第十二章 无穷级数(答案)

第十二章 无穷级数

(一)

1．解：∵(

)

∑

=∞→-+=+-+=n

k n n k k S 12212，(∞→n ),∴原级数

发散。

2．解：∵()

∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=n

k n k n n k k k k S 1141

221212122121212221，

(∞→n )，∴原级数收敛且和为

4

1。 3．解：∵41

215

11511513113113151315131

111+→-⎪

⎭⎫ ⎝⎛

-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=

+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∑∑∑===n n n

k k n k n k k k k n S

4

3=

，(∞→n )，∴原级数收敛且和为43。

4．解：∵()∞=++=∞→+∞→+∞→1001

lim !100100!1lim lim 11n n n U U n n n n n

n n ，∴由比值判别法知原级

数发散。

5．解：∵()11

11lim 1lim lim 11<=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=∞→+∞→+∞→e n n e n e e n U U e

n e n n e

n n

n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。

6．解：∵02

1

21lim

lim ≠=+=∞

→∞

→n n U n n n ，∴原级数发散。 7．解：∵()()2332lim 1lim

=++=∞→∞→n n n n n

U n n n ，而∑∞

=11

n n

发散，∴由比较判别法知原级数发散。

8．解：∵13113lim 13lim lim <=+=⎪⎭

⎫

⎝⎛+=∞→∞→∞→n n n n U n n n

n n n n ，∴由比值判别法知，原级数收敛。

9．解：∑

∑∞

=-∞

==1

1

1

2

||n n n n n U ，由正项级数的比值判别可知，此级数收敛，故原

级数绝对收敛。

10．解：n n U n 1ln 1||>=，而∑∞=21n n 发散，故∑∞

=2

ln 1n n 发散。因此原级数非绝对收敛，又，显然

()n

n ln 1

1ln 1<

+， ,3,2=n ，且0ln 1lim =∞→n n ，故由莱布尼兹判别法知原级数条件收敛。

11．解：∵313lim 313lim lim 11=+⋅=+=∞→+∞→+∞→n n

n n a a n n n n n

n n ，∴31=R ，当31=x 时，级数为∑

∞

=11n n 发散，当31-=x 时，级数为()∑∞

=-1

1

1n n n 收敛。故原级数的收敛区

间为⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡-31,31。

12．解：∵()

0111

11111→⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=++n

n n n n n n n n a a ，()∞→n ，∴∞=R ，收敛区间为()+∞∞-,。

13．解：∵()21

122lim lim 11=+=+∞→+∞→n n a a n n n n

n n ，∴2=R 。故当2|1|<-x ，即

31<<-x 时收敛，当1-x 时发散，当1-=x 时，级数为()

∑∞

=-11

1n n

n

，收敛；当3=x 时，级数为∑∞

=11

n n

，发散。故收敛区间为[)3,1-。

14．解：设()∑∞

=-=1

1n n nx x f ，1||

()∑∑⎰⎰∑⎰

∞=∞=-∞=--=

==⎪⎭

⎫ ⎝⎛=1101

0110

1n n n x n x

n n x x x x dx nx dx nx dx x f ∴()()2

111x x x x f -='

⎪⎭

⎫

⎝⎛-=，1||

∞

=++=1121

21

n n x n x f ，1||

()()

2

21121211211

21121x x x x n x n x f n n n

n n n -=='+='⎪⎭⎫ ⎝⎛+='∑∑∑∞=∞

=+∞=+

()⎰

⎰-='x x

dx x x dx x f 0

02

2

1，

即()()dx x x f x f x ⎰⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝

⎛++-=-011111210， ∴()()x

x

x x x x f x f -++-=--++=11ln 21111ln 210，1||

(二)

16．解：∵()()∑∑==→⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=n

k n

k n n n n n n S 11121

43141314311

313143131,

()∞→n ，∴原级数收敛且和为

12

1

。 17．解：∵()()∑∑∞

=∞

=⎪⎭⎫

⎝⎛+-+=++=11211

11211k k n k k k k k k S

⎪⎭⎫

⎝⎛+-+-+--=⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-=∑∞

=21112112111211211111k k k k k k k k

41431=-

→，()∞→n ，∴原级数收敛且和为4

1。 18．解：∵()()12

112!21!12111<→⎪⎭⎫

⎝⎛+=++=+++e n n n n n U U n

n n n n n n ，()∞→n ∴由比值判别法知原级数收敛。

19．解：∵1941321321323

2

3

2<→⎪

⎭

⎫

⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪

⎭

⎫

⎝⎛-=+n

n

n n n n n n n n n U ，()∞→n ∴由根值判别法知原级数收敛。

20．解：∵()()()()()()01212!2!122

2121→++=+=++n n x x n n x U U n

n n

n ，()∞→n ，故对x ∀，原级数收敛，所以收敛半径为∞，收敛区间为()+∞∞-,。

21．解：∑∑∞=-∞

==1121

222n n n n

nx x nx ，但

'

⎪⎭⎫ ⎝⎛--='⎪⎭⎫ ⎝⎛=∑∑∞=∞

=-11122

121

1

2x

x nx

n n n n ()

2

212x x

-=

，故有()()

2

22

2

21121

2112222x x x x

x nx x nx n n n n

-=

-=

=∑∑∞=-∞

=，()1||