第十章 线性相关与回归
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第10章 线性相关与回归
直线回归方程的用途 1．两变量间存在直线关系时，直 线方程可定量地描述两变量间的线性 依存关系。 2．根据直线回归方程由已知变量 值估计未知变量值：如统计预测。
应用直线回归方程时应注意的问题 1．求出样本资料的直线回归方程 后应进行假设检验。 2．应用直线回归方程时，要注意 方程只适用于自变量X的样本数据波动 范围，不能任意外延其应用范围。
在进行假设检验时，无效假设H0 为：ρ=0,即两变量间无直线相关关系； 备择假设H1为：ρ≠0，两变量间有直 线相关关系。常用的假设检验方法是t 检验，检验统计量t值的计算公式如下：
r0 tr Sr
r 1 r n2
2
,v n2
例9-2 就例9-1资料，问某地4岁 儿童体重与体表面积间是否有直线关系？
反双曲正切变换：
z tanh r
或
1
1 1 r z ln 2 1 r
z u
Z的1-α可信区间计算公式：
2
n 3 , z u 2
n3
缩写
z u
a2
n3
ρ的1-α可信区间计算公式：
tanh z u 2
缩写
n 3 , z u 2
XY (3) 58.113 62.5282 64.296 65.0916 73.3862 82.3918 83.952 90.9198 92.34 102.576 ∑XY=775.5946
X
2
Y
2
(4) 121.00 139.24 144.00 151.29 171.61 187.69 207.36 222.01 231.04 256.00 2 ∑X =1831.24
5.4 5.2
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
第十章线性相关与回归-文档资料
他和英国统计学家 Karl Pearson对上千个家庭的身
高、臂长、拃长（伸开大拇指与中指两端的最大 长度）做了测量，并做成散点图。
发现：
2019/3/9 4
儿子身高（ Y ，英寸）与父亲身高（ X ，英寸）
存在线性关系：
ˆ Y 3 3 . 7 30 . 5 1 6 X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来
秩和检验
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
2019/3/9 2
医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。
在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如：
乙肝病毒感Hale Waihona Puke 是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙
2019/3/9
14
线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation) X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation） X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 (零线性相关) 。
2019/3/9
10
第一节 线性相关
2019/3/9
11
线性相关的掌握要点
线性相关描述了什么问题？ 线性相关分析的具体步骤是什么？ 线性相关分析对资料有什么要求？
如何对这些要求进行检查或检验？
仅用样本线性相关系数能否说明相关程度？
总体相关系数非常接近1，能否说明Y=X？
2019/3/9
12
例：考察身高与体重的伴随关系
第十章相关与回归分析
相关关系是回归分析的前提和基础，回归分析是相关分 析的深入和继续。 区别： 1.相关分析没有方向性，是对等关系；回归分析有方向性， 必须先确定自变量与因变量 2.相关分析中变量是随机变量；回归分析则不同，自变量是 给定的，因变量是随机的
6
第二节 简单线性相关分析
一、简单线性相关关系的直观判断 采用定性和定量分析的方法：受理论知识、专业水平、
第一，对具有相关关系的现象选择合适的数学模型 第二，对所选择的数学模型的实际效果进行准确性和可靠
性检验。 可通过假设检验和估计标准误差来实现
4
（三）类型 1.按涉及变量的多少：简单回归和复合回归 2.按变量的表现形式：直线回归和曲线回归
5
三、相关分析与回归分析的关系 联系：都是以变量之间的相互依存关系作为研究对象，
绕回归直线YC=a+bX的变动程度，它是除了X对Y的线性影响 之外的一切随机因素所引起的Y的变动。
总变差（ST）=回归变差（SR）+剩余变差（SE）
15
（二）可决系数和相关指数
回归变差占总变差的比重越大，说明观察值离回归
直线越近，用自变量X通过回归方程求得其相应YC值去估 计实际值Y就越精确，说明X与Y之间关系越密切，回归直
1
（二）相关关系的种类 1.按涉及的变量的多少：单相关与复相关 2.表现形式分：线性相关与非线性相关。 3.按方向不同分：正相关与负相关。 4.按相关程度来分：完全相关、不完全相关和不相关。
完全相关：r=±1 不相关: r=0
2
（三）相关分析的概念和内容 相关分析是研究具有相关关系的变量之间变动方向
相关
17
（三）估计标准误差 估计值YC与实际观测值Y之间存在一定的离差，称为估
