2019-2020年高中数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A版必修1
高中数学 1.2.2函数的表示法2 新人教版必修10优秀教学教案说课稿
1.2.2函数的表示法（2）（教学设计）教学目的：（1） 了解映射的概念及表示方法。
（2） 会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射，感受对应关系在刻画函数和映射概念中的作用，提高对数学高度抽象性和广泛应用性的进一步认识。
教学重点：映射的概念教学难点：映射概念的理解教学过程：一、 复习回顾，新课引入1、 函数的常用表示法2、 分段函数分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是所有区间的并集，值域是各段函数值域的并集；（3）分段函数的求解策略：分段函数分段解。
3、复习初中常见的对应关系（唯一的点f A B A B B A A B {}|0,y y y N ≥∈:f {02}M x x =≤≤N分析：理解题意，根据图像待定系数法求解析式． 解：当[0,30]x ∈时，直线方程为115y x =，当[40,60]x ∈时，直线方程为1210y x =-， 1[0,30],15()2(30,40),1[40,60].210x x f x x x x ⎧⎪∈⎪∴=∈⎨⎪∈⎪-⎩点评：建立函数的解析式是解决实际问题的关键，把题中文字语言描述的数学关系用数学符号语言表达．要注意求出解析式后，一定要写出其定义域．1 ≤-1变式训练3：tb0108401画出函数= 2 -1<<1 的图象。
④211 ≥1 三、 课堂小结，巩固反思 （1）理解映射的概念；（2）映射与函数的区别与联系。
四、 布置作业：A 组： 1已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ D ）A 1B 1或32C 1，32或3± D 3 2在映射中B A f →:，},|),{(R y x y x B A ∈==，且),(),(:y x y x y x f +-→，则与A 中的元素)2,1(-对应的B 中的元素为（ A ）A )1,3(-B )3,1(C )3,1(--D )1,3(3下列各组函数中，表示同一函数的是（ C ）A x x y y ==,1B 1,112-=+⨯-=x y x x yC 33,x y x y ==D 2)(|,|x y x y ==4下列图象中不能作为函数图象的是（ B ），映射f ：A→B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，B 中的2021在A 的是 C A2 B.3C4 D5 0y x x=- （答：(),0-∞） 7、（课本P24习题1.2A 组NO ：3）B 组：1 如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框 架，若半圆半径为，求此框架围成的面积与的函数式=f ，并写出它的定义域。
【高中数学教学设计】1.2.2函数的表示法
§1.2.2函数的表示法一、教学目标知识与技能1.明确函数的三种表示方法；2.了解简单的分段函数及应用；3.会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数。
过程与方法启发引导，充分发挥学生的主体作用情感态度与价值观让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法二、教学重难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象三、教学过程新课导入我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的定义域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题（一）、研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？ （解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值。
图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（二）、例题讲解例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数． 分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．画出函数||y x =的图象 解：由绝对值的概念，我们有所以，函数||y x =的图象如下图所示（三）、课堂练习课本第24页习题7（四）课堂小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
（五）课后作业x。
【新课标必修一】《1-2-2函数的表示法(2)》教案
课题函数的表示法(2)教学目标：1. 通过具体实例，了解简单的分段函数及应用；了解映射的概念及表示方法；会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射。
2. 学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3.让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．教学重点难点：重点：分段函数的概念; 映射的概念.难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，分段函数的表示及其图象．教法与学法：1教学方法：（1）以实例创设教学情景，引导学生感悟到知识的生成。
（2）层层设问启发引导学生发现规律，总结规律。
（3）让学生在教师指导下通过动手实践自主探究解决问题。
2学习指导：学生通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.教学过程：（一）实例引入新课：二、作法总结，变式演练}090α<≤，B =对应法则是“求余弦”．三、思维拓展，课堂交流四、归纳小结，课堂延展巩固创新课堂延展1、设函数⎩⎨⎧<≤++=)0(2)0()(2xxcbxxxf，若2)2(),0()4(-=-=-fff，则关于x的方程xxf=)(的解的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43、设函数3,(10)()((5)),(10)x xf xf f x x-≥⎧=⎨+<⎩，则(5)f＝。
4、已知函数)(xf的解析式为⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<+≤+=)1(82)10(5)0(53)(xxxxxxxf（1）画出这个函数的图象；（2）求函数)(xf的最大值。
5、等腰梯形ABCD的两底分别为aAD2=，aBC=，45=∠BAD，作直线ADMN⊥交AD于M，交折线ABCD于N，记xAM=，试将梯形ABCD位于直线MN左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域.既能保证全体学生的巩固应用，又兼顾学有余力的学生，同时将探究的空间由课堂延伸到课外。
2019-2020年高中数学1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法(二)教学案(无答案)新人教A版必修1
2019-2020年高中数学1.2函数及其表示1.2.2函数的表示法（二）教学案（无答案）新人教A
版必修1
【教学目标】
1．知识与技能
巩固求函数解析式的方法,了解映射的概念及表示方法，结合简单的对应图表理解映射的概念. 明确函数与映射的关系，能正确判断对应关系是否为映射．
2．过程与方法
（1）通过函数概念与映射概念对照，理解映射概念；
（2）通过阅读课本实例进一步理解映射的概念.
3. 情感、态度、价值观
映射是近代数学中一个重要概念，是进一步学习各类映射的基础.
【预习任务】
阅读课本p22-23,完成下列任务：
1.试写出映射的概念；理解函数基础上的映射，只是把函数中的两个非空数集推广为两个非空集合.
2．（1）认真体会例7中的第（1）、（2）小题在数形结合中的应用价值；
（2）自己举两个映射的例子；
（3）如何判断一个对应是映射?
（4）指出“函数”与“映射”的区别与联系：
3．回忆上节课例题，归纳求函数解析式的常用方法：
【自主检测】
1.设A={x|x是锐角}，B=（0,1）,从A到B的映射是“求正弦”，与A的元素600相对应的B中的
元素是什么？与B中的元素
2
2
相对应的A中的元素是什么？
2.设集合M={a,b,c},N={1,-1},试问从M到N的映射共有几个？并将它们分别表示出来。
3.在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P,沿着折线BCDA由点B开始向点A运动,设点P运动的路程为x,∆APB的面积为y,试写出y与x的函数关系，并画图.
