幻方常规解法汇总
2021年幻方解法整理归纳
在一种由若干个排列整洁数构成正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线几种数之和都相等，具备这种性质图表，称为“幻方”。
国内古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。
1、奇数阶幻方——罗伯特法(也有人称之为楼梯法)（如图一：以五阶幻方为例）奇数阶幻方n为奇数(n=3，5，7，9，11……) (n=2×k+1，k=1，2，3，4，5……)奇数阶幻方最典型填法是罗伯特法(也有人称之为楼梯法)。
填写办法是这样：把1(或最小数)放在第一行正中；按如下规律排列剩余n×n-1个数：(1)每一种数放在前一种数右上一格；(2)如果这个数所要放格已经超过了顶行那么就把它放在底行，依然要放在右一列；(3)如果这个数所要放格已经超过了最右列那么就把它放在最左列，依然要放在上一行；(4)如果这个数所要放格已经超过了顶行且超过了最右列，那么就把它放在前一种数下一行同一列格内；(5)如果这个数所要放格已有数填入，解决办法同(4)。
这种写法总是先向“右上”方向，象是在爬楼梯。
口诀：1居首行正中央,依次右上莫相忘上出格时往下放,右出格时往左放.排重便往自下放,右上出格一种样图一 2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）① 把()122＋＝m n 阶幻方均提成4个同样小幻方A 、B 、C 、D(如图二)图二（注意A 、B 、C 、D 相对位置不能变化，由于12＋m 为奇数，因此A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方） ② 用持续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方，同理，在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312a a ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方（2na ＝）(如图三)图三（由于12＋m 为奇数，因此A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方，必然可以用持续摆数法构造幻方）③ 在A 中间一行上从左侧第二列起取m 个方格，在其他行上则从左侧第一列起取m 个方格，把这些方格中数与D 中相应方格中数字对调(如图四)：图四 不论是几阶幻方，在A 中取数时都要从中间一行左侧第二列开始；由于当6＝n 时，1＝m ，因此本例中只取了一种数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格，把这些方格中数与D 中相应方格中数字对调。
幻方的解法与技巧
幻方的解法与技巧幻方是一种有趣又神秘的数学谜题，它能够以独特的方式排列数字，使得每一行、每一列和对角线上的数字之和都相等。
本文将介绍一些常见的幻方解法和技巧，帮助读者更好地理解和解决幻方问题。
一、幻方的基本概念幻方是由一组数字排列而成的正方形矩阵，其中每个数字只出现一次。
幻方的阶数指的是矩阵的边长，例如3阶幻方表示由3x3的数字矩阵组成。
幻方中的每一行、每一列和对角线上的数字之和称为幻方的常数，通常用S表示。
二、奇数阶幻方的解法奇数阶幻方的解法相对较简单，常用的方法有“Siamese method”和“LUX method”。
1. “Siamese method”（暹罗法）这种方法是由17世纪的暹罗王室数学家发明的，它的基本思想是从幻方的中间行、第一列开始，按照特定规则依次填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的中间行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. “LUX method”（LUX法）这种方法是由中国数学家陆玉鹤发明的，它的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、中间列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满整个幻方矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
三、偶数阶幻方的解法偶数阶幻方的解法相对复杂，常用的方法有“偶数阶幻方解法1”和“偶数阶幻方解法2”。
1. 偶数阶幻方解法1这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
具体步骤如下：（1）将数字1填入幻方的第一行、第一列的位置；（2）依次填充数字2、3、4...直到填满四个子矩阵；（3）当填充到边界时，将下一个数字填入上一次填充的位置的右上方。
2. 偶数阶幻方解法2这种方法的基本思想是将幻方矩阵分割成四个大小相等的子矩阵，然后按照特定规则填充数字。
幻方
四阶幻方解法1.(对称交换法)1.求幻和(1 2 …… 16)÷4＝342.⑴将1～16按自然顺序排成四行四列;⑵因为每条对角线上四个数之和恰为幻和,保持不动.⑶将一四行交换、二三行交换，但是对角线上八个数不动。
