一道非常难的不定积分题目的解法.
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分 /(1 -x)cos2xdx f (1 -x)cos2xdx=/cos2xdx - f xcos2xdx=(1/2) f cos2xd2x -(1/4) f 2xcos2xd2x=(1/2)sin2x- (1/4) f 2xdsin2x=(1/2)sin2x- (1/2)xsin2x (1/4) f sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x Cf (1 -x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：f (1 -x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，f a*bdx哪个放到d后面去(那个先反过来求导)？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如f x A2 cosxdx x A2 是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化f xA2dsinx而不是1/3 f cosxdxA3引例2: f 1/(1 xA4)dx原式=1/2((1 xA2 1-xA2)/1 xA4)=0.5(1 xA2/1 xA4) 0.5(1咲人2/1 xA4)=0.5(1 xA-2/xA-2 xA2)< 就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分，两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到，绝对不是“暴力“积岀来的，一想到你的方法越做越陷入死路，我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分，比不定积分要难一些，因为很多函数是没有初等函数的，方法是拼凑法和化为二元再交换顺序，其中拼凑发很关键，我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1. 凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”岀一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式，另一方面，对于那些不易观察的，则不妨从被积函数中拿岀一个表达式，求其微分，从而决定如何凑微分。
三角代换求不定积分例题
三角代换求不定积分例题在微积分学习中，求不定积分是一个重要的概念，而三角代换是解决一些复杂不定积分的常用方法之一。
本文将通过一个具体的例题来展示如何使用三角代换来求解不定积分。
考虑以下不定积分问题：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} \]首先，我们观察到被积函数中含有平方根，并且其内部是一个二次函数。
这时候我们可以尝试使用三角代换来简化问题。
我们可以令：\[ x = 3\sin\theta \]这样，我们有：\[ dx = 3\cos\theta d\theta \]接下来，我们要将原积分中的 x 用θ 表示出来。
由于我们已经令x = 3sinθ，那么根据三角恒等式，我们可以得到：\[ \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9-9\sin^2\theta} = 3\cos\theta \]将 x 和 dx 用θ 表示后，原不定积分可以转化为：\[ \int \frac{3\cos\theta d\theta}{3\cos\theta} = \intd\theta \]现在，我们已经将原不定积分转化为了一个更简单的形式。
对于不定积分 \(\int d\theta\)，其结果显然是θ 加上一个常数 C，即：\[ \int d\theta = \theta + C \]最后，我们需要将θ 重新转化为 x。
由于我们之前令 x =3sinθ，因此可以得到：\[ \theta = \arcsin\left(\frac{x}{3}\right) \]因此，最终的结果是：\[ \int \frac{dx}{\sqrt{9-x^2}} =\arcsin\left(\frac{x}{3}\right) + C \]通过这个例题，我们展示了如何使用三角代换来求解不定积分。
三角代换是一个常用的积分方法，对于一些包含平方根和二次函数的积分问题非常有效。
希望读者通过这个例题能更加熟悉和掌握三角代换的使用方法，从而更好地应用于实际的积分计算中。
不定积分的例题讲解
三、典型例题解析例1 求下列不定积分．（1）． （2）1)dx ⎰．分析 利用幂函数的积分公式111n n x dx x C n +=++⎰求积分时，应当先将被积函数中幂函数写成负指数幂或分数指数幂的形式． 解 （1）532251252121()3x dx x C x C --+-==+=-++-⎰． （2）35312222231221)(1)353dx x x x dx x x x x C =+--=+--+⎰⎰．例2求2(x dx ⎰． 分析 将被积函数的平方展开，可化为幂函数的和．解12221((2)x dx x x dx x +=++⎰⎰12212x d x x d x d xx=++⎰⎰⎰ 32314ln 33x x x C =+++． 例3 求下列不定积分．（1）2523x x x e dx ⋅-⋅⎰． （2）4223311x x dx x +++⎰．分析 （1）将被积函数拆开，用指数函数的积分公式；（2）分子分母都含有偶数次幂，将其化成一个多项式和一个真分式的和，然后即可用公式．解 （1）22()5()2522332()5()3331ln 3ln 2ln 3x xxxx x xe e e dx dx dx C ⋅⋅⋅-⋅=-=-+--⎰⎰⎰． （2）42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰． 例4 求下列不定积分．（1）24221(1)x x dx x x +++⎰． （2）421x dx x +⎰． （3）221(1)dx x x +⎰． 分析 根据被积函数分子、分母的特点，利用常用的恒等变形，例如：分解因式、直接拆项、“加零”拆项、指数公式和三角公式等等，将被积函数分解成几项之和即可求解．解 （1）242222111(1)(1)1x x dx dx x x x x++=+-++⎰⎰ 22111dx dx dx x x =+-+⎰⎰⎰ 1a r c t a n x x Cx=--+．（2）4422(1)111x x dx dx x x -+=++⎰⎰222(1)(1)11x x dx x-++=+⎰ 221(1)1x dx dx x =-++⎰⎰C x x x ++-=arctan 313． （3）22222211(1)(1)x x dx dx x x x x +-=++⎰⎰ 22111dx dx x x =-+⎰⎰1a r c t a n x C x=--+．例5 求下列不定积分． （1）11cos2dx x +⎰． （2）cos2cos sin xdx x x-⎰．（3）2cot xdx ⎰． （4）22cos2sin cos xdx x x⎰．分析 当被积函数是三角函数时，常利用一些三角恒等式，将其向基本积分公式表中有的形式转化，这就要求读者要牢记基本积分公式表．解 （1）2111tan 1cos22cos 2dx dx x C x x ==++⎰⎰．（2）22cos2cos sin cos sin cos sin x x xdx dx x x x x-=--⎰⎰(cos sin )sin cos x x dx x x C =+=-+⎰．（3）22cot (csc 1)cot xdx x dx x x C =-=--+⎰⎰．（4）222222cos2cos sin sin cos sin cos x x xdx dx x x x x-=⎰⎰2211sin cos dx dx x x=-⎰⎰ 22csc sec xdx xdx =-⎰⎰cot tan x x C =--+．例6 求下列不定积分．（1）99(79)x dx -⎰． （2）12()nx ax b dx +⎰．（0a ≠） （3）232(cos )x dx x ⎰． （4）． （5）1sin(ln )x dx x ⎰． （6）211cos()dx x x⎰．（7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰． （8）．（9）． （10）2．（11）322(arctan )1x x dx x++⎰． 分析 这些积分都没有现成的公式可套用，需要用第一类换元积分法． 解 （1）999910011(79)(79)(79)(79)7700x dx x d x x C -=--=-+⎰⎰． （2）112221()()()2n n x ax b dx ax b d ax b a+=++⎰⎰12()2(1)n n n ax b C a n +=+++． （3）232(cos )x dx x ⎰333211tan 3(cos )3dx x C x ==+⎰．（4）2C ==．（5）1sin(ln )x dx x⎰sin(ln )(ln )cos(ln )x d x x C ==-+⎰．（6）211cos dx x x ⎰111cos ()sin d C x x x=-=-+⎰． （7）2cos sin 6sin 12xdxx x -+⎰2(sin 3)(sin 3)3d x C x -=-+⎰． （8）(tan )arcsin(tan )x x C ==+．（9）12[1(cot )](cot )x d x =-+⎰12cot (cot )cot d x x d x =--⎰⎰ 322cot (cot )3x x C =--+．（10）2231arcsin (arcsin )(arcsin )3xd x x C ==+⎰．（11）322(arctan )1x x dx x ++⎰3222(arctan )11x x dx dx x x =+++⎰⎰ 32221(1)(a r c t a n )(a r c t a n )21d x x d x x+=++⎰⎰ 52212ln(1)(arctan )25x x C =+++．注 用第一类换元积分法（凑微分法）求不定积分，一般并无规律可循，主要依靠经验的积累．而任何一个微分运算公式都可以作为凑微分的运算途径．因此需要牢记基本积分公式，这样凑微分才会有目标．下面给出常见的12种凑微分的积分类型．（1）11()()()(0)n n n n f ax b x dx f ax b d ax b a na-+=++≠⎰⎰； （2）1()()ln x x x x f a a dx f a da a=⎰⎰； （3）(sin )cos (sin )(sin )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx +⎰的积分，（,m n 是自然数）． （4）(cos )sin (cos )(cos )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如21sin cos m n x xdx -⎰的积分，（,m n 是自然数）． （5）2(tan )sec (tan )(tan )f x xdx f x d x =⎰⎰；适用于求形如2tan sec m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）． （6）2(cot )csc (cot )(cot )f x xdx f x d x =-⎰⎰；适用于求形如是2cot csc m n x xdx ⎰的积分，（,m n 是自然数）．（7）1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x=⎰⎰；（8）(arcsin (arcsin )(arcsin )f x f x d x =⎰⎰；（9）(arccos (arccos )(arccos )f x f x d x =-⎰⎰；（10）2(arctan )(arctan )(arctan )1f x dx f x d x x =+⎰⎰；（11）2(cot )(cot )(cot )1f arc x dx f arc x d arc x x =-+⎰⎰；（12）()1(())()()f x dx d f x f x f x '=⎰⎰； 例７ 求下列函数的不定积分：（1）3cos xdx ⎰． （2）4sin xdx ⎰． （3）sin 7cos(3)4x x dx π-⎰． （4）6csc xdx ⎰．（5）34sin cos x xdx ⎰． （6）35sec tan x xdx ⎰．分析 在运用第一类换元法求以三角函数为被积函数的积分时，主要思路就是利用三角恒等式把被积函数化为熟知的积分，通常会用到同角的三角恒等式、倍角、半角公式、积化和差公式等．解 （1）被积函数是奇次幂，从被积函数中分离出cos x ，并与dx 凑成微分(sin )d x ，再利用三角恒等式22sin cos 1x x +=，然后即可积分．322cos cos (sin )(1sin )(sin )xdx xd x x d x ==-⎰⎰⎰2sin sin sin d x xd x =-⎰⎰31sin sin 3x x C =-+．