层次分析法AHP、ANP与熵值法(带例子和软件操作说明)

某一层对于上一层次某一个元素的相对重要性权值。在计算出某一
层次相对于上一层次各个因素的单排序权值后，用上一层次因素本
身的权值加权综合，即可计算出层次总排序权值。总之，依次由上
向下即可计算出最低层因素相对于最高层的相对重要性权值或相对
优劣次序的排序值。
AHP的模型与步骤
假设某一企业经过发展，有一笔利润资金，要企业高层 领导决定如何使用。企业领导经过实际调查和员工 建议，现有如下方案可供选择：
ANP则取消了这些假定，在理论上允许决策者考虑复杂动态系统中 各要素的相互作用，从而更符合决策问题的实际情况。
ANP基本结构
目标
控
制
准则P1 …… 准则Pn
层
元素组C1
元素组C2
网 络
层
元素组C3
元素组C4
元素组C5
ANP的超矩阵算法
设网络ANP中控制层的元素为P1,P2,…,Ps,…, Pm，网络层有元素组为C1,C2,…,Ci,Cj,…,CN。 其中Ci有元素ei1,ei2,…,eini。
A 1/ 7 1/ 2 1 1/ 7 1/ 9

1
5 7 1 1/ 3
3 8 9 3 1
②一致性检验
求最大特征根：在此采用MATLAB软件求取
A=[1,5,7,1,1/3;1/5,1,2,1/5,1/8;1/7,1/2,1,1/7,1/9;1,5,7,1,1/3;3,8,9,3,1]
量分析的一种决策方法。他把人的思维过程层次化、数量化，
并用数学为分析、决策、预报或控制提供定量的依据。它尤
其适合于人的定性判断起主要作用的、对决策结果难于直接
准确计量的场合。

应用层次分析法时，首先要把问题层次化。根据问题的性质和
要达到的目标，将问题分解为不同组成因素，并按照因素间的相互
关联影响及其隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层
0.0595,0.3697,0.8455]进行归一化后的结果， w=W./sum(W) =[0.2131,0.0522,0.0343,0.2131,0.4873]
二、ANP（网络分析法）
AHP是基于以下几个假设进行决策的，而这几个假设与某些实际 决策问题有背离：
（1）将决策系统分为若干层次，上层元素对下层元素起支配作用， 同一层元素之间是相互独立的，但实际上，一般各层内部的元 素之间都存在依存关系，同时下层对上层也有反支配（反馈） 的作用；
企业领导根据上述分析结果，决定各种考虑 方案的实施先后次序，或者决定分配企业留 成利润的比例。
算例
有5个指标：X1对X2明显重要；X1对X3强烈重要； X1对X4同等重要；X1对X5稍不重要。采用AHP方法 计算指标权重。
①列出判断矩阵
1 5 7 1 1/ 3
1/ 5 1 2 1/ 5 1/ 8
注：2，4，6，8和1/2，1/4，1/6，1/8介于其间。
Cij赋值 1 3 5 7 9
1/3 1/5 1/7 1/9
对于上述例子，假定企业 领导对于资金使用这 个问题的态度是：首 先是提高企业技术水 平，其次是改善员工 物质生活，最后是调 动员工的工作积极性。 则准则层对于目标层 的判断矩阵A-B为：
（2）决策问题可分为多个层次，上层元素对下层元素起控制，同 一层次的元素间相互独立，不存在内部的相互依赖性。而实际 决策问题中某些指标往往存在相互影响；
（3）各个层次间只是存在相邻两个层次间自上向下的影响作用， 没有考虑下层对上层的反作用。非相邻层次间的相互影响也没 有考虑。而在实际决策中下层元素对上层元素有反作用（反 馈）。
-0.0000
0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806
0.7071
0.8455
0.9339
0.9339
0.8799
0.0000
D=
5.1141
0
0
0
0
0
-0.0177 + 0.7618i
0
0
0
0
0
-0.0177 - 0.7618i 0
0
0
0
次的分析结构模型。并最终把系统分析归结为最底层，相对于最高
层目标的相对重要性权值的确定或相对优劣次序的排序问题。在排
序计算中，每一层次的因素相对上一层次某一因素的单排序问题又
可简化为一系列成对因素的判断比较。为了将比较判断定量化，层
次分析法引入了1-9标度法，并写成判断矩阵形式。形成判断矩阵后，
即可通过计算判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，计算出
123456789
0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标CI与同阶平均 随机一致性指标RI之比称为随机一致性比率CR，当 CR=CI/RI<0.10时，可以认为判断矩阵具有满意的一 致性，否则需要调整判断矩阵。
n
i n max
i2
上述结论告诉我们，当判断矩阵不能保证具有完全 一致性时，相应判断矩阵的特征根也将发生变化， 这样就可以用判断矩阵特征根的变化来检验判断的 一致性程度。因此，在层次分析法中引入判断矩阵 最大特征根以外的其余特征根的负平均值，作为度 量判断矩阵偏离一致性的指标，即用：
4.117, CI

