【新教材】高中数学必修第一册期末复习讲义：第1章 集合与常用逻辑用语
【新教材】高中数学必修第一册期末复习讲义：第1章 集合与常用逻辑用语
A B 图1U A A B图2高一数学第一学期期末第一章复习总结归纳，复习指导1. 集合中元素的特性:确定性、无序性、互异性2. 集合的表示：列举法，描述法（①语言描述法，②Venn 图）3. 区分元素与集合（a ∈A ），集合与集合的关系（B A ⊆),注意符号4. 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集:N*或 N+ ; 整数集:Z ;有理数集Q ; 实数集R5. 集合间的基本关系：B A ⊆有两种可能（1）A B （真子集）；（2）A=B （集合相等）6. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ7. 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集8. 若非空集合A 中有n 个元素，则有2n 个子集，（2n -1）个真子集，（2n -2）个非空真子集9. 集合基本运算：（1）并集：A B ={x|x ∈A ，或x ∈B} （2）交集：A B=｛x|x ∈A ，且x ∈B ｝B B A A B AB A A B =⋂⇔⊆=⋃⇔⊆(3)补集：C U A=},|{A x U x x ∉∈且10.全称量词命题和存在量词命题的否定（1）全称量词命题p ：)(,x p M x ∈∀ 它的否定：)(,x p M x ⌝∈∃（2）存在量词命题p:)(,x p M x ∈∃ 它的否定：)(,x p M x ⌝∈∀11.充分条件与必要条件（1）q p ⇒ p 是q 的充分条件； q 是p 的必要条件（2）q p ⇔ p 与q 互为充要条件习题演练，考点检测一、单选题1．已知集合{}ln(2)0A x x =-≥，{}22950B x x x =--<，则AB =（ ） A ．()2,5B ．[)2,5C ．[)3,5D ．()3,5 2．已知集合301x M xx ⎧⎫-=≤⎨⎬+⎩⎭，{}3,1,1,3,5N =--，则M N =（ ） A ．{}1,3 B ．{}1,1,3- C ．{3,1}- D ．{}3,1,1--3．已知集合{}0A x x =>，{}3B x x =≤，则集合A B =（ ）A ．{}33x x -≤≤B ．{}30x x -≤<C ．{}03x x <≤D ．{}3x x ≥-4．集合{|32}x x ∈-<N 用列举法表示是（ ）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，3，4，5}C ．{0，1，2，3，4，5}D ．{0，1，2，3，4}5．集合{}1,2的子集的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8 6．已知集合{}2,4,6A =，{}1,3,4,6B =，则A B 中元素的个数是（ ） A ．2 B ．5 C ．6 D ．77．在东莞市第一高级中学2021届高三第一学期入学考试中，理科数学试卷的第一题是考查集合，第二题是考查复数.某数学老师为了了解学生对这两个知识点的掌握情况，对高三（5）班和（12）班的答题结果进行了统计，得到如下数据：问两题都答错的人数是（ ）A ．5B ．6C ．8D ．10 8．如果集合{}1P x x =>-，那么（ ）A ．0P ⊆B ．{}0P ∈C ．P ∅∈D ．{}0∈P 9．命题“x R ∀∈，210x x -+≥”的否定是（ ）A ．x R ∀∈，210x x -+<B ．x R ∀∈，210x x -+≤C ．0x R ∃∈，20010x x -+<D ．0x R ∃∈，20010x x -+≤10．“a b =”是“22a b =”的什么条件？（ ）A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 二、多选题11．已知集合{}33M x Z x =∈-<<，则下列符号语言表述正确的是（ ）A ．2M ∈B ．0M ⊆C ．{}0M ∈D ．{}0M ⊆ 12．下列命题中是假命题的是（ ）．A ．x R ∀∈，30x ≥B ．0x R ∃∈，303x =C ．x Q ∀∈，31x ≥D ．0x N ∃∈，303x = 13．设x ∈R ，则“2210x x +->”成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．12x >B ．1x <-或12x >C ．2x <-D ．1x <- 14．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{3,4,5}M =，{1,2,5}N =，则集合{1,2}可以表示为（ ） A ．M N ⋂ B ．()U M N C ．()U N M D ．(())U M N N ⋂⋂ 15．已知命题:p x R ∃∈，2220x x a ++-=为真命题，则实数a 的取值可以是（ ）A ．1B ．0C ．3D ．3-三、填空题16．用列举法表示方程220x x --=的解集为______________.17．用∈或∉填空：0________N18．已知集合{}{}(,)46,(,)4A x y x y B x y x y =+==-=，则AB =_______． 19．若命题x R ∃∈，使得()2110x a x +-+<成立是真命题，则实数a 的取值范围是______.20．若“,64x ππ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦，tan x m ≤”是真命题，则实数m 的最小值为______．四、解答题21．设已知全集U =R ，集合{{|3215},2A x x B x x =-<-<=≤-或}0x ≥，求A B ， ()U A B ，()U A B ⋂22．设集合U =R ，{}260A x x x =--<，{}2540B x x x =-+≥，{}C x x a =<（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）若BC C =，求a 的取值范围参考答案1．C 2．A 3．D 4．D 5．C 6．B 7．B8．D 9．C 10．A 11．AD 12．ACD 13．ACD 14．BD 15．AC 16．{1,2}- 17．∈ 18．{(2,2)}- 19．()(),13,-∞-+∞ 20321．由已知得{|13}A x x =-<<，∴{|03}A B x x ⋂=≤<，{|2A B x x ⋃=≤-或1}x >-，∴(){|21}U A B x x ⋃=-<≤-， 又{1U A x x =≤-或}3x ≥， ∴(){2U A B x x ⋂=≤-或}3x ≥.22．（1）由不等式26(3)(2)0x x x x --=-+<，解得23x -<<，即{}23A x x =-<<由不等式254(1)(4)0x x x x -+=--≥，解得1x ≤或4x ≥，即{1B x x =≤或4}x ≥， 又由题中阴影部分为()U A B ，且{}U 14B x x =<<，所以阴影部分用集合表示为(){}U 13A B x x ⋂=<<. （2）因为B C C =，可得C B ⊆又因为{1B x x =≤或4}x ≥，{}C x x a =<，可得1a ≤，所以a 的取值范围是(,1]-∞。
新人教版高中数学必修第一册集合与常用逻辑用语课件
数学 必修 第一册 A
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第一章 集合与常用逻辑用语
2．元素a与集合A之间只有两种关系：a∈A，a∉A. 3．在用列举法表示集合时应注意 (1)元素间用分隔号“，”；(2)元素不重复；(3)元素无顺序；(4)列举法可表示 有限集，也可以表示无限集．若集合中的元素个数比较少，则用列举法比较简单； 若集合中的元素较多或无限，但出现一定的规律性，在不发生误解的情况下，也可 以用列举法表示． 4．在用描述法表示集合时应注意 (1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、 还是集合或其他形式； (2)当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真(元素具有 怎样的属性)，而不能被表面的字母形式所迷惑．
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第一章 集合与常用逻辑用语
解 (1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过 20 的非负数”，所以能构成集 合；
(2)能构成集合； (3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此 不能构成一个集合； (4)“ 3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数，如“2”，是不 是它的近似值，所以不能构成集合．
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第一章 集合与常用逻辑用语
解 (1)不大于 10 的非负偶数有 0,2,4,6,8,10，所以 A＝{0,2,4,6,8,10}． (2)小于 8 的质数有 2,3,5,7，所以 B＝{2,3,5,7}． (3)方程 2x2－x－3＝0 的实数根为－1，32，所以 C＝－1，32. (4)由yy＝＝－x＋23x＋，6， 得yx＝＝41.， 所以一次函数 y＝x＋3 与 y＝－2x＋6 的交点为(1,4)， 所以 D＝{(1,4)}．
【高中数学必修】第一章 集合与常用逻辑用语(公式、定理、结论图表)
