两组两分类资料检验

A法
＋ － 合计
＋ 56 (a) 21 (c) 77
B法 －
35 (b) 28 (d) 63
合计
91 49 140
方法原理
• 显然，本例对同一个个体有两次不同的测量，从 设计的角度上讲可以被理解为自身配对设计
• 按照配对设计的思路进行分析，则首先应当求出 各对的差值，然后考察样本中差值的分布是否按 照H0假设的情况对称分布
2．计算概率和确定P值
▪ 本例n = 36 < 40，不满足2检验的应用条件，
宜采用四格表确切概率法。
方法原理
❖ 在四格表周边合计不变的条件下，在相应的总体 中进行抽样，四格表中出现各种排列组合情况的 概率 ▪ 本例即28、8、22、14保持不变的条件下，若H0 成立，计算出现各种四格表的概率
P(ab)(!cd)(!ac)(!bd)! a !b !c!d!n !
*本例现有样本情况 d=6。
❖ 然后将其中小于等于现有样本概率的概率值相加，即为P
值：
▪ 本例中P值=P(0)+ P(6)+P(7)+P(8)=0.0361<0.05
配对设计两样本率比较的χ2检验
方法原理
例6.9 用A、B两种方法检查已确诊的乳腺癌患者 140名，A法检出91名(65%)，B法检出77名(55%)， A、B两法一致的检出56名(40%)，问哪种方法阳性 检出率更高？
值)。
卡方检验
▪ 在H0为真时，实际观察数与理论数之差Ai－Ti 应该比较接近0。所以在H0为真时，检验统计量
P2
k i1
(Ai
Ti )2 Ti
服从自由度为k-1的卡方分布。
即：
2 P
2
，拒绝H0。
,v
上述卡方检验由此派生了不同应用背景的各种问 题的检验，特别最常用的是两个样本率的检验等。 因为该原理的使用范围很广，但本次课程只学习用 于推断两个分类变量是否相互关联。
• 按此分析思路，最终可整理出如前所列的配对四 格表
方法原理
❖ 注意 ▪ 主对角线上两种检验方法的结论相同，对问题 的解答不会有任何贡献 ▪ 另两个单元格才代表了检验方法间的差异
❖ 假设检验步骤如下：
▪ H0：两法总体阳性检出率无差别，即B = C ▪ H1：两法总体阳性检出率有差别，即B C
方法原理
行列表资料的检验
❖ 卡方检验是以卡方分布为基础的一种常用假设检 验方法，主要用于分类变量，它基本的无效假设 是：
▪ H0：行分类变量与列分类变量无关联
▪ H1：行分类变量与列分类变量有关联
▪ =0.05
▪ 统计量
P2
k i1
(Ai
Ti )2 Ti
，其中Ai是样本资料的
计 数 ， Ti 是 在 H0 为 真 的 情 况 下 的 理 论 数 ( 期 望
❖ 实际数据的频数分布和理论假设相同 ▪ 理论分布与实际分布的检验
❖ 使用不同的牙膏并不会影响龋齿的发生（两个分 类变量间无关联） ▪ 两变量的相关分析
四格表2值的校正
❖ 英国统计学家Yates认为，2分布是一种连续型分 布，而四格表资料是分类资料，属离散型分布， 由此计算的2值的抽样分布也应当是不连续的， 当样本量较小时，两者间的差异不可忽略，应进 行连续性校正（在每个单元格的残差中都减去0.5）
k
2
(Ai Ei)2k
(Ai npi)2
E i1
i
i1 npi
方法原理
• 从卡方的计算公式可见，当观察频数与期望频数完全 一致时，卡方值为0；
• 观察频数与期望频数越接近，两者之间的差异越小， 卡方值越小；
• 反之，观察频数与期望频数差别越大，两者之间的差 异越大，卡方值越大。
• 当然，卡方值的大小也和自由度有关。
方法原理
牙膏类型 含氟牙膏 一般牙膏 合计
表 6.2 使用含氟牙膏与一般牙膏儿童的龋患率
患龋齿人数 70(76.67) 45(38.33) 115
未患龋齿人数 130(123.33) 55(61.67)
185
调查人数 200 100 300
龋患率（%） 35.00 45.00 38.33
更一般地，可将上述表格记为表 6.3 的一般形式，称之为四格表(fourfold table)。因为表 中 a、b、c 和 d 四个格子的数据是基本的，其余数据均可从这四个数据派生出来。
根据 H0 得 b、c 两格的理论数均为 Tb = Tc = (b+c)/2， 对应的配对检验统计量为：
