，BH BM HM =+Q ，\122BH BM HM AP BP BM BM HM +==+++．13．在ABC D 中，90ACB Ð=°，AC BC =，点D 是直线AB 上的一动点（不与点A ，B 重合）连接CD ，在CD 的右侧以CD 为斜边作等腰直角三角形CDE ，点H 是BD 的中点，连接EH ．【问题发现】（1）如图（1），当点D 是AB 的中点时，线段EH 与AD 的数量关系是 12EH AD =， ．EH 与AD 的位置关系是 ．【猜想论证】（2）如图（2），当点D 在边AB 上且不是AB 的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由．【拓展应用】（3）若AC BC ==，其他条件不变，连接AE 、BE ．当BCE D 是等边三角形时，请直接写出ADE D 的面积．【解答】解：（1）如图1中，CA CB=Q，90ACBÐ=°，AD BD=，CD AB\^，CD AD DB==，45A B\Ð=Ð=°，45DCB ACDÐ=Ð=°，45DCEÐ=°Q，\点E在线段CB上，DE BC^Q，45EDB B\Ð=Ð=°，DH HB=Q，EH DB \^，1122EH DB AD==，故答案为12EH AD=，EH AD^．（2）结论仍然成立：理由：如图2中，延长DE到F，使得EF DE=，连接CF，BF．DE EF=Q．CE DF^，CD CF\=，45CDF CFD\Ð=Ð=°，45ECF ECD\Ð=Ð=°，90ACB DCF\Ð=Ð=°，ACD BCF\Ð=Ð，CA CB=Q，()ACD BCF SAS\D@D，AD BF \=，45A CBF Ð=Ð=°，45ABC Ð=°Q ，90ABF \Ð=°，BF AB \^，DE EF =Q ，DH HB =，12EH BF \=，//EH BF ，EH AD \^，12EH AD =．（3）如图31-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．90ACB Ð=°Q ，60ECB Ð=°，30ACE \Ð=°，AC CB CE EB DE =====Q 75CAE CEA \Ð=Ð=°，45CAB Ð=°Q ，30EAH \Ð=°，90DEC Ð=°Q ，60CEB Ð=°，150DEB \Ð=°，15EDB EBD \Ð=Ð=°，EAH ADE AED Ð=Ð+ÐQ ，15ADE AED \Ð=Ð=°，AD AE \=，设EH x =，则2AD AE x ==，AH =，222EH DH DE +=Q ，22(2)8x x \+=，1x \=-，2AD \=-，112)1)422ADE S AD EH D \=××=´×-=-如图32-中，当BCE D 是等边三角形时，过点E 作EH BD ^于H ．同法可求：1EH =，2AD =，111)422ADE S AD EH D \=××=´+=+综上所述，满足条件的ADE D 的面积为4-或4+．14．在正方形ABCD 中，点G 是边AB 上的一个动点，点F 、E 在边BC 上，BF FE AG ==，且12AG AB …，GF 、DE 的延长线相交于点P ．（1）如图1，当点E 与点C 重合时，求P Ð的度数；（2）如图2，当点E 与点C 不重合时，问：（1）中P Ð的度数是否发生变化，若有改变，请求出P Ð的度数，若不变，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作DN GP ^于点N ，连接CN 、BP ，取BP 的中点M ，连接MN ，在点G 的运动过程中，求证：MN NC 为定值．==Q，E与C重合，BF CF BG AG\===，\Ð=°，BGF45//Q，AB CD\Ð=Ð=°．45P BGF（2）不变．理由如下：如图所示，连接BD，取BD中点O，连接OG，OF，OC．在正方形ABCD中，有：Ð=Ð=°，OC OBOCF OBG=，45又AG BF=Q，\=，BG CF\D@D．OCF OBG SAS()Ð=Ð，\=，COF BOGOG DF\Ð=Ð=°，GOF BOC90GOF\D为等腰直角三角形．又OQ，F分别是BD，BE的中点，\，//OF DE\Ð=Ð=°．P OFG45（3）如图所示，取DP 中点Q ，连接NQ ，BD ，MQ ，由题意可得，DNP D 为等腰直角三角形，Q Q 为DP 中点，NQ DP \^．设CDP a Ð=，则45NDC a Ð=°+，45BDP a Ð=°-，M Q ，Q 分别是BP ，DP 的中点，//MQ BD \，45MQP BDP a \Ð=Ð=°-，90(45)45NQM a a \Ð=°-°-=°+，NQM NDC \Ð=Ð．，CD BD \又NQD D Q 为等腰直角三角形，\NQ ND =\NQ MQ ND CD ==，NQM NDC \D D ∽．\MN NQ NC ND ==\MNNC为定值．15．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD中E是CD上的点，将BCED绕B点旋转，使BC与BA重合，此时点E的对应点F在DA的延长线上，则四边形BEDF 是 （填“是”或“不是”)“直等补”四边形；（2）如图2，已知四边形ABCD是“直等补”四边形，10AB BC==，2CD=，AD AB>，过点B作BE AD^于E．①过C作CF BF^于点F，试证明：BE DE=，并求BE的长；②若M是AD边上的动点，求BCMD周长的最小值．【解答】解：（1）Q将BCED绕B点旋转，BC与BA重合，点E的对应点F在DA的延长线上，ABF CBE \Ð=Ð，BF BE =，Q 四边形ABCD 是正方形，90ABC D \Ð=Ð=°，90ABE CBE \Ð+Ð=°，90ABE ABF \Ð+Ð=°，即90EBF D Ð=Ð=°，180EBF D \Ð+Ð=°，90EBF Ð=°Q ，BF BE =，\四边形BEDF 是“直等补”四边形．故答案为：是；（2）①证明：Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，10AB BC ==，2CD =，AD AB >，90ABC \Ð=°，180ABC D Ð+Ð=°，90D \Ð=°，BE AD ^Q ，CF BE ^，90DEF \Ð=°，90CFE Ð=°，\四边形CDEF 是矩形，DE CF \=，2EF CD ==，90ABE A Ð+Ð=°Q ，90ABE CBE Ð+Ð=°，A CBF \Ð=Ð，90AEB BFC Ð=Ð=°Q ，AB BC =，()ABE BCF AAS \D @D ，BE CF \=，AE BF =，DE CF =Q ，BE DE \=；Q 四边形CDEF 是矩形，2EF CD \==，ABE BCF D @D Q ，AE BF \=，2AE BE \=-，设BE x =，则2AE x =-，在Rt ABE D 中，222(2)10x x +-=，解得：8x =或6x =-（舍去），BE \的长是8；②BCM D Q 周长BC BM CM =++，\当BM CM +的值最小时，BCM D 的周长最小，如图，延长CD 到点G ，使DG CD =，连接BG 交AD 于点M ¢，过点G 作GH BC ^，交BC 的延长线于点H ，90ADC Ð=°Q ，\点C 与点G 关于AD 对称，BM CM BM MG BG \+=+…，即BM CM BM M C +¢+¢…，\当点M 与M ¢重合时，BM M C ¢+¢的值最小，即BCM D 的周长最小，在Rt ABE D 中，6AE ===，Q 四边形ABCD 是“直等补”四边形，180A BCD \Ð+Ð=°，180BCD GCH Ð+Ð=°Q ，A GCH \Ð=Ð，90AEB H Ð=Ð=°Q ，ABE CGH \D D ∽，\10542BE AE ABGH CH CG====，即88252GH CH-==，165GH\=，125CH=，12621055BH BCCH\=+=+=，BG\===，BCM\D周长的最小值为10+．16．如图，正方形ABCD中，AB=O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，2OE=，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．（1）求证：AE CF=；（2）若A，E，O三点共线，连接OF，求线段OF的长．（3）求线段OF长的最小值．【解答】（1）证明：如图1，由旋转得：90EDFÐ=°，ED DF=，Q四边形ABCD是正方形，90ADC\Ð=°，AD CD=，ADC EDF\Ð=Ð，即ADE EDC EDC CDFÐ+Ð=Ð+Ð，ADE CDF\Ð=Ð，在ADED和CDFD中，QAD CDADE CDFDE DF=ìïÐ=Ðíï=î，()ADECDF SAS\D@D，AE CF\=；（2）解：如图2，过F作OC的垂线，交BC的延长线于P，O Q 是BC 的中点，且AB BC ==A Q ，E ，O 三点共线，OB \=由勾股定理得：5AO =，2OE =Q ，523AE \=-=，由（1）知：ADE CDF D @D ，DAE DCF \Ð=Ð，3CF AE ==，BAD DCP Ð=ÐQ ，OAB PCF \Ð=Ð，90ABO P Ð=Ð=°Q ，ABO CPF \D D ∽，\2AB CP OB PF ===，2CP PF \=，设PF x =，则2CP x =，由勾股定理得：2223(2)x x =+，x =（舍)，\，OP ==，由勾股定理得：OF ==，（3）解：如图3，由于2OE =，所以E 点可以看作是以O 为圆心，2为半径的半圆上运动，延长BA 到P 点，使得AP OC =，连接PE ，AE CF =Q ，PAE OCF Ð=Ð，()PAE OCF SAS \D @D ，PE OF \=，当PE 最小时，为O 、E 、P 三点共线，OP===，\==-=-，PE OF OP OE2\的最小值是2．OF17．ABC=，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重Ð=°，AB ACBACD中，90合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为： 垂直 ．②BC，CD，CF之间的数量关系为： ；（将结论直接写在横线上）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE ．若已知AB =，14CD BC =，请求出GE 的长．【解答】解：（1）①正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D 中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，B ACF \Ð=Ð，90ACB ACF \Ð+Ð=°，即BC CF ^；故答案为：垂直；②DAB FAC D @D ，CF BD \=，BC BD CD =+Q ，BC CF CD \=+；故答案为：BC CF CD =+；（2）CF BC ^成立；BC CD CF =+不成立，CD CF BC =+．Q 正方形ADEF 中，AD AF =，90BAC DAF Ð=Ð=°Q ，BAD CAF \Ð=Ð，在DAB D 与FAC D中，AD AF BAD CAF AB AC =ìïÐ=Ðíï=î，()DAB FAC SAS \D @D ，ABD ACF \Ð=Ð，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，45ACB ABC \Ð=Ð=°．18045135ABD \Ð=°-°=°，1354590BCF ACF ACB \Ð=Ð-Ð=°-°=°，CF BC \^．CD DB BC =+Q ，DB CF =，CD CF BC \=+．（3）解：过A 作AH BC ^于H ，过E 作EM BD ^于M ，EN CF ^于N ，90BAC Ð=°Q ，AB AC =，4BC \==，122AH BC ==，114CD BC \==，122CH BC ==，3DH \=，由（2）证得BC CF ^，5CF BD ==，Q 四边形ADEF 是正方形，AD DE \=，90ADE Ð=°，BC CF ^Q ，EM BD ^，EN CF ^，\四边形CMEN 是矩形，NE CM \=，EM CN =，90AHD ADE EMD Ð=Ð=Ð=°Q ，90ADH EDM EDM DEM \Ð+Ð=Ð+Ð=°，ADH DEM \Ð=Ð，在ADH D 与DEM D 中，ADH DEM AHD DME AD DE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î，()ADH DEM AAS \D @D ．3EM DH \==，2DM AH ==，3CN EM \==，3EN CM ==，45ABC Ð=°Q ，45BGC \Ð=°，BCG \D 是等腰直角三角形，4CG BC \==，1GN \=，EG \==．18．如图（1），已知正方形ABCD 在直线MN 的上方，BC 在直线MN 上，E 是BC 上一点，以AE 为边在直线MN 的上方作正方形AEFG ．（1）连接GD ，求证：ADG ABE D @D ；（2）连接FC ，观察并猜测FCN Ð的度数，并说明理由；（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD 改为矩形ABCD ，AB a =，(BC b a =、b 为常数），E 是线段BC 上一动点（不含端点B 、)C ，以AE 为边在直线MN 的上方作矩形AEFG ，使顶点G 恰好落在射线CD 上．判断当点E 由B 向C 运动时，FCN Ð的大小是否总保持不变？若FCN Ð的大小不变，请用含a 、b 的代数式表示tan FCN Ð的值；若FCN Ð的大小发生改变，请举例说明．【解答】（1）证明：Q四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，\=，AE AGAB ADÐ=Ð=°，BAD EAG=，90\Ð+Ð=Ð+Ð，BAE EAD DAG EADBAE DAG\Ð=Ð，\D@D．BAE DAG（2）解：45Ð=°，FCN理由是：作FH MN^于H，Q，Ð=Ð=°AEF ABE90Ð+Ð=°，FEH AEB90\Ð+Ð=°，90BAE AEB\Ð=Ð，FEH BAEQ，90又AE EF=Ð=Ð=°，EHF EBA\D@D，EFH ABE\=，EH AB BCFH BE==，\==，CH BE FHÐ=°Q，FHC90\Ð=°．FCN45（3）解：当点E由B向C运动时，FCNÐ的大小总保持不变，理由是：作FH MN^于H，由已知可得90Ð=Ð=Ð=°，EAG BAD AEF结合（1）（2）得FEH BAE DAGÐ=Ð=Ð，又GQ在射线CD上，。