第一章 集合与常用逻辑用语（公式、定理、结论图表）1.集合的有关概念（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性． （2）元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. （3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． （4）五个特定的集合2.3.集合的基本运算集合的并集 集合的交集集合的补集符号表示A ∪BA ∩B若全集为U ，则集合A 的补集为∁U A图形表示集合表示{x |x ∈A ，或x ∈B }{x |x ∈A ，且x ∈B }{x |x ∈U ，且x ∉A }4.集合的运算性质(1)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (2)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A .(3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U ，∁U (∁U A )＝A . 5．常用结论（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅； ②空集是任何集合的子集（即∅⊆A ）； 空集是任何非空集合的真子集（若A ≠∅，则∅A ）．（2）子集个数：若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n －1个，非空真子集有22n -个．典例1：已知集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，则A B ⋂的子集的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．7 D ．8【答案】B【详解】因为集合{}2,4,8A =，{}2,3,4,6B =，所以{}2,4A B =， 所以A B ⋂的子集的个数为224=个.故选B.典例2：已知集合{}2N230A x x x =∈--≤∣，则集合A 的真子集的个数为（ ） A ．32 B ．31 C ．16 D ．15【答案】D【详解】由题意得{}{}{}2N230N 130,1,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣∣， 其真子集有42115-=个.故选D.（3）A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ；A ∪B ＝A ⇔A ⊇B ．（4）(∁U A )∩(∁U B )＝∁U (A ∪B )，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ) ． 6.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p ⇒q且q ⇏pp是q的必要不充分条件p ⇏q且q ⇒pp是q的充要条件p ⇔qp是q的既不充分也不必要条件p ⇏q且q ⇏p7.充分、必要条件与集合的关系设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．（1）p是q的充分条件⇔A⊆B，p是q的充分不必要条件⇔A B；（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；（3）p是q的充要条件⇔A＝B．8.全称量词和存在量词量词名称常见量词符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等∀存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等∃9.全称命题和特称命题名称全称命题特称命题形式语言表示对M中任意一个x，有p(x)成立M中存在元素x0，使p(x0)成立符号表示∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)10.全称命题与特称命题的否定<知识记忆小口诀>集合平时很常用，数学概念有不同，理解集合并不难，三个要素是关键，元素确定和互译，还有无序要牢记，空集不论空不空，总有子集在其中，集合用图很方便，子交并补很明显．<解题方法与技巧>集合基本运算的方法技巧：（1）当集合是用列举法表示的数集时，可以通过列举集合的元素进行运算，也可借助Venn图运算；（2）当集合是用不等式表示时，可运用数轴求解．对于端点处的取舍，可以单独检验.集合常与不等式，基本函数结合，常见逻辑用语常与立体几何，三角函数，数列，线性规划等结合.充要条件的两种判断方法（1）定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.（2）集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.（3）数学定义都是充要条件.。
【课件】第一单元集合与常用逻辑用语知识点复习课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第1章 集合与常用逻辑用语
N*
N
Z
Q
R
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中
我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号
等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方
程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
y 2 ≥ 0”
【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称
量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如“平行四边形的对角
线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”
全称量词命题怎么判断真假？
要判断全称量词命题“∀x ∈ M, p x ”是真命题，需要对集合中每一个
2023年新教材高中人教A版数学必修第一册知识点(8页)全文
新教材高一数学必修第—册知识点第一章 集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母表示，元素三大性质：互异性，确定性，无 ,,,c b a 序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母表示． ,,,C B A 3集合相等：两个集合的元素一样，记作．B A ,B A =4元素与集合的关系：①属于：;②不属于：．A a ∈A a ∉5常用的数集及其记法：自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集．N +N N 或*Z Q R 6集合的表示方法：①列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中全部具有共同特征的元素所组成的集合表示为的方法； )(x P x })(|{x P A x ∈③图示法(图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．Venn 7集合间的根本关系：子集：对于两个集合，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，就B A ,A B 称集合为集合的子集，记作，读作包含于；真子集：如果，但存在元素，且A A A B B A ⊆B x ∈A x ∉，就称集合是集合的真子集，记作，读作真包含于．A B A B A B 8空集：不含任何元素的集合，用表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子∅集．9集合的根本运算：并集；交集； },|{B x A x x B A ∈∈=或 },|{B x A x x B A ∈∈=且 补集(为全集，全集是含有所研究问题中涉及的全部元素)． },|{A x U x x A C U ∉∈=且U 运算性质：；；；；B A B B A ⊆⇔= B A A B A ⊆⇔= A A =∅ ∅=∅ A ，．∅==∅=U C U C A A C C U U U U ,,)()()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C U U U U U U ==10充分条件与必要条件：一般地，“假设p ，则q 〞为真命题，p 可以推出q ，记作，称p 是q 的q p ⇒充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：假设，则p 是q 的充分不必要q q p ,⇒p 条件；假设，则p 是q 的必要充分不条件；假设，则p 是q 的充要条件；p p q ,⇒q q p ⇔假设，，则p 是q 的既不充分也不必要条件． pq q p 11全称量词及全称量词命题：短语“全部的〞，“任意一个〞在逻辑中叫做全称量词，并用符号表∀示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个〞，“至少有一个〞在逻辑中叫做存在量词，并用符号∃表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否认：全称量词命题的否认是存在量词命题；存在量词命题的否认是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质： ①对称性；②传递性；③可加性a b b a >⇔<,a b b c a c >>⇒>；④可乘性，；a b a c b c >⇒+>+,0a b c ac bc >>⇒>,0a b c ac bc ><⇒<⑤同向可加性；⑥同向可乘性； ,a b c d a c b d >>⇒+>+0,0a b c d ac bd >>>>⇒>⑦可乘方性；()0,1n n a b a b n n >>⇒>∈N >⑧可开方性．⑨可倒数性． )0,1a b n n >>⇒>∈N >ba b a 110<⇒>>2重要不等式：假设，则，当且仅当时等号成立．R b a ∈,ab b a 222≥+b a =3根本不等式：假设，，则，即，当且仅当时等号成立． 0a >0b >a b +≥2a b+≥b a =4不等式链：假设，，则，当且仅当时等号成立；一正0a >0b >ba ab b a b a 1122222+≥≥+≥+b a =二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最gao 次数是的不等式． 26第三章 函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数x ，按照某种确定的B A ,A 对应关系，在集合中都有唯—确定的数y 与它对应，那么就称为从集合到集合的一f B B A f →:A B 个函数，记作，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围叫做函数的定义域，与x 的值相对A x x f y ∈=),(A 应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，值域是集合的子集． }|)({A x x f ∈B 2函数的三要素：定义域、对应关系、值域． 求函数定义域的原则：(1)假设为整式，则其定义域是；()f x R (2)假设为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；()f x (3)假设是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合； ()f x (4)假设，则其定义域是； ()0f x x =}{0x x ≠(5)假设，则其定义域是；()()0,1x f x a a a =>≠R (6)假设，则其定义域是； ()()log 0,1a f x x a a =>≠}{0x x >(7)假设，则其定义域是；x x f tan )(=},2|{Z k k x x ∈+≠ππ求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数． 6函数的单调性：(1)单调递增：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x <函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意(,I 是的定义域)，当时，有.特别的，当D x x ∈21,I D ⊆()f x 12x x <12()()f x f x >函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间． 