概率论第六章作业

为 0.95 的置信区间是 4.412,5.588 ．
15
2020年10月29日6时19分
山东建筑大学理学院信息与计算科学教研室
概率论与数理统计
参数估计
二、计算题
1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得
直径（毫米）如下：
14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8.
取了一个样本 x1, , xn ，试求 p 的极大似然估计量.
n
n
解
似然函数为： L( p)
n
pxi (1
p)1 xi
xi p i1 (1
n xi p) i1
i 1
n
n
ln L( p) ( xi )ln p n xi ln(1 p)
i 1
i1
n
n
令 d ln L( p)
设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率
0.95的置信区间.如果：
(1) 已知标准差为0.15毫米； （2）未知标准差.
解(1) u X ~ N0,1.
0 n
P x
0 n
u
2
x
0 n
u
2
1 .
x 14.91
对于置信概率1-α= 0.95， 则α=0.05， u u0.025 1.96.
3 n
n i 1
xi2
2
3x
7
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参数估计
5. 设总体 X 的概率密度为
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计
2、设总体 ~ (, 2 ) , 1 ,…， n 是来自 的一个样本，则当 已知时，求 2 的置信区间所使用的
1
统计量为 = 2
n i 1
xi 2
； 服从
2 n
分布．则当 未知时，求 2 的置信区间所使用的统计量为
(n 1)s2
= 2 ； 服从 2 n 1 分布．
3、设由来自总体 ~ (, 0.92 ) 容量为 9 的简单随机样本，得样本均值 =5，则未知参数 的置信度
参数估计
2. 进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 x 5.5
秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是服从正态分布的， 求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率0.95的置信区间.
解(1)
t X ~ t n 1
sn
P x
s t (n 1) x
n2
s n
t
2
解 (1) EX mp(1 p)m1 p m(1 p)m1
m1
而 qm q
m1
1q
m1
∴ mqm1
1
1
m1
(1 q)2 p2
∴
EX 1 p
令
1
p
1n n i1 xi x
得
p的矩估计值为：pˆ
1 x
2
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i 1
i 1
d
ln L( d
)
n
n i 1
xia
0
最大似然估计值为
ˆ
n
n
xia
i 1
12
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参数估计
8. 设 ˆ1 和 ˆ2 为参数 的两个独立的无偏估计量，且假定 Dˆ1 2Dˆ2 ，求常数 c 和 d ，使 ˆ cˆ1 dˆ2 为 的无偏估计，并使方差 Dˆ 最小.
为 ˆ X ，极大似然估计为 ˆ X
。
1
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二、计算题
参数估计
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
值.
解 (1) 矩估计法
E( X ) 1 x x 1dx
0
1
参数θ的矩估计值为
ˆ x
1 x
8
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概率论与数理统计
5. 设总体 X 的概率密度为
参数估计
x 1, 0 x 1,
f (x, ) 0,
其它.
其中 0，如果取得样本观测值为 x1, x2, , xn ，求参数 的矩估计值和最大似然估计
ln L( p) n ln p ln(1 p) n xi n
n
i1
令 d ln L( p) n i1 xi n 0
dp
p 1 p
得
p的极大似然估计值为：pˆ
1 x
3
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参数估计
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 x1, x2, , xn ，求 矩估计量 和最大似然估计量.
二、计算题
参数估计
1. 设总体服从几何分布: PX x p1 p x1 , x 1,2,3. 如果取得
样本观测值为 x1 , x2 ,, xn , 求参数 p 的矩法估计量和极大似然估计。
解 (2) 似然函数为：
n
n
xi n
L( p)
p(1 p)xi 1 pn (1 p) i1
i 1
(n
1)
1
.
t (n 1) t0.025 (29) 2.04
2
求得:
s n
t
2
1.7 2.04 0.63 30
得置信区间为 4.87<μ<6.13
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2. 进行30次独立测试，测得零件加工时间的样本均值 x 5.5
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概率论与数理统计作业15（§6.1）
一、填空题
n
1. 若 X 是离散型随机变量，分布律是 P{X x} P(x; ) ，（ 是待估计参数），则似然函数
i 1
p
(
xi
, )
，
n
X 是连续型随机变量，概率密度是 f (x; ) ，则似然函数是 f (xi ,。)
2. 若未知参数 的估计量是 ，若 E(ˆ )
n
L( )
n
e xi
xi
en
i 1
i 1
n
ln L( ) nln xi
i 1
令
d
ln L( ) d
n
n i 1
xi
0
极大似然估计值为： ˆ 1
x
5
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3. 设总体 X 服从 0-1 分布 B(1, p) ，这里 0 p 1. 现从总体中抽
值.
