第一章 网络图论
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4 4 3 2 1 (a) 1 (b) (c) 6 2 3
①
2 4
④
5 3 6
③
②
1
5
①
4
5 3 6 (d)
支路集合{1,2,4}、{1,3,4,6}是割集； 支路集合{2,3,5}、 {3,4,5,6}不是割集。
2 1 3 4 6 7 9
8 10
5 11 在图示网络的图中，问下列支路集合哪些是割集？哪些不是 割集？为什么？(1)1、3、5；(2)2、3、4、7、8；(3)4、5、 6；(4)6；(5)4、7、9；(6)1、3、4、7。
2 树(tree)
1)包含全部节点; 2)不形成回路； 3)连通子图;
树支数:
①
④
4 3 6 5
③
2
②
1
bt n 1
连支数:
bl b (n 1)
图1-2 连通图及其部分树
3 割集(cut-set)
1) 是连通图的一个支路集合； 2)若移去此集合中全部支路， 则图变成两个分离的部分； 3) 若少移去该集合中的任一支 路，则剩下的图仍是连通的
环球旅行问题的答案
平面图与非平面图
国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块之间都 要有边界。儿子又提出在自己分到的领土上都要修一个王 宫，并且各王宫之间都要有路直接相通而不能交叉。能否 解决？
用点表示王宫，用线表示王 宫间的道路，便抽象成图。 问题变成该图是否为平面图？
四色定理
四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个 相邻的国家的颜色不同。 图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只 须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。 1890年P.J. Heawood 提出用五种颜色着色。 1969年O.Ore 在40个国家的地图上证明了四色定理。 1976年，K.Appel, W.Hahen, J.Koch 用计算机工作1200小时 宣布证明了四色定理。
B
D
(b) 连接奇数个桥的陆地仅有 两个时，则从两者中任一陆地 出发，可以实现一笔画而停在 另一陆地。
(c) 每块陆地都连接有偶数个 桥时，则从任一陆地出发都能 实现一笔画，而回到出发点。
C
环球旅行与哈密顿圈
在一个画在平面上有20个顶点的图中，把所有20个顶点 都标上城市名，旅游者从某个城市出发，找一条经过所 有城市但只能经过一次的闭合回路。该回路称为哈密顿 圈。环球旅行就是寻找哈密顿圈。
扩展到全部支路电流，则是
i1 1 －1 0 i 1 －1 1 i4 2 －1 1 0 i3 i5 0 0 i4 1 i 0 1 0 6 i5 0 1 0 i6
§1.2独立的基尔霍夫定律方程
1.2.1 独立的基尔霍夫电流定律方程 1 基本割集(fundamental cut-set) 对线图任选一树，取一树支和若干必要连支做出的单树 支割集，其方向规定为所含的树支方向。
④
4 5 3 6
c3
4
③
5 3 6 c1
①
2
②
1
2
c2
树支1、2、3分别对应 基本割集C1、C2、C3
勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，陆地间 有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一 次？
哥尼斯堡市区图
七桥问题的解决
用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图。问题 变成该图能否实现一笔画？ 欧拉规则 A
(a)连接奇数个桥的陆地只有一 个或超过两个以上时，不能实 现一笔画。
、 、
图1-5 基本回路
4
5
回路l1
u 4 u3 u 2 0
u5 u1 u 2 u 3 0
u 6 u 2 u1 0
l1
2
3
l2
6
回路l2
回路 l3
l3
图1-5 基本回路
对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方 程是一组独立方程，方程的数目等于连 支数 bl b (n 1) 说明连支电压可以用树支电压的线性组合 表示。在全部支路电压中，树支电压是一 组独立变量，个数等于树支数 (n 1) 取基本回路是列写独立KVL方程的一个充 分非必要条件 。
图1-1 (b) 网络线图
当只用点（节点）和线（支路）抽象出的与原电网络具有 相同联结方式的几何图形，它更突出体现了电路的结构特 征，得对应的线图如图1-1(b)所示 。
④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
