2020陕西省高考数学试题的特点分析及2020年高考试题的命制趋势

2020年12月7日西安陕西高考数学复课会议
2020陕西省高考数学试题的特点分析
及2020年高考试题的命制趋势
（联系方式：E: Q: 363215694 ）
咸阳师范学院安振平
2020年高考数学试题的特点分析
今年的陕西高考数学试题，从整体上看，充分贯彻了全国高考数学《考试大纲》的基本精神，紧扣了现行高中数学教材的内容，既注重了基础知识的考查,又突出了能力立意的命题理念.虽然相比陕西自主命题的2020年、2020年试题，创意上略有提升，难度上略有所提高，但试题的难度仍然比较适中. 符合陕西省内陕南、陕北、关中不同地区的高中数学教学的实际，利于于高校选拔人才的基本要求.笔者以为，试题应当说是一份比较成功的、质量比较高的试题.
试题求“稳”，稳在哪里？
从试题的布局看，依然是22道试题，分别为12道选择题，4道填空题，6道解答题，和全国的模板相同，但分值用的是全国的旧形式，那就是，选择题60分，填空题16分，解答题74分.
从试题内容的布局上来看，重点没有变化，思想没有变化，原则没有变化，导向没有变化，特色没有变化.具体表现在：
主观题目考查的知识点相对稳定，例如：复数（理科），抽样（文科）线性规划，集合，等差数列，充要条件，反函数，涉及球的组合几何体，二项式定理，排列组合，解三角形，极限（理科），向量，直线与圆的位置关系，等等.
客观题目考查的题型也没有多大的变化，依然是，三角函数，概率与统计，立体几何里元素的位置关系判定与计算，解析几何里的直线与圆锥曲线的关系，函数、导数与不等关系，递推数列与不等式证明.
这些“稳定”点的重现与“不动点”的设计，充分体现了高考命题的基本要求：一是真正为中学生减负，二是把中学生的能力考出来.
文理科试题里均没有偏题、怪题与过难的题目，相同的题目有11道，类似的姊妹题有5道，不同的题目有6道.这样的处理，有效的显示了文理科学生数学能力的区别，设计的比较科学，符合高中生的实际，为今后的命题和高考文理科复习的不同要求，提供了比较好的方向.
试题求“变”，变在何处？
仔细比照陕西自主命题以来的2020、2020年的试题，不难发现，2020年试题是有一定变化的，变在知识载体的适度迁移，解题能力要求的恰当提升.
例如：第7题的反函数，2020年是抽象函数图像的选择题目，而2020年却变化为具体的指数函数与对数函数的运算问题.文理科均有的第12题，与2020年的第12题比照，均为信息安全情景，但新考题的加密办法要较原来考题新颖一点、抽象一点的.很好的处理了继承与发展变化的关系.
又如：数列题目2020年，2020年都设计了n a 与n S 的关系的题目，而在2020年的题目里，有意做了回避.对解析几何解答题目，2020年设计了求参数的取值范围，2020年出现了求面积的最大值，都和不等式相联系，而2020年却有意避免了不等关系的出现，转变为等量关系了.立体几何解答题，其图形载体是比较新颖的.2020年是直二面角的图形，2020年是四棱锥的图形，而2020年却变化为“台体”了，当然，不变化的因素是，都有一线与一面垂直啊！
再如：理科的函数题目，2020年是三次函数、导数与数列不等式证明，2020年是指数函数与二次函数复合的分式型的函数，求参数的取值范围，求函数的单调区间.而2020年却变化为一次函数与二次函数复合的分式函数，载体做了一定的调整与变化，问题似乎也新鲜了一点的.数列题目，陕西命题的前两年，没有出项递推模型：1n n x cx d +=+，而这点在2020年的理科第22题、文科第20题里得到了比较好的体现，此题目的背景，可以在课本上找到证实：过渡的人教版教材第一册（上）110页，或新课标人教A 版数学必修5的第38页均
有如下问题：
已知数列{}n a ，111
,41(2)2
n n a a a n -=
=+≥，写出数列的前5项． 这是根基在课本上的例子. 更多的往年高考真题的例子，可以列出如下的清单： 1. (2020，重庆)在数列｛a n ｝中，若a 1=1．a n +1=2a n +3 (n ≥1)．则该数列的通项a n =__ ．
2.（2020，福建）已知数列{}n a 满足*
111,21()n n a a a n N +==+∈．求数列{}n a 的通
项公式．
3. （2020，全国2）设数列{}n a 的首项1(01)a ∈，，1
32
n n a a --=，234n =，，，…．求{}n a 的通项公式.
4. (2020，全国1) 已知数列{}n a 中12a =，11)(2)n n a a +=+，123n =，，，…． 求
{}n a 的通项公式.
当然，还有许多的高考数列题目，通过变换以后，可以转化为模型：1n n x cx d +=+，
请看：
1.（2020，全国）已知数列{}n a 满足1
111,3(2)n n n a a a n --==+≥，证明：312
n n a -=．
提示：对113n n n a a --=+的两边同时除以3n
，就得
1111.3333
n n n n a a --=⋅+ 2.（2020，天津）设0a 是常数，且1123()n n n a a n N -*
-=-+∈，证明：对任意1n ≥，
101
[3(1)2](1)25
n n n n n n a a -=+-⋅+-．
提示：对1132n n n a a --=-的两边同时除以3n
，就得
11213333
n n n n a a --=-⋅+. 3.（2020，江苏）已知10a >，2
11n n a a a
+=（a 为正常数）
，用1,a a 表示n a ． 提示：对2
11n n a a a
+=
的两边取对数，就得 1lg 2lg lg .n n a a a +=-
4. （2020，四川）设数列{}n a 的前项为n S ，已知2(1)n
n n ba b S -=-．（Ⅰ）证明：
当2b =时，1
{2}n n a n --⋅是等比数列；（Ⅱ）求{}n a 的通项公式．
提示：条件式可以转化为 1
12
n n n a ba --=+(2,*)n n N ≥∈.再用同除技巧，就可以转
化为如上的模板了.
试题求“新”，新在哪里？
一些新颖的题目的设计，显示了命题者的数学智慧，展示了数学试卷的种种“亮点”，为了实现命题的“能力立意”，创设了很好的问题情景.