【组内互检】
1.映射的含义；
2.指出“函数”与“映射”的区别与联系：。
高一数学1.2.2函数的表示法(二)教案
高一数学1.2.2函数的表示法（二）教案【课型】新授课【教学目标】（1）了解映射的概念及表示方法；（2）掌握求函数解析式的方法：换元法，配凑法，待定系数法，消去法，分段函数的解析式。
【教学重点】求函数的解析式。
【教学难点】对函数解析式方法的掌握。
【教学过程】一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些对应，或者日常生活中的一些对应实例：对于任何一个实数a，数轴上都有唯一的点P和它对应；对于坐标平面内任何一个点A，都有唯一的有序实数对(x,y)和它对应；对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；2．讨论：函数存在怎样的对应？其对应有何特点？3．导入：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射。
二、讲授新课：（一）映射的概念教学：定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应为从集合A到集合B的一个映射。
记作：（四）、归纳小结：本节课系统地归纳了映射的概念，并进一步学习了求函数解析式的方法。
（五）、作业布置：1．课本P24习题1.2B组题3，4；2．阅读P26 材料。
1.2.2函数的表示法（三）【课型】新授课【教学目标】（1）进一步了解分段函数的求法；（2）掌握函数图象的画法。
【教学重点】函数图象的画法。
【教学难点】掌握函数图象的画法。
【教学过程】一、复习准备：1．举例初中已经学习过的一些函数的图象，如一次函数，二次函数，反比例函数的图象，并在黑板上演示它们的画法。
2.讨论：函数图象有什么特点？四、归纳小结：函数图象的画法。
五、作业布置：课本P24习题1.2A组题7，B组题2；。
高中数学人教A版必修一1.2.2 函数的表示法 第2课时 教案 (1)
1．2函数及其表示1.2.2函数的表示法第2课时分段函数及映射●三维目标1．知识与技能(1)通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；(2)纠正认为“y＝f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识；(3)了解映射的概念及表示方法．2．过程与方法(1)重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；(2)启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造性地解决问题；(3)通过教师指导发现知识结论，培养学生的抽象概括能力和逻辑思维能力．3．情感、态度与价值观(1)培养辨证地看待事物的观念和数形结合的思想；(2)使学生认识到事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式；(3)激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神．●重点难点重点：分段函数的概念．难点：分段函数的表示及映射的概念(1)重点的突破：首先以两个例题为依据，通过学生的研习，组内讨论等活动，让学生先从感性上认识分段函数，再结合生活中的其他实例充分理解分段函数是一个函数，而不是几个函数．最后通过习题，利用师生合作探究的方式，让学生掌握分段函数问题的解法，在此过程中培养学生分析问题和归纳总结的能力，强化训练学生数形结合、分类讨论的思想意识，突出重点的同时化解分段函数的表示这一难点；(2)难点的解决：在映射概念引入时，可先从学生熟悉的对应入手，选择一些具体的生活例子，然后列举一些数学例子，分为一对多、多对一、多对多、一对一四种情况，让学生认真观察、比较，再引导学生发现其中一对一和多对一的对应是映射，逐步归纳概括出映射的基本特征，让学生的认识从感性认识到理性认识，体会出映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．分段函数【问题导思】在现实生活中，常常使用表格描述两个变量之间的对应关系．比如：国内邮寄信函(本埠)，每封信函的重量和对应邮资如下表：(1)邮资M是信函重量m的函数吗？若是，其解析式是什么？【提示】 据函数定义知M 是m 的函数，其解析式为：M ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.80，m ∈ 0，20]1.60，m ∈ 20，40]2.40，m ∈ 40，60]3.20，m ∈ 60，80]4.00，m ∈ 80，100](2)在(1)中有几个函数？为什么？【提示】 一个．因为(1)中的函数虽然有5个不同的部分，但不是5个函数，只不过在定义域的不同子集内，对应关系不同而已．如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．【问题导思】在某次数学测试中，高一 1 班的60名同学都取得了较好的成绩，把该班60名同学的名字构成集合A ，他们的成绩构成集合B .1．A 中的每一个元素，在B 中有且只有一个元素与之对应吗？ 【提示】 是的．2．从集合A 到集合B 的对应是函数吗？为什么？ 【提示】 不是．因为集合A 不是数集． 映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射.映射已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－12x ，－1<x <2x22，x ≥2.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32的值；(2)若f (a )＝2，求a 的值．【思路探究】 (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32→求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32(2)就(a )的取值范围分三种情形分别求解．【自主解答】 (1)∵－1<32<2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝2×32＝3.又3>2，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去； 当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)． 综上所述，a 的值为1或2.1．求分段函数函数值的方法分段函数求值(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)先对字母的取值范围分类讨论． (2)然后代入到不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值．(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．已知n ∈N *，且f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n －2， n ≥10f n ＋5 ， n <10 ，则f (4)＝________.【解析】 由分段函数定义，f (4)＝f (4＋5)＝f (9)＝f (9＋5)＝f (14)＝14－2＝12【答案】 12画出函数y ＝|x ＋1|＋|x －3|的图象，并写出该函数的值域．【思路探究】y ＝|x ＋1|＋|x －3|――→绝对值定义 零点分段法 去绝对值 ――→分段分段函数―→作图分段函数的图象【自主解答】由y ＝|x ＋1|＋|x －3|＝{ －2x ＋2，x ≤－1 4，－1<x ≤3 2x －2，x >3∴函数图象如图由图象易知函数的值域为[4，＋∞)1．对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，所以它的图象也由几部分构成，有的可以是光滑的曲线段，有的也可以是一些孤立的点或几段线段，画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分．下列图形是函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x <0x －1，x ≥0的图象的是()【解析】 由于f (0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x <0时，y ＝x 2，则函数图象是开口向上的抛物线在y 轴左侧的部分．因此只有图形C 符合．【答案】 C下列对应关系中，哪些是从集合A 到集合B 的映射？映射的判断(1)A ＝B ＝N *，对应关系f ：x →y ＝|x －3|；(2)A ＝R ，B ＝{0,1}，对应关系f ：x →y ＝{ 1，x ≥0 0，x <0； (3)设A ＝{矩形}，B ＝{实数}，对应关系f ：矩形的面积．【思路探究】 紧扣映射概念中的“任意一个”“唯一”即可判断． 【自主解答】 (1)集合A 中的3，在f 作用下得0，但0∉B ，即3在集合B 中没有相对应的元素，所以不是映射．(2)对于集合A 中任意一个非负数都唯一对应元素1，对于集合A 中任意一个负数都唯一对应元素0，所以是映射．(3)对于每一个矩形，它的面积是唯一确定的，所以f 是从集合A 到集合B 的映射．判断一个对应是否是映射，关键有两点：(1)对于A 中的任意一个元素，在B 中是否有元素对应； (2)B 中的对应元素是否是唯一的．注意：“一对一”或“多对一”的对应都是映射．已知点(x ，y )在映射f 作用下对应的元素是(2x ，x ＋y )，则(1,3)在f 作用下对应的元素是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52 B ．(2,4) C ．(3,5)D ．(4,6)【解析】 由题意知，x →2x ，y →x ＋y ，故(1,3)在f 作用下对应的元素是(2,4)．【答案】 B与分段函数有关的实际问题的解法(12分)如图1－2－4在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，图1－2－4沿着折线BCDA由点B(起点)向A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB 的面积为y.试求：(1)y与x之间的函数关系式；(2)画出y＝f(x)的图象．【思路点拨】当点P在线段BC上时△APB的面积随点P的变化而变化，当点P在线段CD上时，△APB的面积是一个定值，当点P在线段AD上时，△APB 的面积随点P的变化而变化，可见应分三段考虑面积计算．【规范解答】(1)①当点P在线段BC上运动时，S△APB＝12×4x＝2x(0≤x≤4).2分②当点P在线段CD上运动时，S△APB＝12×4×4＝8(4＜x≤8).4分③当点P在线段AD上运动时，S△APB＝12×4×(12－x)＝24－2x(8＜x≤12).6分∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， 0≤x ≤4 8， 4＜x ≤824－2x ， 8＜x ≤12 .8分(2)画出y ＝f (x )的图象，如图所示：12分1．本题因点P 所在的位置不同，得到的面积表达式不同，因而应分段计算，得出分段函数表达式．2．解决这类问题的关键点是根据自变量的取值情况决定其对应的运算法则，即保持自变量的取值范围与对应法则的一致性，一般需要分类讨论求解．1．分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集．2．判断一个对应是不是映射，先看第一集合A ：看集合A 中的每一个元素是否都有对应元素，若有，再看对应元素是否唯一；至于集合B 中的元素不作任何要求.1．已知集合A ＝{a ，b }，B ＝{0,1}，则下列对应不是从A 到B 的映射的是( )【解析】 在映射中允许“多对一”，但不允许“一对多”． 【答案】 C2．下列图形是函数y ＝－|x |(x ∈[－2,2])的图象的是( )【解析】 ∵x ∈[－2,2]，故函数y ＝－|x |在x ＝±2处均有意义，排除C 、D 两选项．又当x ＝1时，y ＝－1<0，从而排除A 选项，故选B.【答案】 B3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x ≥0－2x ＋1，x <0，则f (1)＋f (－1)＝________.【解析】∵f (1)＝2×1＋1＝3,f (－1)＝－2×(－1)＋1＝3，∴f (1)＋f (－1)＝3＋3＝6.【答案】 64．已知函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域．【解】 (1)当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1，当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x .∴f (x )＝{ 1 0≤x ≤2 1－x －2<x <0 . (2)函数f (x )的图象如图所示，(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．一、选择题1．设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应法则f 中，不能构成A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2【解析】 当x ∈[1,2]时，y ＝4－x 2∈[0,3]，故选项D 中的“f ”不能构成A 到B 的映射．【答案】 D2．函数f (x )＝|x －1|的图象是( )【解析】 f (x )＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥11－x ，x <1.由f (x )的解析式易知应选B.【答案】 B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1x 2＋x －2，x >1，则f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 的值为( )A.1516 B ．－2716C.89D ．18【解析】 ∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f ⎝⎛⎭⎪⎫1f 2 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝1－116＝1516. 【答案】 A4．映射f ：A →B ，在f 作用下A 中元素(x ，y )与B 中元素(x －1,3－y )对应，则与B 中元素(0,1)对应的A 中元素是( )A ．(－1,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(－1,3)【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝03－y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2，∴A 中的元素为(1,2)．【答案】 C图1－2－55．已知函数f (x )的图象是两条线段(如图1－2－5，不含端点)，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13等于( )A ．－13 B.13C ．