0.039, RI

Fra Baidu bibliotek
0.90, CR

0.043
0.263
对于判断矩阵B3，其计算结果为：
0.406
W

0.406 0.094
,
max

4, CI

0, RI

0.90, CR

0
0.094
（5）层次总排序
层次B B1
层次C
0.105
C1
0.491
CI max n
n 1
检查决策者思维的一致性。CI值越大，表明判断矩 阵偏离完全一致性的程度越大；CI值越小（接近于 0），表明判断矩阵的一致性越好。
当判断矩阵具有完全一致性时，CI=0； 当判断矩阵具有满意一致性时，需引入判断矩阵的平均
随机一致性指标RI值。对于1-9阶判断矩阵，RI值如下：
0.491 0.232
W 0.092 , max 5.126, CI 0.032, RI 1.12, CR 0.028
0.138 0.046
对于判断矩阵B2，其计算结果为：
0.550
W

0.564 0.118
,
max

（2）构造判断矩阵
判断矩阵的一般形式
Bk C1C2 L Cn
C1 C11
C12
L
C1n
C2 C21
C22
L
C2 n
MM M O
M
Cn Cn1 Cn 2 L
Cnn
性质：（1）Cij>0;（2）Cij=1/Cji;（3）Cii=1
此时，矩阵为正反矩阵。若对于任意i、j、k，均有
3

1/ 3
1

B1

1/ 1/
5 4
1/ 7
1/3 1/ 2 1/5
1 2 1/ 2
1/ 2 1 1/3
1 3
1
1
B3


1
1/ 3
1/ 3
1 1 1/ 3 1/ 3
3 3 1 1
3
3
1 1
（3）判断矩阵的一致性检验
判断矩阵的一致性，是指专家在判断指标重要性时， 各判断之间协调一致，不致出现相互矛盾的结果。 出现不一致在多阶判断的条件下，极容易发生，只 不过是不同的条件下不一致的程度上有所差别而已。
AHP、ANP、熵值法
其中，AHP、ANP既是一种评价方法，但更 常用来计算指标权重。
而熵值法则是一种根据指标反映信息可靠程 度来确定权重的方法。
一、AHP

层次分析法（AHP）是美国著名的运筹学家Satty等人
在20世纪70年代提出的将一种定性和定量分析相结合的多准
则决策方法。这一方法的特点是在对复杂决策问题的本质、
A
B1
B2
B3
B1 1 1/5 1/3
B2
5
1
3
B3 3 1/3 1
1 1/ 5 1/ 3
A 5 1
3