动态几何综合训练二(含答案)
动态几何综合训练二1. (2009 内蒙古呼和浩特市) 如图，在直角梯形ABCD 中，9012cm AD BC ABC AB ∠==∥，°，，8cm AD =，22cm BC =，AB 为O ⊙的直径，动点P 从点A 开始沿AD 边向点D 以1cm/s 的速度运动，动点Q 从点C 开始沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度运动．P Q 、分别从点A C 、同时出发，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为(s)t ． （1）当t 为何值时，四边形PQCD 为平行四边形？（2）当t 为何值时，PQ 与O ⊙相切？2. (2009 江西省) 如图1，在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. （1）求点E 到BC 的距离；（2）点P 为线段EF 上的一个动点，过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ，设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PM N △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长；若改变，请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3），是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由.CA D E BF C图4（备用）A D E BF C图5（备用）A D E BF C 图1 图2 A D E B F C P N M图3 A D E B F C P NM3. (2009 山东省淄博市)如图，在矩形ABCD 中，BC =20cm ，P ，Q ，M ，N 分别从A ，B ，C ，D 出发沿AD ，BC ，CB ，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ =x cm （0x ），则AP =2x cm ，CM =3x cm ，DN =x 2cm ．（1）当x 为何值时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x 的值；如果不能，请说明理由．4. (2010 广东省佛山市) 如图，是一个匀速旋转(指每分钟旋转的弧长或圆心角相同)的摩天轮的示意图，O 为圆心，AB 为水平地面. 假设摩天轮的直径为80米，最低点C 离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟. 小明从点C 乘坐摩天轮(身高忽略不计)，请问：（1） 经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？（2） 若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？(精确到1平方公里)A B DC P Q M NABD5. (2010 广东省广州市) 如图，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（3，0）、（0，1），点D 是线段BC上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线12y x b =-+交折线OAB 于点E. （1）记ODE △的面积为S ，求S 与b 的函数关系式；（2）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形1111O A B C ，试探究四边形1111O A B C 与矩形OABC 的重叠部分的面积是否发生变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.6. (2010 山东省东营市) 如图，在锐角三角形ABC 中，12=BC ，△ABC 的面积为48，D ，E 分别是边AB ，AC上的两个动点（D 不与A ，B 重合），且保持DE ∥BC ，以DE 为边，在点A 的异侧作正方形DEFG . （1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，求正方形DEFG 的边长；（2）设DE = x ，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为y ，试求y 关于x 的函数关系式，写出x 的取值范围，并求出y 的最大值.A D E FGC （备用图（1））A C（备用图（2））AC7. (2010 辽宁省大连市) 如图，在△ABC 中，AB AC ==5，BC =6，动点P 从点A 出发沿AB 向点B 移动，（点P与点A B 、不重合），作PD BC ∥交AC 于点D ，在DC 上取点E ，以DE DP 、为邻边作PFED ，使点F 到PD 的距离16FH PD =，连接BF ，设AP x = （1）△ABC 的面积等于（2）设△PBF 的面积为y ，求y 与x 的函数关系，并求y 的最大值； （3）当BP BF =时，求x 的值. (2010 辽宁省抚顺市) 如图所示，在Rt ∆ABC 中，∠C=90,∠BAC=600，AB=8.半径为3的⊙M 与射线BA 相切，切点为N ，且AN=3.将Rt ∆ABC 顺时针旋转1200后得到Rt ∆ADE ，点B 、C 的对应点分别是点D 、E. (1)画出旋转后的Rt ∆ADE ；(2)求出Rt ∆ADE 的直角边DE 被⊙M 截得的弦PQ 的长度;(3)判断Rt ∆ADE 的斜边AD 所在的直线与⊙M 的位置关系，并说明理由.9. (2010 黑龙江省哈尔滨市) 如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，四边形AOCB 是梯形，AB OC ∥，点A的坐标为(08)，，点C 的坐标为(100)，，OB OC =． （1）求点B 的坐标；（2）点P 从C 点出发，沿线段CO 以5个单位/秒的速度向终点O 匀速运动，过点P 作PH OB ⊥，垂足为H ，设HBP △的面积为(0)S S ≠，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点P 作PM CB ∥交线段AB 于点M ，过点M 作MR OC ⊥，垂足为R ，线段MR 分别交直线PH OB 、于点E G 、，点F 为线段PM 的中点，连接EF ．当t为何值时，EF EG =？ADCP BFHE备用图备用图动态几何综合训练二答案第1题答案.（1）解：∵直角梯形ABCD ，AD BC ∥ PD QC ∴∥∴当PD QC =时，四边形PQCD为平行四边形．由题意可知：2AP t CQ t ==，82t t ∴-=38t = 83t =∴当83t s =时，四边形PQCD 为平行四边形．（2）解：设PQ 与O ⊙相切于点H ， 过点P 作PE BC ⊥，垂足为E 直角梯形ABCD AD BC ，∥PE AB ∴=由题意可知：2AP BE t CQ t ===，222BQ BC CQ t ∴=-=-222223EQ BQ BE t t t =-=--=-AB 为O ⊙的直径，90ABC DAB ∠=∠=° AD BC ∴、为O ⊙的切线AP PH HQ BQ ∴==，22222PQ PH HQ AP BQ t t t ∴=+=+=+-=-在Rt PEQ △中，222PE EQ PQ +=22212(223)(22)t t ∴+-=-即：28881440t t -+=211180t t -+= (2)(9)0t t --=1229t t ∴==，因为P 在AD 边运动的时间为8811AD ==秒 而98t =>9t ∴=（舍去）BQBQE∴当2t =秒时，PQ 与O ⊙相切．第2题答案.（1）如图1，过点E 作EG BC ⊥于点G ．∵E 为AB 的中点， ∴122BE AB ==． 在Rt EBG △中，60B =︒∠， ∴30BEG =︒∠．∴112BG BE EG ====，即点E 到BC（2）①当点N 在线段AD 上运动时，PMN △的形状不发生改变．∵PM EF EG EF ⊥⊥，，∴PM EG ∥． ∵EF BC ∥，∴EP GM =，PM EG == 同理4MN AB ==．如图2，过点P 作PH MN ⊥于H ，∵MN AB ∥， ∴6030NMC B PMH ==︒=︒∠∠，∠． ∴122PH PM ==．∴3cos302MH PM =︒= ．则35422NH MN MH =-=-=．在Rt PNH △中，PN === ∴PMN △的周长=4PM PN MN ++=．②当点N 在线段DC 上运动时，PMN △的形状发生改变，但MNC △恒为等边三角形． 当PM PN =时，如图3，作PR MN ⊥于R ，则MR NR =．类似①，32MR =． ∴23MN MR ==．∵MNC △是等边三角形，∴3MC MN ==．此时，6132x EP GM BC BG MC ===--=--=．当MP MN =时，如图4，这时MC MN MP ===图3A D E BFCPN M图4A D EBF CP MN 图5A D EBF （P ） CMN GGRG图1A D E BFCG图2A D E BF CPNMG H此时，615x EP GM ===-=当NP NM =时，如图5，30NPM PMN ==︒∠∠． 则120PMN =︒∠，又60MNC =︒∠， ∴180PNM MNC +=︒∠∠．因此点P 与F 重合，PMC △为直角三角形．∴tan 301MC PM =︒= ．此时，6114x EP GM ===--=．综上所述，当2x =或4或(5时，PMN △为等腰三角形．第3题答案.解：（1）当点P 与点N 重合或点Q 与点M 重合时，以PQ ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或BC ）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P 与点N 重合时，21222011x x x x +===由，得，（舍去）．因为BQ +CM =31)20x x +=<，此时点Q 与点M 不重合．所以1x 符合题意． ②当点Q 与点M 重合时， 320,5x x x +==由得．此时22520DN x ==>，不符合题意．故点Q 与点M 不能重合．所以所求x 1． （2）由（1）知，点Q 只能在点M 的左侧， ①当点P 在点N 的左侧时， 由220(3)20(2)x x x x -+=-+， 解得120()2x x ==舍去，．当x =2时四边形PQMN 是平行四边形． ②当点P 在点N 的右侧时， 由220(3)(2)20x x x x -+=+-， 解得1210()4x x =-=舍去，．当x =4时四边形NQMP 是平行四边形．所以当24x x ==或时，以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q ，M 分别作AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ． 由于2x >x ，所以点E 一定在点P 的左侧．若以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F 一定在点N 的右侧，且PE =NF ， 即223x x x x -=-．解得120()4x x ==舍去，．由于当x =4时， 以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形， 所以以P ，Q ，M ，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形．第4题答案.（1） 从点C 乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E ， 1分则︒=∠120COE 2分延长CO 与圆交于点F ，作EG ⊥OF 于点G . 3分 则︒=∠60GOE ， 4分在Rt EOG △中，2060cos 40=︒=OG 米， 5分∴小明2分钟后离开地面高度66=++=OG CO DC DG 米. 6分 （2） F 即为最高点，他能看到的地面景物面积为26)π28s =≈平方公里. 8分注：若理解为23π28s =≈平方公里不扣分. 不写答句不扣分.第5题答案.解： (1) 当直线12y x b =-+过点C （0,1）时，1b =； 当直线12y x b =-+过点A （3,0）时，32b =；当直线12y x b =-+过点B （3,1）时，52b =.∵点D 不与点C 、点B 重合，∴当312b <≤时, 点E 在线段OA 上（如图1）, 在12y x b =-+中, 令0y =, 得2x b =.