例如：理科第9题文科第10题将直二面角里的线段长、角度大小，巧妙的设计为新颖的不等式比较大小题目，具有一定的创新性. 第11题，一抽象函数为载体，考查相关的计算，试题设计简洁明快，作为陕西的题目，是有一定特色的. 第12题以信息传递为背景，涉及了集合、新定义的运算，属于一道新颖的智能型的试题，第16题以国家大事奥运火炬传递为题材，设计的背景是新颖的，也是紧跟时代要求. 又如：第19题是一道立体几何题目，此类问题要有新的创意，是不那么容易的. 但陕 西的命题高手却可以做到，高三的师生意想不到, 2020年一直二面角的图形展示，而2020年却以“三棱台”的图形闪亮登场. 要知道，立体几何题目的设计，不是椎体，就是柱体啊，那来的这等“怪物”，教材上没有涉及的. 再看理科第22题，第I 问设计平常，而第II 问却设计独特、新颖，半路杀出了程咬金，怎么多出了个未知数x ，有意思！第III 问更上一层楼，感觉中，一定有什么玄妙，可能有高等数学的背景？和面积、积分有联系，读者不妨思考之.
● 理科压卷试题的研讨 2020年陕西高考理科数学压轴题为：
问题：已知数列{}n a 的首项13
5
a =，13,1,2,.21n n n a a n a +=
=⋅⋅⋅+ （I ）
求{}n a 的通项公式； （II ）
证明：对任意的()21120,,1,2,;131n n
x a x n x x ⎛⎫>≥
--=⋅⋅⋅ ⎪+⎝⎭
+ （III ）
证明：2
12.1
n n a a a n ++⋅⋅⋅+>
+ 笔者以为，该考题的设计是比较新颖、独特的，从参考答案提供的解答方法来看，第（I ）题是用“倒数变换”，构造等比数列求解的；第（II ）题是用“配凑”数学通项，利用（I ）的结论做答的；而第（III ）题是借助（II ）的结论，对x 取特殊值，这个值的选择，没有一定的数学悟性，是比较难想到的.
● 关于第（I ）小题的求解 一个提及的问题是，如果没有想到“取倒数”法，没有转化到如上的模型上去，还能够求数列{}n a 的通项吗？
其实，由首项出发，借助递推关系，求它的第2项，第3项，第4项，就得
135a =；23395311215a ⋅
==⋅+；39
327119292111a ⋅==⋅+；4273812927832129
a ⋅==⋅+. 据此，容易猜出 332
n
n n a =+. 接下来，可以用数学归纳法证明之.
这种从特殊到一般，“归纳、猜想、证明”的思想方法，是求解数列问题的基本方法，理应成为考生思考此类问题的通性通法，也应当是首选的方法.
探究第（II ）小题的证明
我们知道，证明不等式最有效的通性通法，那就是作差比较法. 请看：
为了书写的简单，换元是一个好主意，令11t x =
+，则1
1x t
=-，于是 ()2112131n n
x a x x ⎛⎫
--- ⎪+⎝⎭
+ ()22
222
21132313
111
210.n
n n n
n n
n n
n n n
t t a t t t a t t t a a t t t a a t a a ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭⎛⎫
=--- ⎪⎝⎭=-⋅+-=-
-≤
请读者思考，为什么我们没有早早地把通项代入呢？这样做的话，运算会简单吗？
通过观察，我们看出所要证明的不等式里有,,3n
n x a ，而由（I ）的结论知道3n
n a 与之
间有关系332
n
n n a =+，我们就可以消去一种字母呀. 这种“消元”，我们是经常利用的，属
于通性同法. 你看到了吗？上面的证明就是消去了3n
呀！基于这样的认识，我们利用数列的
通项式332n n n a =+，反解得 231n n n a a =-，再结合2元均值不等式2
2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭
，就有如下的证明方法：
()2112131n
x x x ⎛⎫
-- ⎪+⎝⎭
+
()()()()
22
2
1111111
11111
1211111211n
n n n n n a x x a x x x a x a x
x a a x x ⎛⎫-=-- ⎪++⎝⎭⎡⎤
=
-
-+⎢⎥++⎣⎦=-⋅+
++⎛⎫=
⋅- ⎪++⎝⎭
2
112111.2n
n n a x x a a ⎡⎤⎛
⎫+- ⎪⎢⎥++⎝⎭≤⋅=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
我们知道，灵活的配凑，巧凑乘积的因子、妙分和式的项，这是应用2元均值不等式的前提. 关注如何消失字母x ，仅留下n a ，你可能就有了点感觉了.
研究第（III ）小题的证法
数列不等式的证明是历年高考的热门话题，这类问题往往有着数学竞赛题目的味道，其难度是比较大的，适度的放大或缩小，其技巧性是很高的，能够有效地检查考生的分析问题与解决问题的技能.
不用参考答案里的证明方法，你能证明吗？这是数列不等式的证明问题，通性通法是数学归纳法，可以证明吗？完全可以，但运算量大，技巧性比较高，留给读者去完成.
猜透了命题人的原始意图，看穿了题目的本质属性，你就会发现，利用n 元均值不等式去证明，就太简单了！
证明1：所要证明的不等式等价于
22
23333232321
n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 由n 元均值不等式，得
22333323232n n ++⋅⋅⋅+≥+++
22323232333n n +++++⋅⋅⋅+≥
两式相乘，便得
222223333232323232
32333n n n n n ⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥ ⎪
⎪+++⎝⎭⎝⎭. （*） 注意到 22323232333
n n +++++⋅⋅⋅+
222
233
3211331
131
13
1,
n n n
n n n n ⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪
⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-=+-<+ 于是，由（*），立即得出 22