（2）被积函数是偶次幂，基本方法是利用三角恒等式21cos2sin 2xx -=，降低被积函数的幂次．421cos2sin ()2x xdx dx -=⎰⎰311(cos2cos4)828x x dx =-+⎰311sin 2sin 48432x x x C =-++． （3）利用积化和差公式将被积函数化为代数和的形式．1sin7cos(3)[sin(4)sin(10)]4244x x dx x x dx πππ-=++-⎰⎰ 11sin(4)(4)sin(10)(10)8442044x d x x d x ππππ=+++--⎰⎰ 11cos(4)cos(10)84204x x C ππ=-+--+． （4）利用三角恒等式22csc 1cot x x =+及2csc (cot )xdx d x =-．622222csc(csc )csc (1cot )(cot )xdx x xdx x d x ==-+⎰⎰⎰24(12cot cot )cot x x d x =-++⎰3521cot cot cot 35x x x C =---+．（5）因为322sin sin (sin )sin (cos )xdx x xdx xd x ==-，所以3424sincos sin cos (cos )x xdx x xd x =-⎰⎰24(1cos )cos (cos )x xd x =--⎰46cos (cos )cos (cos )xd x xd x =-+⎰⎰5711cos cos 57x x C =-++．（6）由于sec tan (sec )x xdx d x =，所以3524sectan sec tan (sec )x xdx x xd x =⎰⎰222sec (sec 1)(sec )x x d x =-⎰642(sec 2sec sec )(sec )x x x d x =-+⎰ 753121sec sec sec 753x x x C =-++．注 利用上述方法类似可求下列积分3sinxdx ⎰、2cos xdx ⎰、cos3cos2x xdx ⎰、6sec xdx ⎰、25sin cos x xdx ⎰，请读者自行完成．例８ 求下列不定积分： （1）x x dx e e -+⎰． （2）x x dx e e --⎰． （3）11x dx e+⎰． 分析 可充分利用凑微分公式：x x e dx de =；或者换元，令x u e =．解 （1）xx dx e e -+⎰221arctan ()1()1x x xx x e dx de e C e e ===+++⎰⎰． （2）解法1 xxdxe e--⎰221()1()1x x x x e dx de e e ==--⎰⎰, 然后用公式2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰，则 x x dxe e --⎰11ln 21x x e C e -=++．解法2 x xdx e e--⎰21111()()1211xx x x x de de e e e ==---+⎰⎰ 1(1)(1)()211x x x x d e d e e e -+=--+⎰⎰ 11ln 21x x e C e -=++． （3）解法1 11x dx e +⎰1(1)11x x x x xe e e dx dx e e +-==-++⎰⎰ 1(1)1x xdx d e e=-++⎰⎰ ln(1)x x e C =-++．解法2 11xdx e +⎰(1)ln(1)11x x x xx e d e dx e C e e -----+==-=-++++⎰⎰． 解法３ 令x u e =，x du e dx =，则有11x dx e +⎰1111()ln()111udu du C u u u u u=⋅=-=++++⎰⎰ ln()ln(1)1x xxe C e C e -=+=-+++．注 在计算不定积分时，用不同的方法计算的结果形式可能不一样，但本质相同．验证积分结果是否正确，只要对积分的结果求导数，若其导数等于被积函数则积分的结果是正确的．例9 求下列不定积分：（1）ln tan sin cos xdx x x ⎰． （2）． 分析 在这类复杂的不定积分的求解过程中需要逐步凑微分．解 （1）2ln tan ln tan sin cos tan cos x xdx dx x x x x=⎰⎰ ln tan (tan )ln tan (ln tan )tan xd x xd x x==⎰⎰ 21ln (tan )2x C =+． （2）2=22a r c (a n r c t a n )C ==+⎰． 例10 求21arctan1x dx x +⎰．分析 若将积分变形为1arctan (arctan )d x x ⎰，则无法积分，但如果考虑到凑出1x，将被积函数变形为221arctan 111()x x x⋅+，再将21x 与dx 结合凑成1()d x -，则问题即可解决． 解2222111arctan arctan arctan11()1111()1()x x x dx dx d x x x x x =⋅=-+++⎰⎰⎰11arctan (arctan )d x x=-⎰211(arctan )2C x=-+．例11 求21ln (ln )xdx x x +⎰． 分析 仔细观察被积函数的分子与分母的形式，可知(ln )1ln x x x '=+．解 221ln 11(ln )(ln )(ln )ln x dx d x x C x x x x x x+==-+⎰⎰． 例12（04研） 已知()x x f e xe -'=，且(1)0f =，则()_________f x =． 分析 先求()f x '，再求()f x ． 解 令x e t =，即ln x t =，从而ln ()tf t t'=．故 2ln 1()ln (ln )ln 2x f x dx xd x x C x ===+⎰⎰， 由(1)0f =，得0C =，所以21()ln 2f x x =．例13求sin 22sin dxx x+⎰．分析 被积函数为三角函数，可考虑用三角恒等式，也可利用万能公式代换． 解法１ sin 22sin dx x x+⎰3122sin (cos 1)4sin cos 22x d dx x x x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭==+⎰⎰ 22tan 1tan 1122tan 442tan cos tan222x x d x d x x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪⎝⎭⎰⎰ 211tan ln tan 8242x xC =++． 解法2 令cos t x =，则 sin 22sin dxx x +⎰2sin 2sin (cos 1)2sin (1cos )dx xdx x x x x ==++⎰⎰212(1)(1)dt t t=--+⎰21112811(1)dt t t t ⎛⎫=-++ ⎪-++⎝⎭⎰ 12(ln |1|ln |1|)81t t C t =--++++ 111ln(1cos )ln(1cos )884(1cos )x x C x =--++++． 解法３ 令tan 2x t =，则22sin 1t x t =+，221cos 1t x t -=+，221dx dt t =+，则sin 22sin dxx x +⎰21111ln ||484t dt t t C t ⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭⎰ 211tan ln |tan |8242x xC =++．例14求分析 被积函数含有根式，一般先设法去掉根号，这是第二类换元法最常用的手段之一．解t ，即21x t =-，2dx tdt =，则212(1)11t dt dt t t==-++⎰⎰ 22ln 1t t C =-++2ln(1C =+例15求分析 被积函数中有开不同次的根式，为了同时去掉根号，选取根指数的最小公倍数． 解t ，34dx t dt =-，则2414(1)11tdt t dtt t-==--+++⎰⎰214(l n1)2t t t C=--+++ln(1)]C=-++．例16解t=，即3211xt=--，2326(1)tdx dtt=-，则233232164(1)(1)tdtt ttt==⋅-⋅-⎰132313131()2221xdt C Ct t x+==-⋅+=-+-⎰．例17求x⎰．分析2sinx t=消去根式．解2cos(0)2t tπ=<<，2cosdx tdt=，则224sin2cos2cos4sin2x t t tdt t dt=⋅⋅=⋅⎰⎰⎰12(1cos4)2sin42t dt t t C=-=-+⎰222sin cos(12sin)t t t t C=--+212arcsin)22xx C=-+．注1 对于三角代换，在结果化为原积分变量的函数时，常常借助于直角三角形．注2在不定积分计算中，为了简便起见，一般遇到平方根时总取算术根，而省略负平方根情况的讨论．对三角代换，只要把角限制在0到2π，则不论什么三角函数都取正值，避免了正负号的讨论．例18求221(1)dxx+⎰．分析 虽然被积函数中没有根式，但不能分解因式，而且分母中含有平方和，因此可以考虑利用三角代换，将原积分转换为三角函数的积分．解设tanx t=，2secdx tdt=，()2241secx t+=，则222241seccos(1)sectdx dt tdtx t==+⎰⎰⎰111(1c o s 2)s i n 2224t d t t t C =+=++⎰ 21a r c t an 22(1)xx C x =+++． 例19求． 分析故作代换sec x a t =， 将被积函数化成三角有理式．解 令sec x a t =，sec tan dx a t tdt =⋅，则22tan sec tan tan (sec 1)sec a ta t tdt a tdt a t dt a t=⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+arccos )aa C x=-+．例20求．解 由于2248(2)4x x x ++=++，故可设22tan x t +=，22sec dx tdt =，2(2tan 2)2sec 2sec tan 2sec 2sec t t dt t tdt tdt t -⋅==-⎰⎰⎰12s e c 2l n s ec t a n t t t C =-++2ln(2x C ++．()12ln 2C C =+ 注由00a a ><可作适当的三角代换， 使其有理化．例21求．解322[3(1)]dx x =+-⎰，令1x t -，则322321sec 11cos sin 3sec 33[3(1)]dxt dt tdt t C t x ===++-⎰⎰⎰C +． 故C =+．例22 求421(1)dx x x +⎰．分析 当有理函数的分母中的多项式的次数大于分子多项式的次数时，可尝试用倒代换．解 令1x t=，21dx dt t =-，于是421(1)dx x x +⎰44221111t t dt dt t t --+==-++⎰⎰221(1)1t dt dt t =---+⎰⎰31arctan 3t t t C =--+3111arctan 3C x x x=--+． 注 有时无理函数的不定积分当分母次数较高时，也可尝试采用倒代换，请看下例． 例23求． 解 设1x t=，2dtdx t =-，则4t =1222(1)a t t dt =--⎰．当0x >时，12222221(1)(1)2a t d a t a=---⎰ 32222(1)3a t C a -=-+322223()3a x C a x -=-+．当0x <时，有相同的结果．故322223()3a x C a x -=-+．注1 第二类换元法是通过恰当的变换，将原积分化为关于新变量的函数的积分，从而达到化难为易的效果，与第一类换元法的区别在于视新变量为自变量，而不是中间变量．使用第二类换元法的关键是根据被积函数的特点寻找一个适当的变量代换．注2 用第二类换元积分法求不定积分，应注意三个问题： （1）用于代换的表达式在对应的区间内单调可导，且导数不为零． （2）换元后的被积函数的原函数存在． （3）求出原函数后一定要将变量回代．注3 常用的代换有：根式代换、三角代换与倒代换．根式代换和三角代换常用于消去被积函数中的根号，使其有理化，这种代换使用广泛．而倒代换的目的是消去或降低被积函数分母中的因子的幂．注4 常用第二类换元法积分的类型：（1）(,f x dx t ⎰令（2）(,f x dx t =⎰令．（3）(f x dx ⎰，可令sin ax t b=或cos a x t b =．（4）(f x dx ⎰，可令tan a x t b =或ax sht b =．（5）(f x dx ⎰，可令sec a x t b =或ax cht b=．（6240)q pr -<时，利用配方与代换可化为以上（3），（4），（5）三种情形之一．（7）当被积函数分母中含有x 的高次幂时，可用倒代换1x t=．例24 求下列不定积分：（1）3x xe dx -⎰． （2）2sin 4x xdx ⎰． （3）2ln x xdx ⎰．（4）arcsin xdx ⎰． （5）arctan x xdx ⎰． （6）sin ax e bxdx ⎰22(0)a b +≠． 