6
第二节 简单线性相关分析
一、简单线性相关关系的直观判断 采用定性和定量分析的方法：受理论知识、专业水平、
第一，对具有相关关系的现象选择合适的数学模型 第二，对所选择的数学模型的实际效果进行准确性和可靠
性检验。 可通过假设检验和估计标准误差来实现
4
（三）类型 1.按涉及变量的多少：简单回归和复合回归 2.按变量的表现形式：直线回归和曲线回归
5
三、相关分析与回归分析的关系 联系：都是以变量之间的相互依存关系作为研究对象，
绕回归直线YC=a+bX的变动程度，它是除了X对Y的线性影响 之外的一切随机因素所引起的Y的变动。
总变差（ST）=回归变差（SR）+剩余变差（SE）
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（二）可决系数和相关指数
回归变差占总变差的比重越大，说明观察值离回归
直线越近，用自变量X通过回归方程求得其相应YC值去估 计实际值Y就越精确，说明X与Y之间关系越密切，回归直
1
（二）相关关系的种类 1.按涉及的变量的多少：单相关与复相关 2.表现形式分：线性相关与非线性相关。 3.按方向不同分：正相关与负相关。 4.按相关程度来分：完全相关、不完全相关和不相关。
完全相关：r=±1 不相关: r=0
2
（三）相关分析的概念和内容 相关分析是研究具有相关关系的变量之间变动方向
相关
17
（三）估计标准误差 估计值YC与实际观测值Y之间存在一定的离差，称为估
统计学课件之线性相关与回归
➢ 线性关系是否存在、关系的密切程度 以及方向性
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
0.28
4
0.24
0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
0.25
0.27
8
0.06
0.09
9
0.23
0.24
10
0.33
0.30
11
0.15
0.16
12
0.04
0.05
13
0.20
0.20
14
0.34
0.32
15
0.22
0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
back
➢ 积差相关系数 ➢ 用ρ（总体）或r（样本）表示 ➢ 用来对线性关系的密切程度与方向
进行统计描述的指标
back
r lxy x xy y
lxxlyy
x x2 y y2
其中，lxy是x与y的离均差积和
lxx与lyy分别是x与y的离均差平方和
0.14
2
0.25
0.25
3
0.23
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4
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0.25
5
0.26
0.28
6
0.09
0.10
7
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8
0.06
0.09
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0.24 back
➢ 针对上例，请做线性回归分析。 ➢ a = 0.0319 b = 0.8973 ➢ F = MS回/ MS残 = 295.46 tb = 17.189 ➢ R2 = 0.9578 = ( 0.9787 )^2 = r^2
➢ 简单回归
➢ 研究两个连续性变量x与y之间的数量变化 依存关系
➢ 要求——y是服从正态分布的随机变量， 而对x无太严格要求
➢ 主要任务——找出合适的直线回归方程， 以确定一条最接近于各实测点的直线，描 述两个变量之间的线性回归关系。
back
➢ yˆ相当于y的计算值，与y的实测值不完全相同
第10章 线性相关与回归818
1.正相关 2.负相关 3.无相关
二、线性相关系数
相关系数就是说明具有直线关系的两个变量间相关密切 程度和相关方向的统计量。
皮尔森(Pearson)相关系数的计算公式为：
r
r rXY
( X X )(Y Y ) LXY
( Xi X )2 (Yi Y )2
LXX .LYY
相关系数r没有测量单位，其数值为-1≤r≤1
400
1156
33
726
484
1089
246
3622
2024
6610
根据表10-2数据绘制散点图，如下图所示：
40
30
蛙心律
20
Yˆ 4.087 1.523X
10
0
0
10
20
30
温度
三、线性回归方程的显著性检验
对线性回归方程要进行假设检验，就是要检验b是否 为β=0的总体中的一个随机样本。该假设检验通常 用采用方差分析或者t检验，两者的检验效果等价。
医学统计学
第十章 线性相关与回归
房价走势图
模拟数据
症状监测图
模拟数据
一、线性相关的基本概念
把这种Y随着X变化而变化的关系称之为相关关系，如果这种变 化呈现直线关系，又称之为直线相关（线性相关）或简单相关。
相关关系 直线相关
根据散点图中点的分布即线性相关的性质和相关之间的密 切程度，可分为以下几种情况：
t检验： t | b 0 | , =n-2
sb
方差分析： SS总 SS回归 SS剩余，总 =回归 +剩余
MS回归
SS回归
回归
，MS剩余
SS剩余 ，F
剩余
MS回归 MS剩余
二、线性相关系数
相关系数就是说明具有直线关系的两个变量间相关密切 程度和相关方向的统计量。