⑷将一四列交换、二三列交换，但是对角线上八个数不动。
（1）1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16（2）1 14 15 49 6 7 125 10 11 813 2 3 16（3）1 15 14 412 6 7 98 10 11 513 3 2 16解法2.(田格图阵法)1.将1～16平均分为4组,每组4个数的和均为幻和34.(多种分法)如:1 12 7 14=2 11 8 13=3 10 5 16=4 9 6 15=34.2.分别填入4个田字格,两行之和分别为13与21.3.将4个田格合并,再适当转动各田格,得到满足要求的幻方.解法3：（推理法）常用，虽然速度不是很快。
其实就是在1~16这16个数找到四个数相加为34的数填在四阶幻方的正中间，然后按照一定的推理方法填入其它空格内。
（方法挺笨重，但挺实用的）解法4：（方程法）四阶幻方，可以有设置5个未知数到里面，只要代进其中的数，可以推出其它的数，具体设置位置，可以看下附图（应该上传的得了）五阶幻方：第一行：17、24、+1、+8、15第二行：23、+5、+7、14、16第三行：+4、+6、13、20、22第四行：10、12、19、21、+3第五行：11、18、25、+2、+9附：填奇数阶幻方规则：┌—┬—┬—┬—┬—┐│17│24│1 │8 │15│├—┼—┼—┼—┼—┤│23│5 │7 │14│16│├—┼—┼—┼—┼—┤│4 │6 │13│20│22│├—┼—┼—┼—┼—┤│10│12│19│21│3 │├—┼—┼—┼—┼—┤│11│18│25│2 │9 │└—┴—┴—┴—┴—┘所谓幻方，就是一个n行n列的正方形，当n为奇数时，称为奇数阶幻方。
幻方题目解题思路
幻方题目解题思路幻方这玩意儿挺有趣的呢！咱来唠唠解题思路哈。
一、啥是幻方首先得知道幻方是个正方形的格子阵，就像九宫格那种（当然也有其他规格的，像四阶幻方啥的）。
每一行、每一列还有对角线上的数字加起来都得等于同一个数，这个数就叫幻和。
二、三阶幻方（九宫格）的基本思路1. 确定幻和- 对于三阶幻方（3×3的格子），因为1 + 2+3+4+5+6+7+8+9 = 45，这9个数要平均分配到三行（或者三列），所以幻和就是45÷3 = 15。
2. 找中心数- 在三阶幻方里，中心数特别重要。
因为它会在四条线上（一行、一列和两条对角线）参与求和。
- 假设中心数是x，那么它在四条线上相加的总和就是4x。
其他八个数两两组合成四组，每组和都等于幻和 - x。
- 经过计算就会发现中心数是5（你可以自己试着推导一下哦，挺好玩的）。
3. 填角上的数- 角上的数也很关键。
一般先从和5能凑成15的数开始考虑，像1、9，2、8，3、7，4、6这几组。
- 先试着把1放在左上角（只是个例子，放哪儿都行开始），那它对角就得是9，这样才能保证对角线的和是15。
然后再根据每行每列的和是15慢慢填其他的数。
1. 连续自然数幻方- 对于四阶幻方，1到16这16个数的和是136。
因为要四行（或四列），所以幻和是136÷4 = 34。
- 有一种方法叫“对称交换法”。
先把1到16按顺序填到四阶方阵里，就像从左上角开始横着填。
- 然后把对角线上的数保留，其他的数关于中心对称交换位置。
这样就得到了四阶幻方。
- 更高阶的幻方也有一些类似的方法，不过会更复杂一些。
2. 不是连续自然数的幻方- 如果不是1、2、3……这样连续的数，那首先得算出这些数的总和，然后确定幻和（总和除以阶数）。
- 然后可以先找一个和这些数相近的连续自然数幻方，再通过调整数字的大小来得到想要的幻方。
总之呢，幻方就像一个数字谜题，要根据幻和、数字的规律还有一些特殊位置（像中心数、角上数）的特点来慢慢拼凑出答案，多试几次就会找到感觉啦！。
幻方的技巧和解题思路
幻方的技巧和解题思路
幻方是一个矩阵，其中每行、每列和对角线上的元素之和都相等。
解题和构建幻方的方法有很多，以下是一些常用的技巧和解题思路：
1.奇阶幻方的构建：
o3阶幻方：可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"来构建。
o5阶幻方：可以使用"Burr（亨利·伯尔）方法"来构建。
o对于其他奇数阶的幻方，可以使用"La Hire（菲利普·莱尔）方法"来构建。
2.偶阶幻方的构建：
o4阶幻方：可以使用"De la Loubère（安德烈·纳诺·德拉卢贝尔）方法"来构建。
o6阶幻方：可以使用"J. R. Hendricks（乔布·亨德里克斯）方法"来构建。
o对于其他偶数阶的幻方，可以使用"Siamese（托马斯维尔纳·托马斯纳格尔）方法"或其他类似的方法来构
建。
3.递推法：可以使用递推法构建幻方，即通过给定的幻方来
构建更大阶数的幻方。
这种方法可以应用于各种阶数的幻
方。
4.数学公式：还有一些数学公式可以用来生成特定阶数的幻
方。
例如，Ramanujan公式可以用来生成8阶幻方，而Strachey公式可以用来生成12阶幻方。
5.对称性和规则性：在构建幻方时，利用对称性和规则性可
以更容易地确定某些元素的值，从而简化构建过程。
这些是一些常用的技巧和解题思路，但构建幻方是一个复杂的数学问题，需要深入的数学知识和技巧。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为 17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方算法
