如何做好分类讨论题

如何做好分类讨论题
分类讨论题综合性强，难题较大，在历年中考试题中多以压轴题出现，对考生的能力要求较高，具有很强的选拔性，也是满分率比较低的一种题，同学们在做题的时候经常会犯错误，小题经常忘记分类讨论，大题经常讨论不全，讨论全了结果还不一定对。

所以，这种题很容易不小心丢分。

，下面我结合自己多年的学习心得和经验教训谈谈这个问题。

分类讨论思想是一种重要的数学思想之一，通过加强分类讨论思想的训练，有利于提高学生对学习数学的兴趣，培养学生思维的条理性、缜密性、科学性。

分类的方法：（1）概念和性质是分类的依据；（2）按区域（主要是定义域）进行分类是基本方法；（3）不定因素（条件或结论不唯一，数值大小的不确定，图形位置的不确定）是分类的突破口；（4）层次分明是分类讨论的基本要求。

分类的原则：(1)分类中的每一部分是相互独立的；(2)一次分类按所确定的一个标准进行；(3)分类讨论应逐级有序进行。

分类讨论主要有以下几种题型：
题型1.考查数学概念及定义的分类
例题1．已知关于x 的方程2
2(4)(4)0kx k x k +++-= （1）若方程有实数根，求k 的取值范围
（2）若等腰三角形ABC 的边长a=3，另两边b 和c 恰好是这个方程的两个根，求Δ
ABC 的周长.
分析：1、根据方程定义确定方程是一次方程还是二次方程，这一点学生很容易只考虑方程是二次方程的情况；2、根据等腰三角形的定义，第（2）问中并无说明哪两边是ΔABC 的腰，故应考虑其所有可能情况。

解：（1）∵方程有实数根
∴①当k ＝0时，原方程为一元一次方程 ，1
840,2
x x -==
，方程有实数根； ②当0k ≠时，原方程为二元一次方程，∴ 2
4(4)4(4)k k k ∆=+--≥0， 解之得43
-k ≥， ∴4
03
k k -
≠≥且 故k 的取值范围是43
-k ≥. （2）有两种情况：
①若b=c ，则2
4(4)4(4)0k k k ∆=+--=，解得43
k =-， 此时方程的根为b ＝c ＝2，
又∵a ＝3，满足三角形三边关系，∴2237ABC C a b c ∆=++=++= ②若a=b 或a=c ，则92(4)3(4)0k k k ++⨯+-=，
∴54k =-，此时方程另一根为：77
55
c b ==或，满足三角形三边关系， ∴737
3355
ABC C a b c ∆=++=++=。

练习：
1.（2010上海）已知方程01)12(2
2
=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。

2.（2010衡阳）若等腰三角形的两个角度的比是1:2，则这个三角形的顶角为（ ）度。

Ａ 36 Ｂ 60 Ｃ 36或90 Ｄ60或90
3. （2011湘西）若两圆相切，圆心距是7，其中一圆的半径为4，则另一圆的半径为： 。

题型2.考查变量的取值情况和范围的分类
例题2. 如图所示，在平行四边形ABCD 中， 4AD cm =，
∠A ＝60°，BD ⊥AD ，一动点P 从A 出发，以每秒1cm 的速度沿A B C →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM ⊥AD.
（1）当点P 运动2秒时，设直线PM 与AD 相交于点E ，求△APE 的面积；
（2）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B C →→的路线运动，且在AB 上以每秒1cm 的速度匀速运动，在BC 上
以每秒2cm 的速度匀速运动.过Q 作直线QN ，使QN//PM.设点Q 运动的时间为t 秒（0≤t ≤10），直线PM 与QN 截平行四边形ABCD 所得图形的面积为Scm 2.求S 关于t 的函数关系式。