皮尔森(Pearson)相关系数的计算公式为：
r
r rXY
( X X )(Y Y ) LXY
( Xi X )2 (Yi Y )2
LXX .LYY
相关系数r没有测量单位，其数值为-1≤r≤1
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根据表10-2数据绘制散点图，如下图所示：
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蛙心律
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Yˆ 4.087 1.523X
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温度
三、线性回归方程的显著性检验
对线性回归方程要进行假设检验，就是要检验b是否 为β=0的总体中的一个随机样本。该假设检验通常 用采用方差分析或者t检验，两者的检验效果等价。
医学统计学
第十章 线性相关与回归
房价走势图
模拟数据
症状监测图
模拟数据
一、线性相关的基本概念
把这种Y随着X变化而变化的关系称之为相关关系，如果这种变 化呈现直线关系，又称之为直线相关（线性相关）或简单相关。
相关关系 直线相关
根据散点图中点的分布即线性相关的性质和相关之间的密 切程度，可分为以下几种情况：
t检验： t | b 0 | , =n-2
sb
方差分析： SS总 SS回归 SS剩余，总 =回归 +剩余
MS回归
SS回归
回归
，MS剩余
SS剩余 ，F
剩余
MS回归 MS剩余
相关与回归分析课件
直线回归
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
4
11
16
121
44
3
6
11
36
121
66
4
8
14
64
196
112
5
10
22
100
484
220
6
12
23
144
529
276
7
14
32
196
1024
448
8
16
29
256
841
464
9
18
32
324
1024
576
10
20
34
400
1156
680
11
22
33
484
1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
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11
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1089
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合计
132
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第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
线性相关与回归(共58张PPT)
SPSS中默认的选入自变量的检验水准为0.
当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、预测值的精度降低以及对y有影响的重要自变量不能选入模型 。
；
r <0，负相关；r=-1为完全负相关
|r|越大，两变量相关越密切（前提：r有统计学意义）
正相关：0<r1 负相关-1r<0
零相关 r =0
曲线相关
2.哪些自变量对因变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有影响？（影响因素分析）
对回归模型的统计检验
Fnm1•SSreg m SSE
当P<0.05,则认为此回归模型有显著性。
对自变量的统计检验
t bi /se(bi)
当P<0.05,则认为此自变量对因变量有影响。
自变量的筛选
实际应用中，通常从专业知识出发，建立一个简约（ parsimonious）的回归模型，即用尽可能少的自变量拟合模型 。
加值都是bm。
模型拟和的优良性指标
R：复相关系数，反映了Y与M个自变量的总体相关系数； R2：决定系数（R Square） R2c：调整决定系数（Adjusted R square ），是对决定系数的修正 ，是更客观的指标。
这些指标越接近于1，说明回归模型拟合越好。 除了上述指标，还有残差标准误s，残差标准差越小，说明回归 模型拟合越好。
Y的均数的置信区间的下限及上限 解释变量，explanatory variable；
标准化偏回归系数：对自变量、因变量作标准化处理后计算的回归系数。
估计模型中系数的方法：最小二乘方法（Least Square，LS）
，即残差平方和最小。
b1， b2….. bm称为偏回归系数（partial regression coefficient） ：当固定其他变量时，xm每增加一个单位，y的增
当自变量之间存在共线性时，会使回归系数的估计不确定、预测值的精度降低以及对y有影响的重要自变量不能选入模型 。
；
r <0，负相关；r=-1为完全负相关
|r|越大，两变量相关越密切（前提：r有统计学意义）
正相关：0<r1 负相关-1r<0
零相关 r =0
曲线相关
2.哪些自变量对因变ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ有影响？（影响因素分析）
对回归模型的统计检验