－23D.23【解析】 由图可知，函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ＜1 x ＋1， －1＜x ＜0 ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝13－1＝－23，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－23＋1＝13.【答案】 B 二、填空题6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x >0 π x ＝00 x <0 ，则f (f (－2))＝________.【解析】 ∵f (－2)＝0，∴f (f (－2))＝f (0)＝π. 【答案】 π7．(2014·镇江高一检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.【解析】 由题意知f (0)＝2，又f (2)＝22＋2a ∴22＋2a ＝4a ∴a ＝2 【答案】 28．函数y ＝f (x )的图象如图1－2－6所示，那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．图1－2－6【解析】 由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]．其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是[1,2)∪(4,5]．【答案】 [－3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5]三、解答题9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.(1)求a 的值； (2)求f (f (2))的值； (3)若f (m )＝3，求m 的值．【解】 (1)由函数定义，得当x ＝1时， 应有1＋a ＝12－2×1， 即a ＝－2.(2)由(1)，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ≤1x 2－2x ，x ≥1.因为2>1，所以f (2)＝22－2×2＝0， 因为0<1，所以f (f (2))＝f (0)＝0－2＝－2. (3)当m ≤1时，f (m )＝m －2，此时m －2＝3得m ＝5，与m ≤1矛盾，舍去； 当m ≥1时，f (m )＝m 2－2m ， 此时m 2－2m ＝3得m ＝－1或m ＝3. 又因为m ≥1，所以m ＝3. 综上可知满足题意的m 的值为3.10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋bx ＋c ， x ≤0 ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，求f (x )的解析式．【解】 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧16－4b ＋c ＝c4－2b ＋c ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0x 2＋4x ＋2， x ≤0 .11．为减少空气污染，某市鼓励居民用电(减少燃气或燃煤)，采用分段计费的方法计算．电费每月用电不超过100度时，按每度0.57元计算，每月用电量超过100度时，其中的100度仍按原标准收费，超过的部分每度按0.5元计算．(1)设月用电x 度时，应交电费y 元，写出y 关于x 的函数关系式； (2)小明家第一季度缴纳电费情况如下：【解】 (1)由题可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.57x ，0≤x ≤10057＋12 x －100 ＝12x ＋7，x >100.(2)一月用电12x ＋7＝76，即x ＝138；二月用电12x ＋7＝63，即x ＝112；三月用电0.57x ＝45.6，即x ＝80； ∴138＋112＋80＝330(度) ∴第一季度共用电330度。
高中数学 1.2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A版必修1
1．2.2 函数的表示法 第二课时 第二课时 分段函数及映射[读教材·填要点]1．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[小问题·大思维]1．分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？提示：不对．分段函数是一个函数，只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的，其图象是由几段图象构成．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≥1x －1 x <0的定义域是什么？提示：定义域为(－∞，0)∪[1，＋∞)． 3．函数与映射有哪些联系与区别？提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．(2)区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对于映射而言，A 和B 不一定是数集．分段函数求值问题[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ， －2<x <2，2x －1， x ≥2.求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值．[自主解答] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，∴f (f (－52))＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.在本例中，若f (a )＝3，则a 为何值？ 解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＝3.∴a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.——————————————————解决分段函数问题，应注意以下两点：(1)给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； (2)若给函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．————————————————————————————————————————1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， －1≤x ≤1，x 2－4x ＋6， 1＜x ＜5，求f (f (1))的值．解：∵f (1)＝3×1＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝32－4×3＋6＝3.分段函数的应用[例2] 某汽车以52 km/h 的速度从A 地运行到260 km 处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．[自主解答] 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5<t ≤6.5时，s ＝260；当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)． 所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ， 0≤t ≤5，260， 5<t ≤6.5，260＋65t －6.5， 6.5<t ≤10.5.——————————————————1从实际问题中抽象出函数模型，除了考虑函数解析式自身的限制条件，还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.2求分段函数的解析式，应注意“先分后合”，根据不同的定义域写出相应的函数解析式，最后合并.3最后应把数学问题转化到实际问题中.————————————————————————————————————————2．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ， 腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt ΔCEF＝12(7＋3)×2－12(7－x)2＝－12(x－7)2＋10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为y＝⎩⎪⎨⎪⎧12x2x∈[0，2]2x－2 x∈2，5].－12x－72＋10 x∈5，7]函数图象如图所示．映射概念及应用[例3] 下列对应是A到B的映射的有( )①A＝R，B＝R，f：x→y＝1－xx＋1；②A＝{2012年伦敦奥运会的火炬手}，B＝{2012年伦敦奥运会的火炬手的体重}，f：每个火炬手对应自己的体重；③A＝{非负实数}，B＝R，f：x→y＝±x.A．0个B．1个C．2个 D．3个[自主解答] ①中，对于A中元素－1，在B中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A中元素4，在B中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．[答案] B——————————————————判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义.判断方法为：先看集合A中每一个元素在集合B中是否均有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合B中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可. ————————————————————————————————————————3．下列集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应法则f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x解析：判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f 判断，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中是否有唯一的元素与它对应即可．在A 中，当x ＝3时，|x －3|＝0，于是A 中有一个元素在B 中没有元素和它对应，故不是映射；在C 中，集合A 中的负数是在B 中没有元素和它对应，故不是映射(或者x >0时，B 中对应元素不唯一)；在D 中，集合A 中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B 中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义．答案：B解题高手易错题审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能否走出迷宫！某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S 与长x 的函数关系．[错解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S ＝x (50－x )． 故函数关系式为S ＝x (50－x )．[错因] 错解中函数关系式不完整，缺少自变量x 的取值范围．[正解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S ＝x (50－x )． 因为当自变量x 取非正数或不小于50的数时，S 的值是0或负数，即羊圈的面积为0或负数，这不符合实际情况，所以自变量x 的取值范围为0<x <50.故函数关系式为S ＝x (50－x )(0<x <50)．1．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射；②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．答案：C2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝(23)2＋1＝139.答案：D3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：∵g ＝x ·|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2， x <0，∴其图象为D. 答案：D4．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ， 0≤x ≤10010＋0.4x ， x >1005．已知从集合A 到集合B 的映射是f 1：x →2x －1，从B 到C 的映射是f 2：y →11＋y 2，则从A →C 的映射为________．解析：由已知可得11＋2x －12＝14x 2－4x ＋2， ∴A →C 的映射为x →14x 2－4x ＋2.答案：x →14x 2－4x ＋26．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．解：根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2， 0≤v ＜252，12 500v 2S ， v ≥252.一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应关系f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1，}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：B 中元素1在f 下有两个元素±1与之对应，不是映射；C 中元素0无倒数，不是映射；D 中元素0在B 中无元素与之对应，不是映射．答案：A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x <0，10x ， x ≥0则f (f (－7))的值为( ) A ．100 B ．10 C ．－10D ．－100解析：f (－7)＝10，f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100. 答案：A3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )解析：B 项中M 中元素2、4在N 中没有元素与之对应；C 项，M 中元素1、2在N 中对应不唯一；D 项，M 、N 中元素重复，而且，M 中元素3在N 中对应不唯一．答案：A4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a ＜b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)解析：∵f (x )＝x ⊙(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1x ，x ＜1∴f (x )的值域为(－∞，1]． 答案：A 二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，2x ， －1<x <2，x 22， x ≥2，若f (a )＝3，则a 等于________．解析：由f (a )＝3，当a ≤－1时，a ＋2＝3， ∴a ＝1>－1(舍去)．