图论的观点，线图是节点和支路组成的集合，其中每 条支路的两端都联到相应的节点上，常用符号G表示。
子图(subgraph) ：图的一部分。 联通图(joint graph)：图中任何两节点之间至少存在一条 路径。 回路(loop)：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点 （均经过一次）又回到出发节点所形成的闭合路径。 平面图(planar circuit)： 有向图(directed graph) ： 图中所有支路都规定了方向。
基本割集列出的(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分非必要条件
1.2.2 独立的基尔霍夫电压定律方程 基本回路(fundamental loop) 对线图任选一树，取一条连支和若干必要树支形成的单连 支回路，其方向规定为所含的连支方向
④
4 5 3 6
4
③
5
①
2
l1
2
3
l2
6
②
1
l3
树支1 2 3，对应连支4、5、6 的 3 个基本回路分别 l1、l2、l3
变换得
u 4 u 2 u3
u5 u1 u 2 u3
u 6 u1 u 2
4 6 1 2 5 3
选１、２、３为树支 基本回路的支路集合为 ｛１，３，４｝，｛２，３，５｝，｛１，２，６｝； 基本割集的支路集合为 ｛１，４，６｝，｛２，５，６｝，｛３，４，５｝
i2
i3 i4
基尔霍夫定律表达成基本割集矩阵形式 对图1-4所示的基本割集列写KCL方程，并表达成矩阵形式
c3
4 2
5 3 6 c1
c2
1
图 1-4 基本割集
i1 i i 2 1 0 0 0 1 1 流出割集C1 0 0 1 0 1 1 1 i3 0 C2 i i 流出割集 4 0 0 1 1 1 0 0 i i5 流出割集C3 i 6
现代电路分析与综合
任课教师：霍 炬
建模 实际电路
实现
分析 电路模型
综合
电路行为
网络分析：在电路原理课程的基础上进一 步深入电路的基本规律和分析计算方法。 网络综合：介绍综合的基础知识、无源滤 波器和有源滤波器综合的基本步骤，侧重研究 得到广泛应用的综合方法。
网络图论与网络方程
图论趣话 1. 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条河流经哥尼斯堡(现加里宁格
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
u 0 回路l1 u 0 回路l2 0 u 回路l3
图1-5 基本回路
BU＝0
对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得
c3
4 2
5 3 6 c1
0 1 1 i4 i1 1 1 1 i i 5 2 1 1 0 i3 i6
推广，设I表示支路电流列矢量，则基尔霍 夫电流定律的基本割集矩阵形式是
CI＝0
基尔霍夫电压定律 对图1-5所示的基本回路列KVL方程并写成矩阵形式
4
5
l1
2
3
l2
6
0 1 1 u1 u4 1 1 1 u u 2 5 1 1 0 u3 u6
c2
1
图 1-4 基本割集
连支电流列矢量为
I l [il1 il 2 il ,bl ]T
则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 B T I l I
1.2.4 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 基本割集矩阵(fundamental cut-set matrix) ：基本割集与 各支路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集， 列对应支路，其元素为
c3
4 2
5 3 6 c1
1, 基本割集i包含支路 j，且二者方向相同； cij －1，基本割集i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本割集i不包含支路 j。
c2
1
图 1-4 基本割集
1 0 0 0 1 1 C 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
图1-5 基本回路
下面将基尔霍夫定wk.baidu.com表达成基本回路矩阵形式
对图1-5所示的基本回路列写KVL方程，并表达成矩阵形式
u1 u 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 u3 u 4 1 1 0 0 0 1 u5 u6
i2 i4 i5 i6
i3 i4 i5
c2
1
图 1-4 基本割集