23333232321
n n n n ++⋅⋅⋅+>++++.
证明2：用柯西不等式，便得
(
)
2
2
12n y y y ⎛++⋅⋅⋅+=+⋅⋅⋅+ ()222111121
11,n y y y x x x x x x ⎛⎫
≤++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭
即有 ()2
2221211111112n n
y y y y y y x x x x x x ++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+. （**） 据此，并注意到
22221
13333
n n ++⋅⋅⋅+=-，便有 22333323232
n n ++⋅⋅⋅++++ ()
2
2
22
22
21112221113
33111222111333
222333113,1
n
n n
n
n n n n n n =
+
+⋅⋅⋅+
+++++⋅⋅⋅+≥
+
+++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅+=
+->+
即有 22
23333232321
n n n n ++⋅⋅⋅+>++++. 得证 . 在如上的证明里，我们用到的n 元平均值不等式和柯西不等式，对于原人教版高中教材
而言，不属于课本内容，属于高中数学竞赛的要求. 对于新课标的高中教材，则属于选学的内容，一些省份属于高考的必考知识.
需要说明的是，柯西不等式的变形（**），许多参考资料上称为“权方和不等式”，由此不等式，可以证明许许多多的数学竞赛里的不等式，这可以在有关的文献里找到. 我们也可以这样去思考： 原参考答案是利用第（2）题的结论来证明第（3）题里的不等式的. 笔者的想法是能不能给出直接的证明方法呢？这是可以做到的.
证明：用数学归纳法进行证之.
(1) 当1n =时，有135a =
1
2
>, 此时不等式成立. (2) 假设n k =时，2
121
k k k S a a a k =+++>+L 成立. 那么，当1n k =+时,
21
112113132
k k k k k k S a a a a k ++++=++++>+++L .
因为函数2
()122
x f x x x =
=-
++在(0,)+∞上为增函数, 所以 212
112
12
3(1)1322
3313232k k k k k k k k k k k k ++++++-+++++=-+++ 121
2(12)31
(12)232
k k k k k k +++++=-++++ 012211
211111012211
2
111112222312222232k k k k k k k k k k k k k k k k k k C C C C C k k C C C C C k k +++++++++++++++++++++=-++++++++L L 1222111
1222
1111222311222232
k
k k k k
k k k C C C k k C C C k k +++++++++++>-++++++ 22222653126732
k k k k k k k k ++++=-++++ 2221
1126732k k k k =-
-+++++
221107
3232k k k k =->++++,
所以 212
13(1)1322
k k k k k k ++++>+++, 即 2
1(1)2
k k S k ++>+，所以1n k =+时也成立，
故2
1231
n n a a a a n ++++>+L .
其实，将第（1）题求得通项公式代入第（3）题里的不等式，变形，就得如下不等关系：
问题2-2：已知函数1
()32
x
f x =
+，对于任意的正整数n ，求证： 11(1)(2)()1.21f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<- ⎪+⎝⎭
证明：所证明的不等式等价于
(1)(2)()22
n
f f f n n ++⋅⋅⋅+<+. （1）
先证，当3k k N ≥∈，时，有
111()3221k
k k f k k k -⎛⎫
=
<- ⎪++⎝⎭
， （2） 这等价于 2
3222k
k k +>+. （3） 用数学归纳法可以证明，事实上，
当3k =时，3
2
3229242323+=>=⋅+⋅, 不等式（3）显然成立；
假设(3)k m m =≥时，有2
3222m m m +>+. 那么，当1k m =+时，
()()
123233233243224m m m m m ++=⋅+=+->+-
()222
2(1)2(1)422(1)2(1),
m m m m m =++++->+++
即1k m =+时，不等式（3）也成立. 综上可知，不等式（3）, 也即不等式（2）成立. 在不等式（2）中，取3,4,,k n =⋅⋅⋅，得 132(3)243f ⎛⎫
<
- ⎪⎝⎭， 143(4)254f ⎛⎫<
- ⎪⎝⎭
，
......,
11()21n n f n n n -⎛⎫
<
- ⎪+⎝⎭
,
叠加，得 (1)(2)(3)(4)()f f f f f n +++⋅⋅⋅+
13214311(1)(2)24325421n n f f n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫
<++
-+-+⋅⋅⋅+- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭
11125112131616225548.22
n n n n n n ⎛⎫
=
+++- ⎪+⎝⎭
⎛⎫
=
+- ⎪+⎝⎭<+
故有 11(1)(2)()121f f f n n ⎛⎫++⋅⋅⋅+<
- ⎪+⎝⎭
成立. 这个证明思维于裂项，但需要对项的起步多点调整的.感觉中，这也是一种比较有趣的证明方法.
2020年高考数学试题的命制趋势
应当说，2020年是陕西高考特殊的一年，它是过渡教材的最后一个年份，所以，我依然人为，“稳定”的格局是大前提，要继承我省前3年命题中的一些成功经验，坚持“基本知识、基本技能、基本活动经验和基本思想方法”不动摇。