当－1<a <2时，2a ＝3，∴a ＝32∈(－1,2)．当a ≥2时，a 22＝3，∴a ＝6≥2或a ＝－6<2(舍)．答案：32或 66．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．解析：设A 中点的坐标为(x ，y )，则B 中为(x －y ，x ＋y )且有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12答案：(52，－12)7.已知y ＝f (x )的图象如图所示：则f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象易知f (x )的定义域为：(－∞，－1]∪(1，＋∞)，值域为(－∞，－1]∪(1,3)．答案：(－∞，－1]∪(1，＋∞) (－∞，－1]∪(1,3)8．规定：区间[m ，n ]的长度为n －m (n >m )．设集合A ＝[0，t ](t >0)，集合B ＝[a ，b ](b >a )，从集合A 到集合B 的映射f ：x →y ＝2x ＋t ，若集合B 的长度比集合A 的长度大5，则实数t ＝________.解析：由于集合A 和集合B 均是数集，则该映射f ：x →y 是函数，且f (x )＝2x ＋t .当x ∈A 时，f (x )的值域为[f (0)，f (t )]，即[t,3t ]，所以集合B 的长度为3t －t ＝2t ，又集合A 的长度为t －0＝t ，则2t －t ＝5，解得t ＝5.答案：5 三、解答题9．已知在函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解：当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1－x ， －2<x <0，1， 0≤x ≤2.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解：当－3≤x ＜－1时，函数y ＝f (x )的图象是一条线段， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 将点(－3,1)，(－1，－2)代入， 可得a ＝－32，b ＝－72，即f (x )＝－32x －72.当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)． 将点(－1，－2)，(1,1)代入， 可得c ＝32，d ＝－12，即f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时， f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.。
2019-2020年高中数学 1.2.2函数的表示法教案 新人教版必修1
2019-2020年高中数学 1．2．2函数的表示法教案新人教版必修1．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用．2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．学法及教学用具1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标．2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种）2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．某种笔记本的单价是5元，买个笔记本需要元，试用三种表示法表示函数．分析：注意本例的设问，此处“”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略）注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等；②解析法：必须注明函数的定义域；③图象法：是否连线；④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略）注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：②本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数的图象解：（略）例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：（略）注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义；②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（四）巩固深化，反馈矫正．（1）课本P27练习第1，2，3题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20，付邮资80分，超过20而不超过40付邮资160分，每封（0＜≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）（五）归纳小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
人教A版数学必修一教案：§1.2.2函数的表示法
§1．2．2函数的表示法一．教学目标1．知识与技能（1）明确函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数； （3）通过具体实例，了解简单的分段函数及应用． 2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法。
二．教学重点和难点教学重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．教学难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．三．学法及教学用具1．学法：学生通过观察、思考、比较和概括，从而更好地完成本节课的教学目标． 2．教学用具：圆规、三角板、投影仪．四．教学思路（一）创设情景，揭示课题．我们在前两节课中，已经学习了函数的定义，会求函数的值域，那么函数有哪些表示的方法呢？这一节课我们研究这一问题．（二）研探新知1．函数有哪些表示方法呢？（表示函数的方法常用的有：解析法、列表法、图象法三种） 2．明确三种方法各自的特点？（解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况）（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维．例1．某种笔记本的单价是5元，买}{(1,2,3,4,5)x x ∈个笔记本需要y 元，试用三种表示法表示函数()y f x =．分析：注意本例的设问，此处“()y f x =”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．解：（略） 注意：①函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域； ② 象法：是否连线；④列④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 王 伟 98 87 91 92 88 95 张 城 90 76 88 75 86 80 赵 磊 68 65 73 72 75 82 班平均分88.278.385.480.375.782.6请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析．分析：本例应引导学生分析题目要求，做学情分析，具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？解：（略） 注意：①本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点：②本例能否用解析法？为什么？例3．画出函数||y x 的图象解：（略）例4．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算），已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义，根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值．解：（略） 注意：①本例具有实际背景，所以解题时应考虑其实际意义； ②象例3、例4中的函数，称为分段函数．③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．（四）巩固深化，反馈矫正． （1）课本P 23 练习第1，2，3题（2）国内投寄信函（外埠），假设每封信函不超过20g ，付邮资80分，超过20g 而不超过40g 付邮资160分，每封xg （0＜x ≤100＝的信函应付邮资为（单位：分）（五）归纳小结理解函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数，注意分段函数的表示方法及其图象的画法。
高中数学 1.2.2 函数的表示法教案 新人教A版必修1(2)
1.2.2函数的表示法一、教材分析教材从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法,图象法,列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念.特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现,使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥图象的直观作用.在研究图象时,又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性.教材将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的学习,让学生将更多的精力集中理解函数的概念,同时,也体现了从特殊到一般的思维过程.二、三维目标1．知识与技能（1）理解函数的三种表示方法；（2）会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数；（3）通过具体实例，掌握简单的分段函数及应用．2．过程与方法：学习函数的表示形式，其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要，而且是为加深理解函数概念的形成过程．3．情态与价值让学生感受到学习函数表示的必要性，渗透数形结合思想方法．三、教学重点：函数的三种表示方法，映射的概念．四﹑教学难点：分段函数的概念，分段函数的表示及其图象．五﹑教学策略：通过实例分析比较三种函数表示法的特点，分析比较映射与函数的区别与联系．六﹑教学准备教学手段：多媒体辅助教学，增强直观性，增大课容量，提高效率七﹑教学环节1、课堂导入⑴.语言是沟通人与人之间的联系的,同样的祝福又有着不同的表示方法.例如,简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为:生日快樂！英文为:Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag!西班牙中称iFeliz CumpleaRos!印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是Сднемрождения!……那么对于函数,又有什么不同的表示方法呢？引出课题:函数的表示法.⑵.我们前面已经学习了函数的定义,函数的定义域的求法,函数值的求法,两个函数是否相同的判定方法,那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题).2、课堂讲授⑴提出问题初中学过的三种表示法:解析法、图象法和列表法各是怎样表示函数的？讨论结果：①解析法:用数学表达式表示两个变量之间的函数关系,这种表示方法叫做解析法,这个数学表达式叫做函数的解析式.②图象法:以自变量x 的取值为横坐标,对应的函数值y 为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各个点,这些点构成了函数的图象,这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法.③列表法:列一个两行多列的表格,第一行是自变量的取值,第二行是对应的函数值,这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法.⑵明确三种方法各自的特点？解析式的特点为：函数关系清楚，容易从自变量的值求出其对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于我们求函数的值域．列表法的特点为：不通过计算就知道自变量取某些值时函数的对应值、图像法的特点是：能直观形象地表示出函数的变化情况． 总结为下表：⑶例题讲解：例３．1.某种笔记本的单价是5元,买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元,试用三种表示法表示函数y=f(x).分析：学生思考函数的表示法的规定.注意本例的设问,此处“y=f(x)”有三种含义,它可以是解析表达式,可以是图象,也可以是对应值表.本题的定义域是有限集,且仅有5个元素. 解：这个函数的定义域是数集{1,2,3,4,5}, 用解析法可将函数y=f(x)表示为 y=5x,x∈{1,2,3,4,5}.用列表法可将函数y=f(x)表示为用图象法可将函数y=f(x)表示为图1-2-2-1.图1-2-2-1例４．2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表:请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.分析：学生思考做学情分析,具体要分析什么？怎么分析？借助什么工具？本题利用表格给出了四个函数,它们分别表示王伟、张城、赵磊的考试成绩及各次考试的班级平均分.由于表格区分三位同学的成绩高低不直观,故采用图象法来表示.做学情分析,具体要分析学习成绩是否稳定,成绩变化趋势. 解：把“成绩”y 看成“测试序号”x 的函数,用图象法表示函数y=f(x),如图1-2-2-3所示.图1-2-2-3由图1-2-2-3可看到:王伟同学的数学成绩始终高于班级平均分,学习情况比较稳定而且成绩优秀;张城同学的数学成绩不稳定,总是在班级平均分水平上下波动,而且波动幅度较大; 赵磊同学的数学学习成绩呈上升趋势,表明他的数学成绩稳步提高. 例５．1.画出函数y=|x|的图象. 分析：学生思考函数图象的画法:①化简函数的解析式为基本初等函数;②利用变换法画出图象,根据绝对值的概念来化简解析式.解法一：由绝对值的概念,我们有y=⎩⎨⎧<≥0.x x,-0,x x,所以,函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.图1-2-2-10解法二：画函数y=x 的图象,将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方,与函数y=x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y=|x|的图象如图1-2-2-10所示.归纳总结：带有绝对值问题的处理方法…………………………去掉绝对值符号． 例６．