基本割集的KCL方程是一组独立方程, 方 程的数目等于树支数 (n 1) 可见，树支电流可以表达成连支电流的线性 组合。在全部支路电流中，连支电流是一组 独立变量，个数等于连支数 bl (b n 1)
图论的主要应用
(1)电网络的分析与综合。 (2)印刷电路与集成电路的布线和测试。 (3)通讯网络。 (4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。 (5)在化学领域的应用(同分异构体)。 (6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。
(7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关 系) 。
1, 基本回路i包含支路 j，且二者方向相同； bij －1，基本回路i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本回路i不包含支路 j。
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
l1 0 1 1 1 0 0 B l2 1 1 1 0 1 0 l3 1 1 0 0 0 1
(8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。
本章是通过线图即点和线联结而成的几何图形，抽象 模拟比较复杂的电网络，从而对形象直观的线图性质进行 研究，得到各种系统的分析综合方法。
§1.1 基本概念 1 网络线图(linear graph)
④
4 3 5
④
4 5 3 6
①
2 6
③
①
2
③
②
1
1
②
图1-1 (a) 电路图
l3
图1-5 基本回路
扩展到全部支路 电压便得
u1 1 0 0 u 0 1 0 u1 2 0 0 1 u3 u2 0 1 1 u u 4 1 1 1 3 u5 1 1 0 u6
1
图 1-4 基本割集
有了割集的概念，基尔霍夫电流定律便可表述成：集中参 数电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。 变换得 i1 i5 i6 割集 C1： i1 i5 i6 0 c3
4 2
5 3 6 c1
割集 C2： i2 i4 i5 i6 0 割集 C3： i3 i4 i5 0
推广，设树支电压列矢量为 U t [ut1 ut 2 ut ,bt ]T 则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是 C T U t＝U
1.2.5 基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式
关联矩阵(incidence matrix)：表示电路的节点、支路及其联 结关系，用A表示。对于n个节点b条支路的线图，行对应n-1 个节点，列对应支路，元素为
i1
1A
2A
3A
网络的图如图所示，已知部分支路电流。若要求出全部支 路电流应该怎样补充已知条件？
1.2.3 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式 基本回路矩阵(fundamental loop matrix):描述基本回路与各 支路的关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支 路，B 是 bl b 矩阵，其元素为
①
2 4
④
5 3 6
③
②
1
5
①
4
5 3 6 (d)
支路集合{1,2,4}、{1,3,4,6}是割集； 支路集合{2,3,5}、 {3,4,5,6}不是割集。
2 1 3 4 6 7 9
8 10
5 11 在图示网络的图中，问下列支路集合哪些是割集？哪些不是 割集？为什么？(1)1、3、5；(2)2、3、4、7、8；(3)4、5、 6；(4)6；(5)4、7、9；(6)1、3、4、7。
2 树(tree)
1)包含全部节点; 2)不形成回路； 3)连通子图;
树支数:
①
④
4 3 6 5
③
2
②
1
bt n 1
连支数:
bl b (n 1)
图1-2 连通图及其部分树
3 割集(cut-set)
1) 是连通图的一个支路集合； 2)若移去此集合中全部支路， 则图变成两个分离的部分； 3) 若少移去该集合中的任一支 路，则剩下的图仍是连通的
环球旅行问题的答案
平面图与非平面图
国王遗嘱大意：把国土分成5块给儿子，规定各块之间都 要有边界。儿子又提出在自己分到的领土上都要修一个王 宫，并且各王宫之间都要有路直接相通而不能交叉。能否 解决？
用点表示王宫，用线表示王 宫间的道路，便抽象成图。 问题变成该图是否为平面图？
四色定理