分析 上述积分中的被积函数是反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数、三角函数中的某两类函数的乘积，适合用分部积分法．解 （1）3x xe dx -⎰33333111()33339xx x x x x x xd e e e dx e e C -----=-=-+=--+⎰⎰． （2）2sin 4x xdx ⎰2211(cos4)cos4cos4442x x d x x x xdx =-=-+⎰⎰22111cos4(sin 4)cos4sin 4sin 448488x x x xd x x x x xdx =-+=-+-⎰⎰211cos4sin 4cos44832x x x x x C =-+++．（3）2ln x xdx ⎰3333211ln ()ln ln 33339x x x xd x x x dx x C ==-=-+⎰⎰．（4）解法1 arcsin xdx ⎰arcsin arcsin x x x x C =-=．解法2 令arcsin t x =，即sin x t =，则arcsin (sin )sin sin sin cos xdx td t t t tdt t t t C ==-=++⎰⎰⎰arcsin x x C =+（5）解法1 a r c t a n x x d x ⎰222211arctan arctan 2221x x xdx x dx x==-+⎰⎰ 2211arctan (1)221x x dx x =--+⎰ 21arctan arctan 222x x x x C =-++． 解法221arctan arctan (1)2x xdx xd x =+⎰⎰ 22111arctan arctan 2222x x xx dx x C ++=-=-+⎰．（6）解法1 sin ax e bxdx ⎰11sin ()sin cos ax ax ax bbxd e e bx e bxdx a a a==-⎰⎰21s i n c o s ()a x a xbe b x b x d ea a=-⎰2221sin cos sin ax ax axb b e bx e xbx e bxdx a a a=--⎰ 从而21221(1)sin sin cos ax ax ax b be bxdx e bx e bx C a a a+=-+⎰，则221sin (sin cos )ax axe bxdx e a bx b bx C a b =-++⎰． 解法21sin cos axaxebxdx e d bx b =-⎰⎰，然后用分部积分，余下的解答请读者自行完成．注 在用分部积分法求()f x dx ⎰时关键是将被积表达式()f x dx 适当分成u 和dv 两部分．根据分部积分公式udv uv vdu =-⎰⎰，只有当等式右端的vdu 比左端的udv 更容易积出时才有意义，即选取u 和dv 要注意如下原则：（1）v 要容易求；（2）vdu ⎰要比udv ⎰容易积出．例25 求cos ln(cot )x x dx ⎰．分析 被积函数为三角函数与对数函数的乘积， 可采用分部积分法． 解cos ln(cot )ln(cot )(sin )x x dx x d x =⎰⎰21sin ln(cot )sin (csc )cot x x x x dx x=⋅-⋅⋅-⎰ sin ln(cot )sec x x xdx =⋅+⎰sin ln(cot )ln sec tan x x x x C =+++例26 求ln(x dx +⎰．分析 被积函数可以看成是多项式函数与对数函数的乘积，可采用分部积分法．解1ln(ln((12x dx x x x dx +=-+⎰⎰ln(x x =+-12221ln((1)(1)2x x x d x -=-++⎰ln(x x C =．例27 求x ．分析 可利用凑微分公式x x e dx de =，然后用分部积分；另外考虑到被积函数中含有根式，也可用根式代换．解法1x 2x xd ==⎰2⎡⎤=⎣⎦，令t ，则2ln(1)x t =+，221tdtdx t =+，则 21222(arctan )1t dtt t C t ==-++⎰，故x (2Cz =+2C =．解法2tz =，则x22222ln(1)2ln(1)41t t dt t t dt t =+=+-+⎰⎰ 22ln(1)44arctan t t t t C =+-++2C =．注 求不定积分时，有时往往需要几种方法结合使用，才能得到结果．例28（01研） 求2arctan xxe dx e⎰． 分析 被积函数是指数函数和反三角函数的乘积，可考虑用分部积分法． 解法1 2arctan x xe dx e ⎰222211arctan ()arctan 22(1)x x x x xx x de e d e e e e e --⎡⎤=-=--⎢⎥+⎣⎦⎰⎰ 21arctan arctan 2x x x xe e e e C --⎡⎤=-+++⎣⎦． 解法2 先换元，令x e t =，再用分部积分法，请读者自行完成余下的解答．例29 求3csc xdx ⎰．分析 被积函数含有三角函数的奇次幂，往往可分解成奇次幂和偶次幂的乘积，然后凑微分，再用分部积分法．解32csc csc (csc )csc (cot )xdx x x dx xd x ==-⎰⎰⎰ 2csc cot cot csc x x x xdx =--⋅⎰ 3csc cot csc csc x x xdx xdx =--+⎰⎰ 3csc cot csc ln csc cot x x xdx x x =--+-⎰，从而31csc (csc cot ln csc cot )2xdx x x x x C =---+⎰． 注 用分部积分法求不定积分时，有时会出现与原来相同的积分，即出现循环的情况，这时只需要移项即可得到结果．例30 求下列不定积分：（1）22221(1)x x x e dx x ---⎰． （2）2ln 1(ln )x dx x -⎰． 解 （1）2222222112(1)1(1)xx xx x xdx e dx e dx e x x x --=----⎰⎰⎰ 221()11x x e dx e d x x =+--⎰⎰ 22221111x x x x e e e e dx dx C x x x x =+-=+----⎰⎰．（2）22ln 111(ln )ln (ln )x dx dx dx x x x -=-⎰⎰⎰ 221ln (ln )(ln )x x dx dx x x x x =+-⎰⎰ ln xC x=+． 注 将原积分拆项后，对其中一项分部积分以抵消另一项，或对拆开的两项各自分部积分后以抵消未积出的部分，这也是求不定积分常用的技巧之一．例31 求sin(ln )x dx ⎰．分析 这是适合用分部积分法的积分类型，连续分部积分，直到出现循环为止． 解法1 利用分部积分公式，则有1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰ s i n (l n )c o s (l n x x xd x =-⎰s i n (l n )c o s (l n )s i n (x x xx x d x =--⎰， 所以1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x C =-+⎰． 解法２ 令 ln x t =，t dx e dt =，则sin(ln )x dx ⎰=sin sin sin sin cos sin t t t t t t e tdt e t e tdt e t e t e tdt =-=--⎰⎰⎰，所以11sin(ln )(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t tx dx e t e t C x x x C =-+=-+⎰． 例32 求ln n n I xdx =⎰，其中n 为自然数． 分析 这是适合用分部积分法的积分类型．解 11ln ln ln ln n n n n n n I xdx x x n xdx x x nI --==-=-⎰⎰，即1ln n n n I x x nI -=-为所求递推公式．而1ln ln ln I xdx x x dx x x x C ==-=-+⎰⎰．注1 在反复使用分部积分法的过程中，不要对调u 和v 两个函数的“地位”，否则不仅不会产生循环，反而会一来一往，恢复原状，毫无所得．注2 分部积分法常见的三种作用： （1）逐步化简积分形式； （2）产生循环；（3）建立递推公式．例33 求积分24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰． 分析 计算有理函数的积分可分为两步进行，第一步：用待定系数法或赋值法将有理分式化为部分分式之和；第二步：对各部分分式分别进行积分． 解 用待定系数法将24411(21)(23)(25)x x x x x +--+-化为部分分式之和．设24411(21)(23)(25)212325x x A B Cx x x x x x +-=++-+--+-，用(21)(23)(25)x x x -+-乘上式的两端得24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+， 两端都是二次多项式，它们同次幂的系数相等，即131155311A B C A B C A B C ++=⎧⎪--+=⎨⎪-+-=-⎩， 这是关于A ，B ，C 的线性方程组，解之得12A =，14B =-，34C =．由于用待定系数法求A ，B ，C 的值计算量大，且易出错，下面用赋值法求A ，B ，C ．因为等式24411(23)(25)(21)(25)(21)(23)x x A x x B x x C x x +-=+-+--+-+是恒等式，故可赋予x 为任何值．令 12x =，可得12A =．同样，令32x =-得14B =-，令52x =，得34C =，于是 24411(21)(23)(25)x x dx x x x +--+-⎰111131221423425dx dx dx x x x =-+-+-⎰⎰⎰113ln 21ln 23ln 25488x x x C =--++-+ 231(21)(25)ln 823x x C x --=++． 例34 求321452dx x x x +++⎰．解 32452x x x +++是三次多项式，分解因式32322452()3()2(1)x x x x x x x x +++=+++++ 22(1)(32)(1)(2)x x x x x =+++=++ 设221(1)(2)21(1)A B Cx x x x x =+++++++，即2()(23)(22)1A B x A B C x A B C +++++++=，从而0230221A B A B C A B C +=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩， 解得1A =，1B =-，1C =，因此3221111()45221(1)dx dx x x x x x x -=++++++++⎰⎰ 211121(1)dx dx dx x x x =-++++⎰⎰⎰ 1ln 2ln 11x x C x =+-+-++． 例35 求22(1)(1)dxx x x +++⎰．解 因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以22221()(1)(1)11dx x x dx x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221(1)1(1)1212121d x d x x dxx x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰ 2221()1112ln(1)ln(1)13222()24d x x x x x +=-+++++++⎰2211ln 21x C x x +=-++++．例36 求2425454x x dx x x ++++⎰．解 设24222545414x x Ax B Cx Dx x x x ++++=+++++，则有 23254()()(4)4x x A C x B D x A C x B D ++=+++++++，比较两边同次幂的系数，解得53A =，1B =，53C =-，0D =，从而 24222541535543134x x x xdx dx dx x x x x +++=-++++⎰⎰⎰2222255151ln arctan 3134164x x x dx dx dx x C x x x x +=-+=++++++⎰⎰⎰．例37 求322456x x dx x x +++⎰．分析 322456x x x x +++是假分式，先化为多项式与真分式之和，再将真分式分解成部分分式之和．解 由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498(1)5632x x dx x dx x x x x +=--+++++⎰⎰ 219ln 38ln 22x x x x C =--++++． 例38 求5632x dxx x --⎰． 解 令3u x =，23du x dx =，则533636321()123232x dx x d x udux x x x u u ==------⎰⎰⎰ 1112()3(1)(2)912u du du u u u u ==++-+-⎰⎰332121ln 1ln 2ln (1)(2)999u u C x x C =++-+=+-+． 