某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车5千米以内(含5千米),票价2元;(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算),如果某条线路的总里程为20千米,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析：学生讨论交流题目的条件,弄清题意.本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停车,所以行车里程只能取整数值.由于里程在不同的范围内,票价有不同的计算方法,故此函数是分段函数.解：设里程为x 千米时,票价为y 元,根据题意得x∈(0,20］. 由空调汽车票价制定的规定,可得到以下函数解析式:图1-2-2-13y=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<≤<.2015,5,1510,4,105,3,50,2x x x x根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图1-2-2-13所示. 归纳总结分段函数：① 研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象． ② 分段函数是一个函数．③ 定义域是各段自变量求值的并集，写定义域时区间端点需不重不漏． ④ 值域是各段函数值的并集．⑤ 最大值是各段最大值的最大者，最小值是各段最小值的最小者，求最值时先分段求，再比较．⑥ 求分段函数的函数值时，关键是看自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式．⑷映射的概念①．我们已经知道，函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种对应就叫映射（板书课题）．②．先看几个例子，两个集合A 、B 的元素之间的一些对应关系： （ⅰ）开平方； （ⅱ）求正弦； （ⅲ）求平方； （ⅳ）乘以2．归纳引出映射概念：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．记作“f ：A →B ” 说明：（1）这两个集合有先后顺序，A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的，其中f 表示具体的对应法则，可以用多种形式表述．（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思． 例７．下列哪些对应是从集合A 到集合B 的映射？（1）A={|P P 是数轴上的点}，B=R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应； （2）A={|P P 是平面直角坐标中的点}，}{(,)|,,B x y x R y R =∈∈对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A={三角形}，B={|},x x 是圆对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆； （4）A={|x x 是新华中学的班级}，}{|,B x x =是新华中学的学生对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生．解：⑴⑵⑶中的对应f ： A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射，⑷中的对应f ： A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．课堂练习：１．如图为一分段函数的图象，则该函数的定义域为__________，值域为__________．解析：由图象可知，第一段的定义域为[－1,0)，值域为[0,1)； 第二段的定义域为[0,2]，值域为[－1,0]．因此该分段函数的定义域为[－1,0)[0,2]＝[－1,2]，值域为[0,1)[－1,0]＝[－1,1)．答案：[－1,2] [－1,1)２．已知函数f (x )＝2000x x x ⎧>⎨≤⎩，，，，求f (2)，f (－3)的值．解：∵2＞0，∴f (2)＝22＝4．∵－3≤0，∴f (－3)＝0． ３．求下列函数解析式：(1)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )．(2)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． 解析： (1)由题意，设函数为f (x )＝ax ＋b (a ≠0)， ∵3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，∴3a (x ＋1)＋3b －ax －b ＝2x ＋9， 即2ax ＋3a ＋2b ＝2x ＋9，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，3a ＋2b ＝9，∴a ＝1，b ＝3.∴所求函数解析式为f (x )＝x ＋3. (2)设x ＋1＝t ，则x ＝t －1， f (t )＝(t －1)2＋4(t －1)＋1，即f (t )＝t 2＋2t －2.∴所求函数为f (x )＝x 2＋2x －2. 【探究提升】求下列函数解析式．(1)已知2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋f (x )＝x (x ≠0)，求f (x )；(2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )．解析： (1)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，将原式中的x 与1x互换，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f (x )＝1x.于是得关于f (x )的方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．(2)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴将以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x .３﹑课堂活动：１．教师引导学生完成三种函数表示法的比较，并且归纳它们的优缺点． ２．教师引导学生完成教材例３﹑例４﹑例５﹑例６． ４﹑课堂小结：①分段函数的表示，求值等问题． ②表示函数的三种方法，映射的概念．５﹑作业布置：课本P 28 习题1．2（A 组） 第7题 （B 组）第3题 四、板书设计函数及其表示1.2.２函数的表示法一﹑教材分析二﹑三维目标三﹑教学重点四﹑教学难点五﹑教学策略六﹑教学准备七﹑教学环节九﹑教学反思：１．通过５个例题让学生体会三种表示函数的方法，掌握分段函数及其的概念．２．通过例５例６逐步培养学生分类讨论的数学思想，通过例４培养学生分析问题的能力．。
高中数学《函数的表示法》(第2课时)教学设计
函数的表示法（第2课时）教学设计一、内容和内容解析1.内容实际问题中的函数表示.2.内容解析数学教育的终极目标是让学生：会用数学的眼光观察世界、会用数学的思维思考世界、会用数学的语言表达世界.其中“会用数学的语言表达世界”体现的是数学的应用价值，即利用数学模型解决实际问题.通过第1课时的学习，学生已基本掌握了函数的三种表示法及其特点，并且初步体会了在具体的问题（分段函数）中如何选择适当的表示法解决数学问题.那么，如何选择适当的表示法解决实际问题呢？通过本节课的学习，学生应有所体会.在本节课中不仅可以进一步研究函数本身，将实际问题数学化，应用函数解决实际问题，而且可以加深对函数概念的理解，学会比较选择最优解法.例7是关于数学成绩的问题，贴近学生生活，体现了列表法向图象法的转化，通过对三名同学成绩的简单分析，学生可进一步体会图象法的直观性，可提倡学生用科学的方法看待自身成绩.例8是2019年国家热点问题——个税的新计算方式.函数以列表法给出，可通过对条件的分析，转化成解析法和图象法，体现了分段函数的应用价值.基于以上分析，确定本节课的教学重点：选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.二、目标和目标解析1.目标选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.2.目标解析达成上述目标的标志是：学生会正确选择合适的表示法解决教科书例7、例8所示的问题，结合例7，例8的学习，初步体会建立函数模型解决实际问题的过程，发展数学建模素养。
三、教学问题诊断分析经过义务教育阶段的数学学习，学生对具体数学知识和问题的求解比较熟悉，而解决带有情境的实际问题的能力相对欠缺，于是新版教材专门对前版教材结构进行了调整，搭建了两个与学生密切相关、应用性很强的实际问题情境，对其进行合理分析，培养学生选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系的能力.对于例7，可能有的同学觉得表3.1-4包含了三名同学的6次成绩数据，已经很直观了，教师可进行相应解释：列表法虽然具有“不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值”的优点，但是不利于发现每位同学的成绩变化情况，以及与班级平均分的关系，换句话说仍然不够直观.学生一般可自然想到更加直观的表示方式——图象法.但是当学生们在同一直角坐标系中画出了三位同学6次成绩及班级6次平均分共24个散点时，问题随之而来——无法区分每个散点数据属于哪个学生，其直观性更是无从谈起.于是教师可进行相应引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.在此基础上，可进一步引导学生对三名同学的数学学习情况进行分析.对于例8，学生首先面对的问题就是对题目的理解.带有情境的实际问题往往篇幅略长，因此需要给学生充足的时间读懂题目，明确研究对象，理清题中变量间的关系，是解决问题的前提和保障.之后就需要依据题目建立适当的数学模型，解决问题.本题是分段函数模型，每一段都是一次函数，相对简单，但要注意分段时自变量取值的原则——不重不漏.四、教学支持条件分析本节课的教学重点是选择恰当的方法表示具体问题中的函数关系.可借助图形计算器、几何画板、Geogebra等技术工具做出函数图象，用图象法表示函数，对问题进行直观分析.五、教学过程设计引导语：对于一个具体的问题，如果涉及函数，你会选择恰当的方法表示问题中的函数关系吗？这节课我们通过两个实例来做相关研究.（一）实际问题问题1：表3.1-4是某校高一（1）班三名同学在高一学年度六次数学测试的成绩及班级平均分表.你能直接通过表3.1-4对这三位同学在高一学年的数学学习情况做一个分析吗？师生活动：教师给出问题后让学生先简单独立思考并尝试写出结论，大部分同学无法直接通过表3.1-4所给数据分析这三位同学在高一学年的数学学习情况.如有个别同学提出可以，教师可提醒：表3.1-4不太容易分析每位同学的成绩变化情况，不够直观，因而会制约结论的形成.追问：你选择哪种表示法分析这三位同学在高一学年的数学学习情况？为什么？学生会首先想到图象法.教师让学生在同一直角坐标系中画出与表3.1-4所对应的函数图象，并让学生尝试利用图象得出结论.面对毫无规律的24个散点，学生基本没有头绪.此时教师可做适当引导：为了更容易看出一个同学的学习情况，我们将表示每位同学成绩的函数图象（离散的点）用虚线连接.并用多媒体展示教科书第70页图3.1-6，然后让学生分组讨论，分享自己眼中的结论.最后教师找几位学生代表回答与补充，得出结论.设计意图：问题1是架设学生熟悉的数学成绩情境，引导学生直接通过列表法无法直观的看出学生成绩的变化情况，不要直接利用表格做出一些并不准确的结论，而应另寻他法；追问是为了启发学生主动选择更加直观的图象法解决问题，培养从列表法转到图象法表示函数的能力.正确合理地做出图象，问题就解决了一半.问题2：（教科书第71页练习1）下图中哪几个图象与下述三件事分别吻合得最好？请你为剩下的那个图象写出一件事.（1）我离开家不久,发现自己把作业本忘在家里了,于是返回家里找到了作业本再上学；（2）我骑着车离开家后一路匀速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间；（3）我从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进.师生活动：教师可在多媒体上展示问题，让学生独立完成，然后找学生回答.对于选项C，可给出参考：我从家出发后，发现时间还早，于是慢慢放缓了脚步.设计意图：培养学生将实际情境转化成数学图象的能力，训练思维与表达能力.问题3：依法纳税是每个公民应尽的义务，个人取得的所得应依照《中华人民共和国个人所得税法》向国家缴纳个人所得税（简称个税）.2019年1月1日起，个税税额根据应纳税所得额、税率和速算扣除数确定，计算公式为个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数. ①应纳税所得额的计算公式为应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除. ②其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元.税率与速算扣除数见表3.1-5.（1）设全年应纳税所得额为应缴纳个税税额为你能求出y=f（t）并画出图象吗？（2）小王全年综合所得收入额为189 600元，假定缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？师生活动：给学生充足的时间阅读题目，理清计算应缴纳个税税额的计算步骤.之后可将教科书第71页前三行用PPT展示，帮助学生了解解题脉络.（1）教师用PPT展示个税计算公式及表3.1-5，给学生适当时间阅读思考.之后可进行如下追问.追问：由表3.1-5第二列，你认为y=f（t）是什么函数？学生基本都可回答出是分段函数.教师可板书y=f（t）的前两段，带领学生感受求解析式的过程，后几段可让学生自己完成，注意提示最后写成分段函数的规范形式（大括号、范围不重不漏），并让学生自己画出相应图象，之后可利用多媒体将学生代表的图象放到屏幕上展示，最终确定正确结果.（2）利用之前明确的计算步骤，结合第（1）问的解析式，让学生自己解决剩余问题.设计意图：帮助学生读懂题目，提高学生的数学阅读能力，以及将实际问题数学化的能力；引导学生将表3.1-5的函数表示方式转化成解析式的方式，建立多元表示之间的联系。
高中数学 1.2.2函数表示法(二)课件 新人教A版必修1
1
30
2
2
45
2
60
3
90
2 1
h
2
A 求 平 方 B39－3来自24－2
1
1
－1
h
3
A 开 平 方 B
3
9
－3
4
2 －2
1
1 －1
h
4
A 乘 以 2 B
1
1
2
3
2
4
5
3
6
h
5
A乘 以 4B
0
1
4
2
3
12
4
5
20
h
6
映射f:A→B，可理解为以下4点：
函映数射
设A,B是两个非空的数集集合，如果按某一个 确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一 个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与 之对应，那么就称对应f:A→B为从集合A到集 合B的一个函映数射。
由此可知，映射是函数的推广，函 数是一种特殊的映射。
h
1
判断下列对应是不是映射？如果是，那这个映射 是函数吗？
若函数f(x)的定义域为[a,b]，则f(g(x))的定义 域应由不等式a≤g(x)≤b解出即得。
练习 若函数f(x)的定义域为[1，4]，则函数f(x+2)
的定义域为_[_-1_,_2_]_.
