数字信号处理课件第8章 信号的抽取与插值

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8.2 信号的整数倍插值
8.2.1 信号整数倍插值的概念
1 F1 = T1
x(n) = xa (nT1 )
将抽样率提高 I 倍
T1 = IT2
F2 = IF1
1 F2 = T2
xI (n) = xa (nT2 )
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插值过程
平滑滤波器
零值插值器
插值过程示意图
设周期序列
1 n = 0, ± D, ±2 D ⋅⋅⋅ ɶ p (n) = 0 其它
2π π −j kn 1 D −1 ɶ 1 D −1 − j 2D kn ɶ p ( n) = ∑ P ( k )e D = ∑ e D k =0 D k =0
2π −j kn 1 D −1 D ɶ ɶ x ( n ) = x ( n ) ⋅ p ( n ) = ∑ x ( n )e D k =0
π π I ω2 ≤ min , H IDd (e jω2 ) = I D 0 其它
理想低通滤波器的截止频率应是插值 和抽取两个系统理想低通滤波器截止 频率中的较小者， 频率中的较小者，而此滤波器的幅度 应和插值滤波器的幅度一样，为I 应和插值滤波器的幅度一样，
x 相乘的有： 与系数 h(1 + D) 相乘的有： (n + D − 1) 、x(n + 2 D − 1) 、
x x 相乘的有： 与系数 h(m + D)相乘的有： (n + D − m) 、 (n + 2 D − m) 、
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整数倍抽取系统的FIR FIR直接实现 8.4.1 整数倍抽取系统的FIR直接实现
直接实现 D(N-1)次加法 次加法 DN次乘法 次乘法 线性系统
等效结构
N-1次加法 次加法 N次乘法 次乘法
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说明 图中的结构虽然先进行抽取再进行滤波器系数的乘 运算，但这不是把抗混叠滤波器放到抽取之后， 运算，但这不是把抗混叠滤波器放到抽取之后，而 是与原来的滤波作用等效。 是与原来的滤波作用等效。 在判断滤波器和抽取作用的先后顺序时， 在判断滤波器和抽取作用的先后顺序时，可以通过 滤波器的延时单元与抽取器的先后顺序来判断， 滤波器的延时单元与抽取器的先后顺序来判断，而 与加乘运算的顺序无关， 与加乘运算的顺序无关，如果滤波器的延时单元在 抽取器之前，说明先滤波再抽取；反之， 抽取器之前，说明先滤波再抽取；反之，则是先抽 取再滤波。 取再滤波。 如果将抽取器提前到延迟单元前面， 如果将抽取器提前到延迟单元前面，这样就是变成 先抽取再滤波，就失去了抗混叠滤波器的作用， 先抽取再滤波，就失去了抗混叠滤波器的作用，系 统没有起到等效的作用，因此是绝对不允许的。 统没有起到等效的作用，因此是绝对不允许的。
∑
x(k )h(n − kI )
上限整数
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信号的有理数I/D I/D抽样率转换 8.3 信号的有理数I/D抽样率转换
I 目的： 目的：抽样率变为原来的 D
方法：（ ）先抽取再插值，（ ，（2） 方法：（1）先抽取再插值，（ ）先插值再抽取 ：（ 例如 F1 = 3 f h （1）先抽取再插值 D = 6 ）
等效结构
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I倍插值系统的FIR线性相位结构（N为奇数） 倍插值系统的FIR线性相位结构（ 为奇数 为奇数） 倍插值系统的FIR线性相位结构
h( n) = h( N − 1 − n)
乘法计算量减少大约一半
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I倍插值系统的FIR线性相位结构（N为偶数） 倍插值系统的FIR线性相位结构（ 为偶数 为偶数） 倍插值系统的FIR线性相位结构
2π D
2 1 D −1 j (ω −Dπ k ) X D (e jω ) = ∑ X e D k =0
−j
z=e
jω
W =e
1 D −1 X D ( z ) = ∑ X ( z1/ DW k ) D k =0
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如果考虑信号在进入抽取器之前先通过抗混 叠滤波器 h(n) ，则有
) H (e
jω2
)
( I ω − 2π k ) j (ω3 −D2π k ) 1 D −1 j 3 D jω 输出 X ID (e 3 ) = ∑ X e H ID e D k =0
逼近理想滤波器
1 X e jI ω3 / D ≈ D 0
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数字信号的抽取（ 数字信号的抽取（D=5） ）
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8.1.2 频谱混叠及改进措施
模拟信号的频谱 X a ( jΩ) == ∫−∞ xa (t )e − jΩt dt 抽样信号的频谱 X (e jω ) ==
1
def
∞
def
n =−∞
∑
∞
x(n)e− jω1n
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D倍抽取系统的FIR线性相位结构（N为奇数） 倍抽取系统的FIR线性相位结构（ 为奇数 为奇数） 倍抽取系统的FIR线性相位结构
h( n) = h( N − 1 − n)
乘法计算量减少大约一半
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D倍抽取系统的FIR线性相位结构（N为偶数） 倍抽取系统的FIR线性相位结构（ 为偶数 为偶数） 倍抽取系统的FIR线性相位结构
↓D 序列抽取 x(n) → xD (n) = x( Dn) ɶ ɶ
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频谱关系推导
X D (e jω2 ) =
ɶ xD ( n) = x( Dn)
n =−∞
∑
∞
∞
xD (n)e − jω2 n =
ɶ x( Dn)e
− jω1 Dn
n =−∞
∑
∑
∞
∞
xD (n)e − jω1Dn
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8.1 信号的整数倍抽取
8.1.1 信号整数倍抽取的概念
1 抽样率 F1 = ，时 T1
x(n) = xa (nT1 )
1 将抽样率降低到原来的 D
1 抽样率 F2 = ，T2 T2
= DT1
xD (n) = x( Dn) = xa (nT2 )
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关系
ω1 1 ∞ jω1 X (e ) = ∑ X a ( j − jk Ω s1 ) T1 k =−∞ T