幻方算法首先，奇数的幻方，第一行中间放1，然后依次2、3、4一直往右上填，越界则反向，如果该位置有了数字，则排在前一个数的下面。
原则：非右上则下其次，4的倍数的的幻方。
设N%4等于0，则以每个4*4画对角，不在对角线上的数字与相对应数字对换。
比如8*8的,(0,1)与(7,6)对换，类推。
原则：横竖下标对N比余，相等或相加等于3则忽略，不做对换最后，最复杂的最后一种情况，单偶数的幻方。
我找了资料，但是没有完全好用的，总有缺陷概念:N=4m+2方法1：ACDB按上图将其分为4个部分，分别填入1-N*N/4组成的奇数幻方,N*N/4+1-N*N/2组成的奇数幻方,N*N/2+1-N*N/4*3组成的奇数幻方,N*N/4*3-N*N组成的奇数幻方将AD中m列互换。
不是镜面互换，而是平移。
将BC中m-1列互换，同上。
方法2：LUX法L U X41 14 1423 23 32先做一个N/2的奇数幻方，然后把这个幻方的每个数x替换成一个田字的四个数(x-1)*4+1——x*4这四个数的排列顺序有3种，前m+1行的按L排列，后m-1行的按X排列，中间一行中间一列按L排列，其余的按U排列。
下面是我写的JAVA实现类，2种单偶数我都实现了（第一种方法的实现被我注释掉了），还有一个监测的方法，仅供参考。
public class HuanClass {private int N;private int SUM;private int MAX;private int[][] RE;public HuanClass(int val) throws Exception{N=val;MAX=N*N;if(MAX%2==1)SUM=(MAX+1)/2*N;else SUM=(MAX+1)*N/2;RE=new int[N][N];if(N<3)throw new Exception("shit");else if(N%2==1)RE=CountOdd(N);else if(N%4==0)CountFour();elseCountEven();}private int[][] CountOdd(int n){int[][] IRE=new int[n][n];int i=0;int j=n/2;int tmp=1;while(true){if(j>=n)j=0;if(i<0)i=n-1;if(IRE[i][j]==0){IRE[i--][j++]=tmp++;}else{i+=2;j--;if(j<0)j=n-1;if(i>=n)i=i%n;if(IRE[i][j]==0)IRE[i--][j++]=tmp++;else break;}}return IRE;}private void CountFour(){int fillCount=1;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N;j++){RE[i][j]=fillCount;fillCount++;}}int tmp;for(int i=0;i<N;i++){for(int j=0;j<N/2;j++){if(i%4!=j%4&&(j%4+i%4)!=3){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[N-i-1][N-j-1];RE[N-i-1][N-j-1]=tmp;}}}}/*private void CountEven(){int halfN=N/2;int[][] tmpIArr=CountOdd(halfN);for(int i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){RE[i][j]=tmpIArr[i][j];RE[i+halfN][j]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*3;RE[i][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN*2;RE[i+halfN][j+halfN]=tmpIArr[i][j]+halfN*halfN; }}int m=(halfN-1)/2;int tmp;for(int j=0;j<m;j++){for(int i=0;i<halfN;i++){tmp=RE[i][j];RE[i][j]=RE[i+halfN][j];RE[i+halfN][j]=tmp;if(j<m-1){tmp=RE[i][j+halfN];RE[i][j+halfN]=RE[i+halfN][j+halfN];RE[i+halfN][j+halfN]=tmp;}}}}*/private void CountEven(){int halfN=N/2;int m=(halfN-1)/2;int[][] Seq=CountOdd(halfN);char[][] SeqSign=new char[halfN][halfN]; for(int i=0;i<SeqSign.length;i++){for(int j=0;j<SeqSign[i].length;j++){ SeqSign[i][j]='L';}}int