2 (b c)2 ,
bc
1
一般在 b + c < 40 时，需用确切概率法进行检验，
或者进行校正。
❖mcci 56 35 21 28
注意事项
❖ McNemar检验只会利用非主对角线单元格上的信息， 即它只关心两者不一致的评价情况，用于比较两 个评价者间存在怎样的倾向。因此，对于一致性 较好的大样本数据，McNemar检验可能会失去实用 价值。
▪ 若n > 40 ，此时有 1< T 5时，需计算Yates
连续性校正2值
▪ T <1，或n<40时，应改用Fisher确切概率法直
接计算概率
四格表2值的校正
例 6.8 为比较某新药与传统药物治疗脑动脉硬化的疗 效，临床试验结果见表 6.4，问两种药物的疗效有无差异？
表 6.4 两种药物治疗脑动脉硬化的疗效
方法原理
表 6.10 在四格表(表 6.9)周边合计不变的条件下，1=2 时的概率分布计算
d
0
1
2
3
4
5
6*
7
8
P(d) 0.0106 0.0789 0.2244 0.3168 0.2420 0.1019 0.0229 0.0025 0.0001
累计概率 0.0106 0.0895 0.3138 0.6306 0.8726 0.9745 0.9974 0.9999 1.0000
操作步骤
❖ 值得指出，成组设计四格表资料的2检验与前面
学习过的两样本率比较的双侧u检验是等价的。若
对同一资料作两种检验，两个统计量的关系为2=
u2。其对应的界值也为平方关系。两者的应用条
件也是基本一致的，连续性校正也基本互相对应。
卡方检验假设的等价性
❖ 两组儿童的龋齿率相同 ▪ 两组发生率的比较
操作步骤
4. 确定P值和作出推断结论 ▪ 查附表8，2界值表，得p>0.05。按 = 0.05 水准，不拒绝H0，尚不能认为使用含氟牙膏比
使用一般牙膏儿童的龋患率低。 ▪ 对于四格表，卡方的计算公式又可进行简化，
以方便手工计算
• 对计算机而言并无实际价值 • tabi a b \ c d, chi2
方法原理
❖ 理论频数
▪ 基于H0成立，两样本所在总体无差别的前提下
计算出各单元格的理论频数来
TRC
nRnC n
牙膏类型 含氟牙膏 一般牙膏 合计
患龋齿人数 70(76.67) 45(38.33) 115
未患龋齿人数 130(123.33) 55(61.67) 185
调查人数 200 100 300
表 6.9 某新药治疗原发性高血压的疗效
分组 试验组 对照组
有效 20(a)
2(c)
无效 8(b) 6(d)
合计 28
8
有效率（） 71.43 25.00
合计
22
14
36
61.11
分析实例
1．建立检验假设和确立检验水准
▪ H0：新药组与对照组疗效相等，即 1 = 2 ▪ H1：新药组与对照组疗效不等，即 1 2
处理措施
有效
无效 合计 有效率（）
新药组 41(38.18) 3(5.82) 44
93.18
传统药物组 18(20.82) 6(3.18) 24
75.00
合计
59
9
68
86.76
确切概率法
分析实例
▪ 注意：确切概率法不属于2检验的范畴，但常 作为2检验应用上的补充。
例 6.13 研究某新药治疗原发性高血压的疗效，并用常规治疗药物作为对照组，结果见 表 6.9，问新药疗效与对照组疗效有无差别？
❖ 问题：患病人群的血型是否属于该地区一般人群 的血样分布
实例
血型
A
B
AB
O
概率
0.25 0.5 0.1
0.15
理论数T 12.5 25
10
7.5
检验统计量2 (1512.5)2 (1025)2
12.5
25
(810)2 (177.5)2 21.93
10
7.5
界值02.05=7.81，2 7.81，拒绝H0
30.15
34.17
38.19
chi-sq uare
操作步骤
1. 建立检验假设和确定检验水准 ▪ H0：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率相等 ▪ H1：使用含氟牙膏和一般牙膏儿童龋患率不等
2. =0.05 3.计算检验统计量2值