8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足:,都有)(x f y =I M I x ∈∀；使得，那么称是函数的最大(小)值． ))(()(M x f M x f ≥≤I x ∈∃0M x f =)(0M10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f =-数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数满足；)(x f y =|)(|)()(x f x f x f ==-奇函数：一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么)(x f y =I I x ∈∀I x ∈-)()(x f x f -=-函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；假设奇函数的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即)(x f y =.(0)0f =11幂函数：一般地，函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数． αx y =x α12幂函数的性质：()f x x α=①全部的幂函数在都有定义，并且图象都通过点；()0,+∞()1,1②如果，则幂函数的图象过原点，并且在区间上是增函数；0α>[)0,+∞③如果，则幂函数的图象在区间上是减函数，在第—象限内，当从右边趋向于原点时，0α<()0,+∞x 图象在轴右方无限地逼近轴，当趋向于时，图象在轴上方无限地逼近轴； y y x +∞x x ④在直线的右侧，幂函数图象“指大图高〞； 1=x ⑤幂函数图象不出现于第四象限． 第四章 指数函数与对数函数1n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)假设，则；； n x a =))n x n=⎪⎩为奇数为偶数()()a n a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数(3)；(4)；na =*0,,,1)m na a m n N n =>∈>且(5)；*0,,1)m naa m n N n -=>∈>,且(6)的正分数指数幂为，的负分数指数幂没有意义.000(7)；()0,,r s r sa a a a r s R +⋅=>∈(8)；()()0,,r s rsa a a r s R =>∈(9).()()0,0,,rrrab a b a b r s R =⋅>>∈2对数、对数运算性质(1)；(2)； ()log 0,1xa a N x N a a =⇔=>≠()log 100,1a a a =>≠(3)；(4)；；()log 10,1a a a a =>≠()log 0,1a Na N a a =>≠(5)；()log 0,1m a a m a a =>≠(6)；()log ()log log 0,1,0,0a a a MN M N a a =+>≠M >N >(7)； ()log log log 0,1,0,0aa a MM N a a N=->≠M >N >(8)；()log log 0,1,0n a a M n M a a =⋅>≠M >(9)换底公式； ()log log 0,1,0,0,1log c a c bb a a bc c a=>≠>>≠(10)； ()log log 0,1,,*m na a nb b a a n m N m =>≠∈(11)；()1log log 0,1,0,aa M a a M n R n=>≠>∈(12). ()log log log 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c ⋅⋅=>≠>≠>≠3指数函数及其性质：)1,0(≠>=a a a y x 且①定义域为； ②值域为；③过定点；(),-∞+∞()0,+∞()0,1④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函数； 1a >()f x R 01a <<()f x R ⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高〞． 4对数函数及其性质：)1,0(log ≠>=a a x y a 且①定义域为；②值域为；③过定点；()0,+∞(),-∞+∞()1,0④单调性：当时，函数在上是增函数；当时，函数在上是减函1a >()f x ()0,+∞01a <<()f x ()0,+∞数；⑤在直线的右侧，对数函数的图象“底大图低〞．1=x 5指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称． x a y =)1,0(log ≠>=a a x y a 且x y =6不同函数增长的差异：线性函数模型的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数)0(>+=k b kx y 函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸〞状)1(>=a a y x 态；对数函数模型的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长)1(log >=a x y a 速度平缓；幂函数模型的增长速度介于指数函数和对数函数之间．)0(>=n x y n 7函数的零点：在函数的定义域内，使得的实数叫做函数的零点．)(x f y =0)(=x f x 8零点存在性定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且有，()f x [],a b ()()0f a f b ⋅<那么函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程()y f x =(),a b (),c a b ∈()0f c =c 的根.()0f x =9二分法：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在],[b a ()()0f a f b ⋅<)(x f y =区间一分为二，使得区间的两个端点逐渐逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定准确度，用二分法求函数零点近似值的步骤： ε)(x f y =0x ⑴确定零点的初始区间，验证； 0x [],a b ()()0f a f b ⋅<⑵求区间的中点；[],a b c ⑶计算，并进一步确定零点所在的区间； )(c f ①假设，则就是函数的零点；0)(=c f c ②假设(此时)，则令； 0)()(<c f a f ),(0c a x ∈c b =③假设(此时)，则令；0)()(<b f c f ),(0b c x ∈c a =⑷推断是否到达准确度：假设，则得到零点的近似值(或)；否则重复上面的⑵至⑷. εa b ε-<a b 第五章 三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分： ⎧⎪⎨⎪⎩正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第αx α几象限角．第—象限角的集合为;{}36036090,k k k αα⋅<<⋅+∈Z 第二象限角的集合为;{}36090360180,k k k α⋅+<⋅+∈Z第三象限角的集合为; {}360180360270,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z第四象限角的集合为{}360270360360,k k k αα⋅+<<⋅+∈Z角的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限 α终边在轴非负半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈=παα终边在轴非正半轴的角的集合； x },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非负半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+=ππαα终边在轴非正半轴的角的集合；y },22|{Z k k ∈+-=ππαα终边在轴的角的集合；x },|{Z k k ∈=παα终边在轴的角的集合；y },2|{Z k k ∈+=ππαα终边在坐标轴的角的集合； },2|{Z k k ∈=παα2终边相同的角：与角终边相同的角的集合为．α{}360,k k ββα=⋅+∈Z 3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度．14角度与弧度互化公式：，，．2360π=1180π=180157.3π⎛⎫=≈ ⎪⎝⎭5扇形公式：半径为的圆的圆心角所对弧的长为，则角的弧度数的绝对值是．假设扇形r αl αlrα=的圆心角为，半径为，弧长为，周长为，面积为，则，，()αα为弧度制r l C S l r α=2C r l =+．21122S lr r α==6三角函数的概念：设是一个任意大小的角，的终边上任意一点P 的坐标是，它与原点的距αα(),x y离是，则，，． ()0r r =>sin y r α=cos x r α=()tan 0yx xα=≠7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦． 8记忆特别角的三角函数值：α 15 30 45 60 75 90 120 135 150180 270 360 α 12π 6π 4π 3π 125π 2π 32π 43π 65π π 23ππ2 αsin 426- 21 22 23 426+ 1 23 22 210 1-0 αcos 426+ 23 22 21 426-0 21- 22- 23-1-01 αtan 32- 1 3 32+不存在 3- 1- 33-0 不存在9同角三角函数的根本关系：，；()221sin cos 1αα+=()2222sin 1cos ,cos 1sin αααα=-=- ．()sin 2tan cos ααα=sin sin tan cos ,cos tan αααααα⎛⎫==⎪⎝⎭10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．，，．()()1sin 2sin k παα+=()cos 2cos k παα+=()()tan 2tan k k παα+=∈Z ，，． ()()2sin sin παα+=-()cos cos παα+=-()tan tan παα+=，，．()()3sin sin αα-=-()cos cos αα-=()tan tan αα-=-，，． ()()4sin sin παα-=()cos cos παα-=-()tan tan παα-=-，．