例39 求2100(1)x dx x -⎰． 分析 被积函数2100(1)x x -是有理真分式，若按有理函数的积分法来处理，那么要确定1A ，2A ，…，100A ，比较麻烦．根据被积函数的特点：分母是x 的一次因式，但幂次较高，而分子是x 的二次幂，可以考虑用下列几种方法求解． 解法1 令1x t -=，dx dt =-，则222100100100(1)21(1)x t t t dx dt dt x t t --+=-=--⎰⎰⎰98991002t dt t dt t dt ---=-+-⎰⎰⎰9798991112979899t t t C ---=-⋅++ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法2 22100100(1)1(1)(1)x x dx dx x x -+=--⎰⎰9910011(1)(1)x dx dx x x +=-+--⎰⎰ 99100(1)21(1)(1)x dx dx x x --=+--⎰⎰ 98991001112(1)(1)(1)dx dx dx x x x =-+---⎰⎰⎰ 979899111(1)(1)(1)974999x x x C ---=---+-+． 解法3 用分部积分法．22991001[(1)](1)99x dx x d x x -=--⎰⎰29999299(1)99(1)x x dx x x =---⎰2989921[(1)]99(1)9998x xd x x -=---⎰ 299989821[]99(1)9998(1)98(1)x x dx x x x =-----⎰ 299989712199(1)9949(1)999897(1)x x C x x x =-⋅-⋅+--⋅-． 注 形如()()P x Q x 的（()P x 与()Q x 均为多项式）有理函数的积分关键是将有理真分式分解成部分分式之和，而部分分式都有具体的积分方法，对于假分式则要化为真分式与多项式之和．例40求．分析 这是无理函数的积分，先要去掉根号化为有理函数的积分，分子分母有理化是常用去根号的方法之一． 解121)=112211(32)(21)44x dx x dx =+--⎰⎰ 332211(32)(21)1212x x C =+--+． 例41求． 解法1a ==+1222221()()2a a x d a x -=---⎰arcsin xa C a=．解法2 令t =余下的请读者自行完成． 例42 求154sin 2dx x+⎰．分析 被积函数是三角有理函数，可用万能公式将它化为有理函数． 解 令tan t x =，211dx dt t=+，则 21154sin 2585dx dt x t t =+++⎰⎰54332543311()3()1d t t =+++⎰ 154arctan()333t C =++154arctan(tan )333x C =++． 注 虽然万能代换公式总能求出积分，但对于具体的三角有理函数的积分不一定是最简便的方法．通常要根据被积函数的特点，采用三角公式简化积分．例43 求1sin cos dxx x++⎰．解法1 令tan2xu =，则 2222211211sin cos 1111dx u du du u u x x u u u +==-+++++++⎰⎰⎰ln 1tan 2x C =++． 解法21s i n c o s dxx x ++⎰22122sin cos 2cos cos (1tan )22222dx dxx x x x x ==++⎰⎰ 2()(tan )22cos (1tan )1tan222x x d d x x x==++⎰⎰ ln 1tan2xC =++． 注 可化为有理函数的积分主要要求熟练掌握如下两类：第一类是三角有理函数的积分，即可用万能代换tan 2xu =将其化为u 的有理函数的积分．第二类是被积函数的分子或分母中带有根式而不易积出的不定积分．对于这类不定积分，可采用适当的变量代换去掉根号，将被积函数化为有理函数的积分．常用的变量代换及适用题型可参考前面介绍过的第二类换元法． 例44 求2max{,1}x dx ⎰．分析 被积函数2max{,1}x 实际上是一个分段连续函数，它的原函数()F x 必定为连续函数，可先分别求出各区间段上的不定积分， 再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系．解 由于221,()max{,1}1,1x x f x x x >⎧==⎨≤⎩， 设()F x 为()f x 的原函数，则312331,13(),11,13x C x F x x C x x x C ⎧+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪+⎩， 其中1C ，2C ，3C 均为常数，由于()F x 连续，所以121(1)(1)13F C F C -+-=-+=-=-，231(1)1(1)3F C F C -+=+==+，于是1223C C =-+，3223C C =+，记 2C C =，则32312,133max{,1},112,133x C x x dx x C x x x C⎧-+⎪<-⎪=+≤⎨⎪>⎪++⎩⎰． 注 对于一些被积函数中含有绝对值符号的不定积分问题，也可以仿照上述方法处理． 例45 求x e dx -⎰．解 当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰． 当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．因为函数x e -的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以120lim()lim()x x x x e C e C +--→→-+=+， 即1211C C -+=+，122C C =+，记 2C C =，则2,0,0xxxe C x e dx x e C --⎧-++≥⎪=⎨<+⎪⎩⎰． 错误解答 当0x ≥时，1xx xe dx e dx e C ---==-+⎰⎰． 当0x <时，2xx x edx e dx e C -==+⎰⎰．故12,0,0x xxe C x e dx e C x --⎧-+≥⎪=⎨+<⎪⎩⎰．错解分析 函数的不定积分中只能含有一个任意常数，这里出现了两个，所以是错误的．事实上，被积函数x e -在(,)-∞+∞上连续，故在(,)-∞+∞上有原函数，且原函数在(,)-∞+∞上每一点可导，从而连续．可据此求出任意常数1C 与2C 的关系，使xe-的不定积分中只含有一个任意常数．注 分段函数的原函数的求法：第一步，判断分段函数是否有原函数．如果分段函数的分界点是函数的第一类间断点， 那么在包含该点的区间内，原函数不存在．如果分界点是函数的连续点，那么在包含该点的区间内原函数存在．第二步，若分段函数有原函数，先求出函数在各分段相应区间内的原函数，再根据原函数连续的要求，确定各段上的积分常数，以及各段上积分常数之间的关系． 例46 求下列不定积分：（1）sin 1cos x x dx x ++⎰． （2）3sin 2cos sin cos x x x x e dx x -⎰． （3）cot 1sin x dx x +⎰． （4）3sin cos dxx x⎰． 解 （1）注意到sin (1cos )xdx d x =-+及2211(tan )1cos 2cos 2xxdx dx d x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin 1cos 1cos 1cos x x x xdx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰1(tan )(1cos )21cos x xd d x x=-++⎰⎰t a n t a n l n (1c o s )22x xx dx x =--+⎰ 1tan2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++ 21t a n 2l n c os l n (2c o s )222x xxx C =+-+1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．（2）被积函数较为复杂，直接凑微分或分部积分都比较困难，不妨将其拆为两项后再观察．3sin sin sin 2cos sin cos tan sec cos xx x x x xedx e x xdx e x xdx x-=-⎰⎰⎰ sin sin ()(sec )x x xd e e d x =-⎰⎰sin sin sin sin sec x x x x xe e dx e x e dx =--+⎰⎰sin (sec )x e x x C =-+．（3）cot cos 1(sin )1sin sin (1sin )sin (1sin )x x dx dx d x x x x x x ==+++⎰⎰⎰11(sin )(sin )sin 1sin d x d x x x =-+⎰⎰ sin ln 1sin x C x=++．（4）当分母是sin cos m n x x 的形式时，常将分子的1改写成22sin cos x x +，然后拆项，使分母中sin x 和cos x 的幂次逐步降低直到可利用基本积分公式为止．33cos sin cos sin cos sin dx dx xdx x x x x x =+⎰⎰⎰3sin 2csc2sin d xxdx x =+⎰⎰21l n c s c 2c o t 22s i n x x Cx=--+． 注 将被积函数拆项，把积分变为几个较简单的积分，是求不定积分常用的技巧之一．例47 求223(1)x dx x -⎰． 解 考虑第二类换元积分法与分部积分法，令sin x t =，则222353235sin tan sec (sec sec )(1)cos x t dx dt t tdt t t dt x t ===--⎰⎰⎰⎰， 而53323secsec (tan )sec tan 3tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰353sec tan 3(sec sec )t t t t dt =--⎰．故53313sec sec tan sec 44tdt t t tdt =+⎰⎰． 又32secsec (tan )sec tan tan sec tdt td t t t t tdt ==-⎰⎰⎰ 3sec tan (sec sec )t t t t dt =--⎰，从而3111sec sec tan ln sec tan 22tdt t t t t C =+++⎰， 所以223(1)x dx x -⎰3311sec tan sec 44t t tdt =-⎰3111sec tan sec tan ln sec tan 488t t t t t t C =--++ 32211ln 8(1)161x x xC x x ++=-+--． 例48 求7cos 3sin 5cos 2sin x xdx x x-+⎰．解 因为(5cos 2sin )2cos 5sin x x x x '+=-，所以可设7cos 3sin (5cos 2sin )(5cos 2sin )x x A x x B x x '-=+++，即7cos 3sin (5cos 2sin )(2cos 5sin )x x A x x B x x -=++-，比较系数得527253A B A B +=⎧⎨-=-⎩， 解之得1A =，1B =，故7cos 3sin 5cos 2sin x x dx x x -+⎰(5cos 2sin )(5cos 2sin )5cos 2sin x x x x dx x x'+++=+⎰ (5cos 2sin )5cos 2sin d x x dx x x+=++⎰⎰l n 5c o s 2s i n x x x C=+++． 例49 设()F x 是()f x 的原函数，且当0x ≥时有2()()sin 2f x F x x ⋅=，又(0)1F =，()0F x ≥，求()f x ．分析 利用原函数的定义，结合已知条件先求出()F x ，然后求其导数即为所求．解 因为()()F x f x '=，所以2()()sin 2F x F x x '=，两边积分得2()()sin2F x F x dx xdx '=⎰⎰，即211()sin 4228x F x x C =-+， 由(0)1F =得12C =，所以()F x =从而()()f x F x '==2=．。
不定积分的典型例题50题答案