h
10
例 已知f(2x-1)的定义域是[0，3]，求f(x)定义域。
已知f(g(x))的定义域，求f(x)定义域的方法： 已知f(g(x))的定义域为D，则f(x)的定义域为
h
17
1、A中每个元素在B中必有唯一的象 2、对A中不同的元素，在B中可以有相同的象 3、允许B中元素没有原象 4、A中元素与B中元素的对应关系，可以 是：一对一，多对一，但不能一对多
《函数的概念及其表示第二课时》示范公开课教学设计【高中数学人教版】
《函数的概念及其表示（第二课时）》教学设计◆教学目标1．能求简单函数的定义域，会求函数值，提升学生的数学运算素养．2．在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤，提升学生的数学抽象素养．3．了解区间的含义，能进行区间、不等式与数轴表示的相互转化，提升学生的直观想象素养．◆教学重难点◆教学重点：在理解函数概念的基础上，理解相同函数的含义，掌握相同函数的判定步骤．教学难点：体会函数记号的含义．◆课前准备PPT课件．◆教学过程一、复习引入问题1：在上一小节里，我们重新学习了函数的概念，请你默写这个概念．师生活动：学生可能并不能逐字逐句默写，但是只要抓住它的三个要素就予以肯定．预设的答案：对于数集A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．设计意图：通过默写为本节课的学习奠定基础．引语：函数是本章乃至整个高中数学的核心内容，概念就是它的基石，稳定的基石是搭建知识大厦的前提，我们这节课继续深入研究函数的概念．（板书：函数的概念）二、新知探究1．研读课本，理解区间的概念（1）求函数f (x )的定义域； （2）求f (－3)，f (23)的值；（3）当a ＞0时，求f (a )，f (a －1)的值．师生活动：学生独立完成，老师挑选有代表性的解答进行投影点评，最后用PPT 演示教师点拨：在同时研究两个或多个函数时，常用不同符号表示不同的函数，除用符号f (x )外，还常用g (x )、F (x )、G (x )等符号来表示．设计意图：通过例1的学习，让学生对函数的定义域、对应关系、以及符号“y ＝f (x )”有具体的感受，能更透彻的理解，并且在求解定义域过程中，熟悉区间的使用．例2 下列函数中哪个与函数y ＝x 是同一个函数？ （1）y ＝(x )2； （2）u ＝3v 3； （3）y ＝x 2；（4）m ＝n 2n．师生活动：老师先引导学生思考同一个函数的含义，然后让学生尝试判断，在判断中发现问题：正确化简解析式，定义域优先原则的应用以及函数记号的理解等，老师应该给予及时的解答与帮助．预设的答案：解：（1）y ＝(x )2＝x （x ∈[0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然对应关系相同，但是定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．（2）u ＝3v 3＝v （v ∈R ），它与函数y ＝x （x ∈R ）不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）是同一个函数．（3）y ＝x2＝|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x <0，x ，x ≥0，，它与函数y ＝x （x ∈R ）虽然定义域都是实数集R ，但是当x ＜0时，它的对应关系与y ＝x （x ∈R ）不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．（4）m ＝n 2n＝n （n ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)），它与函数y ＝x （x ∈R ）的对应关系相同但定义域不相同，所以这个函数与函数y ＝x （x ∈R ）不是同一个函数．追问1：两个函数相等的含义是什么？（函数的三要素都相等．值域是由定义域和对应关系决定的，所以只要两个函数的定义域和对应关系一致，这两个函数就相等．）追问2：你能总结判断两个函数是否相同的步骤吗？（先求函数的定义域，如果定义域不相同，则不是相同函数，结束判断；如果相等，则判断对应关系是否相同，定义域和对应关系均相等才能得出相等的结论．高中阶段对应关系一般都是以解析式的形式给出，我们一般需要先考虑化简解析式再判断，若解析式也相等，则是相同函数，若否，则不是相同函数．）追问3：你如何理解函数u ＝3v 3的对应关系？（因为u ＝＝v （v ∈R ），所以对于R 中的任一实数v ，通过对应关系u ＝v ，在R 中都有唯一的一个实数u 与之对应，因为u ＝v ，所以就是任一实数与它本身的对应．）追问4：你能结合函数的图象验证你的判断吗？（能．老师PPT 投影图象，让学生论述．比如在（1）中，y ＝(x )2的图象为一条射线，对应定义域为[0，＋∞)，对比y ＝x 的图象，缺少第三象限的部分．）yx–1–2–3123456–1–2–3–4123456O（1）y ＝(x )2y x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O（2）u ＝3v 3v u教师点拨：对于同一个自变量，对应的函数值相同，就是对应关系一致，这与用什么符号表示无关，再比如：y ＝x 2(x ∈R )，y ＝u 2(u ∈R )是同一个函数．设计意图：通过判断函数是否相同来认识函数的整体性，进一步加深对函数概念的理解．借助信息技术从图象角度体会函数的三要素，提高学生解析式与图象表示间的转化能力．三、归纳小结，布置作业问题3：请同学们回顾本节课的内容，回答下列问题： （1）区间是表示什么的符号？（2）在判断两个函数是否相同时，我们需要注意什么？师生活动：学生先独立思考，再由学生代表回答，其他学生依次补充，老师最后总结．预设的答案：（1）区间是用于表示连续数集的符号；（2）定义域相同是函数相等的先决条件，需要优先判断；对应关系相等与否不在于解析式用什么字母符号表示，而在于同一自变量对应的函数值是否相等．设计意图：引导学生对关键内容进行小结，进一步加深对函数概念的理解． 四、目标检测设计 1．求下列函数的定义域：（1）f (x )＝14x ＋7； （2）f (x )＝1－x ＋x ＋3－1．设计意图：考查函数定义域的求解． 2．已知函数f (x )＝3x 3＋2x ，（1）求f （2），f (－2)，f （2）＋f (－2)的值； （2）求f (a )，f (－a )，f (a )＋f (－a )的值．yx–1–2–3123456–1–2–3–4–512345O（3）y ＝x 2 yx–1–2–3–41234–1–2–3–41234O（4）m ＝n 2nm n。
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2019-2020年高中数学 1．2.2 函数的表示法 第二课时教案精讲 新人教A 版必修11．分段函数如果函数y ＝f (x )，x ∈A ，根据自变量x 在A 中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．2．映射设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射．[小问题·大思维]1．分段函数中，分几段就是几个函数，对吗？提示：不对．分段函数是一个函数，只不过它的解析式是(对应关系)是分段表示的，其图象是由几段图象构成．2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ≥1x －1 x <0的定义域是什么？提示：定义域为(－∞，0)∪[1，＋∞)． 3．函数与映射有哪些联系与区别？提示：(1)联系：映射的概念是在函数的现代定义(集合语言定义)基础上引申、拓展的；函数是一个特殊的映射，反过来，要善于用映射的语言来叙述函数的问题．(2)区别：函数是非空数集A 到非空数集B 的映射；而对于映射而言，A 和B 不一定是数集．[例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x ≤－2，x 2＋2x ， －2<x <2，2x －1， x ≥2.求f (－5)，f (－3)，f (f (－52))的值．[自主解答] 由－5∈(－∞，－2]，－3∈(－2,2)，－52∈(－∞，－2]，知f (－5)＝－5＋1＝－4，f (－3)＝(－3)2＋2(－3)＝3－2 3.∵f (－52)＝－52＋1＝－32，－2<－32<2，∴f (f (－52))＝f (－32)＝(－32)2＋2×(－32)＝94－3＝－34.在本例中，若f (a )＝3，则a 为何值？ 解：①当a ≤－2时，f (a )＝a ＋1， ∴a ＋1＝3.∴a ＝2>－2不合题意，舍去． ②当－2<a <2时，a 2＋2a ＝3，即a 2＋2a －3＝0. ∴(a －1)(a ＋3)＝0，∴a ＝1或a ＝－3.∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a ＝1符合题意． ③当a ≥2时，2a －1＝3，∴a ＝2符合题意．综合①②③知，当f (a )＝3时，a ＝1或a ＝2.—————————————————— 解决分段函数问题，应注意以下两点：(1)给定自变量求函数值时，应根据自变量所在的范围，利用相应的解析式直接求值； (2)若给函数值求自变量，应根据每一段的解析式分别求解，但应注意要检验求得的值是否在相应的自变量取值范围内．————————————————————————————————————————1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ， －1≤x ≤1，x 2－4x ＋6， 1＜x ＜5，求f (f (1))的值．解：∵f (1)＝3×1＝3，∴f (f (1))＝f (3)＝32－4×3＋6＝3.[例2] 某汽车以52 km/h 的速度从A 地运行到260 km 处的B 地，在B 地停留1.5 h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地，试将汽车离开A 地后行驶的路程s 表示为时间t 的函数．[自主解答] 因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)， 所以，当0≤t ≤5时，s ＝52t ； 当5<t ≤6.5时，s ＝260；当6.5<t ≤10.5时，s ＝260＋65(t －6.5)． 所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ， 0≤t ≤5，260， 5<t ≤6.5，260＋t －， 6.5<t ≤10.5.——————————————————从实际问题中抽象出函数模型，除了考虑函数解析式自身的限制条件，还要注意实际问题对自变量取值范围的限制.求分段函数的解析式，应注意“先分后合”，根据不同的定义域写出相应的函数解析式，最后合并.最后应把数学问题转化到实际问题中.————————————————————————————————————————2．如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7 cm ，腰长为2 2 cm ，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．解：过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H . 因为ABCD 是等腰梯形， 底角为45°，AB ＝2 2 cm ， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2 cm. 