，． ()5sin cos 2παα⎛⎫-=⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭()6sin cos 2παα⎛⎫+= ⎪⎝⎭cos sin 2παα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭11三角函数的图象与性质：sin y x = cos y x =tan y x =图象定义域RR,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R 函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1)；(2)； ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-(3)；(4)；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+(5)；()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+(6)． ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-13二倍角公式：(1)；(2)；sin 22sin cos ααα=2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-(，)；(3)；2cos 21cos 2αα+=21cos 2sin 2αα-=22tan tan 21tan ααα=-14半角公式：(1)；(2)；(3)；(4)2cos 12sin αα-±=2cos 12cos αα+±=αααcos 1cos 12tan +-±=αααααcos 1sin sin cos 12tan +=-=15辅助角公式：．的终边上在角点其中ϕϕϕ),(,tan ),sin(cos sin 22b a abx b a x b x a =±+=±16函数的图象与性质：b x A y ++=)sin(ϕω图象变换：先平移后伸缩：函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x =ϕ的图象；再将函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐()sin y x ϕ=+()sin y x ϕ=+1ω标不变)，得到函数的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+短)到原来的倍(横坐标不变)，得到函数的图象． A ()sin y x ωϕ=A +先伸缩后平移：函数的图象上全部点的横坐标伸长(缩短)到原来的倍(纵坐标不变)，得到函sin y x =1ω最值当时，22x k ππ=+()k ∈Z ；当max1y =22x k ππ=-时，．()k ∈Z min 1y =-当时，()2x k k π=∈Z ；当max 1y =2x k ππ=+时，．()k ∈Z min 1y =-既无最大值也无最小值周期性 2π 2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在 2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()k ∈Z 32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上是减函数．()k ∈Z 在上是[]()2,2k k k πππ-∈Z 增函数；在[]2,2k k πππ+上是减函数．()k ∈Z 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上是增函数．()k ∈Z 对称性对称中心()(),0k k π∈Z 对称轴()2x k k ππ=+∈Z 对称中心 (),02k k ππ⎛⎫+∈Z ⎪⎝⎭对称轴()x k k π=∈Z 对称中心 (),02k k π⎛⎫∈Z⎪⎝⎭无对称轴数的图象；再将函数的图象上全部点向左(右)平移个单位长度，得到函数sin y x ω=sin y x ω=ϕω的图象；再将函数的图象上全部点的纵坐标伸长(缩短)到原来的倍(横()sin y x ωϕ=+()sin y x ωϕ=+A 坐标不变)，得到函数的图象． ()sin y x ωϕ=A +五点法画图函数的性质：()()sin 0,0y x ωϕω=A +A >>①定义域为R ；②值域为；③单调性：依据函数的单调区间求函数的单调区间； ],[A A -x y sin =④奇偶性：当时，函数是奇函数；当时，函数Z k k ∈=,πϕ()sin y x ωϕ=A +Z k k ∈+=,2ππϕ是偶函数；⑤周期：；⑥对称性：依据函数的对称性研究函数的对称()sin y x ωϕ=A +ωπ2=T x y sin =性12π17函数的应用B x A y ++=)sin(ϕω①振幅：A ；②周期：；③频率：；④相位：；⑤初相：．2πωT =12f ωπ==T x ωϕ+ϕ⑥最值：函数，当时，取得最小值为 ；当时，取得最大值为B x A y ++=)sin(ϕω1x x =min y 2x x =maxy ，则，，．()max min 12y y A =-()max min 12y y B =+()21122x x x x T=-<。
高中数学(新人教A版)必修第一册：第1章章末 集合与常用逻辑用语【精品课件】
达标检测
1.已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有
A.2个
√B.4个
C.6个
D.8个
2.命题p：“对任意一个实数x，均有x2≥0”，则 命题 的否定p为( C ) (A)存在x0∈R，使得x02 ≤0 (B)对任意x∈R，均有x2≤0 (C)存在x0∈R，使得 x02 <0 (D)对任意x∈R，均有x2<0
解题技巧： 1.若已知集合是用描述法给出的,则读懂集合的代表元 素及其属性是解题的关键. 2.若已知集合是用列举法给出的,则整体把握元素的共 同特征是解题的关键. 3.对集合中的元素要进行验证,保证集合内的元素不重 复.
【跟踪训练1】 设集合A={x∈Z|0<x<4},B={x|(x4)(x-5)=0},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则集合M中元素 的个数为( )
解：CU B x x 1或x>2 可画数轴如下：
1
12
1
数形结合的思想 x 1 1 2数轴法 x
A B=x 1 x 2 A B=x x>-1
A (CU B) x x 2 A (CU B) x x 1或x 1
点评 (I),画数轴上方的线时，同一集合画同一高度，
不同的集合画不同的高度。
3 2
或
a≥32
解题技巧：
1.若所给集合是有限集,则首先把集合中的元素一一列举 出来,然后结合交集、并集、补集的定义来求解.另外,针对 此类问题,在解答过程中也常常借助Venn图来求解.这样处 理起来比较直观、形象,且解答时不易出错.
分析： 画出韦恩图，形 象地表示出各数 量关系的联系
方法归纳：解决这一类问题一般借用数形结合，借 助于Venn 图，把抽象的数学语言与直观 的图形结合起来
高中数学必修第一册第1章章末复习
√A.{a|a≥2}
B.{a|a≤1}
ห้องสมุดไป่ตู้
C.{a|a≥1}
D.{a|a≤2}
解析 如图
12345
4.已知集合A＝{1,3,2－m}，集合B＝{3，m2}，则“B⊆A”的充要条件是实数m＝ ___－__2___.
解析 若B⊆A， 则m2＝1或m2＝2－m， 得m＝1或m＝－1，或m＝－2， 当m＝1时，A＝{1,3,1}不成立， 当m＝－1时，A＝{1,3,3}不成立， 当m＝－2时，A＝{1,3,4}，B＝{3,4}，满足条件. 即m＝－2， 则“B⊆A”的充要条件是实数m＝－2.
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本课结束
√C.∀m，n∈Z，使得m2≠n2＋2 019
D.以上都不对
(2)设命题p：∀x∈R，x2＋ax＋2<0，若綈p为真，则实数a的取值范围是__R__.
解析 綈p：∃x∈R，x2＋ax＋2≥0为真命题， 显然a∈R.
3 随堂演练
PART THREE
1.设全集U＝R，集合A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x＋1≥0}，则∁U(A∪B)等于
A.{x|x≤－3或x≥1} C.{x|x≤3}
B.{x|x<－1或x≥3}
√D.{x|x≤－3}
解析 A＝{x|－3<x<1}，B＝{x|x≥－1}， 所以A∪B＝{x|x>－3}，∁U(A∪B)＝{x|x≤－3}，故选D.
12345
2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是 A.∀x∈R，x2＋2x＋1>0 B.∃x∈N,2x为偶数
第一章 集合与常用逻辑用语
内容索引
NEIRONGSUOYIN
知识网络 考点突破 随堂演练
人教版(新教材)高中数学第一册(必修1)精品课件：第一章集合与常用逻辑用语章末复习课
【例1】 (1)设集合A＝{1，2，4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中元
素的个数是( )
A.4
B.5
C.6
D.7
(2)已知集合A＝{0，1，2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是( )
A.1
B.3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C.5
D.9
解析 (1)∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，所以x＝2，3，4，5，6，8，∴B中有6个元素， 故选C. (2)当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；当x＝0，y＝2时，x－y ＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x －y＝－1；当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；当x＝2，y＝2时， x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2，1，2，共5个. 答案 (1)C (2)C
【训练4】 (1)若p：x2＋x－6＝0是q：ax＋1＝0的必要不充分条件，则实数a的值为 ________. (2) 若 － a<x< － 1 成 立 的 一 个 充 分 不 必 要 条 件 是 － 2<x< － 1 ， 则 a 的 取 值 范 围 是 ________.
解析 (1)p：x2＋x－6＝0，即x＝2或x＝－3. q：ax＋1＝0，当 a＝0 时，方程无解；当 a≠0 时，x＝－1a. 由题意知p q，q p，故a＝0舍去；
当 a≠0 时，应有－1a＝2 或－1a＝－3，解得 a＝－12或 a＝13. 综上可知，a＝－12或 a＝13. (2)根据充分条件、必要条件与集合间的包含关系，应有{x|－2<x<－1} {x|－a<x< －1}，故有a>2. 答案 (1)－12或13 (2)a>2
人教版高中数学必修第一册第一章 集合与常用逻辑用语 小结与复习【课件】
思路点拨：
【解】 (1) 方法1：因为M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|a≤x≤8}， 要使得M∩P＝{x|5<x≤8}，则－3≤a≤5.因此，M∩P＝ {x|5<x≤8}的充要条件为－3≤a≤5.方法2：由M＝{x|x<－3 或x>5}，P＝{x|a≤x≤8}，M∩P＝{x|5<x≤8}，借助数轴( 如图)，则a的取值范围是－3≤a≤5.
C≠∅时,有
4 - a a 4, 3 4 a
a 4 6,
解得0≤a≤1.综上所述,a≤1.