分析：讨论变量t 的取值范围，是解本题的关键，解此类题应十分注意变量的取值须符合题意，逐层分析.
解：（1）当点P 运动2秒时，AP ＝2cm ，由∠A ＝60°，知AE ＝1，PE ∴APE S ∆=
. （2）①（i ）当0≤t ≤6时，点P 与点Q 都在AB 上运动，设PM 与AD 交于点G ，QN 与
AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝
2t ，QF ＝2，AP ＝t+2，AG ＝1+2
t
，PG 2.
∴此时两平行线截平行四边形ABCD 的面积为22
S =
+. （ii ）当6≤t ≤8时，点P 在BC 上运动，点Q 仍在AB 上运动，设PM 与DC 交于点G ，
QN 与AD 交于点F ，则AQ ＝t ，AF ＝
2t ，DF ＝4－2
t
，QF ，BP ＝t －6，
2
p
CP ＝10－t ，PG
＝（10－t
.
而BD ＝ABCD 的面积为2
S =+（iii ）当8≤t ≤10时，点P 和点Q 都在BC 上运动，设PM 与DC 交于点G ，QN 与DC 交于点F ，则
CQ ＝20－2t ，OF ＝（20－
2t ），CP ＝
10－t ，PG ＝（
10－t ∴此时两平行线截平行四边形ABCD
的面积为2
S =
-
. 故S 关于
t 的函数关系式为
22
+t 6)S =-t t 8)8t -t 10)⎪⎪⎪⎨⎪⎩≤≤≤≤≤≤
练习：4. （2011永州）正方形ABCD 的边长为10cm ，一动点P 从点A 出发，以2cm/秒的速度沿正方形的边逆时针匀速运动。

如图，回到A 点停止，求点P 运动t 秒时， P ，D 两点间的距离。

题型3.考查图形的对应关系可能情况的分类
例题3已知抛物线2
2
ax bx c ++y ＝的顶点坐标为（4，－1）与y 轴交于点C （0，3），O 是原点.
（1）求这条抛物线的解析式.
（2）设此抛物线与x 轴的交点A 、B （A 在B 的左边），问在y 轴上是否存在点P ，使以O ，B ，P 为顶点的三角形与ΔAOC 相似？若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由.
分析：解决此类问题，必须对三角形全等或相似的性质烂熟于心，对两三角形的对应角（或边）进行分类讨论，有△BOP ∽△COA 和△BOP ∽△AOC 两种情况。

解：（1）∵抛物线顶点坐标为（4，－1）∴设2
(4)1y a x =--. ∵交y 轴于点C （0，3），∴3＝16a －1，∴1
4
a =
. ∴抛物线的解析式为21(4)14y x =-－，即21
234
y x x+=－.
（2）存在 当y ＝0时，则
21
(4)104
x --=， ∴122, 6.x x ==∴A （2，0），B （6，0）.
设P （0,m ），则OP ＝m . 在△AOC 与△BOP 中， ①若∠OCA ＝∠OBP ，则△BOP ∽△COA ，∴OB OP
OC OA
=
. OP ＝
62
43
⨯=，∴4m =±. ②若∠OCA ＝∠OPB ，则△BOP ∽△AOC ，∴
OP OB
OC OA
=
. 63
92
OP ⨯=
=，∴9m =±. ∴存在符合题意的点P ，其坐标为（0，4）、（0，－4）、（0，9）或（0，－9） 练习：5.（2011湘潭）如图，直线y=3x+3交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A,B 两点的抛物线交x 轴于另一点C （3,0）.
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使三角形ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由。

从以上各例可以看出，分类思想在中考中较为广泛．对于这类试题，在熟练掌握知识概念和性质前提下，正确应用分类思想方法，恰当地选择分类标准，是准确全面求解的根本保
证．
练习答案： 1.
（1） 当02
=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1- （2） 当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：
4
1
-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m ，且02≠m
综（1）（2）得，4
1
-≥m
2 .C
3. 3或11.
4. 解：点P 从A 点出发，分别走到B ，C ，D ，A 所用时间是 秒，
秒，
秒，
秒，即5秒，10秒，15秒，20秒。

∴（1）当0≤t<5时，点P 在线段AB 上，|PD|=|P 1D|= (cm)
（2）当5≤t<10时，点P 在线段BC 上，|PD|=|P 2D|=
（3）当10≤t<15时，点P 在线段CD 上，|PD|=|P 3D|=30-2t （4）当15≤t ≤20时，点P 在线段DA 上，|PD|=|P 4D|=2t-30
综上得：|PD|=
5.（1）易得： 32)3,0()3)(1(2
++-=∴-+=x x y B x x a y 在抛物线上再结合点 （2）依题意得10=AB ，抛物线的对称轴为x=1,设Q(1，y)
1) 以AQ 为底，则有AB=QB,及2
2)3(110-+=y 解得，y=0或y=6,又因为点
（1,6）在直线AB 上(舍去)，所以此时存在一点Q(1,0) 2) 以BQ 为底，同理则有AB=AQ,解的Q(1,6) Q(1,6-) 3) 以AB 为底，同理则有QA=QB,存在点Q(1,1).
综上，共存在四个点分别为：(1,0)、(1,1)、(1,6) 、(1,6-)。