∴ 点E 的坐标为()2,0b .∴ 112122S OE OC b b =⋅⋅=⨯⨯=.当3522b <<时, 点E 在线段AB 上（如图2）,在12y x b =-+中, 令3x =, 得32y b =- .∴ 点E 的坐标为33,2b ⎛⎫-⎪⎝⎭. 求△ODE 的面积给出以下两种方法：解法1： 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =. ∴直线12y x b =-+与x 轴的交点为F ()2,0b .∴ ODF OEF S S S ∆∆=- 1122OF OC OF EA =⋅⋅-⋅⋅ 113212222b b b ⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯- ⎪⎝⎭ 252b b =-+. 解法2：在12y x b =-+中, 令1y =, 得22x b =-.∴点D 的坐标为()22,1b -.OCD BDE OAE OABC S S S S S ∆∆∆=---矩形111222OA AB OC CD BD BE OA AE =⋅-⋅⋅-⋅⋅-⋅⋅()11513311(22)52322222b b b b ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⨯--⨯-⨯--⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭252b b =-+.∴ 当312b <≤时，S b =；当3522b <<时, 252S b b =-+.(2) ∵ 矩形OABC 关于直线DE 的对称图形为四边形111O A B ∴ 四边形1111O A B C 也为矩形, 且11113,1O A OA OC OC ====,11C B 与CB 相交于点D ,11O A 与OA 相交于点E .设11C B 与OA 相交于点F ,11O A 与CB 相交于点G , ∴ 矩形OABC 与矩形1111O A B C 重叠部分为四边形∵ //,//DG FE DF GE ,∴ 四边形DFEG 为平行四边形,且1DFO GEO OGD ∠=∠=∠. 证明平行四边形DFEG 为菱形给出以下两种证法：证法1：过点D 作11DM O A ⊥于点M ,DN OA ⊥于点N （如图11）,在R t DMG ∆和R t DNF ∆中,111DM C O CO DN ====, 90,DNF DMG DFN DGM ︒∠=∠=∠=∠,∴ R t DMG ∆≌ R t DNF ∆. ∴ DF DG =.∴ 平行四边形DFEG 为菱形.证法2：由轴对称的性质知.GDE FDE DEF DEG ∠=∠∠=∠， 又DE=DE ，∴DFE ∆≌ DGE ∆. ∴ DF DG =. ∴ 四边形DFEG 为菱形. 在12y x b =-+中, 令0y =,得2x b =; 令1y =, 得22x b =-. ∴点E 的坐标为()2,0b , 点D 的坐标为()22,1b -.在R t DNE ∆中,()2222,1EN b b DN =--==, ∴DE ==.过点F 作FH DE ⊥于H ,则H 为DE 的中点, 122EH DE ==, ∵DEN FEH ∠=∠,∴R t DNE ∆∽Rt FHE ∆. ∴12DN FH EN EH ==,得124FH EH ==, 455452122122=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯=∆DE FH S S DFE DFEG 菱形.∴菱形DFEG 的面积不变，面积为54.第6题答案.解：（1）当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，如图 （1），过点A 作BC 边上的高AM ，交DE 于N ，垂足为M .∵S △ABC =48，BC =12，∴AM =8.∵DE ∥BC ，△ADE ∽△ABC , ………1分∴AMANBC DE =， 而AN=AM －MN=AM －DE ，∴8812DEDE -=. ……………………2分 解之得8.4=DE .∴当正方形DEFG 的边GF 在BC 上时，正方形DEFG 的边长为4.8.…3分 （2）分两种情况：①当正方形DEFG 在△ABC 的内部时，如图（2），△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为正方形DEFG 的面积，∵DE =x ，∴2x y =，此时x 的范围是x <0≤4.8…4分B（ 图（2））A D E FGC（图(1)）ADECN②当正方形DEFG 的一部分在△ABC 的外部时， 如图（2），设DG 与BC 交于点Q ，EF 与BC 交于点P ， △ABC 的高AM 交DE 于N ，∵DE =x ，DE ∥BC ，∴△ADE ∽△ABC , …………5分即AM ANBC DE =，而AN =AM －MN =AM －EP , ∴8812EP x -=，解得x EP 328-=.………6分 所以)328(x x y -=, 即x x y 8322+-=.………7分由题意，x >4.8，x <12,所以128.4<<x .因此△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积为⎪⎩⎪⎨⎧<<+-=)128.4(83222x x x x y ……………………………………8分 当x <0≤4.8时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为4.82=23.04 当128.4<<x 时，因为x x y 8322+-=，所以当6)32(28=-⨯-=x 时，△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24)32(480)32(42=-⨯-⨯-⨯.因为24>23.04，所以△ABC 与正方形DEFG 重叠部分的面积的最大值为24. …………………10分第7题答案.解：（1）121分（2）作AM BC ⊥于M ，分别交PD FE 、于点N S 、， PD BC PD FE ∥，∥90AMB ANP ASF APD ABC ∴∠=∠=∠=︒，△∽△HF PD ⊥∴四边形HFSN 是矩形2分6PDNS FH ∴==APD ABC △∽△AP PDAB BC∴=，得65x PD =3分 5xNS FH ∴==4分PFED PBCD FBCE y S S S -∴=- 梯形梯形5分=11()()22PD BC NM PD NS FE BC SM +---+··N =1()-2PD BC NS PD NS +··M B（ 图(3)）AD EFGCNP Q(0< x ≤4.8) A DCP BF H EMS=2116133()62255255BC PD NS x x x x ⎛⎫--⨯=-+ ⎪⎝⎭·= 6分23532524y x ⎛⎫∴=--+ ⎪⎝⎭，当52x =时，34y =最大值7分（3）延长HF 交BC 于Q由（2）知四边形HQMN 和四边形FQMS 均为矩形FQ SM AM AN NS QM HN PN PH ∴==--==-，由56AB AC BC AM BC ===⊥，，，得43AM BM ==，由（2）知AP AN PN AB AM BM ==，得4355x xAN PN ==， 414455FQ x x x ∴=--=-8分四边形PFED 是平行四边形133tan tan 5420DPF DEF CFH FH PH x xDPF C ∴∠=∠=∠∴====∠∠·339()3352020BQ BM QM BM PN PH x x x ∴=-=--=-+=-9分在Rt FBQ △中，2222BP BF FQ BQ ==+，即2229(5)(4)320x x x ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭10分12280081x x ∴==，（舍去） 11分第8题答案.（1）如图Rt ∆ADE 就是要画的(图形正确就得分) .----------------------------------2分 (2) 22--------------------------------------------------------------------------------------------------5分 (3)AD 与⊙M 相切. -------------------------------------------------------------------------------------6分 证法一：过点M 作MH ⊥AD 于H ，连接MN , MA ,则MN ⊥AE 且MN=3在Rt △AMN 中,tan ∠MAN=AN MN =33∴∠MAN=30°---------------------------------------------7分 ∵∠DAE=∠BAC=60° ∴∠MAD=30°∴∠MAN=∠MAD=30°∴MH=MN （由△MHA ≌△MNA 或解Rt △AMH 求得MH =3从而得MH=MN 亦可）------------9分 ∴AD 与⊙M 相切. --------------------------------------------------------------------------------------10分 证法二：连接MA 、ME 、MD ，则S ADE ∆=DME AME AMD S S S ∆∆∆++-----------------------------8分 过M 作MH ⊥AD 于H, MG ⊥DE 于G, 连接MN , 则MN ⊥AE 且MN=3,MG=1∴21AC ·BC =21AD ·MH +21AE ·MN +21DE ·MG 由此可以计算出MH =3 ∴MH=MN ---------------------------------------------------------------9分 ∴AD 与⊙M 相切----------------------------------------------------------------------------------------10分第9题答案.解：（1）如图1 过点B 作BN OC ⊥，垂足为N由题意知 10OB OC == 8B N O A==6ON ∴== ····················································· 1分 (68)B ∴， ················································································· 1分 （2）如图1 90BON POH ONB OHP ∠=∠∠=∠= °BON POH ∴△∽△BO ON BNPO OH PH∴== 5PC t = 1056384O P t O H t P H t∴=-∴=-=- 10(63)34BH OB OH t t ∴=-=--=+ ·········································································· 1分 21(34)(84)6416(02)2S t t t t t ∴=+-=-++<≤ ·························································· 2分 （3）①当点G 在点E 上方时如图2 过点B 作BN OC '⊥，垂足为N '84BN CN CB ''==∴==BM PCBC PM ∥∥∴四边形BMPC 是平行四边形5PM BC BM PC t OC OB∴=====OCB OBC ∴∠=∠PM CB OPD OCB ODPOBC∴∠=∠∠=∠ ∥ OPD ODP ∴∠=∠ 9090O P D R M P O D P D P H ∠+∠=∠+∠= °RMP DPH EM EP ∴∠=∠∴= ······················································································ 1分点F 为PM 的中点 E F P M∴⊥ 90EMF PMR EFM PRM ∠=∠∠=∠= ° MEF MPR ∴△∽△ME MF EF MP MR PR ∴== 其中2PMMF == 84MR PR === ····················································································· 1分 5ME EF ∴==2EF EG =2523E G M G E M E G ∴=∴=-=-= ············································· 1分xyOBPAHN图1xy OBP AHN ' EFDG R C 图2AB OC MBG BON '∴∠=∠ ∥又90GMB ON B '∠=∠= °94MG MB MGB N BO BM N B N O '∴∴=∴=''△∽△ 995420t t ∴=∴= ·············································································································· 1分 ②当点G 在点E 下方时 如图3 同理可得 527MG ME EG =+=+=21215420BM t t ∴==∴= ·············································· 1分∴当920t =或2120时，2EF EG =．x yO B PAH EF DG RC M图3。
八年级动态类数学练习题