我的一些思考，也许不是那么成熟，仅供大家参考。

全国高考大纲是命题的文件，是命题的内容和能力要求，是定义域； 课本素材命题的基本依据，是考题编拟的蓝本，是“题根”，是“母题”。

其关键是要看如何变化、怎样去编拟、去形成新的考试题；
往年的真题是命题的参照系，是“求稳”的标准。

当然，其前提，求变，求新是命题人的追求！中央卷（也就是全国卷）是起到领导作用的，其它的地方卷是起参考作用的，而我们省（2020，2020，2020）三年的真题是起到比较大的参考作用的。

我们一直思考这样的一个问题，2020年没有考的知识点有哪些？2020年会考吗？怎样去考查？这是也许是比较灵验的！
比如：08年解析几何解答题是抛物线的问题，09年还是抛物线吗？不会吧？可能是椭圆？也许，怎样具体的考查，我们还可以继续去深入思考的。

又如：课本上数列求和的错位相减法，这是其它省考题的一个“亮点”，陕西09会考吗?也许值得我们思考。

命题的一些生长点： 课本题目：
问题：（教材不等式一章上有这样一道习题） 设02x <<，求函数
()f x =的最大值，并求相应的x 值.
变化1：设02x <<
，求函数()f x =
x 值.
变化2：设02x <<，求函数()()384f x x x =-的最大值，并求相应的x 值. 当然，我这是浅层次的变化，可以当作选择填空题的基本原型。