又BC ＝7 cm ，所以AD ＝GH ＝3 cm. (1)当点F 在BG 上时， 即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上时，即x ∈(2,5]时，y ＝x ＋x －2×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上时，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt ΔCEF＝12(7＋3)×2－12(7－x )2 ＝－12(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)得函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2x ∈[0，2]2x －2 x ∈，5].－12x －2＋10 x ∈，7]函数图象如图所示．[例3] 下列对应是A 到B 的映射的有( )①A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1－xx ＋1；②A ＝{xx 年伦敦奥运会的火炬手}，B ＝{xx 年伦敦奥运会的火炬手的体重}，f ：每个火炬手对应自己的体重；③A ＝{非负实数}，B ＝R ，f ：x →y ＝±x .A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个[自主解答] ①中，对于A 中元素－1，在B 中没有与之对应的元素，则①不是映射；②中，由于每个火炬手都有唯一的体重，则②是映射；③中，对于A 中元素4，在B 中有两个元素2和－2与之对应，则③不是映射．[答案] B——————————————————判断一个对应是否为映射，依据是映射的定义.判断方法为：先看集合A 中每一个元素在集合B 中是否均有对应元素.若有，看对应元素是否唯一；集合B 中有剩余元素不影响映射的成立.说明一个对应不是映射，只需寻找一个反例即可.————————————————————————————————————————3．下列集合A 到集合B 的对应中为映射的是( ) A ．A ＝B ＝N *，对应法则f ：x →y ＝|x －3|B ．A ＝R ，B ＝{0,1}，对应法则f ：x →y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0C ．A ＝B ＝R ，对应法则f ：x →y ＝±xD ．A ＝Z ，B ＝Q ，对应法则f ：x →y ＝1x解析：判断两个集合之间的对应是否为映射，只要按照对应法则f 判断，对于集合A 中的任何一个元素，在集合B 中是否有唯一的元素与它对应即可．在A 中，当x ＝3时，|x －3|＝0，于是A 中有一个元素在B 中没有元素和它对应，故不是映射；在C 中，集合A 中的负数是在B 中没有元素和它对应，故不是映射(或者x >0时，B 中对应元素不唯一)；在D 中，集合A 中元素为0时，其倒数不存在，因而0在B 中无对应元素，故同样不是映射；B 符合定义．答案：B 高手易错题走出迷宫！某农户计划建一矩形羊圈，现有可作为围墙的材料总长度为100米，求羊圈的面积S 与长x 的函数关系．[错解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S ＝x (50－x )． 故函数关系式为S ＝x (50－x )．[错因] 错解中函数关系式不完整，缺少自变量x 的取值范围．[正解] 设羊圈的长为x 米，则宽为(50－x )米，由题意，得S＝x (50－x )． 因为当自变量x 取非正数或不小于50的数时，S 的值是0或负数，即羊圈的面积为0或负数，这不符合实际情况，所以自变量x 的取值范围为0<x <50.故函数关系式为S ＝x (50－x )(0<x <50)．1．以下几个论断：①从映射角度看，函数是其定义域到值域的映射； ②函数y ＝x －1，x ∈Z 且x ∈(－3,3]的图象是一条线段；③分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集； ④若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则D 1∩D 2＝∅. 其中正确的论断有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：函数是特殊的映射，所以①正确；②中的定义域为{－2，－1,0,1,2,3}，它的图象是直线y ＝x －1上的六个孤立的点；因此②不正确；由分段函数的概念可知③正确，④不正确．答案：C2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤12x，x >1，则f (f (3))＝( )A.15 B ．3 C.23D.139解析：∵f (3)＝23，∴f (f (3))＝(23)2＋1＝139.答案：D3．下列图形是函数y ＝x |x |的图象的是( )解析：∵g ＝x ·|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2， x <0，∴其图象为D. 答案：D4．某客运公司确定车票价格的方法是：如果行程不超过100千米，票价是每千米0.5元；如果超过100千米，超过部分按每千米0.4元定价，则客运票价y (元)与行程x (千米)之间的函数关系式是________．解析：根据行程是否大于100千米来求出解析式，由题意得，当0≤x ≤100时，y ＝0.5x ；当x >100时y ＝100×0.5＋(x －100)×0.4＝10＋0.4x .答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.5x ， 0≤x ≤10010＋0.4x ， x >1005．已知从集合A 到集合B 的映射是f 1：x →2x －1，从B 到C 的映射是f 2：y →11＋y 2，则从A →C 的映射为________．解析：由已知可得11＋x －2＝14x 2－4x ＋2，∴A →C 的映射为x →14x 2－4x ＋2. 答案：x →14x 2－4x ＋26．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d 是车速v (公里/小时)的平方与车身长S (米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d 关于v 的函数关系式(其中S 为常数)．解：根据题意可得d ＝kv 2S .∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝kv 2S 中，解得k ＝12 500.∴d ＝12 500v 2S .当d ＝S2时，可解得v ＝25 2.∴d ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 2， v ＜252，12 500v 2S ，v ≥252一、选择题1．下列集合A 到集合B 的对应关系f 是映射的是( ) A ．A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方 B ．A ＝{0,1}，B ＝{－1,0,1，}，f ：A 中的数开方 C ．A ＝Z ，B ＝Q ，f ：A 中的数取倒数D ．A ＝R ，B ＝{正实数}，f ：A 中的数取绝对值解析：B 中元素1在f 下有两个元素±1与之对应，不是映射；C 中元素0无倒数，不是映射；D 中元素0在B 中无元素与之对应，不是映射．答案：A2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10， x ，10x ， x则f (f (－7))的值为( ) A ．100 B ．10 C ．－10D ．－100解析：f (－7)＝10，f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100.答案：A3．给出下列四个对应，其中是映射的是( )解析：B 项中M 中元素2、4在N 中没有元素与之对应；C 项，M 中元素1、2在N 中对应不唯一；D 项，M 、N 中元素重复，而且，M 中元素3在N 中对应不唯一．答案：A4．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a ＜b，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，1)C ．(－∞，＋∞) D．(1，＋∞)解析：∵f (x )＝x ⊙(2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，xx ，x ＜∴f (x )的值域为(－∞，1]． 答案：A 二、填空题5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ≤－1，2x ， －1<x <2，x 22， x ≥2，若f (a )＝3，则a 等于________．解析：由f (a )＝3，当a ≤－1时，a ＋2＝3， ∴a ＝1>－1(舍去)．当－1<a <2时，2a ＝3，∴a ＝32∈(－1,2)．当a ≥2时，a 22＝3，∴a ＝6≥2或a ＝－6<2(舍)．答案：32或 66．设集合A ＝B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，点(x ，y )在映射f ：A →B 的作用下对应的点是(x －y ，x ＋y )，则B 中点(3,2)对应的A 中点的坐标为________．解析：设A 中点的坐标为(x ，y )，则B 中为(x －y ，x ＋y )且有⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝3x ＋y ＝2得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－12答案：(52，－12)7.已知y ＝f (x )的图象如图所示：则f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象易知f (x )的定义域为：(－∞，－1]∪(1，＋∞)，值域为(－∞，－1]∪(1,3)．答案：(－∞，－1]∪(1，＋∞) (－∞，－1]∪(1,3)8．规定：区间[m ，n ]的长度为n －m (n >m )．设集合A ＝[0，t ](t >0)，集合B ＝[a ，b ](b >a )，从集合A 到集合B 的映射f ：x →y ＝2x ＋t ，若集合B 的长度比集合A 的长度大5，则实数t ＝________.解析：由于集合A 和集合B 均是数集，则该映射f ：x →y 是函数，且f (x )＝2x ＋t .当x ∈A 时，f (x )的值域为[f (0)，f (t )]，即[t,3t ]，所以集合B 的长度为3t －t ＝2t ，又集合A 的长度为t －0＝t ，则2t －t ＝5，解得t ＝5.答案：5 三、解答题9．已知在函数f (x )＝1＋|x |－x2(－2<x ≤2)．(1)用分段函数的形式表示该函数； (2)画出该函数的图象； (3)写出该函数的值域． 解：当0≤x ≤2时，f (x )＝1＋x －x2＝1；当－2<x <0时，f (x )＝1＋－x －x2＝1－x ，∴f (x )＝⎩⎨⎧1－x ， －2<x <0，1， 0≤x ≤2.(2)函数f (x )的图象如图所示．(3)由(2)知，f (x )在(－2,2]上的值域为[1,3)．10．根据如图所示的函数y ＝f (x )的图象，写出函数的解析式．解：当－3≤x ＜－1时， 函数y ＝f (x )的图象是一条线段， 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)． 