自招竞赛课程数学讲义：轮换对称式最值求法【学生版】

自招竞赛数学

“轮换对称式最值求法”

讲义编号：

近几年来，关于多元轮换对称和式s的最值问题，多以证明形式出现在数学竞赛题目中，即证S ≥A (或S≤A)。

因为求法能代替证明(通过数学方法求出s最大值为A，也即证明了S≤A成立)，所以，s的最值求法应是一个更深刻的问题。

反之，因为证明不等式S≤A，是先提供常数A，它可以加入到论证、推理和运算过程之中，而求最值并无此条件，所以，证明不能代替求法。

鉴于此，寻找S的最值求法，远比寻找证明的方法和技巧重要。

1.如果a，b，c均为正数，且a（b+c）=152，b（c+a）=162，c（a+b）=170，那么abc的值是（）

A．672 B．688 C．720 D．750

通过几个典型例子的“通法”和“简解”比较，说明对称思想在探求最值问题中的巧妙运用． 例1 （2007年全国高中数学联赛广西赛预赛试题）设122007,,,a a a L 均为正实数，且

1220071111

2222

a a a +++=+++L ，则122007..a a a ⋅L 的最小值为

例2 (2006年高考重庆理科第12题) 若,,0a b c >，()4a a b c bc +++=-2a b c ++的最小

值为（ ）

1 1

2 2B C D -+

例3 (2010年全国高中数学联赛湖北赛区预赛试题)若x ，y ，z 均为实数，且2

2

2

1x y z ++=，则2

(1)2z S xyz

+=

的最小值为多少。

例4 （2010年全国高中数学联赛湖北预赛试题）已知实数x，y，z满足32,4

=+==，则

xyz x y z ++的最小值为

x y z

例5 （《数学通报}2010年第3期问题1844)已知a，b，c为正实数，且12,45

++=++=，

a b c ab bc ca

试求abc的最大值。

因为求一元函数的最值对于解题者来讲有较多和熟悉的方法，尤其有较为有力的导数方法，所以，下面提供三元轮换对称式s(最基本和最常见的)的最值求法，基本思想是将三变元转化为一个变元函数来处理。

先假定三变元变化时，s 值变化具有连续性(它是研究单调性和求导所必须的)。 下面通过例题介绍。 例6 设非负实数a b c 、、满足1a b c ++=。求111111+s a b c

=++++的最值。

例7 设非负实数a b c 、、满足1a b c ++=。 求s =的最值。

例8 设a b c 、、是正实数，且3a b c ++=。证明：

222

222111.a b c a b c

++≥++（2006，罗马尼亚国家集训队试题）

对竞赛中有些难度较大的证明题，解题者不妨用“求法”解．（讲师选讲）

1．已知，a，b，c是△ABC的边，且，，，则此三角形的面积是：_________．2．已知实数a、b、c，且b≠0．若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1﹣x1y2=a，x1y1+ax2y2=c，则y12+ay22的值为_________．

3．已知正数a，b，c，d，e，f满足=4，=9，=16，=；=，=，则（a+c+e）﹣（b+d+f）的值为_________．

4．已知bc﹣a2=5，ca﹣b2=﹣1，ac﹣c2=﹣7，则6a+7b+8c=_________．

5．x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1﹣x1y2=1，x1y1+x2y2=3．则y12+y22=_________．

6．设a=，b=，c=，且x+y+z≠0，则=_________．

7．已知，，其中a，b，c为常数，使得凡满足第一式的m，n，P，Q，也满足第二式，则a+b+c=_________．

8．设2（3x﹣2）+3=y，2（3y﹣2）+3=z，2（3z﹣2）+3=u且2（3u﹣2）+3=x，则x=_________．9．若数组（x，y，z）满足下列三个方程：、、，则xyz=_________．

10．设x、y、z是三个互不相等的数，且x+=y+=z+，则xyz=_________．

11．已知，，，则的值是（）

A．B．C．D．

12．已知b≥0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值．