2019届浙江高三数学三轮复习专题突破数列与数学归纳法(解析版)
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专题2.5 数列与数学归纳法
1.求数列通项忽视检验首项致错
在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前n项和公式，都应该检验首项是否适合
例1.【河北省衡水中学2019届高三下学期一调】已知数列的前项和.若
是中的最大值，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
因为，
所以当时，；
当时，也满足上式；
当时，，
当时，，
综上，；
因为是中的最大值，
所以有且，解得.
故答案为
点评：由
n n
S a
和的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分n＝1和n≥2两种情况讨论．当
n＝1时,
1
a不适合
n
a的情况要分开写,即
n
a
1
,1
,2
n
n n
s n
s s n
-
=
⎧
⎨
-≥
⎩
＝
(2)要注意
n
a和
n
S互化具有双向性,既可由
n
a化为
n
S,也可由
n
S求
n
a.
2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略0d =或1q =造成错误
用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略0d =或1q =而造成求解不全导致错误. 例2.已知等差数列}{n a 满足：21=a ，且1a 、2a 、5a 成等比数列.
（1）求数列}{n a 的通项公式.（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得?80060+>n S n 若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）2=n a 或24-=n a n ；（2）41.
【解析】（1）设数列}{n a 的公差为d ，依题意，d d 42,2,2++成等比数列，
所以)42(2)2(2
d d +=+，解得0=d 或4=d ，当0=d 时，2=n a ；当4=d 时，
244)1(2-=⨯-+=n n a n ，所以数列}{n a 的通项公式为2=n a 或24-=n a n .
（2）当2=n a 时，n S n 2=，显然800602+
)]
24(2[n n n S n =-+=
，令8006022+>n n ，即0400302>--n n ，
解得40>n 或10-
n 的最小值为41.
点评：本题求解第（1）问，在解方程2
(2)2(24)d d +=+时，容易丢掉0d =这一结果，导致数列{}n a 的
通项公式缺一种结果.
3.应用等差数列与等比数列性质不当
综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误.
例3.若等差数列{}n a 满足7897100,0a a a a a ++>+<，则当n =__________时， {}n a 的前n 项和最大． 【答案】8
【解析】试题分析：由等差数列的性质，，
，又因为
，所以
所以
，所以
，
，故数列
的前8项最大.
点评：等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、
等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法. 4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误
错位相减法求和是等比数列求和的基本思想，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的式了中等比数列的项数导致求和出错.
例4【天津市十二重点中学2019届高三下学期联考（一)】设等比数列的前项和为，已知
，
且
成等差数列． （1）求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为，公差为的等差数列，求数列的前项和．
【答案】（1）或
； （2）
或
.
【解析】
（1）设等比数列公比为,由
,，
，
，
或
,
当时，，
当时，
.
（2）
,
,
当时，,,
当时，,
,
,
-得 ,
,所以，.
点评：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}•n n a b 的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解．）；②
在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的
表达式,相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记等式两边同时除以1q -.
5.周期数列的周期判断失误
有的数列是呈周期性变化的，在求这类数列通项或求和问题时，常因判断不准数列的周期或数列的项数与通项的关系致错.
例5. 数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n
，0≤a n
≤1
2，2a n
－1，1
2