例1． 解法1).12)(12(1224+-++=+x x x x x而 +++)12(2x x )1(2)12(22+=+-x x x 所以)121121(21112242dx x x dx x x dx x x ⎰⎰⎰++++-=++ .)]12arctan()12[arctan(211)12()12211)12()12(21)21)22(121)22(1[212222c x x x x d x x d dx x dx x +++-=+++++--=++++-=⎰⎰⎰⎰解法2dxx x x x xx x dx x x ⎰⎰+++-++-=++)12)(12(2)12(1122242.arctan 21)12arctan(211212242c x x dx x xx x dx +++=++++=⎰⎰ 解法3⎰⎰⎰+-=++=++≠22222421)1(11111,0xx x x d dx x x x dx x x x 当 c x x xx x x d +-=+--=⎰21arctan 212)1()1(22,2221arctan 21lim 20π-=-+→x x x ,2221arctan 21lim 20π=--→x x x 由拼接法可有.02221arctan 2100,2221arctan 21112242⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+--=>++-=++⎰x cx x x x c x x dx x x ππ 例2.解 将被积函数化为简单的部分分式(*)1)1(1)1()1(222223⋅⋅⋅⋅⋅++++++=+++x DCx x B x A x x x 两边同乘以2)1(+x ，约去1+x 的因子后令1-→x 得 .211)1(2)1(23=+-+-=B 两边同乘以2)1(+x ，对x 求导，再令1-→x ，施以上运算后，右端得A,而左端为.2.2426)1()2(2)1(3lim]12[lim )1()1()1(2[lim 22322123122231=∴=+=++-+=++=++++-→-→-→A x x x x x x x dx d x x x x dx d x x x 在分解式（*）中令,0=x 得,2D B A ++=所以.21-=D 分解式（*）两边同乘以x ，再令,+∞→x 得.1,1-=⇒+=C C A 故有.arctan 21)1ln(21)1(211ln 2]1)1(1[)1()1(2222223c x x x x dxx DCx x B x A dx x x x +-+-+-+=++++++=+++⎰⎰例3.解 令 ,2x u =再用部分分式，則⎰⎰++=++))(1(21)()1(22244u u u dudx x x x x,11)()1(1222+++++=++u D Cu u B u A u u u 两边乘以,u 再令,0→u 得.1=A 两边乘以,1+u 再令,1-→u 得.21-=B 两边乘以,u 再令,+∞→u 得.21,0-=⇒++=C C B A 令.21,1-=⇒=D u.arctan 41)1()1(ln 81arctan 41)1ln(81)1ln(41ln 21arctan 41)1ln(811ln 41ln 21]12121)1(211[21))(1(21)()1(2422824222222244c x x x x c x x x x c u u u u du u u u u u u u dudx x x x x +-++=+-+-+-=+-+-+-=+--++-=++=++∴⎰⎰⎰ 例4828872882815)1(1181)1()1(dx x x dx x x x dx x x ⎰⎰⎰+-+=⋅+=+)1(])1(111[818288++-+=⎰x d x x .)1(81)1ln(8188c x x ++++= 例5. 解 令 ,2tant x =则=-++⎰dx xx xsin cos 1cos 1 .2)sin 1ln(21arctan )1ln(211ln )1111()1)(1(21212111111222222222c x x ct t t dtt t t dtt t dx t t t t t t t ++--=++++--=+++--=-+=+⋅+-+-++-+⎰⎰⎰ 例6dx x x122+⎰⎰+=22421dx x x.1ln 811)12(81))21(ln(161)21(41)21(21)21()21()21(212222222222222c x x x x x c u u u u du u x d x +++-++=+-+--=-=+-+=⎰⎰分部积分例7.25342)2()1(25232121232c x x x dxx x x dx x x ++-=+-=-⎰⎰-分项例8dx x x dx x ]1111[2111224++-=-⎰⎰ .arctan 2111ln 41c x x x ++-+= 例9．dx x x dx x x ⎰⎰+-+=+1111.134132111c x x x dx xdx x ++-+=+-+=⎰⎰例10．⎰⎰⎰---=-+=+)24(cos )24()2cos(1sin 12x x d x dxx dx πππ.)24tan(c x +--=π 例 11c t t dt x xdx tx +=-=-⎰⎰=arcsin 11212⎪⎩⎪⎨⎧-<+>+-=.1,1arcsin 1,1arcsin x c x x c x 例12．解 .2cos 41)2sin 211(c x x dx x J I ++=-=+⎰dx x x x x x dxxx x x x J I ⎰⎰++-=++-=-222)sin (cos )2sin 211)(sin (cos sin cos )2sin 211)(sin (cos.)12ln(sin 412sin 412sin 12cos )2sin 211(c x x dx x xx +++=++=⎰解上面的联立方程可得出.,J I例13． ).(,)1ln(31)1ln(1111111,)21(332arctan 332.1,1111111332322333233略从而可解出可求出令I c x x dx x x dx x dx x x x x dx x x J I c x J I dx x x J dx x x dx x x dx x x x dx x I ++-+=+-+=+-+-=+-=-+-=++=+-+-=+-+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰例14．)1(12arcsin 12arcsin++=+⎰⎰x d xxdx x x .212arcsin )1(112arcsin1c x xxx dx x x x x ++++=+++=⎰）（分部积分例15．解 令,)21(12,211,12222dt t t t dx t t x t x x x +++=+-=⇒+-=++ .)1212(231212ln 231ln 2])12(23)12(231[2)21(12222222c x x x x x x x x x dt t t t dt t t t t I ++++++++++-+++=+-+-=+++=⎰⎰例16．解 .sin 2cos 5]cos 2sin 5[x x x x +='- 被积函数的分子是x x sin ,cos 的线性组合，故有.1,2,cos )25(sin )25()cos 2sin 5()cos 2sin 5(cos sin 12==⇒-++='-+-=+B A x A B x B A x x B x x A x x 于是.cos 2sin 5ln 2cos 2sin 5)cos 2sin 5()cos 2sin 5(2cos 2sin 5cos sin 12c x x x dx xx x x x x dx x x x x +-+=-'-+-=-+⎰⎰ 例17．解 ⎰⎰⎰-=-+-=+=4cos 13)(cos sin 3sin 2cos 22t dtx x d x xdx t x .cos 2cos 2ln 41]2121[41c xx dt t t ++-=+--=⎰ 例18．⎰⎰+=+x xdxx dx 222cos )2cos 1(cos 21 .3tan arctan 313arctan 313tan 3)(tan 2cos 1)(tan 222c x c t t dtx x d xx d +=+=+=+=+⎰⎰⎰ 例19．.)1ln(18189623266332366c x x x x x dx xx x t x +++-+-=⋅⋅⋅=+-=⎰例20．.15arctan 21515ln153215c x xx x x x dx x xx t x x+-------+-=⋅⋅⋅=---=--⎰例21．.]1ln [arctan 2112sin 22c x x x x x dx tx t +-++=⋅⋅⋅=-+=≤⎰π 例22．,11ln 21211222tan 232c x x x x x dxx tx t +++-+-=⋅⋅⋅=+=<⎰π例23．⋅⋅⋅=+-=⎰t e x x xe e dx232换元后有理函数积分例24．.1arcsin arcsin 2c x x x xdx +-+=⎰分部积分例25．.)(c e dx e e dx exxx e xe xe +==⎰⎰+例26．”）妙用“1(cos sin 1ln cos sin 1)cos sin 1(cos sin 12cos c x x x x x x d x x xdx ++=++=+⎰⎰例27..)13()(2dx e x x e x x x x +++⎰.])[(32])[()()13(])[(23222322c e x x e x x d e x x e x x e x x x x x e ++=++=∴++='+⎰原式例28..11)1(arctan .)1(arctan 2111arctan22x x c x dx x x +-='+-=+⎰例29.=++-=+⎰⎰xb x a x b x a d a b dxx b x a x22222222222222sin cos )sin cos (1sin cos 2sin .2sin )()sin cos (.sin cos 2222222222222x a b x b x a c x b x a ab -='+++-例30.)ln ()ln (1)ln (ln 1)ln (ln 12222x xx d xx x dxxx x x xdx x x x ---=--=--⎰⎰⎰ .ln ln 1c x x xc xx x +-=+-=例31．.1212ln2211)1(22sin 22c xx xx xdxt x +---+-=-+⎰=例32．.111)1(22tan 2323c x x dx x x tx ++++=+=⎰例33．.313222sec 0422c x a x a dx x a x t a x a +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅=-=>⎰例34dt tt t dt t t x dxtx ⎰⎰⎰--=+=-+=22sin 2cos 1cos cos cos 1cos 11.arcsin 112c x x x x ++-+-=例35．.ln 212ln 141)1(2)1()2(72717c x x dt t ttx x dxtx +++-=-⋅+=+⎰⎰=例36．.13)12(2)431(]43)21[()1(2232121232232c xx x t tdt x dxx x dx tx ++++=+-=++=++⎰⎰⎰=+例37．.22)(212)2(2222c e x x dx e x x x e x dx x e x x xx x ++-='+++-=+⎰⎰ 例38．.)2ln(201ln 21)2()2(101010910c x x x x dx x x x dx ++-=+=+⎰⎰ 例39．.1ln 72ln )2()1()1()1(71076777c x x x x dx x x x x dx x ++-=+-=+-⎰⎰ 例40．.)1ln (1)()111(111112c x x nx d x n dx x x x x dx x n n n n n n n n n ++-=+-=+⋅=+⎰⎰⎰-- 例41．.)1(121003dx x x ⎰-+9899111003)1(493)1(1331)1(12----=-+=-⎰x x dx x x u x例51． 求,))((dx x b a x ⎰-- 其中.b a < 解 由配方得2,)2())((22a b R b a x R x b a x -=+--=--其中，令,2b a u x ++=则有原式 .))((4)(2)(2arcsin )(41cos sin 22)2sin 412(22cos 1cos 2222222sin 22c x b a x b a x ab b a x a bc t t R t R c t t R dt t R tdt R du u R t R u +--+-+-+--=++=++=+==-=⎰⎰⎰= 例52．设)(x f 有一个原函数,sin xx 求.)(⎰'dx x f x 解 用分部积分法有 (*))()()()(⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=='⎰⎰⎰dxx f x xf x xdf dx x f x.sin cos ]sin [])([)(sin )(211xx x x c x x dx x f x f c x x dx x f -='+='=⇒+=⎰⎰ 代入（*）有 1sin sin cos )(c x x x x x dx x f x ---='⎰， 即 .sin 2cos )(c x x x dx x f x +-='⎰。
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C ∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx=(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.页脚内容1定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分100道例题及解答