看来，你在高考复习的时候，适当地回归课本，把教材的问题做一点点、一点点的变化，如“换元”、改编“数值”、做点变形，让数学课本“活”起来，“新”起来，这样的教学也许就有了味道了，教学的效果也许就会好多了。

（2020，15）如图，平面内有三个向量OA OB OC u u u r u u u r u u u r ，，，其中OA u u u r 与OB
u u u r 的夹角为120°，OA u u u r 与OC u u u r 的夹角为30°，且1OA OB ==u u u r u u u r ，
23OC =u u u r ．若()OC OA OB λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r ，R ，则λμ+的值
为 ．
资料题目：
问题：求证：123.x x
>- ()1x >. 思考1：构造函数1()23,1,f x x x x ⎛
⎫=--
> ⎪⎝⎭求导，得 3'2111()0,x f x x
--=>= 所以，函数()f x 在区间()1,+∞上是单调递增函数.
当1x >时，()(1)0f x f >=，
从而 123.x x
>- ()1x >. 思考2：采用换元技巧，令,1,t x t =
>则所要证明的不等式等价于 2123t t
>-
()1t >. 这个不等式又等价于
32231t t >- ()1t >. 接下来，构造函数32
()231f t t t =-+()1t >，求导，得 '2
()666(1)0f x t t t t =-=->()1t >， 所以，函数()f t 在区间()1,+∞上是单调递增函数.
当1t >时，()(1)0f t f >=，
从而 32
231t t >- ()1t >. 这种证明方法的好处是：通过换元，将无理转化为有理，将分式转化为整式，这样，再构造函数，对其求导数，运算的过程就简单多了.
思考3：一个思考的问题是，如没有想到构造函数，那怎么去解答呢？其实，接着思考2中的不等式，只要
32231t t >- ()1t >.
证明不等式的基本方法，那就是做差比较法，具体的操作程序是：做差、变形、判正负. 事实上，()3232231231t t t t --=-+()()21210,t t =-+>()1t >.得证.
思考4：不用换元，不用构造函数，也可以直接给出简单的证法. 只要想到三元均值不等式，就可以了. 事实上
因为1,x >
所以 113,x x =>=
即有 13.x
>- ()1x >. 我们教师的心里，一定要清楚，我们是在追求一题多解吗？我们的复习教学想做什么？为学生提供学习的有效素材，提供解题的“念头”、“想法”，做适度的“点拨”，让学生“开窍”，让学生自动自发地去学习！
高考真题：
让我们一起来看看函数解答题近三年陕西理科如何考？
（2020，22）已知函数f(x)=x 3－x 2+x 2 + 14 , 且存在x 0∈(0,12
) ,使f(x 0)=x 0. （I ）证明：f(x)是R 上的单调增函数；设x 1=0, x n+1=f(x n ); y 1=12
, y n+1=f(y n ), 其中 n=1,2,……
（II ）证明：x n <x n+1<x 0<y n+1<y n ;
（III ）证明：y n+1－x n+1y n －x n
< 12 . （2020，20）设函数2()x
e f x x ax a
=++，其中a 为实数． （I ）若()f x 的定义域为R ，求a 的取值范围；
（II ）当()f x 的定义域为R 时，求()f x 的单调减区间．
（2020，21）已知函数21()kx f x x c
+=+（0c >且1c ≠，k ∈R ）恰有一个极大值点和一个极小值点，其中一个是x c =-．
（Ⅰ）求函数()f x 的另一个极值点；
（Ⅱ）求函数()f x 的极大值M 和极小值m ，并求1M m -≥时k 的取值范围． 竞赛题目：
希望杯数学竞赛题目，全国数学联赛一试题目，改编一下就可能成为下年的高考新颖题目了，这样的例子是很多的。

高数题目：
与“凸函数”、“不动点”、“中值定理”、“新定义运算”等相关。

例如：3年陕西高考理科选择第12题：
（2020）为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密),已知加密规则为:明文a,b,c,d 对应密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d,例如,明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时,则解密得到的明文为
A. 4,6,1,7
B. 7,6,1,4
C. 6,4,1,7
D. 1,6,4,7
（2020）设集合0123{}S A A A A =，，，，在S 上定义运算⊕为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，0123i j =，，，，，则满足关系式0()z x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
（2020）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据
组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，）
，传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是
A ．11010
B ．01100
C ．10111
D ．00011
又如：2020年理科22题与中值定理相关联。