【变式训练2】 [2022·山东省济南市高一期末改编题]已知集合A＝{x|1≤x<5}，B ＝{x|－a<x≤a＋3}，若B⊆(A∩B)，求实数a的取值范围．
【解】
因为B⊆(A∩B)，所以B⊆A.若B＝∅，则－a≥a＋3，解得a≤ ，3 满足
A.2∈A且2∈B B.2∉A且2∈B C.2∈A且2∉B D.2∉A且2∉B
【解】 已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A，B是U的子集，且满足A∩B＝{3}
，A∩(∁UB)＝{4}，(∁UA)∪(∁UB)＝{1，5}．故选B.
【点评总结】 进行集合运算时要注意数形结合思想的应用，将自然语言 或符号语言转化为图形语言： (1) 离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解； (2) 连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要 特别注意端点是实心还是空心． 有时还要看集合能否化简，能化简的先化简，再利用其关 系运算．
【变式训练4】 [2021·河北省石家庄市第二十一中学高一月考改编题]已知P＝{x|－
第一章 小结与复习
知识网络∙体系构建
主题归纳∙综合提升
【主题1】 对集合的理解以及分类讨论思想的应用
高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系讲义新人教A版必修第一册
1.2 集合间的基本关系最新课程标准：(1)在具体情境中，了解空集的含义．(2)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.知识点一子集状元随笔“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即任意x∈A都能推出x∈B.知识点二集合相等文字语言：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B.符号语言：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.状元随笔 1.若A ⊆B，又B ⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A ⊆B，且B ⊆A.2．若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关．知识点三真子集文字语言：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集(proper subset)．符号语言：A B(或B A)．状元随笔在真子集的定义中，A B首先要满足A ⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.知识点四空集不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.规定：空集是任何集合的子集．知识点五子集的性质1．任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.2．对于集合A，B，C，若A⊆B，B⊆C，则A⊆C.[教材解难]教材P8思考{a}表示含有一个元素a的集合，{a}⊆A表示集合A包含{a}，这是两个集合之间的关系；a∈A，表示a是A的一个元素，这是元素与集合之间的关系．[基础自测]1．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有( )A．0个B．1个C．2个 D．3个解析：由空集的性质可知，只有④正确，①②③均不正确．答案：B2．集合{0,1}的子集有( )A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：集合{0,1}的子集为∅，{0}，{1}，{0,1}．答案：D3．已知集合A＝{x|－1－x<0}，则下列各式正确的是( )A．0⊆A B．{0}∈AC．∅∈A D．{0}⊆A解析：集合A＝{x|－1－x<0}＝{x|x>－1}，所以0∈A，{0}⊆A，D正确．答案：D4．已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，∴2m－1＝m2，∴m＝1.答案：1题型一集合间关系的判断[经典例题]例1 (1)下列各式中，正确的个数是( )①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．【解析】(1)对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③方法一两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.方法二由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.【答案】(1)B (2)见解析根据元素与集合、集合与集合之间的关系直接判断①②③④⑥，对于⑤应先明确两个集合中的元素是点还是实数．方法归纳判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B 不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．跟踪训练1 (1)若集合M＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0,1}，则M与T的关系是( ) A．M TB．M TC．M＝TD．MT(2)用Venn图表示下列集合之间的关系：A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C ＝{x|x是矩形}，D＝{x|x是正方形}．解析：(1)因为M＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1}，又T＝{－1,0,1}，所以M T.(2)根据几何图形的相关知识明确各元素所在集合之间的关系，再画Venn图．如图答案：(1)A (2)见解析状元随笔(2)学习完知识点后，我们可以得到B ⊆A，C ⊆A，D ⊆A，D ⊆B，D ⊆C.题型二子集、真子集及个数问题[教材P8例1、2]例2 (1)写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．(2)判断下列各题中集合A是否为集合B的子集，并说明理由：①A＝{1,2,3}，B＝{x|x是8的约数}；②A＝{x|x是长方形}，B＝{x|x是两条对角线相等的平行四边形}．【解析】(1)集合{a，b}的所有子集为∅，{a}，{b}，{a，b}．真子集为∅，{a}，{b}．(2)①因为3不是8的约数，所以集合A不是集合B的子集．②因为若x是长方形，则x一定是两条对角线相等的平行四边形，所以集合A是集合B的子集．状元随笔(1)题写出集合的子集时易忘∅，真子集是在子集的基础上去掉自身．(2)题先确定集合A，B中的元素，再根据子集的定义判断.教材反思1．求集合子集、真子集个数的三个步骤2．若集合A 中含有n 个元素，集合A 的子集个数为2n ，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.跟踪训练 2 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x ∈N |0<x <5}，则满足条件A CB 的集合C 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4(2)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＝a }，使集合A 的子集个数为2个的a 的值为( ) A ．－2 B ．4C ．0D ．以上答案都不是解析：(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2,3}，{1,2，4}．(2)由题意知，集合A 中只有1个元素，必有x 2＝a 只有一个解； 若方程x 2＝a 只有一个解，必有a ＝0. 答案：(1)B (2)C状元随笔 (1)先用列举法表示集合A ，B ，然后根据A C B 确定集合C.(2)先确定关于x 的方程x 2＝a 解的个数，然后求a 的值．题型三 根据集合的包含关系求参数[经典例题]例3 已知集合A ＝{x |1<ax <2}，B ＝{x |－1<x <1}，求满足A ⊆B 的实数a 的取值范围． 【解析】 (1)当a ＝0时，①A ＝∅，满足A ⊆B .(2)当a >0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1a <x <2a .又∵B ＝{x |－1<x <1}，且A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ≥－1，2a ≤1.②∴a ≥2.(3) 当a <0时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a<x <1a .③ ∵A ⊆B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，1a ≤1.∴a ≤－2.综上所述，a 的取值范围是{a |a ＝0，或a ≥2，或a ≤－2}．状元随笔 ①欲解不等式1<ax<2，需不等号两边同除以a ，而a 的正负不同时，不等号的方向不同，因此需对a 分a ＝0，a>0，a<0进行讨论．②A ⊆B 用数轴表示如图所示：(a ＞0时)由图易知，1a 和2a 需在－1与1之间．当1a ＝－1，或2a＝1时，说明A 与B 的某一端点重合，并不是说其中的元素能够取到端点，如2a ＝1时，A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<1，x 取不到1. ③a<0时，不等式两端除以a ，不等号的方向改变． 方法归纳(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．跟踪训练3 设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，试判定集合A 与B 的关系．(2)若B ⊆A ，求实数a 的取值集合．解析：(1)由x 2－8x ＋15＝0得x ＝3或x ＝5，故A ＝{3,5}，当a ＝15时，由ax －1＝0得x ＝5.所以B ＝{5}，所以B A .(2)当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时a ＝0；当B ≠∅，a ≠0时，集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，由B ⊆A 得1a＝3或1a ＝5，所以a ＝13或a ＝15.