不定积分100道例题及解答不定积分100道例题及解答1. 问题：计算不定积分∫(x^2 + 2x + 1) dx解答：根据不定积分的基本性质，我们可以逐个对各项进行积分。
对于x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) =x^3/3。
对于2x，应用常数倍法则得到的积分结果为 x^2。
对于常数项1，则积分结果是x。
将这三个结果相加，即得到最终的积分结果为x^3/3 + x^2 + x + C，其中C为常数项。
2. 问题：计算不定积分∫(2e^x + 3x^2) dx解答：对于2e^x，应用指数函数的基本积分法则得到 2e^x。
对于3x^2，应用幂函数的基本积分法则得到 x^(2+1)/(2+1) = x^3/3。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 2e^x + x^3/3 + C，其中C为常数项。
3. 问题：计算不定积分∫(sin(x) + cos(x)) dx解答：对于sin(x)，应用三角函数的基本积分法则得到 -cos(x)。
对于cos(x)，同样应用三角函数的基本积分法则得到 sin(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 -cos(x) + sin(x) + C，其中C为常数项。
4. 问题：计算不定积分∫(1/x^2) dx解答：对于1/x^2，可以应用倒数函数的基本积分法则得到 -1/x。
因此，最终的积分结果为 -1/x + C，其中C为常数项。
5. 问题：计算不定积分∫(ln(x) + 1/x) dx解答：对于ln(x)，应用对数函数的基本积分法则得到 xln(x) - x。
对于1/x，同样应用倒数函数的基本积分法则得到 ln(x)。
将这两个结果相加，即得到最终的积分结果为 xln(x) - x + ln(x) + C，其中C为常数项。
6. 问题：计算不定积分∫(e^2x + x^3) dx解答：对于e^2x，应用指数函数的基本积分法则得到(1/2)e^2x。
不定积分
一、不定积分的解题技巧引例：不定积分∫(1-x)cos2xdx∫(1-x)cos2xdx=∫cos2xdx-∫xcos2xdx=(1/2)∫cos2xd2x-(1/4)∫2xcos2xd2x=(1/2)sin2x-(1/4)∫2xdsin2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x (1/4)∫sin2xd2x=(1/2)sin2x-(1/2)xsin2x-(1/4)cos2x C∫(1-x)cos2xdx求导行：1-x -1 0积分行：cos2x 1/2*sin2x -1/4*cos2x所以：∫(1-x)cos2xdx =(1-x)*1/2*sin2x-(-1)*(-1/4*cos2x) C注：分步积分的时候，∫a*bdx哪个放到d后面去（那个先反过来求导）？这里遵循一个原则：对，反，幂，三，指。
越后的先放到d里去如∫x^2 cosxdx x^2是幂函数，cosx是三角函数。
所以，要这样化∫x^2dsinx而不是1/3∫cosxdx^3引例2：∫1/(1 x^4)dx原式＝1/2((1 x^2 1-x^2)/1 x^4)=0.5(1 x^2/1 x^4) 0.5(1-x^2/1 x^4)=0.5(1 x^-2/x^-2 x^2)<就是分子分母同除x的平方>如果是不定积分,两类换元法和拼凑法一般来说结合使用灵活系数比较大不过你要相信考试不定积分形式比较简单方法比较独到,绝对不是“暴力“积出来的,一想到你的方法越做越陷入死路,我想因该要变通.第二,对于有独特的因子你要留意.定积分,比不定积分要难一些,因为很多函数是没有初等函数的,方法是拼凑法和化为二元再交换顺序,其中拼凑发很关键,我们要掌握.例题大家平时做题目就很容易发现方法与技巧一、换元法1.凑微分使用凑微分法的难处在于如何“凑”出一个函数的微分。
对于这个问题一方面要求熟悉一些常见函数的微分形式,另一方面,对于那些不易观察的,则不妨从被积函数中拿出一个表达式,求其微分,从而决定如何凑微分。
不定积分例题(含过程及解析)
例题1dx e x x ⎰+)12( ce e x dxe e x x d e e x de x x x xx x x x+-+=•-+=+-+=+=⎰⎰⎰2)12(2)12()12()12()12( 根据分部积分法⎰⎰-=vdu uv udv ，（2x+1）为u ，e x 为v 。
（确定u 和v 的口诀：对反幂三指；对——对数函数、反——反函数、幂——幂函数、三——三角函数、指——指数函数）2x+1为幂函数，e x 为指数函数。
例题2dx xe x ⎰-ce xe dxe e xe dx e xe xde x x x x x x x++-=•+-=--=-=-------⎰⎰⎰1)(x e -是一个复合函数，其导数应为1-•-x e例题3⎰xdx arctanc x x x xd xx x dx x x x x xxd x x ++-=++-=+-•=-•=⎰⎰⎰)1ln(21arctan 11121arctan 1arctan tan arctan 2222arctanx ’=1/1+x 2，在这里会用到反三角函数的导数公式。
其它的反三角导数是arcsinx ’=211x -、arccosx ’=211x --、arccotx ’=211x +-例题4dx x x ⎰2cos 2sin|cos |ln 2cos cos 12cos sin 2cos cos sin 22x x d xdx xx dx xx x -=-===⎰⎰⎰这里用到二倍角公式，如下：Sin2x=2sinxcosxCos2x=2cos 2x-1=1-sin 2x-1例题5dx x x ⎰++2cos 1sin 12c x x x xdx dx dx x dx xx +-=-=-=-=⎰⎰⎰⎰21tan 21sec 121cos 1cos 2cos 22222 这里除了用到二倍角公式，还会用到sin 、cos 、sec 、csc 间的相互转化，sinx 和cscx 互为倒数、cosx 和secx 互为倒数。
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的题目可以有很多种解法，下面就以一个具体的例子来讲解不定积分的几种解法方法。
例：求不定积分∫(x^2 + 2x + 1)dx。
解法一：基本法则
我们可以使用基本法则求解这个不定积分。
根据积分的线性性质，我们可以将该积分拆分为三个部分：
∫(x^2 + 2x + 1)dx = ∫x^2dx + ∫2xdx + ∫1dx
对于每个部分，我们可以使用基本积分公式进行计算：
∫x^2dx = 1/3*x^3 + C1 （其中C1为常数）
∫2xdx = x^2 + C2 （其中C2为常数）
∫1dx = x + C3 （其中C3为常数）
不定积分的结果为：
∫(x^2 + 2x + 1)dx = x^2 + 2x + 1 + C （其中C为常数）
解法三：分部积分法
分部积分法可以用于求解含有乘积的积分。
公式为∫u*dv = uv - ∫v*du。
对于∫(x^2 + 2x + 1)dx，我们可以选择u = x^2，dv = dx。
则有du = 2xdx，v = x。
对第二个积分∫1*dx，由于∫1*dx = x + C2 （其中C2为常数），所以不需要再做进一步的计算。
以上就是三种不定积分的解法方法。
对于不同的题目，可能有不同的最佳解法，所以灵活应用各种方法是非常重要的。
不定积分(较难)
计算题：⒈求dx xx ⎰cos tan⒉求⎰+xdx sin 1⒊求⎰++1)12(22x x dx⒋求dx xx x ⎰34sin2cos⒌求⎰+dx x x x )1(arctan 22⒍求⎰+xx dxsin 2)2sin(⒎dx x xex⎰+232arctan )1(⒏⎰dx xx cos sin13⒐⎰-.)1(ln 2dx x x⒑dx xx x ⎰+++221)1ln(⒒⎰+dx x ex x 22)2(⒓⎰++dx xe x x x)1(1计算题解答：⒈解：原式=()C xx d x dx xx x +=-=⎰⎰-cos 2cos cos cos cos sin 23⒉解：原式=⎰⎰⎰⎰+=-=+--xx d xdx dx xx dx x x x 222coscos seccossin 1)sin 1)(sin 1(sin 1=C x x +-sec tan⒊解：令tdt dx t t x 2sec ,22,tan =<<-=ππ原式=⎰⎰⎰+=+⋅=++tt tdtt t dtdt tt t222222cos sin2cos )1tan2(cos tan 1)1tan 2(sec=⎰+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=+C x xC t t t d 221arctan )arctan(sin sin1sin ⒋解法一：原式=⎰⎰=dx x x x dx x x x x 2sin2cos812cos2sin22cos33334=⎰⎰⎰+-=-=-dx x x x x xd x d x x 2cot812cot812cot812cot 2cot 41222=⎰⎰+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-22csc41812cot 8112csc 812cot812222x dx x x x dx xx x=C x x x +--cot 412cot812⒋解法二：原式=⎰⎰⎰---==2sin812sin2sin412sin2cos 81233x xd x d x x dx x x x=C x x x dx x x x +--=+-⎰-2cot412csc812sin1812sin81222⒌解；原式=⎰⎰⎰+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-dx xx dx xx xdx x x22221arctan arctan arctan 111=⎰⎰⎰-++-=--22)(arctan 21)1(arctan arctan arctan 1arctan x xx dxxxx xd xxd=222)(arctan 2111121arctan x dx x x xx-⎪⎭⎫⎝⎛+-+-⎰=C x xxxx+-++-222)(arctan 211ln21arctan⒍解法一：原式=⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+2cos2tan 2tan 412cos2sin 241)1(cos sin 223x x x d x x x d x x dx=⎰++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+C x x x d x x2tanln 412tan812tan 2tan 2tan141226.解法二：原式=⎰⎰⎰+--=+-=+22)1)(1(21cos )cos 1)(cos1(2sin )1(cos sin 2u u duu x x x xdxx x dx=C x x x C u u u +⎪⎭⎫⎝⎛+++--=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++--cos 12)cos 1ln()cos 1ln(81121ln 1ln 81 ⒍解法三：令212sin ,2tantt x x t +==则 则,12,arctan 2,11cos 222dt tdx t x tt x +==+-=原式=C x x dt t t ++=⎪⎭⎫⎝⎛+⎰2tan 812tan ln 411412⒍解法四：原式=⎰⎰⎰+=+xdx xx dx x x x x sin412cos2sin812cos2sin82cos 2sin3322=C x x x +-+cot csc ln 412sec812⒎解法一：设则,tan t x =C t t e tdt e tdt t te dx xtttxxe+-==+=+⎰⎰⎰)cos (sin 21sin sec )tan1(tan )1(222arctan 2323C x e x C xxx exx++-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=2arctan22arctan 12)1(11121⒎解法二：原式=⎰⎰⎰+-+=+-+=+2arctan 2arctan 2arctan 2arctan arctan 211)1(1123xexxedx xexxedexx xxxxx=dx xxexex xexxx⎰+-+-+23)1(112arctan 2arctan 2arctanC xex x++-=2arctan 12)1(移项得原式⒏解：原式⎰+=dx xx xx cos sin cossin322⎰⎰+=dx xxxx dx 3sincos cos sinxdx xxdx xx2sin21sincos cossin -+=⎰⎰c xx x +-+-=2sin21sin ln cos ln⒐解：⎰⎰⎰+---=⋅---=-dx xxxx dx xxxx dx x x )111(1ln 1111ln )1(ln 2C xx xx +++-=|1|ln1ln⒑解：Cx x x x d x x xdx x x dx x x x +++=++++=+++=+++⎰⎰⎰232222222))1(ln(32)1ln()1ln(1)1ln(1)1ln(⒒解：原式⎰+-=212x de x x()dx xee xx x ex xx x221222++++-=⎰⎰++-=dx xe x ex xx22⎰-++-=dx e xex ex xxx22c e xex ex xxx+-++-=22⒓原式⎰++=dx xe xe x e x x x)1()1(⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-=xxx dxe xe xe111c xexexx ++=1ln。