i=halfN-1;for(int l=1;l<m;l++,i--){for(int j=0;j<halfN;j++){SeqSign[i][j]='X';}}for(int j=0;j<halfN;j++){if(j==halfN/2)SeqSign[i][j]='L';elseSeqSign[i][j]='U';}for(i=0;i<halfN;i++){for(int j=0;j<halfN;j++){int beginNum=(Seq[i][j]-1)*4;switch (SeqSign[i][j]){case 'L':RE[i*2][j*2]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'U':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+2;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+3;break;case 'X':RE[i*2][j*2]=beginNum+1;RE[i*2+1][j*2]=beginNum+3;RE[i*2][j*2+1]=beginNum+4;RE[i*2+1][j*2+1]=beginNum+2;break;}}}}public int[][] getHuan(){return RE;}public boolean check(){for(int i=0;i<N;i++){int tmpSum1=0;int tmpSum2=0;for(int j=0;j<N;j++){tmpSum1+=RE[i][j];tmpSum2+=RE[j][i];}if(tmpSum1!=SUM||tmpSum2!=SUM)return false;}int sum1=0,sum2=0;for(int i=0;i<N;i++){sum1+=RE[i][i];sum2+=RE[i][N-1-i];}if(sum1!=SUM||sum2!=SUM)return false;return true;}}幻方维基百科，自由的百科全书跳转到: 导航, 搜索幻方，有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔術方塊）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。
初中数学幻方的解法
1.暴力搜索法幻方解题的最初方法是暴力搜索法。
这种方法包括列举每个数字的所有可能的排列，然后逐个检查它们是否满足幻方的要求。
虽然这种方法可以解决出所有幻方的问题，但是它对于大型幻方的解题过程中需要耗费大量的时间和精力，并且存在各种漏洞。
2.加1法加1法也称为"Theorems of Kronecker"，是一种简单和高效的解题方法。
这种方法基于对任意一个幻方进行加1操作，然后解决一个新的幻方来得到解决幻方的结果。
使用这种方法的缺点是它只能解决特定类型的幻方，而无法解决大部分幻方问题。
3.线性代数法线性代数法是基于矩阵和行列式的组合在内的线性代数来计算幻方。
它使用比"加1法"更加复杂的算法来解决幻方，但是在解决复杂的幻方问题方面非常有效。
线性代数法的基本思路是将幻方转化为一个矩阵，然后对该矩阵进行一系列操作，计算出其行列式，最终得到解决幻方的结果。
a.构造幻方矩阵首先，需要将幻方构造成一个矩阵。
对于一个n阶幻方，矩阵的大小也是n×n。
将幻方中的每个数字都与一个矩阵中的元素相对应，这些元素的值就是幻方中每个数字的值。
b.求出幻方矩阵的行列式然后，需要计算矩阵的行列式。
行列式是一种数学工具，用来计算一个矩阵的性质。
对于一个n阶矩阵，行列式可以用一个n×n的矩阵来表示。
该矩阵的元素是由原矩阵中对应位置的子矩阵的行列式组成的。
c.计算幻方矩阵的行列式的值通过计算幻方矩阵的行列式的值，可以得到该幻方的解题结果。
如果幻方矩阵的行列式的值等于0，则该幻方无解。
如果幻方矩阵的行列式的值为非零数，则可以使用行列式展开式来计算幻方的解题结果。
总体来说，线性代数法是一种非常有效的幻方解题方法。
它比暴力搜索法和加1法更加高效，并且可以解决大多数幻方问题。
但是，这种方法需要使用高级数学知识，需要较高的数学水平才能应用。
4.对称性法对称性法是基于幻方的对称性的一种解题方法。
北师大版七年级数学上册 拓展资源 (3)
相关资料拓展资源幻方常规解法汇总按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：1、每一个数放在前一个数的右上一格；2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：17 24 1 8 1523 5 7 14 164 6 13 20 2210 12 19 21 311 18 25 2 9双偶数阶幻方（对称交换法）所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：先看看4阶幻方的填法：将数字从左到右、从上到下按顺序填写：1 2 3 45 6 7 89 10 11 1213 14 15 16内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