综上所述，实数a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15状元随笔 (1)解方程x 2－8x ＋15＝0，求出A ，当a ＝15时，求出B ，由此能判定集合A 与B 的关系．(2)分以下两种情况讨论，求实数a 的取值集合． ①B＝∅，此时a ＝0； ②B≠∅，此时a≠0.易错点 忽略空集的特殊性致误例 设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的取值集合．【错解】 由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝{－1}或{3}．当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，13.【正解】 由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，即a ＝0. 当N ＝{－1}时，由1a＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.故满足条件的a 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，13.【易错警示】课时作业 2一、选择题1．能正确表示集合M＝{x|x∈R且0≤x≤1}和集合N＝{x∈R|x2＝x}关系的Venn图是( )解析：N＝{x∈R|x2＝x}＝{0,1}，M＝{x|x∈R且0≤x≤1}，∴N M.答案：B2．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{3，x2,2}，若A＝B，则x的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．0解析：由A＝B得x2＝1，所以x＝±1，故选C.答案：C3．已知集合A＝{－1,0,1}，则含有元素0的A的子集的个数为( )A．2 B．4C．6 D．8解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0,1}，{0，－1}，{－1,0,1}，共4个．答案：B4．设A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，若A⊆B，则m的取值范围是( )A．m>3 B．m≥3C．m<3 D．m≤3解析：因为A＝{x|2<x<3}，B＝{x|x<m}，A⊆B，将集合A，B表示在数轴上，如图所示，所以m≥3.答案：B二、填空题5．已知集合：(1){0}；(2){∅}；(3){x|3m<x<m}；(4){x|a＋2<x<a}；(5){x|x2＋2x＋5＝0，x∈R}．其中，一定表示空集的是________(填序号)．解析：集合(1)中有元素0，集合(2)中有元素∅，它们不是空集；对于集合(3)，当m<0时，m>3m，不是空集；在集合(4)中，不论a取何值，a＋2总是大于a，故集合(4)是空集；对于集合(5)，x 2＋2x ＋5＝0在实数范围内无解，故为空集．答案：(4)(5)6．已知集合A ＝{1,3,5}，则集合A 的所有子集的元素之和为________．解析：集合A 的子集分别是：∅，{1}，{3}，{5}，{1,3}，{1,5}，{3,5}，{1,3,5}．注意到A 中的每个元素出现在A 的4个子集，即在其和中出现4次．故所求之和为(1＋3＋5)×4＝36.答案：36 7．若集合A{1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合有________个．解析：若A 中含有一个奇数，则A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{3,2}；若A 中含有两个奇数，则A ＝{1,3}．答案：5 三、解答题 8．已知{1,2}⊆A{1,2,3,4}，写出所有满足条件的集合A .解析：∵{1,2}⊆A ，∴1∈A,2∈A . 又∵A {1,2,3,4}，∴集合A 中还可以有3,4中的一个， 即集合A 可以是{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}．9．已知M ＝{2，a ，b }，N ＝{2a,2，b 2}，且M ＝N ，试求a 与b 的值． 解析：方法一 根据集合中元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.再根据集合中元素的互异性，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.方法二 ∵两个集合相同，则其中的对应元素相同．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2a ＋b 2，a ·b ＝2a ·b 2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b (b －1)＝0， ①ab (2b －1)＝0. ②∵集合中的元素互异， ∴a ，b 不能同时为零．当b ≠0时，由②得a ＝0或b ＝12.当a ＝0时，由①得b ＝1或b ＝0(舍去)． 当b ＝12时，由①得a ＝14.当b ＝0时，a ＝0(舍去)．∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝12.[尖子生题库]10．已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1<x <m ＋1}，且B ⊆A .求实数m 的取值范围．解析：∵B ⊆A ，(1)当B ＝∅时，m ＋1≤2m －1， 解得m ≥2. (2)当B ≠∅时， 有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1≤4，2m －1<m ＋1，解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。
高中数学第1章集合与常用逻辑用语章末梳理课件新人教A版必修第一册
综上所述，a 的值是 0 或－98.
(2)因为 3∈A，则 m＋2＝3 或 2m2＋m＝3. 当 m＋2＝3，即 m＝1 时，m＋2＝2m2＋m，不符合题意，故舍去； 当 2m2＋m＝3，即 m＝1 或 m＝－32，m＝1 不合题意，若 m＝－32，m ＋2≠2m2＋m，满足题意，故 m＝－32.
[解析] 条件 p：x∈M 或 x∈P；结论 q：x∈(P∩M)． 若 x∈M，则 x 不一定属于 P，即 x 不一定属于 P∩M，所以 p q； 若 x∈(P∩M)，则 x∈M 且 x∈P，所以 q⇒p.综上知，“x∈M 或 x∈P” 是“ x∈(P∩M)”的必要不充分条件．
[归纳提升] 利用定义判断充分必要条件的方法 如果p⇒q，那么称p是q的充分条件，同时称q是p的必要条件．判断 时的关键是分清条件与结论．
[归纳提升] 运用集合思想来判断充分条件和必要条件是一种行之 有效的方法，若 p 以非空集合 A 的形式出现，q 以非空集合 B 的形式出 现，则①若 A⊆B，则 p 是 q 的充分条件；②若 B⊆A，则 p 是 q 的必要 条件；③若 A B，则 p 是 q 的充分不必要条件；④若 B A，则 p 是 q 的 必要不充分条件；⑤若 A＝B，则 p 是 q 的充要条件．
典例 1 (1)集合M＝{x|ax2－3x－2＝0，a∈R}中只有一个元素，则 实数a(2的)已值知是集__合0__A或_＝_－_{_98m_＋__2. ,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为__－__32___.
[解析] (1)由题意可知若集合 M 中只有一个元素，则方程 ax2－3x －2＝0 只有一个根．
人教A版新教材高一数学必修一知识点总结 第一章集合与常用逻辑用语
人教A版新教材高一数学必修一知识点总结第一章集合与常用逻辑用语定子集的补集。
③能使用图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用。
1.1 集合的概念考点知识1.1.1 集合的含义一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.1.1.2元素的三个特性与集合的相等元素的三性集合的相等只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.例如,集合与集合是相等的.1.1.3元素与集合关系的判断元素与集合的关系常用数集及表示符号1.1.4 集合的表达方法列举法:把集合中的元素一一列举出来并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法.描述法:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.它的一般形式为,其中的表示集合中的代表元素,指的是元素的取值范围;则是表示这个集合中元素的共同特征,其中“”将代表元素与其特征分隔开来.1.2 集合间的基本关系考点知识1.2.1 子集与图图用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为图.表示集合的图的边界是封闭曲线,它可以是圆、椭圆、矩形,也可以是其他封闭曲线.子集的概念1.2.2 集合相等、真子集与空集的概念集合相等如果集合的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合的元素,我们就说集合等于集合,记作,读作等于.真子集如果,且,就说集合是集合的真子集,记作.(1)用图形语言——图表示为如图；(2)空集是任何非空集合的真子集,即,且.空集(1)定义:不含任何元素的集合叫做空集；(2)用符号表示为:；(3)规定:空集是任何集合的子集.1.2.3 元素与集合、集合与集合间关系的判断(1)集合与集合之间的关系符号有:、、、、、、；(2)符号“”与“”“”“”的区别:“”及“”是表示元素与集合之间的关系;而“”“”“”等是表示集合之间的关系；(3)与的区别:一般地,表示一个元素,而表示只有一个元素的一个集合,因此有等.不能写成等.1.2.4 有限集合子集、真子集的确定(1)当一个集合的元素个数较少时,我们可以写出它的全部子集,当然也就知道其子集个数了.(2)当一个集合的元素个数较多时,一一写出子集不太现实,对于其子集的个数有如下结论:①含有个元素的集合有个子集；②含有个元素的集合有个真子集；③含有个元素的集合有个非空子集；④含有个元素的集合有个非空真子集；1.2.5 集合关系中的参数取值问题由确定集合中参数的取值范围是子集概念的重要应用,常与方程(组)、不等式(组)综合考查.