不定积分的例题分析及解法
不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。
对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ϕ=,而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将⎰υud 转化成⎰du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。
对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。
应该指出的是：积分运算比起微分运算来,不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来"的,就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示,例如dx x x ⎰sin ；dx e x ⎰-2；dx x ⎰ln 1；⎰-x k dx 22sin 1（其中10<<k ）等。
这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。
一、疑难分析（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明（1）原函数与不定积分是两个不同的概念,它们之间有着密切的联系.对于定义在某区间上的函数)(x f ，若存在函数)(x F ，使得该区间上每一点x 处都有)()(x f x F ='，则称)(x F 是)(x f 在该区间上的原函数，而表达式C C x F ()(+为任意常数)称为)(x f 的不定积分。
（2）)(x f 的原函数若存在，则原函数有无限多个,但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求)(x f 的不定积分⎰dx x f )(时，只需求出)(x f 的一个原函数)(x F ，再加上一个任意常数C 即可，即⎰+=C x F dx x f )()(。
（3）原函数)(x F 与不定积分⎰dx x f )(是个体与全体的关系，)(x F 只是)(x f 的某个原函数,而⎰dx x f )(是)(x f 的全部原函数,因此一个原函数只有加上任意常数C 后，即C x F +)(才能成为)(x f 的不定积分，例如3,21,1222-++x x x 都是x 2的原函数，但都不是x 2的不定积分，只有C x +2才是x 2的不定积分（其中C 是任意常数）。
不定积分部分难题解答
主讲 周世国第五章 不定积分第一节 不定积分的概念一.原函数的概念1.定义1.如果在区间I 内，可导函数()x F 的导函数为()x f ，即当I x ∈时，()()F x f x '=或()()dx x f x dF =，则称函数()x F 为()x f （或()dx x f ）（在区间I 内）的一个原函数.比如：()l n l n x x x x '-=，则x x x -ln 就是x ln 的一个原函数.其实，()ln ln x x x c x -+=，因此x ln 的原函数有无数多个.注意：（1）原函数的存在：如果()x f 在区间I 上连续，则()x f 必有原函数； （2）原函数的个数：如果()x f 有一个原函数，则()x f 的原函数必有无数多个；（3）()x f 的任何两个原函数之间只相差一个常数. （4）()x f 的全体原函数可表示为()x F +C.2.定义2.（不定积分的定义）()x f 的全体原函数称为()x f 的不定积分，记为()()C x F dx x f +=⎰.其中记号“⎰”称为积分号；()x f 称为被积函数，()dx x f 称被积表达试；x 称为积分变量.举例：22;xdx x C =+⎰ C x x d x +=s i n c o s. 3.提问：（1）()()()f x dx f x '=⎰； （2）()()()dx x f dx x f d =⎰；（3）()()F x dx F x C '=+⎰； （3） ()()C x F x dF +=⎰；（4） C x x d +=⎰ln ln . 4.不定积分的集合意义：根据()()C x F dx x f +=⎰，说明不定积分的几何意义是一族曲线，在相同的横坐标处的切线平行，()x F y =称为积分曲线.二.基本积分表（1） ⎰=C dx 0； （2）212xdx x C =+⎰； （3） ⎰+=C x dx ； （4）⎰+=C kx kdx ；（5） 111(0,1)x dx x C μμμμ+=++≠-⎰； （6）⎰+=C x dx x||ln 1； （7）21arctan 1dx x C x =++⎰ （8）arcsin x C =+C x +-=a r c t a n ； C x +-=a r c c o s ；（9）ln xxa a dx C a=+⎰； （10）x x e dx e C =+⎰； （11）⎰+-=C x xdx cos sin ； （12）⎰+=C x xdx sin cos ； （13）2sec tan xdx x C =+⎰； （14）2csc tan xdx c x C =-+⎰； （15）⎰+=C x xdx x sec tan .sec ； （16）⎰+-=C x xdx c x csc tan .csc ； （17）⎰+=C chx shxdx ； （18）⎰+=C shx chxdx . 例1.求4133433dx x dx xC x--===-+⎰⎰；例2.求()()222.ln 2xxx x e e dx e dx C e==+⎰⎰第五章不定积分第二节 不定积分的性质及其应用 一.定理1.()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±；()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=.（其中k 为任意常数）推论：()()()()1212.k f x k g x dx k f x dx k g x dx +=+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰（其中12,k k 为任意常数）有了定理1及基本积分表，我们就可以计算较简单的函数的积分，这种方法称做直接积分法. 二.举例.例1．求()4432222111arctan .1113x x dx x dx dx x dx x x c x x x -+==-+=-+++++⎰⎰⎰⎰ 例2．求21cos 11sin cos sin .22222x x x dx dx dx xdx x c -==-=-+⎰⎰⎰⎰ 例3．求222244csc 4tan .sin sin cos 22dx dxxdx c x c x x x ===-+⎰⎰⎰例4．已知某个函数的导数是x x cos sin +，又知当2π=x 时，这函数值为2，求此函数.解：因为().sin cos cos sin c x x dx x x ++-=+⎰，所以，可设().sin cos c x x x f ++-=又因为1212=⇒=+=⎪⎭⎫⎝⎛c c f π.所以，().1sin cos ++-=x x x f例5．设()21.(0)f x x x'=>，求()x f .解： ()()20)f x f x x ''==>，()12(0).fx d x x d x c x -===+>⎰ 例6．下列写法是否有误，为什么？()1 l n .x x e dx e c =+⎰（c 为任意正常数） ()2 321(0).3x x d x c c=+≠⎰ ()3a r c s i n a r c c o s .x c x c =+=-+ ()4 22111sin cos sin cos cos 2.224x xdx x c x c x c =+=-+=-+⎰本章难题解答：1．（P173-175）根据提示，请你接着把题做到底： （1）()dx xx ⎰--121； （2）()dx xx ⎰+311；（3）dx x x⎰-+11； （4）dx x x ⎰+-5412； （5）dx x x ⎰-+245； （6）dx xx ⎰-4412；（7）()dx xa⎰+2221；解：（1）令x t -=1，则.2,12tdt dx t x -=-=().1arctan 2arctan 21121212c x c t dt tdx xx +--=+-=+-=--⎰⎰（2）()26266arctan 6.1t x t dt t t c c t ==-+=++⎰（3） 令x x t -+=11，则().14,112222dt t tdx t t x +=+-= ()dt t t dx x x ⎰⎰+=-+2221411 ① 再令u t tan =，则.sec 2udu dt =()⎰⎰⎰⎰==+=-+udu du u u dt t t dx x x 222222sin 4sec tan 41411 ()c u u u c u u du u +-=+-=-=⎰cos .sin 222sin 22cos 12c ttt t +++-=2211.12a r c t a n 2c t t t ++-=2112arctan 2().11111arctan 2c xxx x x +-+---+= 另解：dx xx⎰-+11()()()()dx x x x x ⎰+-++=1111dx xx ⎰-+=211+-=⎰dx x211dx xx ⎰-21()2211121s i n xd x x a c c ---=⎰ .1sin 2c x x acc +--= （4）dx x x ⎰+-5412()()()().122ln 212122c x x x d x +⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-=-+-=⎰（5）dx x x ⎰-+245()()22322---=⎰x d x ()().32a r c s i n 232232222c x x x +-+---=（6）dx xx ⎰-4412()()121121212---=⎰x d x()().11212ln 212c x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=（7）令t a x tan =，则.sec 2tdt a dx =()⎰⎰⎰==+tdt adt t a dx x a2323222cos 1sec 111()c t t a t a c t t a dt t a ++=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=⎰cos .sin 21212sin 21212cos 1213333.21arctan 212223c x a x a a x a +++=2．（P180第2题）求下面的原函数：（1）dx e x x ⎰23； （2）dx x x ⎰3cos ； （3）dx x x ⎰2tan ； （4）dx x ⎰+)1ln(2； （5）()dx x ⎰2arcsin ； （6）()dx x ⎰ln cos ；（7）dx e e x x ⎰arctan ； （8）dx x x x ⎰+arctan 122； （9）()dx x ex221tan ⎰+； （10）dx x e x ⎰22cos ；c x a ax a x a a x a ++++=222233.21arctan 21（11）dx e x ⎰； （12）dx xxx ⎰-+11ln 。
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法不定积分是微积分的一个重要分支，它的基本思想是通过对函数的求导来求出原函数。
不定积分的求解方法有很多种，本文将介绍几种不同的方法。
一、换元法例题：求解 $\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx$解析：设 $u=1+x^3$，则 $du=3x^2dx$，有：$$\begin{aligned}\int \frac{x^2}{\sqrt{1+x^3}}dx &=\frac{1}{3}\int \frac{1}{\sqrt{u}}du \\&=\frac{2}{3}\sqrt{u}+C \\&=\frac{2}{3}\sqrt{1+x^3}+C\end{aligned}$$其中 $C$ 为常数。
二、分部积分法设 $u=x$，$dv=\cos{x}dx$，则 $du=dx$，$v=\sin{x}$，有：三、凑微分法凑微分法是不定积分中常用的一种方法，其基本思想是通过对原函数进行代数变形，将原函数凑成某种已知函数的微分形式，从而求出原函数。