学习必备 欢迎下载八年级动态类数学练习题i 、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形-的边一「落在：轴的正半轴上，且.』】//_「, X .丨"，=4,J .\. =6，「一 =8.正方形ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且它的面积等于直角梯形沿；轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形的重叠部分面积为 '/ O(1) 分析与计算：求正方形ODEF 的边长；(2) 操作与求解：①正方形ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断②当正方形ODEF 顶点一移动到点时，求的值;( 3)探究与归纳:设正方形ODEF 的顶点0向右移动的距离为x ，求重叠部分面积与的函数关系式2、 △ ABC 中，/ BAG 90 °，AB=AC 点D 是BC 的中点，把一个三角板的直角顶点放在点 转且使两条直角边分别交 AB AC 于E 、F .(1) 如图1,观察旋转过程，猜想 线段AF 与BE 的数量关系并证明你 的结论； (2) 如图2,若连接EF,试探索线 段BEEF 、FC 之间的数量关系，直接写出你的结论(不需证明)； (3)如图3,若将“ AB=AC 点D 是BC 的中点”改为：“/ B =30°，ADL BC 于点D”，其A .逐渐增大B •逐渐减少C •先增大后减少D •先减少后增大ABCO 面积。
将正方形 0W'/( J > 0)的变化情况是D 处，将三角板绕点 D 旋余条件不变，探索(1)中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.学习必备__________ 欢迎下载3、如图，在△ ABC中，AB= AC= 10cm, BD L AC于点D,且BD= 8cm.点M从点A岀发，沿AC的方向匀速运动，速度为2cm/s ;同时直线PQ由点B岀发，沿BA的方向匀速运动，速度为1cm/s，运动过程中始终保持PQ// AC 直线PQ交AB于点P、交BC于点Q 交BD于点F.连接PM设运动时间为t s(0 v t v 5).⑴当t为何值时，四边形PQCMI平行四边形？⑵设四边形PQCI的面积为y cm2，求y与t之间的函数关系式;⑶是否存在某一时刻t，使S四边形PQC L S A ABC?若存在，求岀t的值；若不存在,说明理由;(4) 连接PC,是否存在某一时刻t，使点M在线段PC的垂直平分线上？若存在，求岀此时t的值；若不存在，说明理由 .4、如图，在矩形ABCDL AD=4，AB=n(m>4)，点P是AB边上的任意一点(不与A、B重合)，连结PD过点P 作PQL PD 交直线BC于点Q.(1) 当m=10时，是否存在点P使得点Q与点C重合？若存在，求岀此时AP的长；若不存在，说明理由；(2) 连结AC,若PQ/ AC求线段BQ的长(用含m的代数式表示)(3) 若厶PQD为等腰三角形，求以P、Q C D为顶点的四边形的面积S与m之间的函数关系式，并写岀m的取值范围.5、如图，△ ABC中AB=AC,BC=6,点D位BC中点，连接AD, AD=4,AN是厶ABC外角/ CAM的平分线，CEL AN,垂足为E (1) 试判断四边形ADCE的形状并说明理由(2) 将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t ( 0< t < 6)秒，平移后的四边形A'D' C'〔’与厶ABC重叠部分的面积为S,求S关于t的函数表达式，并写岀相应的t的取值范围。
八年级下数学动点题
几何中动态问题专题训练第一部分第二部分1、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？2、在等腰梯形ABCD中,AD//BC, AB=DC=5，AD=6，BC=12. 动点P从D点出发沿DC以每秒一个单位的速度向终点C运动，动点Q从点C出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动。
两点同时出发，当P 点达到C点时，Q点随之停止运动。
（1）求梯形的面积。
（2）当PQ//AB时，P点离开D点的时间等于几秒？（3）当P、Q、C三点构成直角三角形时，P点离开D点多少时间？3、如图，四边形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于点E.（1）求证：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射线DE上的动点.设DP＝xcm（x＞0），四边形BCDP的面积为ycm2.①求y关于x的函数关系式；②当x为何值时，△PBC的周长最小，并求出此时y的值.DPA EFCB 4、如图10，四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG,AE与CG相交于点M，CG与AD相交于点N．求证：（1）CGAE=；（2）.MNCNDNAN•=•C B E 1.已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题：（1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?（2）设四边形APQC 的面积为y （cm 2），求y 与t 的关系式；是否存在某一时刻t ，使四边形APQC 的面积是△ABC 面积的三分之二？如果存在，求出相应的t 值；不存在，说明理由；2.梯形ABCD 中，AD∥BC，∠B=90°，AD=24cm ，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。
八年级数学下册 24 微专题 图形变换、动点动态探究问题习题 (新版)冀教版
微专题：图形变换、动点动态探究问题【河北热点】◆类型一动点与函数图像的综合问题1．(2017·唐山乐亭县期中)如图①，在等边三角形△ABC中，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AB→BC运动，到点C停止，过点P作PD⊥AC，垂足为D，PD的长度y(cm)与点P的运动时间x(秒)的函数图像如图②所示，当点P运动5.5秒时，PD的长是( )A.534cmB.532cmC．23cmD．33cm2．(2017·河南中考)如图①，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图②是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是________．◆类型二特殊四边形中的动态变换问题3．(2017·秦皇岛卢龙县期末)如图①，△ABD和△BDC都是边长为1的等边三角形．(1)四边形ABCD________菱形(填“是”或“不是”)；(2)如图②，将△BDC沿射线BD方向平移到△B1D1C1的位置，连接BC1，AD1，则四边形ABC1D1是平行四边形吗？为什么？(3)在△BDC移动过程中，四边形ABC1D1有可能是矩形吗？如果可能，请求出点B移动的距离(写出过程)；如果不可能，请说明理由(图③供操作时使用)．4．(2017·定州市期中)如图，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝1，BC＝5，对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F.(1)当∠AOF＝90°时，求证：四边形ABEF是平行四边形；(2)试说明在旋转过程中，AF与CE总保持相等；(3)在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时∠AOF度数．参考答案与解析1．A 解析：根据题意得AB ＝4cm.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝4cm ，∠C ＝60°.当点P 运动5.5秒时，如图所示．则BP ＝5.5－4＝1.5(cm)，∴PC ＝2.5cm.∵∠C ＝60°，∴∠CPD ＝30°，∴CD ＝12CP ＝54cm.∴PD ＝CP 2－CD 2＝534cm.2．12 解析：根据图像可知点P 在BC 上运动时，此时BP 不断增大，由图像可知：点P 从B 运动到C 的过程中，BP 的最大值为5，即BC ＝5.点P 运动到点A 时，BP ＝AB ＝5.∴△ABC 是等腰三角形．∵M 是曲线部分的最低点，∴此时BP 最小，即BP ⊥AC 时，BP ＝4，∴由勾股定理得PC ＝3，∴AC ＝6，∴△ABC 的面积为12×4×6＝12，故答案为12. 3．解：(1)是(2)四边形ABC 1D 1是平行四边形．理由如下：∵∠ABD 1＝∠C 1D 1B ＝60°，∴AB ∥C 1D 1，又∵AB ＝C 1D 1，∴四边形ABC 1D 1是平行四边形．(3)四边形ABC 1D 1有可能是矩形．此时，∠D 1BC 1＝30°，∠D 1C 1B ＝90°，C 1D 1＝1，∴BD 1＝2C 1D 1＝2.又∵B 1D 1＝1，∴BB 1＝BD 1－B 1D 1＝1，即点B 移动的距离为1.4．(1)证明：当∠AOF ＝90°时，∠AOF ＝∠BAC ，∴AB ∥EF .∵AF ∥BE ，∴四边形ABEF 是平行四边形．(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝CO ，AF ∥EC ，∴∠FAO ＝∠ECO .在△AOF和△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠FAO ＝∠ECO ，OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COE ，∴△AOF ≌△COE ，∴AF ＝CE .(3)解：四边形BEDF 可能是菱形．理由如下：∵△AOF ≌△COE ，∴OE ＝OF .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，∴EF 与BD 互相平分，∴四边形BEDF 是平行四边形，∴当EF ⊥BD 时，▱BEDF 是菱形．在Rt△ABC 中，AC ＝（5）2－12＝2，∴OA ＝1＝AB .∵AB ⊥AC ，∴∠AOB ＝45°，∴∠AOF ＝45°，∴当四边形BEDF 是菱形时，∠AOF ＝45°.。
八年级数学总复习与一次函数有关的动态几何问题专题练习
八年级数学总复习与一次函数有关的动态几何问题专题练习一、单选题，AB=6，点E、F、G分别是AB、BC、DC上的点，其中BE=DG=2，BF=1．点P 1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=45°从E点出发，以每秒2个单位长度沿折线EA﹣AD﹣DG运动；点Q以每秒1个单位沿折线FC﹣CG运动，当其中一个点到达后，另一个点也停止运动，设△BPQ的面积为S，点P，Q的运动时间为t秒，则S与t的函数关系的大致图象是（）A. B. C. D.2.如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）A. B. C. D.3.如图，矩形ABCD中，AB=4cm，AD=5cm，点E在AD上，且AE=3cm，点P、Q同时从点B出发，点P沿BE→ED→DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s，设P、Q出发t秒，△BPQ的面积为y cm2．则y与t的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.4.如图，点P是?ABCD边上一动点，沿A→D→C→Ｂ的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A. B. C. D.5.已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长为y．表示y与x的函数关系的图象大致如图，则该封闭图形可能是（）A. B. C. D.，PD交AB于点6.如图，正△ABC的边长为4，点P为BC边上的任意一点（不与点B、C重合），且∠APD=60°D．设BP=x，BD=y，则y关于x的函数图象大致是（）A. B. C. D.和，P、Q同时从B出发，以每秒1单位长度分别沿B﹣A﹣D﹣Ｃ7.如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠C=60°方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒），△BPQ的面积为S（平方单位），S与t的函数图象如图2 B﹣C﹣Ｄ所示，则下列结论错误的个数（）①当t=4秒时，S=4 ②AD=4③当4≤t≤８时，S=2 t ④当t=9秒时，BP平分四边形ABCD的面积．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8.（2016?广东）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系图象大致是（）A. B. C. D.二、综合题9.（2017?河北）如图，直角坐标系xOy中，A（0，5），直线x=﹣５与x轴交于点D，直线y=﹣x﹣与x轴及直线x=﹣５分别交于点C，E，点B，E关于x轴对称，连接AB．（1）求点C，E的坐标及直线AB的解析式；（2）设面积的和S=S△CDE+S四边形ABDO，求S的值；（3）在求（2）中S时，嘉琪有个想法：“将△CDE沿x轴翻折到△CDB的位置，而△CDB与四边形ABDO拼接后可看成△AOC，这样求S便转化为直接求△AOC的面积不更快捷吗？”但大家经反复演算，发现S△AOC≠Ｓ，请通过计算解释他的想法错在哪里．