2 7 0 7.6 6 2 7 1 3 10 .3 223 4 5 3.3 8 23 5 5 6.6 1 2 7 7.6 67 1.3 23 3.3 83 6.6 17 2 .82
i1
Ti
当 H0 为真时，检验统计量 2 近似服从自由度为 ห้องสมุดไป่ตู้ 1的卡
方分布。即：当
2
2 0.05,m1
，则拒绝
H0。
举例：
❖ 某医生收治在某地50个患者，其血型分别如下：
血型 A
B
AB
O
人数 15
10
8
17
❖ 已知该地区的一般人群的血型分布如下：
血型 A
B
AB O
概率 0.25 0.5
0.1
0.15
方法原理
❖ 卡方分布 ▪ 显然，卡方值的大小不仅与A、E之差有关，还 与单元格数（自由度）有关
.12
.10
.08
概率
.06
.04
.02
0.00 .00
4.02 2.01
8.04
12.06
16.08
20.10
24.12
28.14
32.16
36.18
6.03
10.05
14.07
18.09
22.11
26.13
龋患率（%） 35.00 45.00 38.33
方法原理
❖ 残差 ▪ 设A代表某个类别的观察频数，E代表基于H0计 算出的期望频数，A与E之差被称为残差。 ▪ 残差可以表示某一个类别观察值和理论值的偏 离程度，但残差有正有负，相加后会彼此抵消， 总和仍然为0。为此可以将残差平方后求和，以 表示样本总的偏离无效假设的程度。
合计 1
检验分类资料服从某个分布
H0 : 样本所在总体的分布与总体B的分布相同
H1 : 样本所在总体的分布与总体B的分布不同
α = 0.05
在 H0 为真情况下，Y=1,2,⋯,m 对应样本量为 n
的每个期望值为 Ti in i 1, 2,L , n
检验统计量 2 m ( Ai Ti )2
表 6.6 三种不同类型关节炎的临床疗效
关节炎类型
有效
无效
合计
类风湿性关节炎
97
18
115
风湿性关节炎
37
20
57
骨性关节炎
14
17
31
合计
148
55
203
分析步骤
❖建立假设
▪ H0：三种不同类型关节炎的疗效相同 ▪ H1：三种不同类型关节炎的疗效不全相同
❖求出统计量
❖下结论
几点遗留问题
❖ 是否应当进行两两比较？ ▪ 这又是一个打嘴仗的问题，虽然有人提出用卡 方分割等方法来检验，但同样也有学者对这种 做法嗤之以鼻 ▪ 实际上，随着统计学的发展，这个问题已被超 越，可以使用对分类数据的建模方法，如 logistic模型等对此问题加以解答
两组两分类资料检验
内容
1
卡方检验入门
2 配对设计两样本率比较的χ2检验
3
行列表资料的分析
4
确切概率法
检验分类资料服从某个分布
❖ 设从总体A中随机抽取一个样本，样本量为n，其 资料分布如下：
Y 取值 1 2 3 ⋯ m 频数 A1 A2 A3 ⋯ Am 某一个已知总体 B 的分布如下
合计 n
Y 取值 1 2 3 ⋯ m 频数 1 2 3 ⋯ m 问：样本所在总体是否为总体 B？
▪ 例如对1万个案例进行一致性评价，9995个都是 完全一致的，在主对角线上，另有5个分布在左 下的三角区，显然，此时一致性相当的好。但 如果使用McNemar检验，此时反而会得出两种评 价有差异的结论来。
行列表资料的分析
例 6.10 用某新药治疗不同类型关节炎的疗效如表 6.6，问该药治 疗不同类型关节炎的疗效是否有差别？
几点遗留问题
❖ 如果是有序资料该怎么处理 ▪ 传统的卡方检验是无法对次序信息加以利用的 ▪ 单向有序：秩和检验 ▪ 双向有序：实际上考察的是两变量间的关联性 （相关性），可以使用专门的关联性指标分析 ▪ 目前对卡方检验还有一些扩展方法，如CMH卡方， 可以处理此类问题
几点遗留问题
❖ 行列表卡方检验的适用条件 ▪ 理论频数不宜太小，一般认为不宜有1/5以上格 子的理论频数小于5或有一个格子的理论频数小 于1 ▪ 不太理想的办法
方法原理
另一方面，残差大小是一个相对的概念，相对于期望 频数为10时，20的残差非常大；可相对于期望频数为 1000时20就很小了。因此又将残差平方除以期望频数 再求和，以标准化观察频数与期望频数的差别。
▪ 这就是我们所说的卡方统计量，在1900年由英 国统计学家Pearson首次提出，其公式为：