设 $u=(1+x^2)^\frac{1}{2}$，则 $du=\frac{x}{(1+x^2)^\frac{1}{2}}dx$，有：四、有理函数分解法有理函数分解法是不定积分中的一种常用方法。
它的基本思想是将原函数转化为真分式的形式，然后将真分式分解为若干个部分，每个部分都可以进行简单的积分。
将分母 $x^2+x-6$ 分解为 $(x+3)(x-2)$，有：其中 $A=-\frac{2}{5}$，$B=\frac{3}{5}$，$C$ 为常数。
综上所述，不定积分有多种解法。
对于不同的函数，应选择适合的方法进行求解，以求得正确答案。
不定积分例题与答案解析
第4章不定积分课后习题全解习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习一一求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分!★⑴dxx x1 5思路:被积函数2一x 2，由积分表中的公式（2）可解。
x 一xdx 5 2 3解：= x 2dx x 2Cx x r 3★(2)(3 x 1= )dx思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
★(3) (2x x 2)dx★(4) 、.x(x 3)dx3x 4 3x 2 12 dx x 1分别积分。
2★★(6) — dx1 x分别积分。
注：容易看出⑸(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式, 通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
1 1 解：(3x =)dx(x 3仮1 1 1x 2 )dx x 3dx x 2dx思路:根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项，分别积分。
解：(2x x 2)dx2xdxx 2dx — 1x 3Cln2 3思路:根据不定积分的线性性质, 将被积函数分为两项，分别积分。
3解：.x(x 3)dxx 2dx 1x 2dx★★(5) 思路:观察到 3x 4 3x 2 1 x 213x 2后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项,13x 21dx3x 2dx3—dx x arcta n x C x思路:注意到2x 1 x 2—，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项,x2x 解：一 1 —dxx—dx xarctan x C.★(7)(2--+4-4)x2 x x x思路:分项积分。
思路:裂项分项积分。
★★(12) 3x e x dx思路:初中数学中有同底数幕的乘法：指数不变，底数相乘。
显然 3x e x (3e )解：3x e x dx(3e )dx 畧 C .In(3e)解:(x-1 + x 3~- x4、 4 )dx x 1 23 2x ln |x| x421 1—xdx -dx 2 x4 3 -x 3 C. 3解：」2.r =2)dx xdx 2dx 3arctan x 2x2arcsin x C.----------------- . 1 1 1思路：X , X . x ?看到 x x xx 2 4 8 7x 8，直接积分。
x乘e的2x次方的不定积分
x乘e的2x次方的不定积分X乘e的2x次方的不定积分数学是一门充满着神奇的学科，如此多元的形式和极致的美感，让它成为无数人梦寐以求的学科。
在这个广袤的数学宇宙中，有一道题目备受关注：x乘e的2x次方的不定积分，这一道题虽然表面上看起来十分复杂，但具体来讲它依然是根据不同类别的积分划分而成的，今天我们就来探讨一下这一道名为x乘e的2x次方的不定积分的奥妙。
1.凑微分法对于x乘e的2x次方的不定积分，我们可以采用凑微分法来解决。
在这一方法中，我们可以将函数拆分为两个部分：x和e的2x次幂。
然后，我们可以尝试将其中的一个部分转化为表格中的形式。
例如，对于e的2x次方，我们可以将它乘以e的负2次幂，从而获得新的积分式。
然后，我们就可以将整个积分转化为一个可以使用表格破解的形式。
2.分部积分法除了凑微分法，我们还可以使用分部积分法来解决这个问题。
分部积分法的基本思路是，将原始积分表达式拆分成两个乘积，然后使用分部积分方法求解。
例如，我们可以将函数拆分为x和e的2x次幂，然后使用分部积分法求解。
通过使用分部积分，我们可以将原始积分转化为其他形式的积分，这些积分比原始积分更容易求解。
3.初始值问题对于不定积分，我们可以将它们转化为初始值问题来求解。
在这种方法中，我们首先需要找到函数的导数，并将它们反转。
然后，我们可以使用初始值来计算积分的值。
这种方法也被称为牛顿-莱布尼茨公式。
通过使用这种方法，我们可以将原始积分转化为一个初始值问题，然后使用特定的技术来求解。
从以上的分析中，我们可以看出，解决x乘e的2x次方的不定积分仍然是有具体方法和技巧的。
无论是使用凑微分法，分部积分法，还是初始值问题，我们需要具体思考和分析出最适合我们所掌握的方法。
总的来说，数学是一门严谨的学科，对于每一个问题都有唯一的解法，整个数学体系的各个分支相互关联，构成一个完美而美丽的空间。
解决数学问题需要我们不断地深入学习和思考，并在实践中积累经验。
一道不定积分的几种解法
一道不定积分的几种解法假设有如下不定积分：∫(lnx)/x^2 dx这是一个比较难的不定积分，因为一般来说，我们求不定积分的时候，首先寻找的是能够对原式进行分部积分或换元积分的格式。
但是上面的式子不太容易找到这样的格式。
因此，下面将介绍几种不同的方法来求解这个不定积分。
一、逐步分解法对于这种比较难的不定积分，我们可以采用逐步分解法来实现分部积分。
具体做法如下：· 首先，我们对分子分母各做一下化简：· 然后，我们令 u = ln(x)，dv = x^-2 dx，这样我们就可以进行分部积分了。
= ∫ u dv= u * ( -x^-1 ) - ∫ v du= -ln(x)/x + 1/x + C其中，C是常数项。
这个方法的优点在于它比较简单易懂，容易理解。
缺点在于它需要进行一系列的化简运算，比较繁琐。
二、换元积分法另一种求解不定积分的方法是换元积分法。
具体做法如下：· 将原式拆分为两部分：· 令 u = ln(x)，然后对原式进行换元：三、导数除法法f'(x) = 1/x· 然后，我们将函数的导数写出来，按照一定的运算规则，得到：f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)· 最后，我们对式子进行不定积分，即可得到：这个方法的优点在于它比较巧妙，利用了函数的导数的性质。
缺点在于需要具备一定的导数运算能力和概念。
以上三种方法都可以用来求解不定积分，各有优缺点，需要根据具体情况选择合适的方法。
总的来说，在处理难题时，逐步分解法和导数除法法比较适用；在处理简单的题目时，换元积分法比较简便明了。
x除以根号1+x的平方的不定积分的解法
题目：x除以根号1+x的平方的不定积分的解法一、概述在高等数学的学习中，不定积分是一个重要的概念，而解决复杂的不定积分问题也是学习过程中的重点之一。
本文将讨论如何解决x除以根号1+x的平方的不定积分，为读者提供一种清晰、简洁的解决思路。
二、问题分析要求解x除以根号1+x的平方的不定积分，首先需要对被积函数进行分解与化简。
由于被积函数较为复杂，我们可以通过一系列的代换和化简步骤，将其转化为更容易处理的形式，然后再求解不定积分。
三、解题步骤接下来，我们将通过一系列的步骤来求解x除以根号1+x的平方的不定积分。
1. 引入代换变量令u = 1 + x，那么x = u - 1。
此时，被积函数变为(u-1)/√u^2。
这样的代换将使被积函数的形式变得更加简单。
2. 化简被积函数将x用u表示后，被积函数变为(u-1)/√u^2。
这是一个比较简单的形式，我们可以进一步化简被积函数。
3. 分离变量将被积函数(u-1)/√u^2进行分离，可以得到∫((u/√u^2)-(1/√u^2))du。
这样做将进一步简化被积函数，为后续的计算做好准备。
4. 求解不定积分对分离后的两个小函数分别求不定积分，得到∫(u/√u^2)du 和∫(1/√u^2)du。
分别对这两个不定积分进行计算，得到最终的结果。
四、求解过程接下来，我们将一步步进行求解x除以根号1+x的平方的不定积分。
1. 对∫((u/√u^2)-(1/√u^2))du进行不定积分首先考虑∫(u/√u^2)du。
由于∫(u/√u^2)du = ∫(1/√u)du = 2√u + C，其中C为积分常数。
接着考虑∫(1/√u^2)du。
由于∫(1/√u^2)du =∫u^(-1/2)du = 2√u + C，根据积分的线性性质，得到∫((u/√u^2)-(1/√u^2))du = 2√u - 2√u + C = C。
2. 对u进行代换现在我们需要将得到的积分结果中的u重新代回x，即得到∫(x/√(1+x)^2)dx的结果。
一道非常难的不定积分题目的解法.
求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分解题思路:反复运用换元,将arcsinx 换成sinx的形式,将arccox 换成cosx的形式,最终简化题目的难度!解题过程:第一步换元:将arccosx=t (xε[0,1],tε[0,π/2],从而得出cost=x.将∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost d(cost。
接下来怎么解呢?先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx 从而简化题目的难度!那么你是否会产生一个想法,上面那条题目是否可以转化呢!于是∫t* arcsin(cost* d(cost= ∫td(arcsin(costcost+sint= t(arcsin(costcost+sint- ∫(arcsin(costcost+sintdt 从而求∫arcsin(costcost dt第二步换元:将arcsin(cost=p ,从而sinp=cost,t=arccos(sinp.最终∫arcsin(costcost dt=∫psinp d(arccos(sinp= ∫p sinp *(-1/√1-(sinp^2*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cospdp=pcosp-sinp+c第三步:总结出答案,表示成x的形式。
∫arcsin(costcost dt= arcsin(cost(√1-cos^t-cost+c∫(arcsin(costcost+sintdt= arcsin(cost(√1-cos^t-cost-cost+c= arcsin(cost(√1-cos^t-2cost+c∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2-2x+c这条题目很难,但是换元转化的思想很重要!!! 淮师3/25/2010。
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求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分
解题思路:反复运用换元,将arcsinx 换成sinx的形式,将arccox 换成cosx的形式,最终简化题目的难度!
解题过程:第一步换元:将arccosx=t (xε[0,1],tε[0,π/2],从而得出cost=x.将
∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost d(cost。
接下来怎么解呢?
先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx 从而简化题目的难度!那么你是否会产生一个想法,上面那条题目是否可以转化呢!
于是∫t* arcsin(cost* d(cost= ∫
td(arcsin(costcost+sint= t(arcsin(costcost+sint- ∫(arcsin(costcost+sintdt 从而求∫
arcsin(costcost dt
第二步换元:将arcsin(cost=p ,从而
sinp=cost,t=arccos(sinp.最终∫arcsin(costcost dt=∫psinp d(arccos(sinp= ∫p sinp *(-1/√
1-(sinp^2*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp
dp=pcosp-sinp+c
第三步:总结出答案,表示成x的形式。
∫arcsin(costcost dt= arcsin(cost(√
1-cos^t-cost+c
∫(arcsin(costcost+sintdt= arcsin(cost(√
1-cos^t-cost-cost+c= arcsin(cost(√
1-cos^t-2cost+c
∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2-2x+c
这条题目很难,但是换元转化的思想很重要!!! 淮师
3/25/2010。