解 (2)似然函数为
n
L( ) xi 1 n ( x1 x2 i 1
n
ln L( ) n ln ( 1) ln xi i 1
xn ) 1
d ln L( ) n n
d
ln xi
i 1
0
最大似然估计为： ˆ n n
ln xi
i 1
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概率论与数理统计作业16（§6.2～§6.5）
一、 填空题
1、设总体 ~ (, 2 ) , 1 ,…， n 是 的样本，则当 2 已知时，求 的置信区间所使用的统计量为
X
=
n
； 服从 N 0,1 分布；当 2 未知时，求 的置信区间所使用的统计量
x
= s n ， 服从t n 1 . 分布．
解 （1）矩估计 E(X) 1
解得矩估计量为 ˆ 1
x
4
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参数估计
2. 设总体服从指数分布 X ~ e() ， 取一个样本为 x1, x2, , xn ，求 矩估计量
和最大似然估计量.
解 （2）似然函数为：
秒，样本标准差s=1.7秒.设零件加工时间是服从正态分布的， 求零件加工时间的均值及标准差对应于置信概率0.95的置信区间.
解(2)
2 ，X
1 n
n
i 1
Xi
，S 2
n
1 1
n i 1
(
X
i
X )2
，
则
A） S 是 的无偏估计量；
B） S 是 的最大似然估计量； C
C） S 是 的相合估计量（即一致估计量）； D） S 与 X 相互独立.
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2
由此得
0
n
u
2
0.15 1.96 9
0.098
得置信区间为14.91- 0.098 <μ<14.91+0.098 即 14.81<μ<15.01
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参数估计
二、计算题
1、某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得 直径（毫米）如下：
0 是未知参数，
a 0 是已知常数，试根据来自总体 X 的简单随机样本 X1, X 2 , X n ，求
的最大似然估计量
^
n
n
解 似然函数 L( )
ax e a1 xia i
(a)n
x e a1 xia i
i 1
i 1
n
n
ln L( ) nln(a) (a 1) ln xi xia
14.6，14.7，15.1，14.9，14.8，15.0，15.1，15.2，14.8. 设滚珠直径服从正态分布，求直径的均值对应于置信概率
0.95的置信区间.如果： (1) 已知标准差为0.15毫米； （2）未知标准差.
解(2)
t X ~ t n 1
sn
P x
s t (n 1) x
i 1
称 是 的无偏估计量。设 1, 2 是未知参数 的两个
无偏估计量，若 D(ˆ 1 ) D(ˆ 2 ) 则称 1 较 2 有效。
3. 对任意分布的总体，样本均值 X 是
总体均值E(X )
是 总体方差D( X ) 的无偏估计量。
的无偏估计量。样本方差 S 2
4. 设 总 体 X ~ P() ， 其 中 0 是 未 知 参 数 ， X1, , X n 是 X 的 一 个 样 本 ， 则 的 矩 估 计量
概率论与数理统计
参数估计
6. 设总体X 服从拉普拉斯分布：f ( x; )
1
x
e , x ,
2
其中 0. 如果取得样本观测值为 x1, x2 ,, xn , 求参数θ
的矩估计值与最大似然估计值.
解 (1) 矩估计法
E( X 2 ) 1
x
x2e dx 1
x
x 2e dx 2 2
nln
2
ln
1
n
i 1
xi
d
ln L( d
)
n
1
2
n
xi
i 1
0
参数θ的最大似然估计值为
ˆ
1 n
n
i 1
xi
参数估计
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参数估计
7、设总体
X
的概率函数为
p( x; )
axa1exa
0
x x
0
0 ，其中
E( X ) x dx
a ba ba 2
2
E( X 2 ) b x2
1 dx
1
b3 a3 a2 ab b2
a ba ba 3
3
按矩法得方程组
a
2
b
1 n
n i 1
xi
a2
ab b2 3
1 n
n i 1
xi2
解得矩估计量为
aˆ x
3 n
n i 1
xi2
2
3x
bˆ x
i 1
xi
n
i 1
xi
0
dp
p 1 p
得 p的极大似然估计值为：pˆ x
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4. 设 X ~ U (a,b) ，一个样本为 x1, x2, , xn ，求参数 a, b 的矩估计量.
解
b 1
1 b2 a2 a b
2
0
令
E(X 2)
1 n
n i 1
xi2
2 2wk.baidu.com
参数θ的矩估计值为
ˆ
1 2n
n i 1
xi2
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(2)最大似然估计法
似然函数
L( )
n i 1
1
2
xi
e
1
1
n i 1
xi
2 e n
ln
L(
)
解 由题意得 c d 1
D(ˆ) (2c2 d2)D(ˆ2) 即要求 2c2 d 2 达到最小值
从而解得
c 1,d 2. 33
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参数估计
9、设 n 个随机变量
X 1，X 2 ，…，X n
独 立 同分布 ，D( X 1 )
n2
s n
t
2
(n
1)
1
.
x 14.91 s 0.203 t (n 1) t0.025 (8) 2.31.
2
s
0.203
求得:
n
t
2
2.31 0.16. 9
得置信区间为 14.75<μ<15.07
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