一般借助数轴解决此类问题,要注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.1.3 集合的基本运算考点知识1.3.2 并集1.3.2 交集(1)交集的三种语言文字语言由集合和集合的公共元素所组成的集合叫做与的交集,记作符号语言且图形语言(2)常用运算性质:.(3)不同情形的图如下图所示①②③且④有公共元素,但互不包含⑤1.3.3 全集与补集全集与补集的三种语言表示:1.3.4交、并、补混合运算1.3.5集合的关系与运算重要性质1.4 充分条件与必要条件考点知识1.4.1 充分条件、必要条件(1)推出当命题“如果,则”经过推理证明判断定是真命题时,我们就说由可以推出,记作,读作“推出”.(2)充分条件,必要条件如果可以推出,则称是的充分条件,是的必要条件.1.4.2 充分条件、必要条件的判定对于充分条件和必要条件,要能够正确地理解和判断.(1)从概念的角度去理解①若,则称是的充分条件,是的必要条件.②若,且,则称是的充分不必要条件.③若,且,则称是的必要不充分条件.④若,且,则称是的既不充分也不必要条件.⑤若,又有,记作,则称是的充分必要条件,即是的充要条件(2)从集合的角度去理解若以集合的形式出现,以集合的形式出现,即,则①若,则是的充分条件.②若,则是的必要条件.③若且,即,则是的充分不必要条件.④若且,即,则是的必要不充分条件.⑤若且,则是的既不充分也不必要条件.（6）且，则是的充分必要条件,即是的充要条件1.4.3 充要条件(1)“若,则”为真命题,即,∴是的充分条件,是是必要条件,另一方面,,∴是的必要条件,是的充分条件.如果既有,又有,记作,此时称是的充分必要条件,即是的充要条件,同时也是的充要条件,也就是说与互为充要条件.1.4.4 充要条件的证明证明是的充要条件，既要证明命题“”为真，又要证明“”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．1.5 全称量词与存在量词考点知识1.5.1 全称量词、全称量词命题短语“所有”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词,并用符号“”表示.含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.一般地,设是某集合的所有元素都具有的性质,那么全称量词命题就是形如“对中的任意一个,成立”的命题,用符号简记为.1.5.2 存在量词、存在量词命题短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词,并用符号“”表示.含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.一般地,设是某集合的有些元素具有的某种性质,那么存在量词命题就是形如“存在中的元素,成立”的命题,用符号简记为.1.5.3 全称量词命题、存在量词命题的真假(1)要判定一个全称量词命题是真命题,必须对限定集合中的每个元素验证成立;但要判定全称量词命题是假命题,却只要能举出集合中的一个,使得不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”).(2)要判定一个存在量词命题是真命题,只要在限定集合中,能找到一个,使成立即可;否则,这一存在量词命题就是假命题.15.4 全称量词命题、存在量词命题的否定通常,用符号“”表示“不成立”.(1)对于含有一个量词的全称量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:.也就是说,全称量词命题的否定是存在量词命题.(2)对于含有一个量词的存在量词命题的否定,有下面的结论:全称量词命题:,它的否定:. 也就是说,存在量词命题的否定是全称量词命题.。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册集合与常用逻辑用语章末复习课讲义
集合的并、交、补运算【例１】已知全集U＝{0,１,２,３,４,５,6}，集合A＝{x∈N|１＜x≤４}，B＝{x∈R|x２—３x＋２＝0}．（１）用列举法表示集合A与B；（２）求A∩B及∁U（A∪B）．[解] （１）由题知，A＝{２,３,４}，B＝{x∈R|（x—１）（x—２）＝0}＝{１,２}．（２）由题知，A∩B＝{２}，A∪B＝{１,２,３,４}，所以∁U（A∪B）＝{0,５,6}．集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.１．已知全集U＝{１,２,３,４}，集合A＝{１,２}，B＝{２,３}，则∁U（A∪B）＝（）Ａ．{１,３,４} Ｂ．{３,４}Ｃ．{３} Ｄ．{４}D[∵A＝{１,２}，B＝{２,３}，∴A∪B＝{１,２,３}，∴∁U（A∪B）＝{４}．]集合关系和运算中的参数问题【例２】已知集合A＝{x|0≤x≤２}，B＝{x|a≤x≤a＋３}．（１）若（∁R A）∪B＝R，求a的取值范围；（２）是否存在a使（∁R A）∪B＝R且A∩B＝∅？[解] （１）A＝{x|0≤x≤２}，∴∁R A＝{x|x<0或x>２}．∵（∁R A）∪B＝R，∴错误!∴—１≤a≤0．（２）由（１）知（∁R A）∪B＝R时，—１≤a≤0，而２≤a＋３≤３，∴A⊆B，这与A∩B＝∅矛盾．即这样的a不存在．根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A⊆B的问题转化为A B或A＝B，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.２．已知集合A＝{x|—３≤x＜２}，B＝{x|２k—１≤x≤２k＋１}，且B⊆A，求实数k的取值范围.[解] 由于B⊆A，在数轴上表示A，B，如图，可得错误!解得错误!所以k的取值范围是错误!.充分条件与必要条件【例３】已知a≥错误!，y＝—a２x２＋ax＋c，其中a，c均为实数．证明：对于任意的x∈{x|0≤x≤１}，均有y≤１成立的充要条件是c≤错误!.[解] 因为a≥错误!，所以函数y＝—a２x２＋ax＋c的图象的对称轴方程为x＝错误!＝错误!，且0＜错误!≤１，当x＝错误!时，y＝错误!＋c.先证必要性：对于任意的x∈{x|0≤x≤１}，均有y≤１，即错误!＋c≤１，所以c≤错误!.再证充分性：因为c≤错误!，当x＝错误!时，y的最大值为错误!＋c≤错误!＋错误!＝１，所以对于任意x∈{x|0≤x≤１}，y＝—a２x２＋ax＋c≤１，即y≤１．即充分性成立．利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.３．若p：x２＋x—6＝0是q：ax＋１＝0的必要不充分条件，则实数a的值为________．—错误!或错误![p：x２＋x—6＝0，即x＝２或x＝—３．q：ax＋１＝0，当a＝0时，方程无解；当a≠0时，x＝—错误!.由题意知p q，q⇒p，故a＝0舍去；当a≠0时，应有—错误!＝２或—错误!＝—３，解得a＝—错误!或a＝错误!.综上可知，a＝—错误!或a＝错误!.]全称量词与存在量词【例４】（１）下列语句不是全称量词命题的是（）Ａ．任何一个实数乘以零都等于零Ｂ．自然数都是正整数Ｃ．高一（一）班绝大多数同学是团员Ｄ．每一个实数都有大小（２）命题p：“∀x∈R，x２＞0”，则（）Ａ．p是假命题；﹁p：∃x∈R，x２＜0Ｂ．p是假命题；￢p：∃x∈R，x２≤0Ｃ．p是真命题；￢p：∀x∈R，x２＜0Ｄ．p是真命题；￢p：∀x∈R，x２≤0（１）C（２）B [（１）A中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A是全称量词命题；B中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B是全称量词命题；C中命题可改写为：高一（一）班存在部分同学是团员，C不是全称量词命题；D中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D是全称量词命题．故选Ｃ．（２）由于0２＞0不成立，故“∀x∈R，x２＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∀x∈R，x２＞0”的否定是“∃x∈R，x２≤0”，故选Ｂ．]“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系１一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p x的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.２与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.４．下列命题不是存在量词命题的是（）Ａ．有些实数没有平方根Ｂ．能被５整除的数也能被２整除Ｃ．在实数范围内，有些一元二次方程无解Ｄ．有一个m使２—m与|m|—３异号B[选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．]５．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．存在一个能被7整除的数不是奇数[原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．]。
高中数学新人教A版必修第一册课件： 第1章 集合与常用逻辑用语 1
【对点练习】❷ (1)(2021·全国高考甲卷文科)设集合M＝{1，3，5，
7，9}，N＝{x|2x>7}，则M∩N＝
A．{7，9}
B．{5，7，9}
(B )
C．{3，5，7，9}
D．{1，3，5，7，9}
(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}，若A∩B＝{1}，则
集合B＝
[解析] (1)①因为A∩B＝∅， a≥－1，
所以a＋3≤5， 解得－1≤a≤2. ②因为A∪B＝B，所以A⊆B， 所以a>5或a＋3<－1，即a的取值范围为a>5或a<－4.
(2)①由题意得M＝{2}． 当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1，2}， ∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1，2}． ②∵M∩N＝M， ∴M⊆N， ∵M＝{2}，∴2∈N， ∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解， 即4－6＋m＝0，解得m＝2.
解得13<t≤2.