Fnm1•SSreg m SSE
当P<0.05,则认为此回归模型有显著性。
对自变量的统计检验
t bi /se(bi)
当P<0.05,则认为此自变量对因变量有影响。
自变量的筛选
实际应用中，通常从专业知识出发，建立一个简约（ parsimonious）的回归模型，即用尽可能少的自变量拟合模型 。
加值都是bm。
模型拟和的优良性指标
R：复相关系数，反映了Y与M个自变量的总体相关系数； R2：决定系数（R Square） R2c：调整决定系数（Adjusted R square ），是对决定系数的修正 ，是更客观的指标。
这些指标越接近于1，说明回归模型拟合越好。 除了上述指标，还有残差标准误s，残差标准差越小，说明回归 模型拟合越好。
Y的均数的置信区间的下限及上限 解释变量，explanatory variable；
标准化偏回归系数：对自变量、因变量作标准化处理后计算的回归系数。
估计模型中系数的方法：最小二乘方法（Least Square，LS）
，即残差平方和最小。
b1， b2….. bm称为偏回归系数（partial regression coefficient） ：当固定其他变量时，xm每增加一个单位，y的增
医学统计人卫线性相关与回归
➢S S 回 为 回 归 平 方 和 ， 它 反 映 在 Y 的 总 变 异 中 由 于 X 与 Y的直线关系而使Y变异减小的部分，也就是在总平
方和中可以用X解释的部分。SS回越大，说明回归效 果越好,即SS总中可用X与Y线性关系解释的变异越多。
➢S S 剩 为 剩 余 平 方 和 ， 它 反 映 X 对 Y 的 线 性 影 响 之 外 的 一切因素对Y的变异的作用，也就是在总平方和SS总 中无法用X解释的部分。在散点图中，各实测点离回
1.两变量的变化趋势呈直线趋势(linear)； 2.因变量y属于正态随机变量(normal distribution)；
x y 3.对于I型回归要求对于每个选定的 ， 都有一个正态分布的总体，并且这些总 x y 体的方差都相等(equal variance)；对于II型回归，要求 、 均服从正态
分布。
3.两变量间存在直线相关关系，并不一定是因果 关系，可能是伴随关系；
4.直线回归方程的适用范围一般以自变量的取值
范围为限，在此范围内求出的估计值称内插；
超此范围所得Ŷ称外延。若无充分理由应避免
外延。
第25页/共29页
直线相关与回归的区别与联系
（一）区别
1. 资料要求不同：相关要求两个变量是双变量正 态分布；回归要求应变量Y服从正态分布，而自 变量X是能精确测量和严格控制的变量。
3.利用回归方程进行统计控制：规定Y值的变化，通过控制X的范围来实现统计 控制的目标,所以统计控制是利用回归方程进行的逆估计。
第24页/共29页
应用直线相关和回归应注意的问题
1.作直线相关和回归分析要有实际意义；
2.在进行分析之前，应先绘制散点图，当其分布 有直线趋势时，才适宜作直线相关回归分析。 散点图还能提示资料有无异常点。
第10章 线性相关与回归
r = rXY =
∑( X X)(Y Y) ∑( X X) ∑(Y Y)
2 i i
=
LXY LXX.LYY
2
相关系数r没有测量单位,其数值为-1≤≤+1 没有测量单位,其数值为-
相关系数的计算方法
计算时分别可用下面公式带入相关系数r 计算时分别可用下面公式带入相关系数r的 计算公式中
∑ (X ∑ (Y ∑ (X
四,进行线性相关分析的注意事项
⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数,它是总体相关系数的一个估计值,与总体 它是总体相关系数的一个估计值, 相关系数之间存在着抽样误差,要判断两个事 相关系数之间存在着抽样误差, 物之间有无相关及相关的密切程度, 物之间有无相关及相关的密切程度,必须作假 设检验. 设检验.
蛙蛙蛙 蛙蛙蛙
20
10
0 0 10 20 30
温度
2.计算回归系数与常数项 2.计算回归系数与常数项
在本例中:
∑ X = 132
∑ Y = 246
∑X ∑Y
2
= 2024
= 6610
X = 12
2
Y = 22.363
∑ XY = 3622
l b = XY = l XX
∑
XY
∑
( ∑ X )( ∑ Y ) (132)(246) 3622 670 n 11 = = = 1.523 2 2 (∑ X ) 132 440 2 2024 X 11 n
X2
4 16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 2024
Y2
25 121 121 196 484 529 1024 841 1024 1156 1089 6610
∑( X X)(Y Y) ∑( X X) ∑(Y Y)
2 i i
=
LXY LXX.LYY
2
相关系数r没有测量单位,其数值为-1≤≤+1 没有测量单位,其数值为-
相关系数的计算方法
计算时分别可用下面公式带入相关系数r 计算时分别可用下面公式带入相关系数r的 计算公式中
∑ (X ∑ (Y ∑ (X
四,进行线性相关分析的注意事项
⒊ 依据公式计算出的相关系数仅是样本相关系
数,它是总体相关系数的一个估计值,与总体 它是总体相关系数的一个估计值, 相关系数之间存在着抽样误差,要判断两个事 相关系数之间存在着抽样误差, 物之间有无相关及相关的密切程度, 物之间有无相关及相关的密切程度,必须作假 设检验. 设检验.
