一道非常难的不定积分题目的解法.

求∫arcsinx * arccosx dx的不定积分

解题思路:反复运用换元,将arcsinx 换成sinx的形式,将arccox 换成cosx的形式,最终简化题目的难度!

解题过程:第一步换元:将arccosx=t (xε[0,1],tε[0,π/2],从而得出cost=x.将

∫arcsinxarccosx dx换成∫t arcsin(cost d(cost。接下来怎么解呢?

先看看∫arcsinx dx=arcsinx *x- ∫xd(arcsinx 从而简化题目的难度!那么你是否会产生一个想法,上面那条题目是否可以转化呢!

于是∫t* arcsin(cost* d(cost= ∫

td(arcsin(costcost+sint= t(arcsin(costcost+sint- ∫(arcsin(costcost+sintdt 从而求∫

arcsin(costcost dt

第二步换元:将arcsin(cost=p ,从而

sinp=cost,t=arccos(sinp.最终∫arcsin(costcost dt=∫psinp d(arccos(sinp= ∫p sinp *(-1/√

1-(sinp^2*cosp dp=∫p sinp*(-1/cosp*cosp dp=-∫psinp dp=∫p dcosp=pcosp-∫cosp

dp=pcosp-sinp+c

第三步:总结出答案,表示成x的形式。

∫arcsin(costcost dt= arcsin(cost(√

1-cos^t-cost+c

∫(arcsin(costcost+sintdt= arcsin(cost(√

1-cos^t-cost-cost+c= arcsin(cost(√

1-cos^t-2cost+c

∫arcsinxarccosx dx=arcsinx(√1-x^2-2x+c

这条题目很难,但是换元转化的思想很重要!!! 淮师

3/25/2010