10.（2017?盘锦）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=﹣x+4与x轴、y轴分别交于点M，N，高为3的等边三角形ABC，边BC在x轴上，将此三角形沿着x轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A1B1C1，当点B1与原点重合时，解答下列问题：（1）求出点A1的坐标，并判断点A1是否在直线l上；（2）求出边A1C1所在直线的解析式；（3）在坐标平面内找一点P，使得以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．11.如图，A（0，1），M（3，2），N（4，4）.动点P从点A出发，沿轴以每秒1个单位长的速度向上移动，且过点P的直线l：y＝－x+b也随之移动，设移动时间为t秒.（1）当t＝3时，求l的解析式；（2）若点M，N位于l的异侧，确定t的取值范围；（3）直接写出t为何值时，点M关于l的对称点落在坐标轴上.12.（2017?宁夏）直线y=kx+b与反比例函数y= （x＞0）的图象分别交于点A（m，3）和点B（6，n），与坐标轴分别交于点C和点D．（1）求直线AB的解析式；（2）若点P是x轴上一动点，当△COD与△ADP相似时，求点P的坐标．13.如图，矩形OABC放在以O为原点的平面直角坐标系中，A（3，0），C（0，2），点E是AB的中点，点F在BC边上，且CF=1．（1）点E的坐标为________，点F的坐标为________；（2）点E关于x轴的对称点为E′，点F关于y轴的对称点为F′，①点E′的坐标为________，点F′的坐标为________；②求直线E′F′的解析式；（3）若M为x轴上的动点，N为y轴上的动点，当四边形MNFE的周长最小时，求出点M，N的坐标，并求出周长的最小值．14.如图，已知点D在反比例函数y= 的图象上，过点D作x轴的平行线交y轴于点B（0，3）．过点A（5，0）的直线y=kx+b与y轴于点C，且BD=OC，tan∠OAC= ．（1）求反比例函数y= 和直线y=kx+b的解析式；（2）连接CD，试判断线段AC与线段CD的关系，并说明理由；（3）点E为x轴上点A右侧的一点，且AE=OC，连接BE交直线CA与点M，求∠BMC的度数．15.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（﹣４，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒 4 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．16.直线y=﹣x+3和x轴、y轴的交点分别为B、C，点A的坐标是（﹣，0），另一条直线经过点A、C．（1）求线段AC所对应的函数表达式；（2）动点M从B出发沿BC运动，速度为1秒一个单位长度．当点M运动到C点时停止运动．设M运动t秒时，△ABM的面积为S．①求S与t的函数关系式；②当t为何值时，S= S△ABC，（注：S△ABC表示△ABC的面积），求出对应的t值；③当t=4的时候，在坐标轴上是否存在点P，使得△BMP是以BM为直角边的直角三角形？若存在，请直接写出P点坐标，若不存在，请说明理由．17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始以2cm/s的速度向点B运动，点Q沿CB边从点C开始以1cm/s的速度向点B运动，P、Q同时出发，用t（s）表示运动的时间（0≤t≤５）．（1）当t为何值时，以P、Q、B为顶点的三角形与△ABC相似．（2）分别过点A，B作直线CP的垂线，垂足为D，E，设AD+BE=y，求y与t的函数关系式；并求当t为何值时，y有最大值．（3）直接写出PQ中点移动的路径长度．18.如图，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点，直线y= x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D，点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动，过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN．设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为ts（t＞0）．（1）求点C的坐标；（2）当0＜t＜5时，求S的最大值；（3）当t在何范围时，点（4，）被正方形PQMN覆盖？请直接写出t的取值范围．19.如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（﹣３，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H，链接BM（1）菱形ABCO的边长________（2）求直线AC的解析式；（3）动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠０），点P的运动时间为t秒，①当0＜t＜时，求S与t之间的函数关系式；②在点P运动过程中，当S=3，请直接写出t的值．20.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（﹣，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，∠ABO=30°，OB=3OC．（1）试说明直线AC与直线AB垂直；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，直线BD上是否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．21.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，△ABC的边BC在y轴的正半轴上，点A在x轴的正半轴上，点C 的坐标为（0，8），将△ABC沿直线AB折叠，点C落在x轴的负半轴D（﹣４，0）处．（1）求直线AB的解析式；（2）点P从点A出发以每秒 4 个单位长度的速度沿射线AB方向运动，过点P作PQ⊥AB，交x轴于点Q，PR∥AC交x轴于点R，设点P运动时间为t（秒），线段QR长为d，求d与t的函数关系式（不要求写出自变量t 的取值范围）；（3）在（2）的条件下，点N是射线AB上一点，以点N为圆心，同时经过R、Q两点作⊙N，⊙N交y轴于点E，F．是否存在t，使得EF=RQ？若存在，求出t的值，并求出圆心N的坐标；若不存在，说明理由．22.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的四个顶点坐标分别为O（0，0），A（4，0），B（4，3），C（0，3），G是对角线AC的中点，动直线MN平行于AC且交矩形OABC的一组邻边于E、F，交y轴、x轴于M、N．设点M的坐标为（0，t）．（1）当t=2时求△EFG的面积S；（2）当△EFG为直角三角形时，求t的值；（3）当点G关于直线EF的对称点G′恰好落在矩形OABC的一条边所在直线上时，直接y写出t的值．23.如图所示，在平面直角坐标系中，过点A（，0）的两条直线分别交y轴于B、C两点，且B、C两点的纵坐标分别是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两个根（1）试问：直线AC与直线AB是否垂直？请说明理由；（2）若点D在直线AC上，且DB=DC，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，在直线BD上寻找点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．24.如图，直线y=kx+6与x、y轴分别交于E、F．点E坐标为（﹣８，0），点A的坐标为（﹣６，0），P（x，y）是直线y=kx+6上的一个动点．（1）求k的值；（2）若点P是第二象限内的直线上的一个动点，当点P运动过程中，试写出三角形OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）探究：当P运动到什么位置时，三角形OPA的面积为，并说明理由．25.如图，直线y=﹣x+10与x轴、y轴分别交于点B，C，点A的坐标为（8，0），P（x，y）是直线y=﹣x+10在第一象限内一个动点．（1）求△OPA的面积S与x的函数关系式，并写出自变量的x的取值范围；（2）当△OPA的面积为10时，求点P的坐标．26.如图，以菱形ABCD对角线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，A、B两点的坐标分别为（﹣２，0）、（0，﹣），直线DE⊥DC交AC于E，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿着A→D→Ｃ的路线向终点C匀速运动，设△PDE的面积为S（S≠０），点P的运动时间为t秒．（1）求直线DE的解析式；（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）当t为何值时，∠EPD+∠DCB=90°？并求出此时直线BP与直线AC所夹锐角的正切值．答案解析部分一、单选题1.【答案】 A【解析】【解答】解：当0＜t≤２时，点P在AB上，点Q在BC上，S= ?（1+t）?（2+2t）? = （t+1）2，当2＜t≤５时，点P在AD上，点Q在BC上，S= ?（1+t）?3 = （t+1），当5＜t≤６时，点P、点Q在CD上，S= ?[6﹣（t﹣５）]?3 =﹣t+ ．）﹣（2t﹣10故答案为：A．【分析】分三种情形求出S与t的关系即可解决问题．2.【答案】 A【解析】【解答】解：过点C作CG⊥AB，∵MN=1，四边形MNQP为直角梯形，∴四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN），∴N点从A到G点四边形MNQP的面积为S= MN×（PM+QN）中，PM，QN都在增大，所以面积也增大；当QN=CG时，QN开始减小，但PM仍然增大，且PM+QN不变，∴四边形MNQP的面积不发生变化，当PM＜CG时，PM+QN开始减小，∴四边形MNQP的面积减小，∴符合要求的只有A．故答案为：A．【分析】利用直角梯形的面积公式，由于MN是一个确定值，因此四边形MNQP的面积随PM+QN的变化而变化，找到特殊点过点C作CG⊥AB，，分情况讨论就可得出四边形MNQP的面积的变化情况。
北师大版八年级下数学-相似三角形的几何动态题型及答案
1、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．CM B（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．解：（1）由题意知，当M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．AB M CNE D∵AB DE ∥，AB MN ∥．∴DE MN ∥． ∴MC NC EC CD =． ∴ 1021035t t -=-．解得5017t =． （2）分三种情况讨论：① 当MN NC =时，如图②作NF BC ⊥交BC 于F ，则有2MC FC =即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵4sin 5DF C CD ∠==，∴3cos 5C ∠=，∴310225tt -=⨯，解得258t =．AB M CNF D② 当MN MC =时，如图③，过M 作MH CD ⊥于H ． 则2CN CH =，∴()321025t t =-⨯．∴6017t =． AB M CN HD③ 当MC CN =时， 则102t t -=． 103t =．综上所述，当258t =、6017或103时，MNC △为等腰三角形．2、在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）（1）结论：CF 与BD 位置关系是垂直；证明如下： AB=AC ，∠ACB=45º，∴∠ABC=45º． 由正方形ADEF 得 AD=AF ，∵∠DAF=∠BAC =90º， ∴∠DAB=∠FAC ，∴△DAB ≌△FAC ， ∴∠ACF=∠ABD ． ∴∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º．即 CF ⊥BD ． （2）CF ⊥BD ．(1)中结论成立．理由是：过点A 作AG ⊥AC 交BC 于点G ，∴AC=AG 可证：△GAD ≌△CAF ∴∠ACF=∠AGD=45º ∠BCF=∠ACB+∠ACF= 90º． 即CF ⊥BD （3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ， ①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQAQ= ， ∴44CP xx =-，24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45º，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ．过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ，则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQAQ= ， ∴44CP xx =+， 24x CP x ∴=+．