蛙蛙蛙 蛙蛙蛙
20
10
0 0 10 20 30
温度
2.计算回归系数与常数项 2.计算回归系数与常数项
在本例中:
∑ X = 132
∑ Y = 246
∑X ∑Y
2
= 2024
= 6610
X = 12
2
Y = 22.363
∑ XY = 3622
l b = XY = l XX
∑
XY
∑
( ∑ X )( ∑ Y ) (132)(246) 3622 670 n 11 = = = 1.523 2 2 (∑ X ) 132 440 2 2024 X 11 n
X2
4 16 36 64 100 144 196 256 324 400 484 2024
Y2
25 121 121 196 484 529 1024 841 1024 1156 1089 6610
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秩和检验
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。 试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
2011-12-11 2
医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 在这些有关系的现象中， 在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如： 各不相同。比如： 乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果， 乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙 肝之间是因果关系； 肝之间是因果关系； 因果关系 有的现象之间因果不清，只是伴随关系， 有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如哥哥的身 伴随关系 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。 相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的 相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。 相互关系
2011-12-11
21
分析步骤
一、绘制散点图 二、计算 x , y , l xx , l yy , l xy
N=11
∑ X2=89599
∑X=1891 ∑ Y2=22810
∑Y=500 ∑XY=85185
r =
∑ ( X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X ) 2 ∑ (Y − Y ) 2
刻画两个随机变量之间线性相关程度称为 线性相关（ 线性相关（linear correlation） ）
2011-12-11
14
线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 和 伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation) X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 与 的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation） ） X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 和 无任何直线伴随变化趋势 无任何直线伴随变化趋势， (零线性相关 。 零线性相关) 零线性相关
2011-12-11
20
名男青年身高与前臂长的测量结果(cm) 表10-1 11名男青年身高与前臂长的测量结果 名男青年身高与前臂长的测量结果
编号 身高（ ） 身高（cm） (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 1891 前臂长（ ） 前臂长（cm） (Y) 47 42 44 41 47 50 47 46 49 43 44 500 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185 28900 29929 25600 24025 29929 35344 31684 33489 32400 27225 28561 326081 2209 1764 1936 1681 2209 2500 2209 2116 2401 1849 2116 22810 XY X2 Y2
2011-12-11
17
相关系数的特点： 相关系数的特点：
－1 ≤ r ≤ 1 r＞0为正相关 ＞ 为正相关 r＜0为负相关 ＜ 为负相关 r＝0为零相关或无相关 r＝0为零相关或无相关 |r| < 0.4 为低度线性相关； 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为中度线性相关； 为中度线性相关； 为中度线性相关 0.7≤|r| ＜1.0为高度线性相关。 为高度线性相关。 线性相关
2011-12-11
15
★ 正相关
★负相关
★称零相关
★ 完全正相关 ★完全负相关
2011-12-11
16
线性相关系数
线性相关系数 (linear correlation coeffiecient) ， 简称相关系数。 简称相关系数。或 Pearson相关系数
相关系数是描述两个变量之间线性相关的程度 和相关方向的统计指标。 表示， 和相关方向的统计指标。样本相关系数用 r 表示， 总体相关系数用ρ表示 表示。 总体相关系数用 表示。
∑ XY − = ∑
∑ X .∑ Y n ∑
Y 2 −
X
2
−
(∑ X )2
n