16 2 3 135 11 10 89 7 6 124 14 15 1对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
幻方解题公式
幻方解题公式幻方是一种数学谜题，由数字排列在一个正方形内以形成一个阶数相同的网格而形成。
每行、每列和对角线的数字之和相等。
在这篇文章中，我们将介绍一些幻方解题的公式，让您更好地理解和解决这个谜题。
1. 幻方基本公式在一个n阶幻方中，每个数字的位置可以表示为 (i,j)。
其中i 和j是数字的行和列。
幻方基本公式是S=n(n+1)/2。
这个公式是幻方中每行、每列和每个对角线数字之和的值。
例如，一个3阶幻方中的S值是15。
2. 幻方奇数阶公式在奇数阶的幻方中，我们可以使用以下公式来找出每个数字的位置。
如果我们要找出数字x的位置，那么行和列可以表示为：行 = (n+1)/2 + p列 = (n+1)/2 - q其中p和q是数字在幻方中的偏移量，可以使用以下公式计算： p = (x-1) mod nq = (x-1) div n例如，在一个5阶幻方中，数字17的位置可以计算为：行 = (5+1)/2 + (17-1) mod 5 = 3 + 1 = 4列 = (5+1)/2 - (17-1) div 5 = 3 - 3 = 0因此，数字17在第4行第1列。
3. 幻方偶数阶公式在偶数阶的幻方中，我们需要使用不同的公式来找出每个数字的位置。
我们可以将幻方分成四个相等的部分，并使用以下公式来计算每个数字的位置：如果数字x位于左上或右下的网格中：行 = (n/2) - p列 = (n/2) - q如果数字位于右上或左下的网格中：行 = (n/2) + p列 = (n/2) - q其中p和q的计算方法与奇数阶幻方相同。
例如，在一个4阶幻方中，数字14位于左下角的网格中。
因此，我们可以计算其位置为：行 = (4/2) + (14-1) div 4 = 2 + 3 = 5列 = (4/2) - (14-1) mod 4 = 2 - 1 = 1因此，数字14在第5行第1列。
以上是一些幻方解题的基本公式，希望能对您的幻方解题有所帮助。
幻方解法整理归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、 纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”口诀：1居首行正中央， 依次右上莫相忘 上出格时往下放， 右出格时往左放. 排重便往自下放， 右上出格一个样17 24 1 8 15 23 5 7 14 16 4 6 13 20 22 10 12 19 21 3 11 1S 25 2 9图一阶的幻方均分成4个同样的小幻方 A B 、C 、D （如图二）2、单偶数阶幻方n =22m ^1 分区调换法（如图二：以六阶幻方为例）我国古代称为“河图” “洛书”，又叫“纵横图1、奇数阶幻方一一罗伯特法（也有人称之为楼梯法）（如图一：以五阶幻方为例） 奇数阶幻方 n 为奇数（n=3 , 5, 7, 9, 11……）（n=2 X k+1, k=1 , 2, 3, 4, 5奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法 （也有人称之为楼梯法把1（或最小的数）放在第一行正中；每一个数放在前一个数的右上一格； 如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，按以下规律排列剩下的））。
填写方法是这样: n Xn -1个数：（1） ⑵ ⑶ ⑷仍然要放在右一列;如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内; 如果这个数所要放的格已经有数填入，处理方法同这种写法总是先向“右上”的方向，象是在爬楼梯。
⑷。
①把 n=2 2m+1（注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变，因为2m+1为奇数，所以 A B 、C 、D 均为奇数阶幻方）②用连续摆数法在A 中填入1 ------------- a 2构成幻方，同理，在B 中填入a2+1 ----------------- 2a 2、在C 中填入2222n 2a +1 3a 、在D 中填入3a +1 — — 4a 均构成幻方（a =—）（如图三）28 1 6 26 19 243 5 7 21 23 254 9 2 22 2? 20 35 23 33 17 10 15 30 32 34 12 14 16 31 36 29 13 18 11图三（因为2m+1为奇数，所以 A 、B 、C 、 ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取 I 数与D 中相应方格中的数字对调（如图四）：a1 S 26 19 24 3 5 ? 21 23 25 4 g2 22 27 20 35 28 33 17 10 15 30 32 34 12 14 15 31 36 29 13 18 11图四只取了一个数）④ 在A 中从最右一列起在各行中取 m —1个方格，把这些方格中的数与35 1 e26 ig 243 32 7 21 23 2E31 9 2 22 27 20 S 23 33 17 10 IE 30 5 34 12 14 16 4 3& 29 13 18 11图五3、双偶数阶幻方n =4m ――轴对称法（如图三：以八阶幻方为例）①把n =4m 阶的幻方均分成 4个同样的小幻方（如 图六）、D 均为奇数阶幻方，必然可以用连续摆数法构造幻方）m 个方格，在其它行上则从左侧第一列起取 m 个方格，把这些方格中的不管是几阶幻方，在 A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始; 因为当n =6时，m =1,所以本例中D 中相应方格中的数字对调。