四色问题：只须4种不同颜色，就能使平面地图上任何两个 相邻的国家的颜色不同。 图论问题：用点表示国家，用边表示国家直接相邻。证明只 须4种颜色就可使所有相邻顶点具有不同颜色。 1890年P.J. Heawood 提出用五种颜色着色。 1969年O.Ore 在40个国家的地图上证明了四色定理。 1976年，K.Appel, W.Hahen, J.Koch 用计算机工作1200小时 宣布证明了四色定理。
B
D
(b) 连接奇数个桥的陆地仅有 两个时，则从两者中任一陆地 出发，可以实现一笔画而停在 另一陆地。
(c) 每块陆地都连接有偶数个 桥时，则从任一陆地出发都能 实现一笔画，而回到出发点。
C
环球旅行与哈密顿圈
在一个画在平面上有20个顶点的图中，把所有20个顶点 都标上城市名，旅游者从某个城市出发，找一条经过所 有城市但只能经过一次的闭合回路。该回路称为哈密顿 圈。环球旅行就是寻找哈密顿圈。
扩展到全部支路电流，则是
i1 1 －1 0 i 1 －1 1 i4 2 －1 1 0 i3 i5 0 0 i4 1 i 0 1 0 6 i5 0 1 0 i6
§1.2独立的基尔霍夫定律方程
1.2.1 独立的基尔霍夫电流定律方程 1 基本割集(fundamental cut-set) 对线图任选一树，取一树支和若干必要连支做出的单树 支割集，其方向规定为所含的树支方向。
④
4 5 3 6
c3
4
③
5 3 6 c1
①
2
②
1
2
c2
树支1、2、3分别对应 基本割集C1、C2、C3
勒)，河中有两个岛，把市区分成四块陆地(A,B,C,D)，陆地间 有七个桥相通。能否从任一陆地出发，走遍七桥而每桥只走一 次？
哥尼斯堡市区图
七桥问题的解决
用点表示陆地，用线表示陆地间的桥，便抽象成图。问题 变成该图能否实现一笔画？ 欧拉规则 A
(a)连接奇数个桥的陆地只有一 个或超过两个以上时，不能实 现一笔画。
、 、
图1-5 基本回路
4
5
回路l1
u 4 u3 u 2 0
u5 u1 u 2 u 3 0
u 6 u 2 u1 0
l1
2
3
l2
6
回路l2
回路 l3
l3
图1-5 基本回路
对基本回路列写的基尔霍夫电压定律方 程是一组独立方程，方程的数目等于连 支数 bl b (n 1) 说明连支电压可以用树支电压的线性组合 表示。在全部支路电压中，树支电压是一 组独立变量，个数等于树支数 (n 1) 取基本回路是列写独立KVL方程的一个充 分非必要条件 。
图1-1 (b) 网络线图
当只用点（节点）和线（支路）抽象出的与原电网络具有 相同联结方式的几何图形，它更突出体现了电路的结构特 征，得对应的线图如图1-1(b)所示 。
④
4 5 3 6
①
2
③
②
1
图论的观点，线图是节点和支路组成的集合，其中每 条支路的两端都联到相应的节点上，常用符号G表示。
子图(subgraph) ：图的一部分。 联通图(joint graph)：图中任何两节点之间至少存在一条 路径。 回路(loop)：从图中某一节点出发，经过若干支路和节点 （均经过一次）又回到出发节点所形成的闭合路径。 平面图(planar circuit)： 有向图(directed graph) ： 图中所有支路都规定了方向。
基本割集列出的(n-1)个KCL方程只是保证独立的充分非必要条件
1.2.2 独立的基尔霍夫电压定律方程 基本回路(fundamental loop) 对线图任选一树，取一条连支和若干必要树支形成的单连 支回路，其方向规定为所含的连支方向
④
4 5 3 6
4
③
5
①
2
l1
2
3
l2
6
②
1
l3
树支1 2 3，对应连支4、5、6 的 3 个基本回路分别 l1、l2、l3
变换得
u 4 u 2 u3
u5 u1 u 2 u3
u 6 u1 u 2
4 6 1 2 5 3
选１、２、３为树支 基本回路的支路集合为 ｛１，３，４｝，｛２，３，５｝，｛１，２，６｝； 基本割集的支路集合为 ｛１，４，６｝，｛２，５，６｝，｛３，４，５｝
i2
i3 i4
基尔霍夫定律表达成基本割集矩阵形式 对图1-4所示的基本割集列写KCL方程，并表达成矩阵形式
c3
4 2
5 3 6 c1
c2
1
图 1-4 基本割集
i1 i i 2 1 0 0 0 1 1 流出割集C1 0 0 1 0 1 1 1 i3 0 C2 i i 流出割集 4 0 0 1 1 1 0 0 i i5 流出割集C3 i 6
现代电路分析与综合
任课教师：霍 炬
建模 实际电路
实现
分析 电路模型
综合
电路行为
网络分析：在电路原理课程的基础上进一 步深入电路的基本规律和分析计算方法。 网络综合：介绍综合的基础知识、无源滤 波器和有源滤波器综合的基本步骤，侧重研究 得到广泛应用的综合方法。
网络图论与网络方程