3 1/ 3 1
同样，可得：
1 2 3 1/ 3 1 3
1 1/ 7 1/ 3 1/ 5
4 2
7 5
B2

7 3
1 1/ 5
5 1/ 2
5 1 3
影响因素以及内在关系等进行深入分析之后，构建一个层次
结构模型，然后利用较少的定量信息，把决策的思维过程数
学化，从而为求解多目标、多准则或无结构特性的复杂决策
问题，提供一种简便的决策方法。具体的说，它是指将决策
问题的有关元素分解成目标、准则、方案等层次，用一种标
度对人的主观判断进行客观量化，在此基础上进行定性和定
（1）作为奖金发给员工； （2）扩建员工宿舍、食堂等福利设施； （3）办员工进修班； （4）修建图书馆、俱乐部等； （5）引进新技术设备进行企业技术改造。 从调动员工工作积极性、提高员工文化技术水平和改善
员工的物质文化生活状况来看，这些方案都有其合 理因素。如何使得这笔资金更合理的使用，就是企 业领导所面临需要分析的问题。
（4）层次单排序
理论上讲，层次单排序计算问题可归结为 计算判断矩阵的最大特征根及其特征向量的问 题。但一般来说，计算判断矩阵的最大特征根 及其对应的特征向量，并不需要追求较高的精 确度，因为判断矩阵本身有相当的误差范围。 而且，应用层次分析法给出的层次中各种因素 优先排序权值从本质上来说是表达某种定性的 概念。因此，一般用迭代法在计算机上求得近 似的最大特征值及其对应的特征向量。在此给 出计算矩阵最大特征根及其对应特征向量的方 根法的计算步骤：
[B，D]=eig（A）
则：B =
0.3697 -0.0645 + 0.2358i -0.0645 - 0.2358i -0.2806
-0.7071
0.0906 -0.0633 - 0.0182i -0.0633 + 0.0182i 0.2303
-0.0000
0.0595 -0.0063 - 0.0620i -0.0063 + 0.0620i -0.1231
n
max i 1
AW i
nWi
其中，（AW）i表示向量AW的第i个元素。
对于判断矩阵A，其计算结果为：
0.105
W 0.637 , max 3.308,CI 0.019, RI 0.58,CR 0.033
0.258
对于判断矩阵B1，其计算结果为：
①计算判断矩阵每一行元素的乘积Mi
n
M i aij j 1
②计算Mi的n次方根 Wi
Wi n Mi
③对向量 W W1,W2,L ,Wn T 正规化（归一化处理）
Wi
Wi
n
Wj
j 1
则 W W1,W2,L ,Wn T 即为所求的特征向量。
④计算判断矩阵的最大特征根
（1）构造层次分析结构
目标层 准则层
资金合理使用 A
调动职工积 极性 B1
提高企业技 术水平 B2
改善职工生 活 B3
方案层 C1 发奖 金
C2 扩建 福利设施
C3 办职 工进修班
C4 建图 书馆等
C5 引进 新设备
每一层次中的元素一般不超过9个，因同一层次中包含数 目过多的元素会给两两比较判断带来困难。
0
-0.0786
0
0
0
0
0
-0.0000
λmax=5.1141 CI=(λmax-n)/(n-1)=(5.1141-5)/(5-1)=
0.1141/4=0.0285
RI（5）=1.12
CR=CI/RI=0.0285/1.12=0.0255<0.10
因此，通过一致性检验。
③求得权重 权重即为最大特征根对应的特征向量W=[0.3697,0.0906,
根据矩阵理论可知，如果λ满足：
则λ为A的特征值，并且对于所有aiAi=x1，有x
n
i n
i 1
显然，当矩阵具有完全一致性时，1 max n
其余特征根均为0；而当矩阵A不具有完全一致性 时，则有1 max n，其余特征根λ2，λ3，λn有如下 关系：
Cij*Cjk=Cik，则C为一致矩阵。
1-9标度方法
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
重要性等级 i，j两元素同等重要 i元素比j元素稍重要 i元素比j元素明显重要 i元素比j元素强烈重要 i元素比j元素极端重要 i元素比j元素稍不重要 i元素比j元素明显不重要 i元素比j元素强烈不重要 i元素比j元素极端不重要
C2
0.232
C3
0.092
C4
0.138
C5
0.046
B2 0.637
0 0.055 0.564 0.118 0.263
B3 0.258 0.406 0.406 0.094 0.094
0
总排序W 3 b j cij j 1 0.157 0.164 0.393 0.113 0.172
（6）决策