(∑ Y )2
n
2011-12-11
22
52 50
前 臂 长
46 44 42 40 150 160 170 180 190 48
2011-12-11
(cm)
身高（ 身高（cm)
2011-12-11 18
相关系数的计算公式
lxx （x 的离均差平方和 ） lyy y 的离均差平方和 ） lxy （x和y的离均差乘积和，简称乘积和） 的离均差乘积和， 和 的离均差乘积和 简称乘积和）
r=
Σ ( X − X )(Y − Y ) Σ ( X − X ) 2 Σ (Y − Y ) 2
男青年身高与前臂长的测量结果(cm)的 图10-1 男青年身高与前臂长的测量结果 的 散点图
23
计算结果
86185 − 1891 × 500 / 11 r= (89599 − 18912 / 11)(22810 − 500 2 / 11) = 0.8009
r 的值说明了两个变量 与Y之间关联的密切程 的值说明了两个变量X与 之间关联的密切程 度（绝对值大小）与关联的性质（正负号）。 绝对值大小）与关联的性质（正负号）。
2011-12-11
5
Regression 释义
210=1024
2011-12-11
6
2011-12-11
7
小插曲——F.Galton 小插曲
Galton（1822-1911）是一位人类学家，著名生物 （ ）是一位人类学家， 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 尽管他的数学不是很好， 尽管他的数学不是很好，但在人类学和优生学研究中 萌发的统计学思想，对生物统计的发展产生了深远影 萌发的统计学思想， 双变量正态分布”的概念等。 响，如“回归”、 “双变量正态分布”的概念等。 回归” 他没有子女，但一生写了 部书 发表了近200篇论文。 部书， 篇论文。 他没有子女，但一生写了9部书，发表了近 篇论文 1860年当选英国皇家学会会员，1909年被封为爵士， 年当选英国皇家学会会员， 年被封为爵士， 年当选英国皇家学会会员 年被封为爵士 1910年获得英国皇家学会 年获得英国皇家学会Copley奖。 年获得英国皇家学会 奖
发现：
2011-12-11 4
儿子身高（ ， 英寸） 与父亲身高（ ， 英寸） 儿子身高 （ Y， 英寸 ） 与父亲身高 （ X， 英寸 ） 存在线性关系： 存在线性关系：
ˆ Y = 33.73+0.516X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高， 而是稍矮于其父代水平 ， 而矮个子 说不是更高 ， 而是稍矮于其父代水平， 父代的子代的平均身高不是更矮， 父代的子代的平均身高不是更矮 ， 而是稍高于其 父代水平。 父代水平 。 Galton将这种趋向于种族稳定的现象 将这种趋向于种族稳定的现象 称之“回归” 称之“回归”。
2011-12-11
12
例：考察身高与体重的伴随关系
体重 散点图
身高
问题：通过散点图可以得出什么结论？ 问题：通过散点图可以得出什么结论？
2011-12-11 13
线性相关的概念
图中不是每个身材较高的对象必有较重的体 但大多数对象的体重Y与其身高 与其身高X的变化呈 重，但大多数对象的体重 与其身高 的变化呈 一种伴随增大或减小的直线变化趋势， 一种伴随增大或减小的直线变化趋势，这种现象 称为直线相关 。
(∑ X ) 2 =∑X2 − n
=
l XY l XX lYY
l XX
lYY
(∑ Y ) 2 = ∑Y 2 − n
l XY
2011-12-11
( ∑ X )( ∑ Y ) = ∑ XY − n
19
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退 出
实例分析
• 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； 身高与他的前臂长有关 • 于是设想，通过测量男青年的身高，可以预测其 于是设想，通过测量男青年的身高， 前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 因此随机抽取了11名男青年组成样本 名男青年组成样本， 因此随机抽取了 名男青年组成样本，分别测量 每个人的身高和前臂长。见表10-1 每个人的身高和前臂长。见表 • 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 相关系数是多少 是正相关还是负相关？ 是正相关还是负相关？ • 分析问题：总体-样本、 目的、变量、关系 分析问题： 样本、 目的、变量、
2011-12-11
24
等于0.8009，说明了 例样本中 上例中的相关系数 r 等于 ，说明了11例样本中 男青年的身高与前臂长之间存在相关关系。但是， 男青年的身高与前臂长之间存在相关关系。但是， 例只是总体中的一个样本 这11例只是总体中的一个样本，由此得到的相关系 例只是总体中的一个样本， 数会存在抽样误差。 数会存在抽样误差。 因为，总体相关系数（ 为零时，由于抽样误差， 因为，总体相关系数（ρ）为零时，由于抽样误差， 从总体抽出的11例 可能不等于零。 从总体抽出的 例，其 r 可能不等于零。 进行假设检验，判断r不等于零是由于 不等于零是由于抽 这就要对 r 进行假设检验，判断 不等于零是由于抽 样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。 样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。 两个变量之间确实存在相关关系
试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。 试问：为何说是单变量？ 因为每种类型只牵涉一个变量。