3、已知：如图（1），射线//AM 射线BN ，AB 是它们的公垂线，点D 、C 分别在AM 、BN 上运动（点D 与点A 不重合、点C 与点B 不重合），E 是AB 边上的动点（点E 与A 、B 不重合），在运动过程中始终保持EC DE ⊥，且a AB DE AD ==+． （1）求证：ADE ∆∽BEC ∆； （2）如图（2），当点E 为AB 边的中点时，求证：CD BC AD =+；（3）设m AE =，请探究：BEC ∆的周长是否与m 值有关？若有关，请用含有m 的代数式表示BEC ∆的周长；若无关，请说明理由．第25题（1）第25题（2）（1）证明：∵ EC DE ⊥，∴ ︒=∠90DEC ．∴ ︒=∠+∠90BEC AED ． 又∵ ︒=∠=∠90B A ，∴ ︒=∠+∠90EDA AED ． ∴ EDA BEC ∠=∠．∴ ADE ∆∽BEC ∆． （2）证明：如图，过点E 作EF BC //，交CD 于点F ， ∵ E 是AB 的中点，容易证明)(21BC AD EF +=． 在DEC Rt ∆中，∵ CF DF =，∴ CD EF 21=． ∴)(21BC AD +CD 21=． ∴ CD BC AD =+．第25题（3）解：AED ∆的周长DE AD AE ++=m a +=，m a BE -=． 设x AD =，则x a DE -=．∵ ︒=∠90A ，∴ 222AD AE DE +=．即22222x m x ax a +=+-．∴ am a x 222-=．由（1）知ADE ∆∽BEC ∆，∴ 的周长的周长BEC ∆∆ADE BE AD =m a a m a --=222am a 2+=． ∴ BEC ∆的周长⋅+=ma a2ADE ∆的周长a 2=． ∴ BEC ∆的周长与m 值无关．4、在矩形ABCD 中，AB=8,AD=6,点E,F 在BC,CD 边上，BE =4,DF=5, P 是线段EF 上一动点（不运动至点E,F ），过点P 作PM ⊥AD 于M,PN ⊥AB 于N,设PN=x,矩形PMAN 面积为S (1)求S 关于x 函数解析式和自变量的取值范围（2）当PM,PN 长是关于t 的方程09832=+-kt t 两实根时，求EP:PF 的值和k 的值.MD ABEF5、如图，矩形ABCD 中，AB=12cm,BC=6cm,点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/秒的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/秒的速度移动，如果P,Q 同时出发，用t(秒)表示移动时间（06≤≤x ），那么（1）当t 为何值时，△QAP 为等腰三角形？（2）当t 为何值时，以Q, A, P 为顶点的三角形与△ABC 相似？6、如图,矩形ABCD 中,AB=6,BC=8,动点P 从B 点出发沿着BC 向C 移动,速度为每秒2个单位，动点Q 从点C 出发沿CD 向D 出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C 、P 、Q 三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ 与AC 的位置关系如何？请说明理由。
最新人教版初中八年级上册数学难点探究专题练习：动态变化中的三角形全等
难点探究专题：动态变化中的三角形全等——以“静”制“动”，不离其宗◆类型一动点变化1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC 的垂线AD上移动，则当AP＝_________时，△ABC和△APQ全等．2．如图，△ABC中，AB＝AC＝12cm，∠B ＝∠C，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为v cm/s，则当△BPD 与△CQP全等时，v的值为____________【提示：三角形中有两个角相等，则这两个角所对的边相等】．3．(2016·达州中考)△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC(∠ABC＝∠ACB＝45°)，点D为直线BC上一动点(点D不与B，C重合)，以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF.【方法11】(1)观察猜想：如图①，当点D在线段BC 上时，①BC与CF的位置关系为_______；②线段BC，CD，CF之间的数量关系为___________ (将结论直接写在横线上)．(2)数学思考：如图②，当点D在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．◆类型二图形变换4．如图甲，已知A，E，F，C在一条直线上，AE＝CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，且AB＝CD，连接BD.(1)试问OE＝OF吗？请说明理由；(2)若△DEC沿AC方向平移到如图乙的位置，其余条件不变，上述结论是否仍成立？请说明理由．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，F分别在AB，AC上，CF＝CB，连接CD，将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE，连接EF.(1)求证：△BCD≌△FCE；(2)若EF∥CD，求∠BDC的度数．参考答案与解析1．3或6解析：∵△ABC和△APQ全等，AB＝PQ，∴有△ABC≌△QP A或△ABC≌△PQA.当△ABC≌△QP A时，则有AP ＝BC＝3；当△ABC≌△PQA时，则有AP＝AC ＝6，∴当AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等，故答案为3或6.2．2或3解析：当BD＝PC时，△BPD 与△CQP全等．∵点D为AB的中点，∴BD＝12AB＝6cm，∴PC＝6cm，∴BP＝8－6＝2(cm)．∵点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，∴运动时间为1s.∵△DBP≌△PCQ，∴CQ＝BP＝2cm，∴v ＝2÷1＝2(cm/s); 当BD＝CQ时，△BDP≌△QCP.∴PB＝PQ，∠B＝∠CQP.又∵∠B＝∠C，∴∠C＝∠CQP，∴PQ＝PC，∴PB ＝PC.∵BD＝6cm，BC＝8cm，PB＝PC，∴QC ＝6cm，∴BP＝4cm，∴运动时间为4÷2＝2(s)，∴v＝6÷2＝3(cm/s)，故答案为2或3.3．解：(1)①垂直②BC＝CD＋CF(2)CF⊥BC成立；BC＝CD＋CF不成立，正确结论：CD＝CF＋BC.证明如下：∵正方形ADEF中，AD＝AF，∠DAF＝∠BAC ＝90°，∴∠BAD＝∠CAF.在△DAB与△F AC中，⎩⎪⎨⎪⎧AD＝AF，∠BAD＝∠CAF，AB＝AC，∴△DAB≌△F AC(SAS)，∴∠ABD＝∠ACF，DB＝CF.∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠ABD＝180°－45°＝135°，∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB ＝∠ABD－∠ACB＝90°，∴CF⊥BC.∵CD＝DB ＋BC，DB＝CF，∴CD＝CF＋BC.4．解：(1)OE＝OF.理由如下：∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEC＝∠BF A＝90°.∵AE＝CF，∴AE＋EF＝CF＋EF，即AF＝CE.在Rt△ABF和Rt△CDE中，⎩⎪⎨⎪⎧AB＝CD，AF＝CE，∴Rt△ABF≌Rt△CDE(HL)，∴BF＝DE.在。
最新初中数学动态几何探究题汇总大全
最新初中数学动态几何探究题汇总大全【题型特征】以几何知识为主体的综合题，简称几何综合题,主要研究图形中点与线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质•一般以相似为中心，以圆为重点，常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用•【解题策略】解答几何综合题应注意：(1)注意观察、分析图形，把复杂的图形分解成几个基本图形，通过添加辅助线补全或构造基本图形.(2)掌握常规的证题方法和思路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题，运用方程的思想解决几何计算问题•还要灵活运用其他的数学思想方法等•【小结】几何计算型综合问题，是以计算为主线综合各种几何知识的问题•这类问题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活•解题时必须在充分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系，在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形，或通过添加辅助线补全或构造基本图形，并善于联想所学知识，突破思维障碍，合理运用方程等各种数学思想才能解决•【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目•值得一提的是，在近年各地的中考试题中，几何论证型综合题的难度普遍下降，出现了一大批探索性试题，根据新课标的要求，减少几何中推理论证的难度，加强探索性训练，将成为几何论证型综合题命题的新趋势•为了复习方便，我们将几何综合题分为：以三角形为背景的综合题；以四边形为背景的综合题；以圆为背景的综合题.类型1操作探究题1.在Rt △ ABC中，/ C= 90°, Rt△ ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD,过点D作DF丄AC于点F.(1) 如图1,若点F与点A重合，求证：AO BC;⑵若/ DAF=Z DBA.①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由;②当点F在线段CA上时，设BE= x，请用含x的代数式表示线段AF.解：⑴ 证明：由旋转得，/ BAC=Z BAD•/ DF丄AC,•••/ CAD= 90° .•••/ BAC=Z BAD= 45°.•••/ ACB= 90°,•••/ ABC= 45° .•AC= BC.⑵①AF= BE.理由：由旋转得AD= AB,「./ ABD=Z ADB.•••/ DAF=Z ABD DAF=Z ADB.•AF// BD.A Z BAC=Z ABD.•••/ ABD=Z FAD 由旋转得/ BAC=Z BAD.•••/ FAD=Z BAC=Z BAD= 1/3 X 180° = 60°.由旋转得，AB= AD.「.A ABD是等边三角形.二AD= BD.在厶AFD和厶BED中: 1. / F=. / BED=90 ; 2.AD= BD 3. / FAD=Z EBD AFD^A BED(AAS).：AF= BE.②如图由旋转得/ BAC=Z BAD.•••/ ABD=Z FAD=Z BAO Z BAD= 2/ BAD由旋转得AD= AB,•••/ ABD=Z ADB= 2/ BAD.•••/ BAD^Z ABD^Z ADB= 180°,•••/ BAD^ 2Z BAD^ 2Z BAD= 180°. /-Z BAD= 36°.设BD= a，作BG平分Z ABD•Z BAD=Z GBD= 36°. • AG= BG= BD= a.•DG= AD- AG= AD- BG= AD- BD.•••Z BDG=Z ADB BD3A ADB.•BD/AD= DG/DB./. BD/AD= （AD- BD）/BD「. AD/B»（1+根号5）/2。
华东师大版初中八年级数学上册专项素养综合练(五)几何动态问题与全等三角形课件
由题意得6-t=3t-8,解得t=3.5,∴CQ=3t-8=2.5; 当点Q与点A重合,点P运动到BC上时,分析易得△PCE≌△ CQF,此时CQ=AC=CP=6. 综上,当△PEC与△QFC全等时,CQ的长为5或2.5或6.
题型二 半角型 4.(2023山西大同平城中学校月考)定义:过等腰三角形顶角 的顶点引两条射线,使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的 一半,这样的模型称为“半角模型”.常见的图形有正方形、 正三角形、等腰直角三角形等,在解决“半角模型”的问题 时,旋转是一种常用的方法. 已知,如图1,四边形ABCD是正方形,E,F分别在边BC、CD上, 且∠EAF=45°, (1)在图1中,连结EF,为了证明结论“EF=BE+DF”,小亮将△ ADF绕点A顺时针旋转90°后解答了这个问题,请按小亮的思
AG AF,
在△AGE和△AFE中, GAE EAF, ∴△AGE≌△AFE(S.A.SA.E),∴ AGEE, =EF, ∵GE=GB+BE=BE+DF,∴EF=BE+DF.
(2)如图,把△ABE绕点A逆时针旋转90°,使AB与AD重合,点E 与点G对应,∴△ABE≌△ADG,∴BE=DG, 与(1)同理可证得△AEF≌△AGF(S.A.S.),∴EF=GF,∴EF= GF=DF-DG=DF-BE,即EF=DF-BE.
2
综上所述,当t的值为 31 或17 时,能使△ABC≌△CFE.
22
3.(2024重庆九龙坡期末)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6, BC=8.点P从点A出发,沿折线AC-CB以每秒1个单位长度的速 度向终点B运动,点Q从点B出发沿折线BC-CA以每秒3个单位 长度的速度向终点A运动,P、Q两点同时出发,当其中一点到 达终点时,另一点立刻停止运动.分别过P、Q两点作PE⊥l于 E,QF⊥l于F,当△PEC与△QFC全等时,求CQ的长.