综上可知，实数 t 的取值范围是{t|t≤2}．
(2)由x2－2x＝0，得x＝0或x＝2. ∴A＝{0，2}． ①∵A∩B＝B，∴B⊆A，B＝∅，{0}，{2}，{0，2}． 当B＝∅时，Δ＝4a2－4(a2－a)＝4a<0，∴a<0；
当 B＝{0}时，aΔ2＝－4aa＝＝00，， ∴a＝0；
【对点练习】❸ (1)已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}． ①若A∩B＝∅，求实数a的取值范围； ②若A∪B＝B，求实数a的取值范围． (2)已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}， ①当m＝2时，求M∩N，M∪N； ②当M∩N＝M时，求实数m的值．
(B)
高中数学第一章集合与常用逻辑用语章末复习与总结课件新人教A版必修第一册
所以实数m的取值范围为{m|m＞2}． (2)因为x∈A是x∈B成立的充要条件，所以A＝B. 所以m＋1＝3，即m＝2.即实数m的值为2.
[例5] (2020·天津高考)设a∈R ，则“a>1”是“a2>a”的
()
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 由a2>a得a>1或a<0，反之，由a>1得a2>a，则“a>1”是“a2>a”的
充分不必要条件，故选A.
[答案] A
充分条件与必要条件的探求及应用
集合间的关系
[例4] (1)集合M＝
yy＝x＋8 1，x∈N
，y∈N
的非空子集的个数是
A．3
B．7
()
C．15
D．31
(2)已知集合A＝{x|0＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A⊆B，则实数a的取值范围
是
()
A．{a|0＜a＜4}
B．{a|－8＜a＜4}
C．{a|a≥4}
D．{a|a＞4}
[解析]
(2)命题“对任意x∈A，2x∈B”是一个全称量词命题，其命题的否定为“存 在x∈A，2x∉B”，故选D.
[答案] (1)ABD (2)D
二、数学运算
数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的
素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，求得运
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A． 2
B． 5
C． 6
D． 7
7．在东莞市第一高级中学 2021 届高三第一学期入学考试中，理科数学试卷的第一题是考查集合，第二题是考查复
数.某数学老师为了了解学生对这两个知识点的掌握情况，对高三（5）班和（12）班的答题结果进行了统计，得到
如下数据：
高三（5）班和（12）班人数合计 两题都答对人数 答对第一题人数 答对第二题人数
22．设集合U R ， A x x2 x 6 0 ， B x x2 5x 4 0 ， C x x a
（1）求图中阴影部分表示的集合；
（2）若 B C C ，求 a 的取值范围
1．C 2．A
3．D
4．D
参考答案 5．C 6．B 7．B
8．D
9．C 10．A 11．AD 12．ACD 13．ACD 14．BD 15．AC 16．{1, 2}
A． 2 M
B． 0 M
C．0 M
D．0 M
12．下列命题中是假命题的是（ ）．
A． x R ， x3 0
B． x0 R ， x03 3
C． x Q ， x3 1
D． x0 N ， x03 3
13．设 x R ，则“ 2x2 x 1 0 ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
19．若命题 x R ，使得 x2 a 1 x 1 0 成立是真命题，则实数 a 的取值范围是______.
20．若“
x
6
,
4
，
tan
x
m
”是真命题，则实数
m
的最小值为______．
四、解答题
21．设已知全集U R ，集合 A {x | 3 2x 1 5}, B x x 2 或 x 0，求 A B ， ðU ( A B) ， ðU A B
80 人
60 人
70 人
64 人
问两题都答错的人数是（ ）
A．5
B．6
8．如果集合 P x x 1 ，那么（
C．8 ）
D．10
A． 0 P
B．0 P
C． P
D．0∈ P
9．命题“ x R ， x2 x 1 0 ”的否定是（ ）
A． x R ， x2 x 1 0
B． x R ， x2 x 1 0
4．集合{x N | x 3 2} 用列举法表示是（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3，4，5} C．{0，1，2，3，4，5} D．{0，1，2，3，4}
5．集合1, 2的子集的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．8
6．已知集合 A 2, 4, 6 ， B 1,3, 4, 6 ，则 A B 中元素的个数是（ ）
（1）并集：A B ={x|x A，或 xB} （2）交集：A B=｛x|x A，且 x B｝
U A
B A AB A B A AB B
(3)补集：CUA={x| xU,且xA}
10.全称量词命题和存在量词命题的否定
（1）全称量词命题 p： x M , p(x)
它的否定： x M , p(x)
A． 2,5
B． 2, 5
C． 3, 5
D． 3,5
2．已知集合 M
x
x3 x 1
0 ， N
3, 1,1,3,5 ，则 M
N
（
）
A． 1, 3
B． 1,1, 3
C．{3,1}
D．3, 1,1
3．已知集合 A x x 0 ， B x x 3 ，则集合 A B （ ）
A．x 3 x 3 B．x 3 x 0 C．x 0 x 3 D．x x 3
A． x 1 2
C． x 2
B． x 1或 x 1 2
D． x 1
14．已知全集U {1, 2,3, 4,5,6}，集合 M {3, 4, 5} ， N {1, 2,5}，则集合{1, 2} 可以表示为（ ）
A． M N
B． (ðU M ) N
C． (ðU N ) M
D． (ðU (M N )) N
15．已知命题 p : x R ， x2 2x 2 a 0 为真命题，则实数 a 的取值可以是（ ）
A．1
B． 0
C． 3
D． 3
三、填空题
16．用列举法表示方程 x2 x 2 0 的解集为______________. 17．用 或填空：0________ N
18．已知集合 A (x, y) 4x y 6 , B (x, y) x y 4 ，则 A B _______．
（2）因为 B C C ，可得 C B
又因为 B {x x 1或 x 4}， C x x a ，可得 a 1，
所以 a 的取值范围是 (,1]
【新教材 2020 数学必修一】高中数学必修第一册期末复习讲义
数 学 必 修 一 期 末 复 习 集合中元素的特性:确定性、无序性、互异性 2. 集合的表示：列举法，描述法（①语言描述法，②Venn 图）
3. 区分元素与集合（a∈A），集合与集合的关系（ A B ),注意符号
4. 非负整数集（即自然数集）N ；正整数集:N*或 N+ ; 整数集:Z ;有理数集 Q ; 实数集 R
5. 集合间的基本关系： A B 有两种可能（1）A B（真子集）；（2）A=B（集合相等）
6. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 7. 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集 8. 若非空集合 A 中有 n 个元素，则有 2n 个子集，（2n-1）个真子集，（2n-2）个非空真子集 9. 集合基本运算：
C． x0 R ， x02 x0 1 0
D． x0 R ， x02 x0 1 0
10．“ a b ”是“ a2 b2 ”的什么条件？（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要
D．既不充分也不必要
二、多选题
11．已知集合 M x Z 3 x 3 ，则下列符号语言表述正确的是（ ）
17． 18．{(2, 2)} 19． , 1 3,
21．由已知得 A {x | 1 x 3}，
20． 3 3
∴ A B {x | 0 x 3} ， A B {x | x 2 或 x 1} ，
∴ ðU ( A B) {x | 2 x 1} ，
又 ðU A x x 1或 x 3 ， ∴ ðU A B x x 2 或 x 3 .
22．（1）由不等式 x2 x 6 (x 3)(x 2) 0 ，解得 2 x 3，即 A x 2 x 3
由不等式 x2 5x 4 (x 1)(x 4) 0 ，解得 x 1或 x 4 ，即 B {x x 1或 x 4} ，
又由题中阴影部分为 A ðU B ，且 ðU B x 1 x 4 ， 所以阴影部分用集合表示为 A ðU B x 1 x 3 .
（2）存在量词命题 p: x M , p(x)
11.充分条件与必要条件
（1） p q p 是 q 的充分条件； （2） p q p 与 q 互为充要条件
它的否定： x M , p(x)
q 是 p 的必要条件
习题演练，考点检测 一、单选题
1．已知集合 A x ln(x 2) 0 ， B x 2x2 9x 5 0 ，则 A B （ ）