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医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 医学上，许多现象之间（即变量之间）都有相互联系， 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 例如：身高与体重、父亲身高与儿子身高、体温与脉搏、 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 产前检查与婴儿体重、乙肝病毒与乙肝等。 在这些有关系的现象中， 在这些有关系的现象中，它们之间联系的程度和性质也 各不相同。比如： 各不相同。比如： 乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果， 乙肝病毒感染是前因，得了乙肝是后果，乙肝病毒和乙 肝之间是因果关系； 肝之间是因果关系； 因果关系 有的现象之间因果不清，只是伴随关系， 有的现象之间因果不清，只是伴随关系，例如哥哥的身 伴随关系 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。 高和弟弟的身高之间，就不能说有因果关系。 相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的 相关与回归就是用于研究和解释两个变量之间相互关系的。 相互关系
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分析步骤
一、绘制散点图 二、计算 x , y , l xx , l yy , l xy
N=11
∑ X2=89599
∑X=1891 ∑ Y2=22810
∑Y=500 ∑XY=85185
r =
∑ ( X − X )(Y − Y ) ∑ (X − X ) 2 ∑ (Y − Y ) 2
刻画两个随机变量之间线性相关程度称为 线性相关（ 线性相关（linear correlation） ）
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线性相关的类型
X和Y伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 和 伴随同时上升或伴随下降称为线性正相关 (Linear Positive Correlation) X与Y的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 与 的反方向伴随直线变化趋势称为线性负相关 (linear negative correlation） ） X和Y无任何直线伴随变化趋势，则称为零相关 和 无任何直线伴随变化趋势 无任何直线伴随变化趋势， (零线性相关 。 零线性相关) 零线性相关
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名男青年身高与前臂长的测量结果(cm) 表10-1 11名男青年身高与前臂长的测量结果 名男青年身高与前臂长的测量结果
编号 身高（ ） 身高（cm） (X) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 合计 170 173 160 155 173 188 178 183 180 165 166 1891 前臂长（ ） 前臂长（cm） (Y) 47 42 44 41 47 50 47 46 49 43 44 500 7990 7266 7040 6355 8131 9400 8366 8418 8820 7095 3174 86185 28900 29929 25600 24025 29929 35344 31684 33489 32400 27225 28561 326081 2209 1764 1936 1681 2209 2500 2209 2116 2401 1849 2116 22810 XY X2 Y2
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相关系数的特点： 相关系数的特点：
－1 ≤ r ≤ 1 r＞0为正相关 ＞ 为正相关 r＜0为负相关 ＜ 为负相关 r＝0为零相关或无相关 r＝0为零相关或无相关 |r| < 0.4 为低度线性相关； 为低度线性相关； 0.4≤ |r| ＜0.7为中度线性相关； 为中度线性相关； 为中度线性相关 0.7≤|r| ＜1.0为高度线性相关。 为高度线性相关。 线性相关
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★ 正相关
★负相关
★称零相关
★ 完全正相关 ★完全负相关
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线性相关系数
线性相关系数 (linear correlation coeffiecient) ， 简称相关系数。 简称相关系数。或 Pearson相关系数
相关系数是描述两个变量之间线性相关的程度 和相关方向的统计指标。 表示， 和相关方向的统计指标。样本相关系数用 r 表示， 总体相关系数用ρ表示 表示。 总体相关系数用 表示。
∑ XY − = ∑
∑ X .∑ Y n ∑
Y 2 −
X
2
−
(∑ X )2
n
(∑ Y )2
n
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52 50
前 臂 长
46 44 42 40 150 160 170 180 190 48
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(cm)
身高（ 身高（cm)
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相关系数的计算公式