初二几何之动点问题
中考数学动点几何问题※动点求最值:两定一动型（“两个定点，一个动点"的条件下求最值.例如上图中直线l的同侧有两个定点A、B，在直线l上有一动点)例1、以正方形为载体如图，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一动点P,使PD+PE的值最小，则其最小值是例2、以直角梯形为载体如图，在直角梯形中，AD∥BC，AB⊥BC,AD=2，BC=DC=5,点P在BC上移动，当PA+PD取得最小值时，△APD中AP边上的高为一定两动型(“一个定点”+“两个动点")例3、以三角形为载体如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD、AB上的动点，则BM+MN的最小值是例4、以正方形、圆、角为载体正方形ABCD的边长为2,E为AB的中点，P是AC上的一动点.连接BP，EP,则PB+PE的最小值是例5、⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB, ∠AOC=60°,P是OB上的一动点，PA+PC 的最小值是例6、如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是 .例7：在△ABC 中，∠B=60°，BA=24CM ，BC=16CM,(1）求△ABC 的面积；（2）现有动点P 从A 点出发,沿射线AB 向点B 方向运动，动点Q 从C 点出发，沿射线CB 也向点B 方向运动。
如果点P 的速度是4CM/秒，点Q 的速度是2CM/秒，它们同时出发，几秒钟后，△PBQ 的面积是△ABC 的面积的一半？(3）在第（2)问题前提下,P,Q 两点之间的距离是多少？例8:如图（3）,在梯形中,厘米，厘米,的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动,动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．（1)求边的长; (2)当为何值时，与相互平分;（3）连结设的面积为求与的函数关系式，求为何值时，有最大值?求最大值？ABCD 906DC AB A AD ∠==∥，°，4DC =BC 34i =∶，P A AB B Q B B C D →→D t BC t PC BQ PQ ，PBQ △y ，y t t y 图（3）CD ABQP E ACB※动点构成特殊图形例9、如图,在Rt ABC △中，9060ACB B ∠=∠=°，°,2BC =．点O 是AC 的中点，过点O 的直线l 从与AC 重合的位置开始，绕点O 作逆时针旋转，交AB 边于点D ．过点C 作CE AB ∥交直线l 于点E ,设直线l 的旋转角为α．(1）①当α=度时,四边形EDBC 是等腰梯形，此时AD 的长为 ；②当α= 度时，四边形EDBC 是直角梯形,此时AD 的长为 ;(2）当90α=°时,判断四边形EDBC 是否为菱形,并说明理由．例10、如图1，在等腰梯形ABCD 中,AD BC ∥，E 是AB 的中点，过点E 作EF BC ∥交CD 于点F ．46AB BC ==，，60B =︒∠. (1）求点E 到BC 的距离;(2）点P 为线段EF 上的一个动点,过P 作PM EF ⊥交BC 于点M ，过M 作MN AB ∥交折线ADC 于点N ，连结PN ,设EP x =.①当点N 在线段AD 上时（如图2），PMN △的形状是否发生改变？若不变，求出PMN △的周长;若改变,请说明理由；②当点N 在线段DC 上时（如图3)，是否存在点P ，使PMN △为等腰三角形？若存在，请求出所（备用有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由。
北师大版八年级下数学-相似三角形的几何动态题型及答案
初中精品资料欢迎下载
1、如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD ，5DC ，10BC ，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）
．D
N
C
M B A （1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
解：（1）由题意知，当
M 、N 运动到t 秒时，如图①，过D 作DE AB ∥交BC 于E 点，则四边形ABED 是平行四边形．
A B M C
N E D
∵AB DE ∥，AB MN ∥．
∴DE MN ∥．
∴MC NC EC CD
．∴1021035t t ．解得5017t ．（2）分三种情况讨论：
①当MN NC 时，如图②作NF
BC 交BC 于F ，则有2MC FC 即．（利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质）∵4sin 5
DF C CD ，∴3cos 5
C ，∴310225
t t ，解得258
t ．A B M C
N
F D
②当MN MC 时，如图③，过
M 作MH CD 于H ．则2CN CH ，
∴321025t t ．。
2021年八上数学同步练习-图形的性质_几何图形的动态问题-综合题专训及答案
2021年八上数学同步练习-图形的性质_几何图形的动态问题-综合题专训及答案2021八上数学同步练习-图形的性质_几何图形的动态问题-综合题-专训1、(2018罗山.八上期末) 如图1，在平面直角坐标系中，四边形OBCD是正方形，且D（0，2），点E是线段OB延长线上一点，M是线段OB上一动点（不包括点O、B），作MN⊥DM，垂足为M，且MN=DM．设OM=a．（1）请你利用基本活动经验直接写出点C的坐标，点N的坐标．（用含a的代数式表示）；（2）如果（1）的条件去掉“且MN=DM“，加上“交∠CBE的平分线与点N”，如图2，求证：MD=MN．如何突破这种定势，获得问题的解决，请你写出你的证明过程；（3）如图3，请你继续探索：连接DN交BC于点F，连接FM，下列两个结论：①FM的长度不变；②MN平分∠FMB，其中正确的结论的序号为．2、(2018钦州.八上期末) 如图1，△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC，且AC=BC，△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，且EF=FP．（1）直接写出AB与AP所满足的数量关系：，AB与AP的位置关系：；（2）将△ABC沿直线l向右平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP，BQ，求证：AP=BQ；（3）将△ABC沿直线l向右平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP，BQ，试探究AP=BQ是否仍成立？并说明理由．3、(2020萧山.八上期中) 如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8 ， BC=16，D是AC上的一点，CD=3，点P从B 点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.连结AP.（1）当t=3秒时，求AP的长度(结果保留根号)；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE=CD？4、(2020龙湾.八上期中) 如图，在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，点D从B点出发，沿射线CB方向以每秒3个单位长度的速度运动，射线MP⊥射线CB，且BM＝10，点Q从M点出发，沿射线MQ方向以每秒a个单位长度的速度运动，已知D、Q 两点同时出发，运动时间为t秒．（1）当t＝2时，△DMQ是等腰三角形，求a的值．（2）求t为何值时，△DCA为等腰三角形．（3）是否存在a，使得△DMQ与△ABC全等，若存在，请直接写出a的值，若不存在，请说明理由．5、(2017鹿城.八上期中) 在中，AB=20cm，BC=16cm，点D为线段AB的中点，动点P以2cm/s的速度从B点出发在射线BC上运动，同时点Q以 cm/s( >0且）的速度从C点出发在线段CA上运动，设运动时间为秒。
专题13 几何动态综合题(解析版)
专题13 几何动态综合题一、运动型问题的类型按运动类型分：(1)点的运动(单点运动、双点运动)，(2)线的运动(线段或直线的运动)，(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等)．按几何图形存在型分：(1)等腰三角形存在型，(2)直角三角形存在型，(3)等腰直角三角形存在型，(4)平行四边形存在型，(5)矩形、菱形、正方形存在型，(6)平分周长型，(7)平分面积型，(8)面积重叠型，(9)直线与圆相切型，(10)函数图象点的运动型．二、动态几何解决方法1.解决点动型问题一是要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动相对静止的瞬间，寻找变量的关系；二是要运用好相应的几何知识；三是要结合具体问题，建立函数模型，达到解题目的．2.解决线动型问题线动实质就是点动，即点动带动线动，进而还会产生面动，因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解．解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，从运动变化中得到图形的特殊位置，进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示．3.解决形动类问题一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性，充分利用不变量来解决问题；二是要运用从特殊到一般的关系，探究图形运动变化过程中的不同阶段；三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质，这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷，结论更加准确．核心考点几何动态综合题几何动态综合题是广东省中考的热点，一般分布在第24题或第25题，属于压轴题，是中考试题中主要考查的一类题型．【经典示例】如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC和Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4 cm．（1）填空：AD=（cm），DC=（cm）；（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1 cm的速度等速出发，且分别在AD，CB上沿A→D，C→B 方向运动，当N点运动到B点时，M、N两点同时停止运动，连接MN，求当M、N点运动了x秒时，点N到AD的距离（用含x的式子表示）；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连接MP，NP，设△PMN的面积为y（cm2），在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出y的最大值．（参考数据：sin75°，sin15°答题模板第一步，要搞清在点运动变化的过程中，哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化，并在点运动的相对静止的瞬间，寻找变量的关系．第二步，要运用好相应的几何知识，相似三角形的性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，特殊平行四边形的性质．第三步，要结合具体几何问题，建立函数模型．【满分答案】（1）∵∠ABC =90°，AB =BC =4 cm ，∴AC ， ∵∠ADC =90°，∠CAD =30°，∴DC =12AC∴AD ；故答案为：，（2）过点N 作NE ⊥AD 于E ，作NF ⊥DC ，交DC 的延长线于F ，如图所示：则NE =DF ．∵∠ABC =∠ADC =90°，AB =BC ，∠CAD =30°， ∴∠ACB =45°，∠ACD =60°，∴∠NCF =180°﹣45°﹣60°=75°，∠FNC =15°， ∵sin ∠FNC =FCNC，NC =x ，∴FC ，∴NE =DF∴点N 到AD （3）∵sin ∠NCF =FCNC，∴FN x ， ∵P 为DC 的中点，∴PD =CP∴PF ， ∴△PMN 的面积y =梯形MDFN 的面积﹣△PMD 的面积﹣△PNF 的面积=12（x﹣x）﹣12（﹣x）12x）x2即y是x的二次函数，0，∴y有最大值，当x=y【解题技巧】本题通过点的运动考查了相似、勾股定理、三角函数、三角形面积的计算、二次函数的最值、等腰直角三角形的性质等知识.在解题过程中要注意结合点的运动，通过作辅助线运用三角函数和二次函数才能快速准确地得出结果．模拟训练1．把Rt△ABC和Rt△DEF按如图①摆放(点C与E重合)，点B、C(E)、F在同一条直线上．已知∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8，BC＝6，EF＝10．如图②，△DEF从图①的位置出发，以每秒1个单位的速度沿CB向△ABC匀速移动，在△DEF移动的同时，点P从△ABC的顶点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB向点B匀速移动；当点P移动到点B时，点P停止移动，△DEF也随之停止移动．DE 与AC交于点Q，连接PQ，设移动时间为t(s)．（1）△DEF在平移的过程中，AP＝CE＝(用含t的代数式表示)；当点D落在Rt△ABC的边AC 上时，求t的值．（2）在移动过程中，当0＜t≤5时，连接PE，①设四边形APEQ的面积为y，求y与t之间的函数关系式并试探究y的最大值；②是否存在△PQE为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）t ；5；（2）①y ＝﹣2932105t +t (0＜t ≤5)，当t ＝329时，y 最大值＝51245；②存在，当t ＝103或t ＝4时，△PQE 是直角三角形．【解析】（1）如图1，△DEF 在平移的过程中，AP ＝CE ＝t ；当D 在AC 上时，如图2，∵DE ＝DF ， ∴EC ＝CF ＝12EF ＝5， ∴t ＝5．（2）①如图3，过点P 作PM ⊥BC 于M ，∴∠BMP ＝∠ACB ＝90°， ∴△ABC ∽△PBM ， ∴AC ABPM PB=，∴81010PM t=-， ∴PM ＝8﹣45t ，又∵∠EDF ＝90°，∠DEF ＝45°， ∴∠EQC ＝∠DEF ＝45°， ∴CE ＝CQ ＝t ，∴y ＝S △ACB ﹣S △ECQ ﹣S △PBE ＝12AC •BC ﹣12EC •CQ ﹣12BE •PM ＝12×8×6﹣12×t ×t ﹣12(6﹣t )(8﹣45t ) ＝﹣2932105t +t (0＜t ≤5)， ∵a ＝﹣109＜0，∴当t ＝﹣2b a ＝﹣32595-＝329时，y 最大值＝﹣109×2329（）+325×329＝51245. ②存在．