将点(－3,1)，(－1，－2)代入， 可得a ＝－32，b ＝－72，即f (x )＝－32x －72.当－1≤x ＜1时，同理可设f (x )＝cx ＋d (c ≠0)． 将点(－1，－2)，(1,1)代入， 可得c ＝32，d ＝－12，即f (x )＝32x －12；当1≤x ＜2时， f (x )＝1.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x －72，－3≤x ＜－1，32x －12，－1≤x ＜1，1，1≤x ＜2.2019-2020年高中数学 1．2应用举例教案教案（1）新人教A版必修5教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语.教学重点：熟练运用正弦定理、余弦定理解答有关三角形的测量实际问题.教学难点：根据题意建立解三角形的数学模型.教学过程：一、复习准备：1.在△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝2(＋1)，c＝2，则∠A为 .2.在△ABC中，sin A＝，判断三角形的形状.解法：利用正弦定理、余弦定理化为边的关系，再进行化简二、讲授新课：1. 教学距离测量问题：①出示例1：如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，BAC=，ACB=. 求A、B两点的距离(精确到0.1m).分析：实际问题中已知的边与角？选用什么定理比较合适？→师生共同完成解答. →讨论：如何测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？③出示例2：如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量A、B两点间距离的方法.分析得出方法：测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=a，并且在C、D两点分别测得BCA=，ACD=，CDB=，BDA =.讨论:依次抓住哪几个三角形进行计算？→写出各步计算的符号所表示的结论. 具体如下：在ADC和BDC中，应用正弦定理得AC= =，BC ==.计算出AC和BC后，再在ABC中，应用余弦定理计算出AB两点间的距离AB④练习：若在河岸选取相距40米的C、D两点，测得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA=60. （答案：AB=20）.2. 小结：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.三、巩固练习：1. 隔河可以看到两个目标，但不能到达，在岸边选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°. A、B、C、D在同一个平面，求两目标A、B间的距离. (答案：km)2. 两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东30，灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？（答案：a km）3. 作业：教材P14 练习1、2题.第二课时 1.2 应用举例（二）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题.教学重点：结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题.教学难点：能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：测量建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？2. 讨论：怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？二、讲授新课：1. 教学高度的测量：①出示例1：AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法.分析：测量方法→计算方法师生一起用符号表示计算过程与结论.AC=，AB= AE+h=AC+h=+h.②练习：如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角=54，在塔底C处测得A处的俯角=50. 已知铁塔BC部分的高为27.3 m,求出山高CD(精确到1 m)③出示例2：如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到A处时测得公路南侧远处一山顶D在东偏南15的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25的方向上,仰角为8,求此山的高度CD.分析：已知条件和问题分别在哪几个三角形中？分别选用什么定理来依次解各三角形？→师生共同解答.解答:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根据正弦定理, = ,BC ==≈7.4524(km)，CD=BC tan DBC≈BC tan8≈1047(m).2. 练习：某人在山顶观察到地面上有相距2500米的A、B两个目标，测得目标A在南偏西57°，俯角是60°，测得目标B在南偏东78°，俯角是45°，试求山高.解法：画图分析，标出各三角形的有关数据，再用定理求解. 关键：角度的概念3. 小结：审题；基本概念（方位角、俯角与仰角）；选择适合定理解三角形；三种高度测量模型（结合图示分析）.三、巩固练习：1. 为测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为30，测得塔基B的俯角为45，则塔AB的高度为多少m？答案：20+(m)2. 在平地上有A、B两点，A在山的正东，B在山的东南，且在A的南25°西300米的地方，在A侧山顶的仰角是30°，求山高. （答案：230米）3. 作业：P17 练习1、3题.第三课时 1.2 应用举例（三）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题.教学重点：熟练运用定理.教学难点：掌握解题分析方法.教学过程：一、复习准备：1. 讨论：如何测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离？又如何测量两个不可到达点的距离？如何测量底部不可到达的建筑物高度？与前者有何相通之处？2. 讨论：在实际的航海生活中，如何确定航速和航向？通法：转化已知三角形的一些边和角求其余边的问题二、讲授新课：1. 教学角度的测量问题：①出示例1：甲、乙两船同时从B点出发，甲船以每小时10(＋1)km的速度向正东航行，乙船以每小时20km的速度沿南60°东的方向航行，1小时后甲、乙两船分别到达A、C两点，求A、C两点的距离，以及在A点观察C点的方向角.分析：根据题意，如何画图？→解哪个三角形？用什么定理？如何列式？→学生讲述解答过程（答案：）→小结：解决实际问题，首先读懂题意，画出图形→再分析解哪个三角形，如何解？②练习：已知A、B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°，甲船自A以50海里／小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里／小时的速度沿方位角150°方向航行，问航行几小时，两船之间的距离最小？画出图形，并标记已知和要求的→解哪个三角形？用什么定理解？如何列式？③出示例2：某巡逻艇在A处发现北偏东45相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？分析:如何画出方位图？→寻找三角形中的已知条件和问题？→如何解三角形.→师生共同解答. （答案：北偏东83方向；1.4小时）④练习：某渔轮在A处测得在北45°的C处有一鱼群，离渔轮9海里，并发现鱼群正沿南75°东的方向以每小时10海里的速度游去，渔轮立即以每小时14海里的速度沿着直线方向追捕，问渔轮应沿什么方向，需几小时才能追上渔群？2. 小结：（1）已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之. （2）已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解.三、巩固练习：1. 我舰在敌岛A南偏西相距12海里的B处,发现敌舰正由岛沿北偏西的方向以10海里/小时的速度航行.问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？2. 某时刻A点西400千米的B处是台风中心，台风以每小时40千米的速度向东北方向直线前进，以台风中心为圆心，300千米为半径的圆称为“台风圈”，从此时刻算起，经过多长时间A 进入台风圈？A处在台风圈中的时间有多长？3. 作业：教材P22 习题1.2 A组 2、3题.第四课时 1.2 应用举例（四）教学要求：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用，能证明三角形中的简单的恒等式.教学重点：三角形面积公式的利用及三角形中简单恒等式的证明.教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题.教学过程：一、复习准备：1. 提问：接触过哪些三角形的面积公式？2. 讨论：已知两边及夹角如何求三角形面积？二、讲授新课：1. 教学面积公式：①讨论：ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h、h、h，那么它们如何用已知边和角表示？→如何计算三角形面积？②结论：三角形面积公式，S=absinC，S=bcsinA, S=acsinB③练习：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面积S.（解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数）④出示例1：在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm）？分析：由已知条件可得到什么结论？根据三角形面积公式如何求一个角的正弦？→师生共同解答. →小结：余弦定理，诱导公式，面积公式.→讨论：由三边如何直接求面积？（海仑公式）2. 教学恒等式证明：①讨论：射影定理：a = b cos C + c cos B；b = a cos C + c cos A；c = a cos B + b cos A.分析：如何证明第一个式子？证一：右边=22222222222a b c a c b ab c aab ac a+-+-+=== 左边证二：右边 = 2R sin B cos C + 2R sin C cos B=2R sin(B+C)=2R sin A= a = 左边→学生试证后面两个.②出示例2：在ABC中，求证：（1）（2）++=2（bc cos A+ca cos B+abcosC）分析：观察式子特点，讨论选用什么定理？3. 小结：利用正弦定理或余弦定理，“化边为角”或“化角为边”.三、巩固练习：1. 在△ABC中，若，判断△ABC的形状. （两种方法）2. 某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶. 公路的走向是M站的北偏东40. 开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后，到A的距离缩短了10千米. 问汽车还需行驶多远，才能到达M汽车站？（15千米）3. 作业：教材P24 14、15题.。