lxx （x 的离均差平方和 ） lyy y 的离均差平方和 ） lxy （x和y的离均差乘积和，简称乘积和） 的离均差乘积和， 和 的离均差乘积和 简称乘积和）
r=
Σ ( X − X )(Y − Y ) Σ ( X − X ) 2 Σ (Y − Y ) 2
男青年身高与前臂长的测量结果(cm)的 图10-1 男青年身高与前臂长的测量结果 的 散点图
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计算结果
86185 − 1891 × 500 / 11 r= (89599 − 18912 / 11)(22810 − 500 2 / 11) = 0.8009
r 的值说明了两个变量 与Y之间关联的密切程 的值说明了两个变量X与 之间关联的密切程 度（绝对值大小）与关联的性质（正负号）。 绝对值大小）与关联的性质（正负号）。
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Regression 释义
210=1024
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小插曲——F.Galton 小插曲
Galton（1822-1911）是一位人类学家，著名生物 （ ）是一位人类学家， 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 学家达尔文的表兄弟，早年学医，曾在剑桥大学念书。 尽管他的数学不是很好， 尽管他的数学不是很好，但在人类学和优生学研究中 萌发的统计学思想，对生物统计的发展产生了深远影 萌发的统计学思想， 双变量正态分布”的概念等。 响，如“回归”、 “双变量正态分布”的概念等。 回归” 他没有子女，但一生写了 部书 发表了近200篇论文。 部书， 篇论文。 他没有子女，但一生写了9部书，发表了近 篇论文 1860年当选英国皇家学会会员，1909年被封为爵士， 年当选英国皇家学会会员， 年被封为爵士， 年当选英国皇家学会会员 年被封为爵士 1910年获得英国皇家学会 年获得英国皇家学会Copley奖。 年获得英国皇家学会 奖
发现：
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儿子身高（ ， 英寸） 与父亲身高（ ， 英寸） 儿子身高 （ Y， 英寸 ） 与父亲身高 （ X， 英寸 ） 存在线性关系： 存在线性关系：
ˆ Y = 33.73+0.516X
即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来 说不是更高， 而是稍矮于其父代水平 ， 而矮个子 说不是更高 ， 而是稍矮于其父代水平， 父代的子代的平均身高不是更矮， 父代的子代的平均身高不是更矮 ， 而是稍高于其 父代水平。 父代水平 。 Galton将这种趋向于种族稳定的现象 将这种趋向于种族稳定的现象 称之“回归” 称之“回归”。
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例：考察身高与体重的伴随关系
体重 散点图
身高
问题：通过散点图可以得出什么结论？ 问题：通过散点图可以得出什么结论？
2011-12-11 13
线性相关的概念
图中不是每个身材较高的对象必有较重的体 但大多数对象的体重Y与其身高 与其身高X的变化呈 重，但大多数对象的体重 与其身高 的变化呈 一种伴随增大或减小的直线变化趋势， 一种伴随增大或减小的直线变化趋势，这种现象 称为直线相关 。
(∑ X ) 2 =∑X2 − n
=
l XY l XX lYY
l XX
lYY
(∑ Y ) 2 = ∑Y 2 − n
l XY
2011-12-11
( ∑ X )( ∑ Y ) = ∑ XY − n
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实例分析
• 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； 健康调查发现男青年身高与他的前臂长有关； 身高与他的前臂长有关 • 于是设想，通过测量男青年的身高，可以预测其 于是设想，通过测量男青年的身高， 前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 前臂长，以便更好对男青年的发育情况进行评价。 因此随机抽取了11名男青年组成样本 名男青年组成样本， 因此随机抽取了 名男青年组成样本，分别测量 每个人的身高和前臂长。见表10-1 每个人的身高和前臂长。见表 • 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 问男青年的身高与前臂长之间的相关系数是多少？ 相关系数是多少 是正相关还是负相关？ 是正相关还是负相关？ • 分析问题：总体-样本、 目的、变量、关系 分析问题： 样本、 目的、变量、
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等于0.8009，说明了 例样本中 上例中的相关系数 r 等于 ，说明了11例样本中 男青年的身高与前臂长之间存在相关关系。但是， 男青年的身高与前臂长之间存在相关关系。但是， 例只是总体中的一个样本 这11例只是总体中的一个样本，由此得到的相关系 例只是总体中的一个样本， 数会存在抽样误差。 数会存在抽样误差。 因为，总体相关系数（ 为零时，由于抽样误差， 因为，总体相关系数（ρ）为零时，由于抽样误差， 从总体抽出的11例 可能不等于零。 从总体抽出的 例，其 r 可能不等于零。 进行假设检验，判断r不等于零是由于 不等于零是由于抽 这就要对 r 进行假设检验，判断 不等于零是由于抽 样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。 样误差所致，还是两个变量之间确实存在相关关系。 两个变量之间确实存在相关关系