幻方常规解法汇总
幻方常规解法汇总幻方是指将一组数字排列成一个正方形矩阵，使得同一行、同一列以及对角线的所有数字之和均相等。
幻方问题早在数学家古希腊的时候就开始研究，并且已经有了多种解法。
以下是常见的幻方常规解法汇总：1.奇阶幻方解法：奇阶幻方是指正方形矩阵的边长为奇数，例如3阶、5阶、7阶等。
下面介绍一种常见的奇阶幻方解法：- 准备一个nxn的方阵，初始时全部填0；-从方阵的中间行的最左列开始，用数字1填充；-按照以下规则填充剩余位置：-如果当前位置的上一行和左一列都为空，则填充上一行、左一列数字的右上位置；-如果当前位置的上一行为空，而左一列不为空，则填充上一行数字的位置；-如果当前位置的上一行不为空，而左一列为空，则填充左一列数字的位置；-如果当前位置的上一行和左一列都不为空，则填充当前位置的下一行；-当填充到n*n时，得到了一个满足要求的奇阶幻方。
2.双偶阶幻方解法：双偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数（4n，例如4阶、8阶、12阶等）。
下面介绍一种常见的双偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的双偶阶幻方。
3.单偶阶幻方解法：单偶阶幻方是指正方形矩阵的边长为4的倍数加2（例如6阶、10阶、14阶等）。
下面介绍一种常见的单偶阶幻方解法：-将矩阵分割为四个相等的子矩阵；-将四个子矩阵中的数字按照如下规则填充：-以1~(n/2)^2填充左上子矩阵，其中n为矩阵的边长；-以(n^2+1)~(n^2+n^2/4)填充右上子矩阵；-以(n^2/4+1)~(n^2/2)填充左下子矩阵；-以(n^2/2+1)~(n^2)填充右下子矩阵；-将四个子矩阵的对角线元素进行交换，得到一个满足要求的单偶阶幻方。
求解幻方的技巧
求解幻方的技巧幻方是一个由数字组成的矩阵，使得每一行、每一列以及对角线上的数字之和都相等。
在解决幻方问题时，可以使用许多技巧和策略。
本文将介绍一些常用的解幻方问题的技巧。
1. 奇序幻方和偶序幻方的区别：奇序幻方是指矩阵的边长为奇数，而偶序幻方是指矩阵的边长为偶数。
这两种幻方的解法有所不同。
2. 奇序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 如果下一个数字所要放置的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在矩阵的对角位置。
- 如果下一个数字所要放置的位置已经有数字存在，则将该数字放置在上一个数字的下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
3. 偶序幻方的解题思路：- 首先，将数字 1 放置在第一行的中间位置。
- 然后，依次从数字 2 开始，按照以下规则放置：- 将该数字放置在上一个数字的右上方。
- 如果右上方的位置超出矩阵的边界，则将该数字放置在下一个位置的左下方。
- 以此类推，直到将所有数字放置完毕。
4. 总结幻方的规律：- 任何一个幻方矩阵都有一个中心对称的特点，即将矩阵按中心水平线对折，得到的新矩阵和原矩阵是相同的。
- 幻方矩阵中，对称位置的数字之和相等。
例如，在3 阶幻方矩阵中，1 和 9、2 和 8、3 和 7 的和都是 10。
- 幻方矩阵中，行数和列数之和的一半是矩阵中每行或每列的数字之和。
5. 借助已知的幻方解题：- 对于任何奇序幻方矩阵，可以通过一个已知的奇序幻方解题，例如3 阶幻方矩阵，来推导出更大阶幻方矩阵的解法。
- 对于偶序幻方矩阵，可以通过两个已知的奇序幻方矩阵的组合来解题，例如，通过组合两个3 阶幻方矩阵来解决 6 阶幻方问题。
6. 幻方的旋转和反转：- 幻方矩阵可以通过旋转和反转来获得新的解法。
例如，可以将一个 3 阶幻方矩阵逆时针旋转 90 度得到一个新的解法。
7. 求解幻方问题的算法：- 幻方问题是一个数学问题，可以通过编程来求解。
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幻方作为小学奥数中最难的题型之一，由于对孩子的思维能力要求比较高，所以很多孩子都不能很好的掌握。
为了更好的帮助孩子掌握这部分知识，今天老师就将这部分的知识进行了非常详细的归纳和解析，希望可以帮助到孩子的学习。
此外，家长如果在孩子学习方法和记忆方法上还有任何疑问，或者需要任何学习资料的，都可以通过文末的方式直接与我交流，我都将免费为您解答。
今天的分享就先到这了，一个真正的老师，不是叫学生多少知识，而是教给学生好的学习方法。
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幻方的N种构造方法.