i)当∠PQE ＝90°时，如图4，过点P 作PH ⊥BE 于H ，过点P 作PW ⊥AC 于W ，∴△ABC ∽△APW ，∴AB BC AC AP PW AW ==，即1068t PW AW==， ∴PW ＝35t ，AW ＝45t ，∴QW ＝8﹣45t ﹣t ＝8﹣59t ，EH ＝t ﹣35t ＝25t ，由①可得：CE ＝CQ ＝t ，PH ＝8﹣45t ，∴PQ 2＝PW 2+QW 2＝(35t )2+(8﹣59t )2＝518t 2﹣1445t +64，PE 2＝PH 2+EH 2＝(8﹣45t )2+(25t )2＝45t 2﹣645t +64， EQ 2＝CE 2+CQ 2＝t 2+t 2＝2t 2， ∵∠PQE ＝90°，∴在Rt △PEQ 中，PQ 2+EQ 2＝PE 2，即(518t 2﹣1445t +64)+(2t 2)＝45t 2﹣645t +64， 解得：t 1＝0(舍去) ，t 2＝103；ii)当∠PEQ ＝90°时，PE 2+EQ 2＝PQ 2，即(45t 2﹣645t +64)+(2t 2)＝518t 2﹣1445t +64， 解得：t 1＝0(舍去)， t 2＝20(舍去)， ∴此时不存在；iii)当∠EPQ ＝90°时，PQ 2+PE 2＝EQ 2，即(518t 2﹣1445t +64)+( 45t 2﹣645t +64)＝2t 2， 解得：t 1＝403(舍去)，t 2＝4， 综合上述：当t ＝103或t ＝4时，△PQE 是直角三角形．【点睛】本题是四边形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，动点运动的问题，相似的判定与性质以及分类讨论思想的运用，能利用图形准确画图并确定各条线段的长是解决问题的关键． （1）先根据运动的时间和速度可得：AP =CE =t ；并计算当D 在AC 上时，结合图形根据等腰直角三角形的性质可得t 的值；（2）①结合图形根据y =S △ACB -S △ECQ -S △PBE 代入可得y 与t 的关系式，利用二次函数的顶点坐标可得结论； ②假设存在△PQE 为直角三角形，分别以三个顶点为直角，利用勾股定理列方程，解方程可得结论．1．（2018·深圳）如图，△ABC 内接于⊙O ，BC ＝2，AB ＝AC ，点D 为AC 上的动点，且cos ∠ABC ． （1）求AB 的长度；（2）在点D 的运动过程中，弦AD 的延长线交BC 延长线于点E ，问AD ·AE 的值是否变化？若不变，请求出AD ·AE 的值；若变化，请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH ＝CD +DH ．【答案】（1（2）不变化，AD ·AE ＝10；（3）见解析. 【解析】（1）作AM ⊥BC ， ∵AB ＝AC ，AM ⊥BC ，BC ＝2BM ， ∴BM 12=BC ＝1， ∵cos ∠ABC BM AB ==， 在Rt △AMB 中，BM ＝1， ∴AB cos BMABC==∠.（2）连接DC ， ∵AB ＝AC ， ∴∠ACB ＝∠ABC ，∵四边形ABCD 内接于圆O ， ∴∠ADC +∠ABC ＝180°， ∵∠ACE +∠ACB ＝180°， ∴∠ADC ＝∠ACE ， ∵∠CAE 公共角， ∴△EAC ∽△CAD ， ∴AC AEAD AC=， ∴AD ·AE ＝AC 2＝10.（3）在BD 上取一点N ，使得BN ＝CD ，在△ABN 和△ACD 中，31AB AC BN CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABN≌△ACD（SAS），∴AN＝AD，∵AN＝AD，AH⊥BD，∴NH＝HD，∵BN＝CD，NH＝HD，∴BN+NH＝CD+HD＝BH．2．（2018·广州）如图，在四边形ABCD中，∠B＝60°，∠D＝30°，AB＝BC．（1）求∠A+∠C的度数；（2）连接BD，探究AD，BD，CD三者之间的数量关系，并说明理由；（3）若AB＝1，点E在四边形ABCD内部运动，且满足AE2＝BE2+CE2，求点E运动路径的长度．【答案】（1）270°；（2）DB2＝DA2+DC2，理由见解析；（3）π3 .【解析】（1）如图1中，在四边形ABCD中，∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，∠B＝60°，∠D＝30°，∴∠A+∠C＝360°–60°–30°＝270°．（2）如图2中，结论：DB2＝DA2+DC2．理由：连接BD．以BD为边向下作等边三角形BDQ．∵∠ABC＝∠DBQ＝60°，∴∠ABD＝∠CBQ，∵AB＝BC，DB＝BQ，∴△ABD≌△CBQ，∴AD＝CQ，∠A＝∠BCQ，∵∠A+∠BCD＝∠BCQ+∠BCD＝270°，∴∠DCQ＝90°，∴DQ2＝DC2+CQ2，∵CQ＝DA，DQ＝DB，∴DB2＝DA2+DC2．（3）如图3中，连接AC，将△ACE绕点A顺时针旋转60°得到△ABR，连接RE．则△AER是等边三角形，∵EA 2＝EB 2+EC 2，EA ＝RE ，EC ＝RB ， ∴RE 2＝RB 2+EB 2， ∴∠EBR ＝90°， ∴∠RAE +∠RBE ＝150°，∴∠ARB +∠AEB ＝∠AEC +∠AEB ＝210°， ∴∠BEC ＝150°，∴点E 的运动轨迹在以O 为圆心的圆上，在⊙O 上取一点K ，连接KB ，KC ，OB ，OC ， ∵∠K +∠BEC ＝180°， ∴∠K ＝30°，∠BOC ＝60°， ∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形， ∴点E 的运动路径60π1π1803⋅⋅==． 3．（2017·广东）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形ABCO 是矩形，点A ，C 的坐标分别是A （0，2）和C （0），点D 是对角线AC 上一动点（不与A ，C 重合），连接BD ，作DE ⊥DB ，交x 轴于点E ，以线段DE ，DB 为邻边作矩形BDEF ． （1）填空：点B 的坐标为 ；（2）是否存在这样的点D ，使得△DEC 是等腰三角形？若存在，请求出AD 的长度；若不存在，请说明理由；（3）①求证：DE DB =②设AD =x ，矩形BDEF 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式（可利用①的结论），并求出y 的最小值．【答案】（1）（2），（2）存在，理由见解析，（3）①见解析，②y x 2﹣x =3时，y【解析】（1）∵四边形AOCB 是矩形，∴BC =OA =2，OC =AB ∠BCO =∠BAO =90°，∴B （2）．故答案为（2）． （2）存在．理由如下：连接BE ，取BE 的中点K ，连接DK 、KC ．∵∠BDE =∠BCE =90°， ∴KD =KB =KE =KC ， ∴B 、D 、E 、C 四点共圆，∴∠DBC =∠DCE ，∠EDC =∠EBC ，∵tan ∠ACO =AO OC ， ∴∠ACO =30°，∠ACB =60°①如图1中，△DEC 是等腰三角形，观察图象可知，只有ED =EC ， ∴∠DBC =∠DCE =∠EDC =∠EBC =30°， ∴∠DBC =∠BCD =60°， ∴△DBC 是等边三角形， ∴DC =BC =2，在Rt △AOC 中，∵∠ACO =30°，OA =2， ∴AC =2AO =4，∴AD =AC ﹣CD =4﹣2=2．∴当AD =2时，△DEC 是等腰三角形．②如图2中，∵△DCE 是等腰三角形，易知CD =CE ，∠DBC =∠DEC =∠CDE =15°， ∴∠ABD =∠ADB =75°，∴AB =AD综上所述，满足条件的AD 的值为2或 （3）①由（2）可知，B 、D 、E 、C 四点共圆， ∴∠DBC =∠DCE =30°， ∴tan ∠DBE =DEDB，∴DE DB ． ②如图2中，作DH ⊥AB 于H ．在Rt △ADH 中，∵AD =x ，∠DAH =∠ACO =30°，∴DH =12AD =12x ，AH x ，∴BH x ，在Rt △BDH 中，BD ，∴DE BD∴矩形BDEF 的面积为y 2（x 2﹣6x +12），即y x 2﹣∴y （x ﹣3）2＞0，∴x=3时，y4．已知：Rt△EFP和矩形ABCD如图①摆放（点P与点B重合），点F，B（P），C在同一条直线上，AB ＝EF＝6 cm，BC＝FP＝8 cm，∠EFP＝90°。
八年级数学 动态几何探究题综合训练大全
八年级数学 动态几何探究题综合训练大全1．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ．(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；(3)如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点F ．（1）求证：EO =FO ；（2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论．3．在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （4，0），点B （0，3），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA 上 的一点P 旋转后 的对应点为P′，当O′P+BP′取得最小值时，求点P′的坐标（直接写出结果即可）A B C E F M N O (第19题图）B C4．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE ⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE；（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由．（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．(1)求证：BD=CF(2)将△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；(3)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．猜想BD、CF有怎样的位置关系，并证明你的猜想。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
八年级数学动态几何综合探究题训练大全
1．如图1，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且CE=BF ．连接DE ，过点E 作EG ⊥DE ，使EG=DE ，连接FG ，FC ．
(1)请判断：FG 与CE 的数量关系是________，位置关系是________；(2)如图2，若点E ，F 分别是边CB ，BA 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否
仍然成立？请作出判断并给予证明；
(3)如图3，若点E ，F 分别是边BC ，AB 延长线上的点，其它条件不变，（1）中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
2．如图，在△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过点O 作直线MN ∥BC ，设MN 交
∠BCA 的角平分线于点E ，交∠BCA 的外角平分线于点
F ．
（1）求证：EO=FO ；
（2）当点O 运动到何处时，四边形
AECF 是矩形？并证明你的结论．
A
B C E F M N
O
(第19题图）
B
C
3．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（4，0），点B（0，3），把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′，记旋转角为α．
(1)如图①，若α=90°，求AA′的长；
(2)如图②，若α=120°，求点O′的坐标；
取得最小值时，(3)在（Ⅱ）的条件下，边OA上的一点P旋转后的对应点为P′，当O′P+BP′
求点P′的坐标（直接写出结果即可）
4．正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE ⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．
（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，求证：AF+BF=2OE；
（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2时．线段AF，BF与OE具有什么数量关系？并说明理由．
（3）当运动到图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的数量关系？请直接写出你
的猜想．
5．如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC，四边形ADEF是正方形，点
B、C分别在边AD、AF上，此时BD=CF，BD⊥CF成立．
(1)求证：BD=CF
(2)将△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD=CF还成立吗？若成立，请证明，若不成立，请说明理由；
(3)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点H．猜想BD、CF有怎样的位置关系，并证明你的猜想。
6．如图（1），已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．（1）连接GD，求证：△ADG≌△ABE。
（2）连接FC，过点F作FH⊥MN,垂足为H，求证：CH=BE。
（3）如图（2），将图（1）中正方形ABCD改为矩形ABCD，E是线段BC上一动点（不含端点B、C），以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD 上，过点F作FH⊥MN,垂足为H，．当点E由B向C运动时，CH=BE还成立吗，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
图1
7．已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
(1)如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
(2)如图2，当点E在线段CB上由 B 向C运动（不与B、C重合）时，∠EAF=60°保持不变，BE、CF有怎样的数量关系，试证明你的猜想。
(3)如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
8．如图，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，点M为AB上的一动点，将矩形ABCD沿某一直线对折，使点C与点M重合，该直线与AB（或BC）、CD（或DA）分别交于点P、Q
(1)用直尺和圆规在图甲中画出折痕所在直线（不要求写画法，但要求保留作图痕迹）
(2)如果PQ与AB、CD都相交，试判断△MPQ的形状并证明你的结论；
(3)设AM=x，d为点M到直线PQ的距离，y=d2，
①求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
②当直线PQ恰好通过点D时，求点M到直线PQ的距离．。