中考数学专题几何图形证明与计算题分析

A

图

A

A

图3

A

图2

2016中考数学专题复习：几何图形证明与计算题分析

几何图形线段长度计算三大方法： “勾股定理” “相似比例计算” “直角三角形中的三角函数计算”

1.（2011深圳20题）如图9，已知在⊙O 中，点C 为劣弧AB 上的中点，连接AC 并延长至D ，使CD ＝CA ，连接DB 并延长交⊙O 于点E ，连接AE 。 （1）求证：AE 是⊙O 的直径；

（2）如图10，连接EC ，⊙O 半径为5，AC 的长为4，求阴影部分的面积之和。（结果保留π与根号）

（1）证明：如图2，连接AB 、BC ， ∵点C 是劣弧AB 上的中点 ∴CA CB = ∴CA＝CB ，又∵CD＝CA

∴CB＝

CD ＝CA ，∴在△ABD

中，1

2

CB

AD =

∴∠ABD＝90° ，∴∠ABE＝90° ∴AE 是⊙O 的直径.

（2）解：如图3，由（1）可知，AE 是⊙O 的直径， ∴∠ACE＝90°， ∵⊙O 的半径为5，AC

＝4，

∴AE＝10，⊙O 的面积为25π，

在Rt△ACE 中，∠ACE＝90°，由勾股定理，得：

CE

=

=

∴S △ACE ＝11

422

AC CE ⨯⨯=⨯⨯=∴S 阴影

＝1

2S ⊙O

－S △ACE

＝1252522

ππ⨯-=-

2.（2011深圳中考21题）如图11，一张矩形纸片ABCD ，其中AD ＝8cm ，AB ＝6cm ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C ′

的位置，BC ′交AD 于点G 。

（1）求证：AG ＝C ′G ；

（2）如图12，再折叠一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，EN 交AD 于点M ，求EM 的长。

（1）证明：如图4，由对折和图形的对称性可知，

CD ＝C ′D ，∠C＝∠C′＝90° 在矩形ABCD 中，AB ＝CD ，∠A＝∠C＝90° ∴AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′

在△ABG 和△C′DG 中，∵AB＝ C ′D ，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′G D ∴△ABG≌△C′DG （AAS ）

∴AG＝C ′G

（2）解：如图5，设EM ＝x ，AG ＝y ，则有：C ′G ＝y ，DG ＝8－y ，1

42

DM AD cm ==，

在Rt△C′DG 中，∠DC′G ＝90°，C ′D ＝CD ＝6，

∴ C ′G 2＋C ′D 2＝DG 2 即：y 2＋62＝（8－y ）2

解得：

74y =

∴C′G ＝74cm ，DG ＝25

4

cm

又∵△DME∽△DC′G ∴ DM ME

DC C G =

''， 即：476()

4

x =解得：76x =， 即：EM ＝76（cm ） ∴所求的EM 长为7

6

cm 。 【典型例题分析】

图11

A

B D

C C

G

图12

A B D

图4

A

B D

C

C

G

图5

A B D

A

B

C

D F

P E

Q

1. （2011四川凉山 ）已知菱形ABCD 的边长是8，点E 在直线AD 上，若DE ＝3，连接BE 与对角线AC 相交于点M ，则

MC AM

的

值是 .

解答：∵菱形ABCD 的边长是8，∴AD ＝BC ＝8，AD ∥BC ，如图1：当E 在线段AD 上时，∴AE ＝AD －DE ＝8－3＝5，∴△MAE ∽△MCB ，

∴

5

8

==AE BC AM MC ； 如图2，当E 在AD 的延长线上时，∴AE ＝AD ＋DE ＝8＋3＝11， ∴△MAE ∽△MCB ，∴ 118

==AE BC AM MC ． ∴

MC AM

的值是58或118．故答案为：58或118． 2. （2011重庆江津区 ）如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCD ，其中A （0，0），B （8，0），D （0，4），若将△ABC 沿AC 所在直线翻折，点B 落在点E 处．则E 点的坐标是 ．

解答：解：连接BE ，与AC 交于G ，作EF ⊥AB ，∵AB ＝AE ，∠BAC ＝∠EAC ，∴△AEB 是等腰三角形，AG 是BE 边上的高，∴EG ＝GB ，

EB ＝2EG ， BG ＝

BC AB AC ⨯＝

22

48

84⨯+＝

85

5

，设D （x ，y ），则有：OD 2﹣OF 2＝AD 2﹣AF 2，AE 2﹣AF 2＝BE 2﹣BF 2

即：

82﹣x 2

＝（2BG ）2

﹣（8﹣x ）2

，解得：x ＝

245， y ＝EF ＝325， ∴E 点的坐标为：2432,55⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故答案为：2432,55⎛⎫

⎪⎝⎭

．

3. 如图，在边长为8的正方形ABCD 中，P 为AD 上一点，且

,5=AP BP 的垂直平分线分别交正方形的边于点E ，F ，Q 为垂足，

则EQ ：EF 的值是（ ）A 、8:5 B 、13:5 C 、16:5 D 、8:3

解答：分析：容易看出BEQ Rt ∆∽,BPA Rt ∆得

,AB

AP

BQ EQ = 即BP BP EQ 16

5

8521=⋅=。而根据正方形的性质，易知，如图，把FE 平移至CG 的位置， 由,BPA Rt CGB Rt ∆≅∆有BP CG EF ==，16:5:16

5

:==∴BP BP EF EQ 解：选C 。

4. （2011•泰安）如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿

CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（ ）A 、

B 、

C 、

D 、6

解答：∵△CE O 是△CEB 翻折而成，∴BC=C O ，BE=OE ，∵O 是矩形ABCD 的中心，∴OE 是AC 的垂直平分线，AC=2BC=2×3=6，∴AE=CE，在Rt△ABC 中，AC 2

=AB 2

+BC 2

，即62

=AB 2

+32

，得AB=3，在Rt△AOE 中，设OE=x ，AE=3﹣x ，AE 2=AO 2+OE 2

，即（3

﹣x ）2

=

（3

）2

+32

，得x=

，∴AE=EC=3﹣=2

．选A ．

B C

D F

E Q

G