幻方的N种构造方法说起幻方，许多人见惯不怪了。
最简单的莫过于三阶幻方或者说四阶幻方，三阶幻方是由1到9这9个数填进3×3的九宫图中，使每行，每列和对角线的三个数之和相等（3阶，幻和为15）。
三阶幻方最早起源于我国，古代人们将三阶幻方称之为“河图”和“洛书”我国宋代数学家杨辉称之为“纵横图”。
好了，其他的不多说了，让我们直奔主题吧。
第一种：推理法①1～9个数填入九宫图，容易推出幻和为15，而用1～9个数有以下的算式组合。
1+5+9=152+5+8=153+5+7=154+5+6=152+6+7=152+5+8=152+4+9=154+3+8=158+1+6=15观察上面9条算式容易知道，5出现了4次，1、3、7、9出现了2次，2、4、6、8出现了3次。
再回来想想九宫格的位置特性，中间的格一定要满足4条算式（中间行，中间列，2对角线）成立，故中间应该填的是5；四个角的格也要各满足3条算式成立，故四个角的格应该填的是2、4、6、8。
（其实不用下面步骤都可以构造出来了，因为幻和为15，可以推算出。
）同理，1、3、7、9应该填在前行前列的中间。
这样的话，就很容易构造出3阶幻方。
所以得出的3阶幻方如下：第二种：推理法③和第四种方法基本相似吧，但是更简单。
前提条件：已知幻和=15，中间是5。
分析：三个数构成幻和为15的等式，这三个数必定是“3个奇数”或者“2个偶数和一个奇数”。
假设①位置为奇数，则⑨位置也为奇数。
可是，填下一个奇数时，都会推算出产生剩下的数都是奇数的情况。
例如：当②为奇数时，⑧为奇数，③为奇数，⑥为奇数，⑦为奇数，④为奇数。
当③为奇数时，②为奇数，⑦为奇数，⑧为奇数，⑥为奇数，④为奇数。
所以，①位置不能填奇数，只能填偶数。
第三种：楼梯法在第一行的中间填上1.，然后依次在“右上角”填上2（下一个数），再在2的“右上角”（相对的）填上3，依次类推。
当遇到“右上角”已经有数的时候，就填在原地的下一个格，再运用楼梯法继续填，知道填到最后一个数。
幻方解法归纳
在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中,图中任意一横行、一纵行及的几个数之和都相等,具有这种性质的图表,称为“幻方”.我国古代称为“”、“”,又叫“”.1、奇数阶幻方——罗伯特法也有人称之为楼梯法如图一：以五阶幻方为例奇数阶幻方n 为奇数 n=3,5,7,9,11…… n=2×k+1,k=1,2,3,4,5……奇数阶幻方最经典的填法是罗伯特法也有人称之为楼梯法.填写方法是这样： 把1或最小的数放在第一行正中； 按以下规律排列剩下的n×n -1个数： 1每一个数放在前一个数的右上一格；2如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行,仍然要放在右一列； 3如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列,仍然要放在上一行；4如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列,那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内； 5如果这个数所要放的格已经有数填入,处理方法同4. 这种写法总是先向“右上”的方向,象是在爬楼梯.口诀：1居首行正中央, 依次右上莫相忘 上出格时往下放, 右出格时往左放. 排重便往自下放, 右上出格一个样图一2、单偶数阶幻方()122＋＝m n ——分区调换法如图二：以六阶幻方为例① 把()122＋＝m n 阶的幻方均分成4个同样的小幻方A 、B 、C 、D 如图二图二注意A 、B 、C 、D 的相对位置不能改变,因为12＋m 为奇数,所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方 ② 用连续摆数法在A 中填入21a ——构成幻方,同理,在B 中填入()2221a a ——＋、在C 中填入()22312aa ——＋、在D 中填入()22413a a ——＋均构成幻方2na ＝如图三图三因为12＋m 为奇数,所以A 、B 、C 、D 均为奇数阶幻方,必然可以用连续摆数法构造幻方 ③ 在A 的中间一行上从左侧的第二列起取m 个方格,在其它行上则从左侧第一列起取m 个方格,把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调如图四：图四不管是几阶幻方,在A 中取数时都要从中间一行的左侧第二列开始；因为当6＝n 时,1＝m ,所以本例中只取了一个数④ 在A 中从最右一列起在各行中取1－m 个方格,把这些方格中的数与D 中相应方格中的数字对调.如图五图五3、双偶数阶幻方m n 4＝——轴对称法如图三：以八阶幻方为例 ① 把m n 4＝阶的幻方均分成4个同样的小幻方如图六图六② 在左上角的小幻方每行每列中任取一半的方格加上底色以便于区分,然后以轴对称的形式在其它三个小幻方中标出方格如图七图七正确理解“每行每列中任取一半的方格”.本例中因为4＝m ,所以在每个小幻方的每行每列上均取2个方格③ 从左上角的方格开始,按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方,遇到有底色的方格跳过,计数,这样填满了没有底色的方格如图八图八从左上角开始按从左到右、从上到下的次序将1——64从小到大依次填入n 阶幻方,当遇到有底色的方格时空出不填即可④ 从右下角的方格开始,按从右到左、从下到上的次序将剩下的数从小到大依次填入n 阶幻方,这样填满了有底色的方格如图九图九即为所求幻方.图九或者对于n=4k 阶幻方,我们先把数字按顺序填写.写好后,按44把它划分成kk 个方阵.因为n 是4的倍数,一定能用44的小方阵分割.然后把每个小方阵的对角线,象制作4阶幻方的方法一样,对角线上的数字换成互补的数字,就构成幻方.图中红色数字可用中心对称得到。