图论趣话 1. 欧拉与哥尼斯堡桥： 有条河流经哥尼斯堡(现加里宁格
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
u 0 回路l1 u 0 回路l2 0 u 回路l3
图1-5 基本回路
BU＝0
对图1-4所示的基本割集依次列写KCL方程并写成矩阵形式得
c3
4 2
5 3 6 c1
0 1 1 i4 i1 1 1 1 i i 5 2 1 1 0 i3 i6
推广，设I表示支路电流列矢量，则基尔霍 夫电流定律的基本割集矩阵形式是
CI＝0
基尔霍夫电压定律 对图1-5所示的基本回路列KVL方程并写成矩阵形式
4
5
l1
2
3
l2
6
0 1 1 u1 u4 1 1 1 u u 2 5 1 1 0 u3 u6
c2
1
图 1-4 基本割集
连支电流列矢量为
I l [il1 il 2 il ,bl ]T
则基尔霍夫电流定律的基本回路矩阵形式为 B T I l I
1.2.4 基尔霍夫定律的基本割集矩阵形式 基本割集矩阵(fundamental cut-set matrix) ：基本割集与 各支路的关联关系，用C表示。矩阵的行对应基本割集， 列对应支路，其元素为
c3
4 2
5 3 6 c1
1, 基本割集i包含支路 j，且二者方向相同； cij －1，基本割集i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本割集i不包含支路 j。
c2
1
图 1-4 基本割集
1 0 0 0 1 1 C 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0
图1-5 基本回路
下面将基尔霍夫定wk.baidu.com表达成基本回路矩阵形式
对图1-5所示的基本回路列写KVL方程，并表达成矩阵形式
u1 u 2 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 u3 u 4 1 1 0 0 0 1 u5 u6
i2 i4 i5 i6
i3 i4 i5
c2
1
图 1-4 基本割集
基本割集的KCL方程是一组独立方程, 方 程的数目等于树支数 (n 1) 可见，树支电流可以表达成连支电流的线性 组合。在全部支路电流中，连支电流是一组 独立变量，个数等于连支数 bl (b n 1)
图论的主要应用
(1)电网络的分析与综合。 (2)印刷电路与集成电路的布线和测试。 (3)通讯网络。 (4)在理论物理和统计力学的应用(杨振宁、李政道)。 (5)在化学领域的应用(同分异构体)。 (6)在心理学领域的应用(1936年,K.Lewin:拓扑心学)。
(7)在经济学领域的应用(税率涨落、商品流通、供求关 系) 。
1, 基本回路i包含支路 j，且二者方向相同； bij －1，基本回路i包含支路 j，但二者方向相反； 0，基本回路i不包含支路 j。
4
5
l1
2
3
l2
6
l3
l1 0 1 1 1 0 0 B l2 1 1 1 0 1 0 l3 1 1 0 0 0 1
(8)在计算机科学领域的应用(计算机网络)。
本章是通过线图即点和线联结而成的几何图形，抽象 模拟比较复杂的电网络，从而对形象直观的线图性质进行 研究，得到各种系统的分析综合方法。
§1.1 基本概念 1 网络线图(linear graph)
④
4 3 5
④
4 5 3 6
①
2 6
③
①
2
③
②
1
1
②
图1-1 (a) 电路图
l3
图1-5 基本回路
扩展到全部支路 电压便得
u1 1 0 0 u 0 1 0 u1 2 0 0 1 u3 u2 0 1 1 u u 4 1 1 1 3 u5 1 1 0 u6
1
图 1-4 基本割集
有了割集的概念，基尔霍夫电流定律便可表述成：集中参 数电路中，流入任意割集各支路电流的代数和恒等于零。 变换得 i1 i5 i6 割集 C1： i1 i5 i6 0 c3
4 2
5 3 6 c1
割集 C2： i2 i4 i5 i6 0 割集 C3： i3 i4 i5 0
推广，设树支电压列矢量为 U t [ut1 ut 2 ut ,bt ]T 则基尔霍夫电压定律的基本割集矩阵形式是 C T U t＝U
1.2.5 基尔霍夫定律方程的关联矩阵形式
关联矩阵(incidence matrix)：表示电路的节点、支路及其联 结关系，用A表示。对于n个节点b条支路的线图，行对应n-1 个节点，列对应支路，元素为
i1
1A
2A
3A
网络的图如图所示，已知部分支路电流。若要求出全部支 路电流应该怎样补充已知条件？
1.2.3 基尔霍夫定律的基本回路矩阵形式 基本回路矩阵(fundamental loop matrix):描述基本回路与各 支路的关联关系，用B表示。B的行对应基本回路、列对应支 路，B 是 bl b 矩阵，其元素为