周期延拓， 周期延拓，产生混叠现象
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抗混叠措施
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抽取序列及幅度谱
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8.1.3 抽取前后频谱的关系
ɶ x(n)e − jω1n
=
n =−∞ ∞
∑
=
n =−∞
2π π j kn 1 D −1 1 D −1 j (ω1 − 2D k ) = ∑ ∑ x( n)e D e − jω1n = ∑ X e D k =0 n =−∞ D k = 0
ω = ω2 = Dω1
X I ( z) = X ( z I )H ( z)
jω2
系统函数
平滑滤波器 H (e
I ω2 ≤ ΩT2 / 2 = π / I )= 0 其它
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插值过程的频谱
原始信号 幅度谱 零值插值后 信号幅度谱
平滑滤波器 幅频特性
插值信号 幅度谱
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h( n) = h( N − 1 − n)
乘法计算量减少一半
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多相FIR FIR结构 8.4.3 多相FIR结构
对于高效抽取系统
xD (n) = ∑ h(m) x(nD − m)
m=0 N −1
x 相乘的有： 与系数 h(0) 相乘的有：x(n) 、x(n + D) 、 (n + 2 D)
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源自文库
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8.2.2 整数倍插值的频域分析
零值插值 频谱
x (n / I ) n = 0, ± I , ±2 I , ⋅⋅⋅ v ( n) = 其它 0
V (e jω2 ) =
n =−∞
∑
∞
v(n)e − jω2 n =
n =−∞
∑
∞
v(n)e− jΩT2 n
n − jΩT1n / I = ∑ x ( )e I n为I的整数倍 =
7 7 F3 = F1 = f h 6 2
1 1 F2 = F1 = f h 6 2
满足抽样 定理 混叠
不存在混叠， （2）先插值再抽取 不存在混叠，保留信号的高频成分 ）
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有理数I/D抽样率转换系统 有理数I/D抽样率转换系统 I/D抽样 级联实现
等效滤波器实现
h( n) = h( N − 1 − n)
乘法计算量减少一半
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整数倍插值系统的FIR FIR直接实现 8.4.2 整数倍插值系统的FIR直接实现
直接实现 前后结构不 能直接交换 顺序 转置定理
转置结构
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等效结构 转置结构
线性系统
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制作人：郝利华 陈友兴 郝慧艳
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第8章 信号的抽取与插值
8.1 8.2 8.3 8.4 信号的整数倍抽取 信号的整数倍插值 信号的有理数I/D I/D抽样率转换 信号的有理数I/D抽样率转换 多抽样率FIR FIR系统的网络结构 多抽样率FIR系统的网络结构
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输入输出关系 时域
xI ( n ) =
k =−∞
∑ x(k )h(n − kI )
∞ k =−∞
∞
xID (n) = xI (nD)
频域
X I (e
jω2
输出 xID (n) =
) = X (e
jω 2 I
∑ x(k )h(nD − kI )
( ω − 2π k ) 1 D −1 j 3 D X ID (e jω3 ) = ∑ X I e D k =0
2 2 j (ω −Dπ k ) j (ω −Dπ k ) 1 jω X D (e ) = ∑ X e H e D k =0 D −1
1 D −1 X D ( z ) = ∑ X ( z1/ DW k )H ( z1/ DW k ) D k =0
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8.2.3 内插器的输入输出关系
时域表示
m = kI
xI ( n ) = =
m =−∞ ∞
∑ v ( m ) h ( n − m)
∞
k =−∞
∑ x(k )h(n − kI )
下限整数
n / I
FIR平滑系统 FIR平滑系统
0 ≤ n − kI ≤ N − 1
=
k = ( n − N +1) / I
ω1 = ω2 D
n =−∞
∑
∞
x(n)e − jΩT1n = X (e jΩT1 ) = X (e jω1 )
V (e jω ) = X (e jω I )
z = e jω
V ( z) = X ( z I )
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频域分析 经过平滑系统后 频谱
X I (e jω ) = V (e jω ) H (e jω ) = X (e jω I ) H (e jω )
相乘的有： 与系数 h(1) 相乘的有：x(n − 1)、x(n + D − 1) 、x(n + 2 D − 1)
x x x 相乘的有： 与系数 h(m) 相乘的有： (n − m) 、(n + D − m)、 (n + 2 D − m)
x x x 相乘的有： 与系数 h( D) 相乘的有： (n − D) 、 (n) 、 (n + D)
(
)
D ω3 ≤ min π , π I 其它
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多抽样率FIR FIR系统的网络结构 8.4 多抽样率FIR系统的网络结构
目的： 目的：总是设法把乘法运算安排在低抽样率一 侧，以使运算中乘法次数最少。 以使运算中乘法次数最少。 方法： FIR结构 结构实现多抽样率系统具有很大 方法：用FIR结构实现多抽样率系统具有很大 的优越性。这是由于FIR FIR结构绝对稳定且容易 的优越性。这是由于FIR结构绝对稳定且容易 实现线性相位，特别容易实现高效结构。 实现线性相位，特别容易实现高效结构。 原则： 原则： 由于是线性系统 线性系统， 由于是线性系统，抽取器和乘法器级联时可 以交换作用顺序； 以交换作用顺序； 由于是移变系统 移变系统， 由于是移变系统，抽取器和延时器级联时不 能交换作用顺序