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幻方常规解法汇总没法，组合数学还考幻方构造。
这东西不看解法真不会写，虽然没见有啥用，但还是记录下，免得日后再找。
按目前填写幻方的方法，是把幻方分成了三类，即奇数阶幻方、双偶阶幻方、单偶阶幻方。
下面按这三类幻方，列出最常用解法（考试用，不求强大，只求有效！）。
奇数阶幻方（罗伯法）
奇数阶幻方最经典的填法是罗伯法。
填写的方法是：
把1（或最小的数）放在第一行正中；按以下规律排列剩下的(n×n－1)个数：
1、每一个数放在前一个数的右上一格；
2、如果这个数所要放的格已经超出了顶行那么就把它放在底行，仍然要放在右一列；
3、如果这个数所要放的格已经超出了最右列那么就把它放在最左列，仍然要放在上一行；
4、如果这个数所要放的格已经超出了顶行且超出了最右列，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内；
5、如果这个数所要放的格已经有数填入，那么就把它放在前一个数的下一行同一列的格内。
例，用该填法获得的5阶幻方：
双偶数阶幻方（对称交换法）
所谓双偶阶幻方就是当n可以被4整除时的偶阶幻方，即4K阶幻方。
在说解法之前我们先说明一个“互补数”定义：就是在n 阶幻方中，如果两个数的和等于幻方中最大的数与1 的和（即n×n＋1），我们称它们为一对互补数。
如在三阶幻方中，每一对和为10 的数，是一对互补数；在四阶幻方中，每一对和为17 的数，是一对互补数。
双偶数阶幻方的对称交换解法：
先看看4
内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即（1，16）（4，13）互换（6，11）（7，10）互换即可。
对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4×4把它划分成k×k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4×4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
以8阶幻方为例：
(1) 先把数字按顺序填。
然后，按
(2)
单偶数阶幻方（象限对称交换法）
以n=10为例，10＝4×2＋2，这时k=2
（1）把方阵分为A，B，C，D四个象限，这样每一个象限肯定是奇数阶。
用罗伯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇数阶幻方的填法填数。
（2）在A象限的中间行、中间格开始，按自左向右的方向，标出k格。
A象限的其它行则标出最左边的k格。
将这些格，和C象限相对位置上的数，互换位置。
（3）在B象限任一行的中间格，自右向左，标出k-1列。
(注：6阶幻方由于k-1=0，所以不用再作B、D象限的数据交换)，将B象限标出的这些数，和D象限相对位置上的数进行交换，就形成幻方。
下面是6阶幻方的填法：6＝4×1＋2，这时k＝1
三阶幻方的解法
第一种：杨辉法：九子斜排，上下对易，左右相更，四维挺出。
1
2 4
3 5 7
6 8
9
2 9 4
7 5 3
6 1 8
第二种：九宫图也是幻方的别称，三阶幻方就是著名的洛书，他的排列是：：“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央（9在上中，1在下中。
3在左中，7在右中，2在左上，4在右上，6在左下，8在右下）
第三种：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样
8 1 6
3 5 7
4 9 2
四阶幻方的解法
1、先把这16个数字按顺序从小到到排成一个4乘4的方阵
2、内外四个角对角上互补的数相易，（方阵分为两个正方形，外大内小，然后把大正方形的四个对角上的数字对换，小正方形四个对角上的数字对换）即
（1，16）（4，13）互换
（6，11）（7，10）互换
16 2 3 13
5 11 10 8
9 7 6 12
4 14 1
5 1
另：对于n=4k阶幻方，我们先把数字按顺序填写。
写好后，按4*4把它划分成k*k个方阵。
因为n是4的倍数，一定能用4*4的小方阵分割。
然后把每个小方阵的对角线，象制作4阶幻方的方法一样，对角线上的数字换成互补的数字，就构成幻方。
五阶幻方的解法：罗伯法：最小的数据上行中央，依次向右上方斜填，上出框往下写，右出框往左填，排重便在下格填，右上排重一个样。
17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
（在最上一行的中间填1,接着在1的右上方填2,由于1在最上一行,
所以1的右上方应该是第五行的第四个,
接下来在2的右上方填3,3的右上方应该是第三行第一个,所以在此填4,在4的右上方填5, 在5的下方填6,接着按前面五个数的填法依次填7,8,9,10;
在10的下方填11,然后按上面的方法填,
每次填五个数,直到完成.
无论从上到下还是从左到右都是五排,
所以每排的五个数之和为(1+2+3+4+…+25)÷5=65,
因此,你可以验算一下是否每个和都是65.
此法适合于一切奇阶幻方.）。